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STRUTTURE
A DUE
DIMENSIONI
(vedi
Appunti
Quaderno)
28/05/
&
.
Operazioni
interne ad A
La terma .
(Ai
+..
) si dice Anello se
i
(A , + )
gruppo
abeliamo
(Ai)
semigruppo
x(a
a))
=
xa + Xa" Xx
,
a!
a"-A DISTRIBUTIVA
(a
al)x
=
ax + ax Yx
,
a ,
a"A
>
DXe SX
ESEMPI
(E
,
)
ANELLO
(Nit
i
)
(Noi+ i )
ANELLI
(Q +, ·
) ANELLO
Criti)
ANELLO
Anello
Del
POLINOMI A
Coefficienti
REALI
IN UNA
INDETERMINATA
Y
IR[x]
=
(
+... + Anxh/
,
a .. ...,
an
EMY
con
enER
↓
tutti i polimoni
con coefficientey
CIRIXTi+i) e un Anello
def il
Il
Se
(Aiti) è un omello
,
A
È Anello commutativo =
·
è
commutativa
#e
unitario
es
7 elemento neutro
rispetto
a
"
.
"
Si indica
con
il
simbolo
A E'
un corpo (A- ,
a) e un Gruppo
def
A
è Un
Corpo Commutativo
&
e
un
Campo
c
=
ESEMPI
Criti)
Campo
CEIti)
è
un
Anello Commutativo
UNITARIO
(NO CAMPO)
Con ha
gli
inversi
ESEMPIO DI CORPO NON COMMUTATIVO
H =
Ew
= a+ bi +
dk/abici d
ER
e
i
, j
,
k
rispettano
le
operazioni
definite
per
il)
&
gruppo
dei
quaterniam
[Chiti)
e un
corpo
non
commutativo
>
Non
e
un
campo
DEFINIZIONE DI OPERAZIONE
ESTERNA
S
,
k +
0
Un
operazione
esterna in S con
operatori
in k
è
un'applicazione M
:
KXSS
Gli elementi di K si
dicono
scaloni
Xxtk
vaES
y(x
,
a) = xa
DEFINIZIONE DI SPAZIO VETTORIALE
INSIEME
i
VXV
>
V
Coperazione
interna)
· i kXV
V
Coperazione
esterna con
operatori
in k)
LaStruttura (Viti)
e uno spalio
vettoriale su un campo K (o
anche
K-spazio
Vettoriale) se sono
verificati
i
seguenti
assioni
(Vi + ) e un Gruppo abeliano
2
.
(B
. v) = (
.
B)
.
0 Fa
, BEK
e
Fr
Ef
- 1k Celemento
neutro)
·
v = v
(2 +
B)
.
v
=
B
. fr,
BEke
FNEU
.
(n
v)
=
an + 20
PROPOSIZIONE
V
K-spazio
vettoriale
,
valgono
le
seguenti proprietà
VNEV
ON
= Or (vettore null)
>
zero dello
spazio
vettoriale
FrEV
(1)
.
N
=
v
#) FXEK
1
.
.
=
Or
se
X
.
N
ex
0 => N = 0
DIMOSTRAZIONI
Ok
. N
= Ov
FNEU
>
N
= Con +
Ok)
.
N
=
Ok
.
N
Ok
N
=>
. N
= 0
. N + 0
. v
Sommiano ad
entrambi
i membri il
vettore-Con)
o
v)
.
v
=
(
.
v)
.
n
. N
Or
Or
Or
=
Or
. v
=
0
.
N
=> Q
=
QN
#1)
Per la
proprietà
(1) 0 =
.
N
0 =
.
N =
(( - 1)
.
N
=
(
1)n + 1
v
1)n + v
Sommando
a entrambi
i membri il vettore
N si ottiene
-N
=
(
N +
N
N
=
(1)n
0v
=
C
Op
=>
N
= (
- v
x
= X
.
