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Goniometria
SCHEDA DI APPROFONDIMENTO
La goniometria studia la misurazione degli angoli mettendoli in relazione con gli archi corrispondenti.
Infatti secondo un teorema della geometria esiste una pro- porzione diretta tra ampiezza di un angolo e lunghezza del relativo arco.
Angolo è la parte di piano delimitata da due semirette ( lati ) aventi la stessa origine ( vertice ).
Gli angoli sono indicati con lettere dell'alfabeto greco minu- scolo (α, β, γ ....) oppure con le lettere dei due lati (ab) o anche con le lettere di due punti sui lati separate dalla lettera del vertice (AOB).
In realtà due semi- rette con la stessa origine dividono il piano in due parti; quindi con la nota- zione AOB si può r e g i s t r a r e un'ambiguità. Essa scompare se usiamo la definizione di an- golo orientato.
Un angolo si dice orientato quando si sceglie un lato come origine e un senso di rotazione.
La rotazione oraria è positiva e ovviamente negativa è quella antioraria (vedi Nota bene ). Per designare un angolo orientato si indica prima il lato origine o il punto sul lato origine, in modo da chiarire il verso di rotazione, poi il vertice e l'altro lato (o il punto sull'altro lato).
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UNITÀ DI MISURA DEGLI ANGOLI
Radiante Il radiante è l'unità di misura prevista dal Sistema Interna- zionale (SI). Data una circonferenza, il radiante è l'ampiezza di un angolo sotteso da un arco di lunghezza pari al raggio. Il simbolo del radiante è rad. Un angolo giro viene misurato con il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo raggio R cioè
Analogamente l'ampiezza dell'angolo piatto è π rad, mentre quella dell'angolo retto è π/ 2 rad.
Oltre al radiante, nei diversi settori scientifici sono impiegate anche le seguenti unità di misura.
Grado sessagesimale Il grado sessagesimale è ampio 1/360 dell'angolo giro. Viene indicato dal simbolo °. Quindi con questa unità di misura l'angolo giro è ampio 360 °, l'angolo piatto 180 °, l'angolo retto 90 °. Sottomultipli del grado sessagesimale sono:
- il minuto di grado (') equivalente a 1 °/ 60 ;
- il secondo di grado ('') equivalente a 1 '/ 60. Un esempio di designazione in gradi sessagesimale e suoi sottomultipli: 55 ° 24 ' 32 ''.
Grado sessadecimale Il grado sessadecimale (termine ottenuto dalla fusione di sessagesimale e decimale ) è costituito dal grado sessagesimale per la parte intera e, separati dalla virgola, da sottomultipli decimali (decimi, centesimi, millesimi). Un esempio di designazione in gradi sessadecimali: 55,409°.
Grado centesimale Il grado centesimale ha un'ampiezza di 1/100 di angolo retto; i suoi sottomultipli, separati con la virgola dalla parte intera, sono espressi in decimi, centesimi e millesimi. Simbolo del grado centesimale è gon. In questa unità un angolo giro è ampio 400 gon, mentre l'angolo piatto è 200 gon. Un esempio di designazione in gradi centesimali: 61, gon.
nota bene In questa unità vengono presentati i concetti di goniometria e trigonometria indispensabili per affrontare lo studio della topografia. Per tale ragione anche le convenzioni adottate saranno funzionali agli impieghi topografici.
b
a α
B
A
O
B
A
+ O
B
A
O +
Angolo designato come AOB Angolo designato come BOA
B
A
O
B
A
O
Gli angoli orientati possono avere ampiezze maggiori di un angolo giro; per esempio nella figura a fianco l'angolo ab può essere conside- rato il frutto di due rotazioni complete più un angolo retto.
b
a
Goniometria e trigonometria
rad = 2 π rad = 6,28 rad 2 π R R
nota bene In ambito topografico si adotta la convenzione del verso orario come verso positivo; invece in matematica viene assunto come positivo il verso antiorario. Le due convenzioni hanno origini storiche ormai lontane; in topografia sulla convenzione oraria è basato il funzionamento di strumenti di misura. Comunque il diverso orientamento influisce solo sulla definizione delle funzioni goniometriche ma non sui loro valori o sulle altre relazioni.
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Unità
Radiante
Grado sessagesimale
Grado sessadecimale
Grado centesimale
Angolo giro 2 π rad
400 gon
Angolo piatto π rad
200 gon
Angolo retto π/2 rad
100 gon
Sottomultipli
mrad = 1/10^3 rad μrad = 1/10^6 rad 1’ = 1/60° 1’’= 1/60’ = 1/3600° 0,1° = 1/10° 0,01° = 1/100° cgon = 1/100 gon
Indicazione
5,1989 rad
330,9722 gon
CONVERSIONE TRA DIVERSE UNITÀ DI MISURA DEGLI ANGOLI
Dalle definizione delle diverse unità di misura si ricavano le seguenti proporzioni:
α° : 180 = α rad : π
α° : 90 = α gon : 100
α gon : 200 = α rad : π
Tramite queste proporzioni si possono convertire le misure da un'unità all'altra. Prima di eseguire conversioni dei gradi sessagesimali è sempre utile convertirli prima in gradi sessadecimali; a tale scopo si convertono in gradi i primi e i secondi con le formule riportate in tabella.
Formule
Esempio
Dal grado sessagesimale al grado sessadecimale
Grado sessadecimale
Formule
Esempio
Dal radiante al grado sessadecimale e al centesimale
Grado sessadecimale
α rad. 180/π = α°
π/3 rad convertito in gradi sessadecimali è π/3 rad. 180/π = 60°
Centesimale
α rad. 200/π = α gon
π/3 rad convertito in gradi centesimali è π/3 rad.^ 200/π = 66,66 gon
Formule
Esempio
Dal grado sessadecimale al centesimale e al radiante
Grado centesimale
α°. 10/9