(0 +
= 1
. 0
10
Sommando ad
entrambi
i
membri
(X
.
si
ottiene
(X
.
(X
.
=
(x
d)
(x
(x
4
.
.
0 FxEk
X
.
N
=
/ 0
=
.
n = (x
.
x)v
=
X-(Xv)
=
=
(vera perla)
SISTEMA DI VETTORI 30/03/
V
K-spazio
vettoriale
Una
sequenza
ordinata di Vettori
(m-UPLH)
,
è
detta
sistema ordinato di Vettori
↓
IS
=
(V ,... ,
Vm)
com VI
.....
Un
Ev] =
oppure
> S =
[V
, ,
....
Vm]
m = ordine
del
sistema
S
(sequenza
e
basta)
Cintero positivo)
COMBINAZIONE LINEARE IN UNO SPAZIO VETTORIALE
V
K-spazio
vettoriale
S sistema di vettori ordinato
allora
posso
considerare
una
n-upla di scalari : (a
..
...
am)Ek]
V
= d
,
N
+...
ann
V
=
divi >
combinazione lineare di vettori
Ni , .... Un
con
coefficienti
d, ...,
an
DEFINIZIONE DI SISTEMA
LINEARMENTE
DIPENDENTE
V
K-spazio
Vettoriale
S =
[N
I
.
-. Nn)
sistema ordinato di
vettori
S
Linearmente Dipendente
La
.....
dn)Ekh- , .... 03
:
dinje
N-UPLA NON NULLA
ESEMPIO
IR
=
[Caib)
/ab
ER]
N =
(1,0)
N
= (012) Ns
=
c'è
dipendenza
lineare
?
S
=
(N,
Nz
, Ns)
I
·
dnNi
dzNztd3Nz
= d
e
(110)
13 (
,2)
=
=
(di ,
(0 1 242)
(2d
, 24s)
=
=
(di
,
2dz
Supponiamo
di
= 0
>
esistono
scalani non
tutti
nulli
&
2dz
=
0 E
d
2
di
=
0
I
che verificano
l'equazione
? I
do
= 1 => dz
=
=
2
n-UPLA
> (-21-1 , 1) ER-
. 03
>
attengo
il
vettore
nullo
con
coefficienti non nulli
S linearmente
Cle S non
e
linearmente
(ajnj
(
INDIPENDENTE DIPENDENTE
ESEMPIO
R
N
=
(110) N
=
(a)
S
=
CNNc)
è
indipendente
?
Consideriamo
(di idz)EIR
> diNi
AzNz = d ,
(id)
.
=
(21 ,
Co .
+2)= (indz)
Se di NitduN = (0 1
0
( ,
da)
= 0
Gi
= 0
. dz
= 0
PERTANTO
S
È LINEARMENTE
INDIPENDENTE
DIPENDENZA DI
UN VETTORE
DA
UN SISTEMA
V
K-spazio
Vettoriale
S=
(N ,
.
..
. Nm)
com
nel
Il vettore n
dipende
dal
sistema
SI( ... In)
E : N
=
N
E
ESEMPIO
#2 S=
G(110) ,
(012) ,
(212)]
N ,
Nz N
(2.
E
(211) dipende
da
S
?
LintdatLazz
>
&& dz
=
1
Allora
2dz
= 1
dz
=
tx
=>
(a
,
>IR : (D
=
jNj
MM
spazio
vettoriale
S
Cr.
... Nm)
Si
=
(w .... Wan)
/
sistemi ordinati
Se
v
dipende
da
S
e
ogni
vettore di S
dipende
di
.
S'
dipende
da S'
ROPOSION
S
è
dipendente
se e
solo
se esiste un
vettore
che
dipende
dai
rimanenti
DIMOSTRAZIONE
S
=
CN
.... Nm)
>
supponiamo
che
sia
dipendente
an
:djnj
= 0 (per Definizione)
H
=
j
= 1
,
... im
:
dj
>
Supponiamo
di 70
=
di Ni+Ganzt
... +
da Am
Poiché
k
e un
campo ,
E dir :
di
= 17 0
=
di Ni
da nat
... + da un
(moltiplica
tutto
per
2i)
di
(di
.
)N :
(di
<2) Nz
+... + (di (m)
No
=
Ni
(di
dz)Nz
(di (n)
Nn
=> N
=
(ida) Nat ...
[- (didm)Nm]
=
= (-didc)Nz
+... + Ed ,
"(m)Nm
Ni Dipende dal sistema S-Eni
V
VICEVERSA
Supponiamo
che esiste in
S
un
vettore che
dipende
dai rimanenti
.
Possiamo
supporre
che Ni
dipenda
dei Vettori
rimanenti
FB
...
Batk
:
Ni
=
Banz
+... +
BaNn
N
.
B2Nz
+...
(-
BmNm)
=
=> N
B2)Nz
+... + (
Ba)Nm
B2 , ... ,
Ba)
EK2-[(
....,
: la
combinazione lineare
dei
Vettori NI .....un
= 0
S e
Dipendente
MAB
A
è
indipendente Massimale in B= ogni
Vettore Di
B
DIPENDE
DA A
S INSIEME FINITO
IS) = m (numero
naturale) Ef
: S
>
In
biettiva
In
=
[
,
...., n
SISTEMA DI GENERATORI
S=
Ch... Nn)
S sistema di generatori
e
neu
,
n Dipende da Se)
freV =(d ,
... da)
Ek :
N
=
djnj
Se
S =
In .... nn]
sistema di generatori
V
=
2(s)
= 2 (m ...
Nm)
def
S
sistema
di
generatori
di Ve S
e
finito
V Finitamente generato (
ESEMPIO
·
K
è
finitamente
generato
en =
C100 .... 0) La Cario .... 0
emacao ..... in)
S=
Cli ... em)
e un sistema
di Generatori
finito di
m
DEFINIZIONE
(COMPONENTI
di Vettore
In
Una
Base
VvEV
gli
scalari (+ ....
In) univocamente determinati
,
si dicono
componenti
di vettore u nella base
B
V
K-spacio
vettoriale
B
= Ce ... en)
base di U
VEVF ! (e
. ... en)
Ek : V
=jj
,
pertanto e ben
posta
la
sequente
applicatione
IB
:
V
~
> (d .
... (m)
: V
=
dilj
CINIETTIVA
e SURIETTIVA)
LEMMA DI STAINITZ
V
K-spacio
Vettoriale non banale
B
=
Ce
.
...
em)
base
di v
S
=
CW.
. .
. Wil
sistema di Vettori
Se
my m
il
Sistema è Dipendente
DIMOSTRAZIONE
Se
qualche
vettore
di S'è nullo=
S' è
Dipendente
Possiamo
supporre
wj
Orj
Wide
di
...
anek
:
Wi
= dilit
...
dem
(Conscalari
d, ...
In non
tutti nucl)
E
possibile supporre
d
W =
d
.
li +...
dalm
di Wi
= di dili +... + didmlm =
el
= div-
...
-didm lu
· Proviamo
che il sistema
[W .,
12
, ...,
(m]
genera
U.
ver
FB
....
BmEK
: v
=
Billt
. -
Ben
=
B
(di Wi-didze ...
-didmem)
Balz
Buln
=
Bidi"wi
(B2-Bidida)
en +...
(Bm-
Bididm)(m
v
si esprime come combinazione Uneare di Vettori
Wi
,
e
, ...,
em e
pertanto
Il
Sistema [wi
.
ec 1
... ,
em]
general
In
particulare
Wi si
esprima
come Combinazione Lineare
di Vettori
Will .... em
Ff
. ... fo
EK : wz =
Vivi
falz
+... +
fulm
(f
, ...
in
non
sono tutti
nueli)
Se
ja=
...
=
Un
=
Allora la
=
fiw
,
e
pertanto
s'è
dipendente
Supponiamo
che
qualunque degli
scolari
fa
-.
In
sir
diverso da 0.
Un
82"
We
=
2
f
.
W
,
jef
e+ ...
ge
fuew L
"S
=>
ez
=
f
, W.
fatWe-
...
In
Guer
Come
già
fatto in
precedenca
si
provo
.
che [W ,
Wrils ...
en]
genera
V.
Iterando il
procedimento
dopo
n-
passaggi
provo
che il
sistema.
[W, ... Wm]
genera
V.
Poiché m>m
,
Im
dipende
dai vettori
I
,
m
[WiW
, la ,
... em]
genera
V
3
S'
=
[w , ,
. ..
Wm]
M
M
[W
,
I c
,
Ws - -
Wm] È
DIPENDENTE
DIMENSIONE
Di UNO SPAZIO
VETTORIALE
04/04/
V
K-spazio
vettoriale
B
=
Ce
, ... er) base
d'
=
Ce
,
... en
Base
n
= m
dimn(v)
= /BI B Base Di
V
Considero RM
,
....
,
es Co ,
1 ...
. ) .....
en
= ( .. -
. 1)
=
(e
er
...
em)
Base di
R e Base Canonica di
irm
/dim
R
= mT
COME POSSO
Individuare
Una BASE
EM
e ... en) base di v
SISTEMA
S' =
(V. -- Um) di
V
·
Se
S' e indipendente
mem
DIMOSTRAZIONE
Per assurdo sir
mym + Per
il Lemma di
Steinite S'è
dipendente =M
Contraddizione)
I
NECESSARIAMENTE
TEOREMA
DI
ESTRAZIONE DI
UNA BASE
V
K-specio
vettoriale
I
= [e , ... em)
e una
base di
v
Da
S
si può estrarre una
base di v
S (v ....
Um) sistema di generatori
DIMOSTRAZIONE
Per il
teorema di caratterizzazione delle
basi se
Un
sistema di Generatori
Minimale
,
Allora
Se una Base
&
Supponiamo
che
S
non
è un sistema di
generatori
minimale
↑
&
Eneq1 ....,
my
:
[Vi ..
,
Vi-
,
Viti
, Vm]
e sistema di generatori
[si esclude Vi)
·
Se il
sistema attenuto [vi
....,
Vi-
,
Viti
,
Vm] e
un
sistema di generatori
Minimale
e
Abbiamo
·
Se non è
minimale
si rimuove un
altro vettore
e
regionare
in modo
analogo
OTTENUTO UNA
fino ad
ottenere un sistema di
generatori
minimale
BASE
TEOREMA DI COMPLETAMENTO
A BASE
V
K-spazio
vettoriale finitamente
generato
V
+.....
Un
Vettori
:
S' =
[v
. -
Un .
Vr
Vm]
S =
[vi ... Vm]
Sistema indipendente
I
[si Aggiunge
un Vettore
DIMOSTRAZIONE
Sia dimV =
n
·
Se
S
e un sistema
di generatore S
e una base
( => m
= m)
·
Se S non
è un sistema di generator = InieV
:
Vi
Non Dipende
da S
#striamo
cheVen
i
Ca
CDOBBIAMO Dimostrare Che SONO TUTTI NULLI)
↓
Supponiamo B
= V
=
(
B
2 .
(vi
+... + (
B
fr)vr
=>
Dipende
Da S e
S'
Dipendente
NON
E
POSSIBILE
Pertanto
B
= 0
divit
...
arr
= 0 = di =
0 ...
=
da
Indipendente
~
↓
vi e Vr sono
indipendenti
· B
=
( (ab ,
c)
ER" : axbc
,
2]
I
①
(
.
,
- EB
>
B
Non e Un
sottospazio
③ (
. 1) EB
1(3 1
2 i
) = G
3 1
-1)
EB
->
Non
LA VERIFICA
V
=
1[X]
GRADO
↑
A
=
[pEIR[x]
:
deg
p13]
DIMOSTRIAMO CHE
A
RIX]
②
pripe
A
pl
=
Q
a ,
X +
a2x
Q3X
①
OE
A
3
I
pc
=
bo
b ,
x
bzx
byx
pi
pu
= (ao
bo)
(a
1
bi(x
(au
+b)
(x
(au+ b) xs
X-
A E UN SONOSPALIO
DI RIXT
③
FERAPAPtxt
27/04/
SOMMA DI
SOTTOSPAZI
V
K-spazio
vettoriale M
,
W XV
(sottospazidiv)
2(Muw)
=
M + W (SOTTOSPAZIO
SOMMA)
to
generato
dall'unione
La somma
di due
sottospazi
è
lo
spazio
vettoriale
generato
dall'unione
PROPRIETA' DEL SOTTOSPAZIO SOMMA
·
Se u,wV
= u + w
=
EVEV
: FuEU
,
FrEW : N = n
w]
·
se
u
... Un
generano
Il e
i
lettori ...
K
generano
M + W
= L (M
... h ... n)
c'è un
tegame
tra la
dimensione dei
singoli sottospazi
e
la
dimensione
del
sottospazio
Somma.
TEOREMA
DI
GRASSMANN
TEOREMA
DI GRASSMANN
V
K-spazio
vettoriale
,
new
V
finitamente
generati
il
sottospazio
M + W è
finitamente
generato
·
dim (M+
)
=
dim
U
dimW-dim
(UnW)
MOSTRAZIONE
·
Supponiamo
che Me W
Siamo
entrambi
BANA
·
dimU
= s dim
= t
dim UnW = h
h
Sit
·
Te
, ...
en]
base
di
costituiscono un sistema
indipendente
per
il teorema di
completamento
[ei... en]
sistema
indipendente
contenuto
in
ue w
= Se vettori
Mhm ,
.... MsEU :
B'
= [ei ... en
,
Mh+ 1
Ms]
BASE Di L
= t-h
Lettoni m
... we
EW
: B"
=
Le
... enim ...
Wt]
BAEDW
Dimostriamo che
B
=
Lei
... en
,
Mn+
...
Ms
, Whi
...
we] E Una base di Uth
Verifichiamo che B
genera
la
Somma
V +
consideriamo ne U+W
MEU
,
FreW :
N
=
M
Jdn ... as. B ...
Be EK
: M
=
deen +...
Cheh
2h + 1 Mh + 1
....
XsMs
W
=
Been
+... +
Bhen
Bh + 1 When
+...
B + +
V = M
+w
=
(i
Bi)ei
++
BENK
Verifichiamo
che
B
è indipendente
·
Siamo
....
th
1
San --
. Es
1
En
tek
:
+Sijw
= 0
(
L
↓
t
simj
=
Lei
I erar
t
j
= h
k
=h
I
L
a EW
Ex
, ...
/h
:
-Suji
=
instei
=
Poiché 'è indipendente
↓
n+ 1
=
=
Ss
Con
regionamento
analogo
si
prova
che
Eh
=...
=
Et
h
Dalla (*
segue
che
Vici
=
di
= 0 =
In
be indipendente
BE UNA
BASE
DI
UnW
e ...
en sono
base
F
dell'intersezione
La dimensione di UtW
è
l'ordine della
base B
dim (U +
W)
= h + (S -h)
(t
h)
=
S
+ t
h
=
dim V
dimk-dim
(UnW)
FORMULA DI GRASSMANN
SOMMA
DIRETTA
DI SOTTOSPAZI
V
K-spazio
Vettoriale
U
,
w
= V
def
UtW
E Somma
Diretta
FreUtW
f ! MEU e
FwEW :
v
=
M
+ W
(Vqw)
PROPOSIZIONE
CCARATTERIZZAZIONE DELLA SOMMA
DIRETTA
DI SOTTO
SPAZI)
SeMiwV
MOW UnW
=
Con
Criceversa)
DIMOSTRAZIONE
(D)
·
vt Unk
NEU
e NEW
·
Per assundo
sia
n
Ov NEUe-
NEW
·
= 0
N
(n)
Scritto
IN DUE Modi Distinti
EM
EN EM EW
(NON e
Possibile PERCHE
Uw)
DIMOSTRAZIONE
(E
NEUt
FMEU
eFrEW : V
=
M
+W
Supponiamo
cheFu -U
e
FrEW :
V
= n
= V
=
M+w
=
M + w
u
l'
= w
v
per
Hp
EM
=
EW
M-M' = 0 -
=
M
!
(SOMMA DE
w
w
=
U
W
MATRICI QUADRATE (m= m)
è
matrice Quadrata
se m= m
= AE Mm(k)
Si considera un vettore numerico
particolare
-> Diagonale
principale
↓
stessi
indici
* E
Mm(k) dove
(a
n ......
Qm. m)
è
diagonale principale
di
A
MATRICE DIAGONALE
a e
Matrice
diagonale
aij
=
Vitt
(
gli
unici
elementi diversi da
O
sono
quelli
situati sulla
diagonale
MATRICE TRIANGOLARE SUPERIORE O INFERIORE
At Mu(k)
·
A è Triangolare
Inferiore
(ii)
: i
<
j , ai
AE
M3(k) A
=
Q
gli
unici elementi non mulli
stanno
I
a
gi
I
al di sotto della
diagonale principale
Og
,
03
,
2
0313
·
A è Triangolare
superiore (i)
:
isj ,
ails
= o
(elementi
non mulli
al di
(
Sopra
della
diagonale
MATRICE SIMMETRICA
Mm(K)
se
A
= +A
Allora
e SIMMETRICA (
=
disj
=
Aji
Vi
, j
MATRICE ANTISIMMETRICA
Mm(k) se
A
=
-tA
Qij
=
Aji
Fij
MATRICE IDENTICA
Mm(k) / CAMPO
> ha l'elemento neutro
rispetto
alla
moltiplicazione
(1)
-m =
O
In =
(Sij)
=
Se l
~
I:
I
SIMBOW DI
E
0 SE
it)
KRONECKER
OPERAZIONI
Mmin(k]
·
Somma
Di
Matrici
Coperazione
interna)
AB EMminCk)
A
=
(ai
,
j)
B(bis)
<(i)
f
=
aij
bij
B
=
21 La Matrice NULLA
OGNI ELEMENTO
Mor(()A
(0)
I
I
c =
A +
B
=
(
I
E
L'ELEMENTO
Neutro
Ha il
suo opposto
+ COMMUTATIVA
XX
GRUPPO ABELIANO
·
prodotto
(operazione esterna)
[con
scalare]
XEk AE Mm
. m(k)
D
= X A A = (aij)
=
(dij)
J
dij
=
xaij
Mus(R) A =
(155) =
(
(Mmin(k)
,
)
e
Uno spazio lettorale
MOLTIPLICAZIONE TRA MATRICI (RIGHE
X COLONNE
·
AE
Mm
.
m(k) BE Mmis(k)
C
= A
.
B E
Mm
,
s(k)
At M 3 .
3 (IR)
A
=
1
%
I
B
=
(
I
C
=
AB
=
(1) e
MoR
BE M ,
2
(1)
j
1 x 2
0x
1x1 =
3
1x1 +
0x
0X1 = 1
⑧ 8
Se A
=
(aij) ,
B =
(bjn)
=
C
=
(in)
11 M
1 = h1S
1 j = N
Cinaijbjn
Il prodotto Tra Matrici
non è In Generale COMMUTATIVO
AEMa(R) BEMa(R)
le due matricisi
possumo
moltiplicare
A
=
(11)
B =
(
AB =
(
i-esima
riga
x
j-esima
colonna
MA
il
prodotto
tra
matrici
non
è
sempre possibile
nel caso di matrici
quadrate
è
sempre
possibile
MATRICI
A
SCALA 1211
-(02na)
oppure
dal
Matrice in cui
più
elementi sono
disposti
come
su dei
gradini
I
DEF
: Quando
gli
elementi sottostanti al
"PIOT"
sono
Uguali
a
0 0 1
"Pivot"
primi
elementi
non nulli delle
righe
OPERAZIONI
ELEMENTARI
SULLE
RIGHE DI UNA MATRICE
n (k)
Un'operazione
elementare sulle
righe
di A
è una
TRASFORMAZIONE
di uno
dei
seguenti tipi
:
Moltiplicare unaRiga Al per Uno scalare non
Nullo
Xi
j
- Scambiare Di
POSTO Due RIGHE
Ai
Aj
sostituire La RIGA As CON
La RIGA Ai
XAT
(XEk
, ifj)
LEF
: A,BEMmin(k) A
= B la
matrice B si ottiene da A mediante
un
numero finito di
operazioni
elementari
La relazione" =
"
è una
relazione
riflessiva
,
simmetrica
e
transitiva
e
pertanto
è una
relazione
di
equivalenta
.
DEFINIZIONE DI MATRICE A SCALA
AfMmim (k)
A
si dice
a Scala secondo le righe
se
sono verificate le
seguenti
condizioni
:
Se Aizo
,
allora
anche
Aitn
Fi
se
aijo e
aih
= 0
thj ,
allora
aith = 0
ESEMPIO
A =
121 sala B
=
1 I
I I I
NON SCALA
000
DETERMINANTE Di
UNA
MATRICE
08105/
MEN
,
k
campo
,
Mm(k)
Il determinante è
un'applicazione
se
verifica le
seguenti
proprietà
det
:
Mm(K)
k
- det (Im)
= 1
P(A)
<
m
=>
det(A)
= 0
- det (a) e' lineare sulle righe
SeA EMmin(k) allora Acij) si
chiamo.
Matrice
COMPLEMENTARE dell'elemento in
posizione inj
in
A
ESEMPIO
Lavoriamo
adesso
su AEMm(K)
, Aclij)
E
Men-1 , m-(K) e se
ragiano
sul det
Acij) ,
voglio
attribuire
un
segno
(-1)"dat A(iii)
ESEMPIO
(det Ci
Consider Ann
=
(10)
(-1) det (A
An
,
2
=
(20)(((
det (AG
, z)
=
Acris)
( v)
det
(Am , 3)
= 1
TEOREMA DI
ESISTENZA E UNICITÀ DEI
DETERMINANTI
FMEN 5 ! funzione determinante
Sviluppo di CAPLace Mediante La h-esima RIGA
Supponiamo
At Mmim(K) = dat
(A)
=
-1) ahij det (Achij)
FISSO La Riga hesira
A =
104
:
I
I
(iii)
Matrice complementare
( 1)
it
det (ACiti) è
detto
complemento algebrico
dell'elemento di
posto
ij
nella
matrice
f k [X
, ,. ..,
Xm]
polinomio
grado
(f)
= m
↑ (X
,
.
.. ,
Xm) =
O Equazione Algebrica di Grado m
Risolvere
un'equazione
di
questo
tipo
vuol dire determinare
una
n-upla
(
...
3n) : +( ...
3n)
= 0
fEk[x... xm]
grado(f)
Xm) = 0 Equazione
Uneare
f
= a ,
Xi +...
amXn
f
=
(X,
..
. Xm)
= 0 anxe
+...
+ auxm-b = 0
ax
+... + QuXu
=
b
SISTEMA
LINEATE
Un
sistema lineare dim
equazioni
din
incognite
è
un'espressione
del
tipo
annnX1 +...
Q
, mXm
=
br Se
b1 =
0
0211Xn
+... +
Q21mXm
=
b2 b2 = 0
1) SISTEMA
è OMOGENES
:
S
9 min
X 1 + ...
Olim Xm =
bu
·
bm = 0
I
Si
può
considerare
A = Q111---
anim
azin ...
Azim
I
am ...
am)
(
)
B =
(i)
AX
= B
E
X +
2y
(
3x +
y
z
= 0
X
y
2z
= 1
RICORDO
Rh-Rh-hij
R h =
, ...,
m
an
,
j
AEMu(k) A
Invertibile JA"EMmCK)
: A"
·
A
= In
AEMm(k) indichiamo XEMm(K)
la
matrice
incognita
A
X
= Im
I
AEMmCk)(on(
ESEMPIO
Rh-Rh-
DIVOT
( I
!
%
riduzione
a sal
A
1
202
R
toR2-fRi alla seconda
riga
cè
R
R3 +
2R
100
I
già
l'elemente
nullo
dunque
e ..
R
(
I
001 0
Vogliamo
annullar-E
2
R
Ri
3R3v
3/
R2 R
R
(
.(
O
T
~ SERVAZIONE
m sistema amogeneo
Poiché il
vettore
nullo
dipende
da
Ogni
sistema di vettori
, ogni
sistema
lineare
omogeneo
è
compatibile
NOTAZIONE
AX =
B sistema limeone.
C
=
[A
....,
An]
sistema del Vettori Colonna della Matrice A
R =
[Aj ....,
Am] sistema del lettori riga
della matrice A
C
= ...
sistema del
Vettori Colonna della Matrice Al
RI
=
boa
SISTEMADel lettori
Riga Della
Matrice
Al
Il
rango
della
matrice
A
p(A)
p(A)
TOREMA
DI ROUCHE
CAPELLI
Il sistema
lineare
Ax
= B è
compatibile
p(A)
=
p(A)
In
tal
caso si dice che
il
sistema lineare è
compatibile
di
rango
p(a)
=
p(A)
= k .
-Serat
E
Ax
= o
sistema
orogeneo Associato
ore
Una soluzione
del
sistema Ax
= R .
Allora
le
soluzioni
del sistema
Ax= B
sono
tutti
e
solii vettoni
numerici
del
tipo
E
dove
(
.....
(n)t è una soluzione del
sistema
lineare
amazene
associato
AX =
SISTEMI
DI CRAMER
(sistemi
quadrati)
Sia
AX = B dove
AtMm(k)
un sistema
quadrato
di ordine
n.
Se
A è
una matrice
invertibile
At GLm(k) =
il
sistema si dice di
CRAMER
IEOREMA
DI CRAMER
Sia AX = B
un sistema
di CRAMER allun
. tale sistema. è
compatibile
e ammette
un'unica
soluzione
E = (E ...
Ent
che
può
essere calculata, nel
seguente
modo
Vj
= 1
.... im
consideriamo
Fj
= (A ....,
A
,
B
,
Ash ,
... An)
allow
.
Ej
E =
(
-ROLLAR
MMCK)
ammette soluzioni non
bamali) det A
=
0
ESERCIZI
2x
4y
+ 6z
=
A
=
S
4x
5y
=
det A
=
2 (16)
6 x3)
=
6
7
3x +
y
2z
=
4 3 I
Cramer Il Sistema
E
COMPATIBILE E AMMETTE
UN
UNICA SOLUZIONE)
SOLUZIONE
: *
A =
( ·
B =
(i)
Fr = 18
(46)
F
E I
Er
det
Fi
=
det Fz = -12 dat F
=
Ec
==
L'unica soluzione del sistema e (
1
,
Es
=
DEFINIZIONE
Sia
AX
= B
un
sistema lineare
.
Se
p(A)
= mIn
,
si dice che il sistema
è
ridotto
in forma normale
-ROPOSON
lineare Ax =
B ridotto
informa
norvale
e
sempre
compatibile
DIMOSTRAZIONE
A)
= m
p(a)
ha
i righe
m =
p(A) p(A)
I
m
P(A)
p(A)
= m
He
m =
p(x)
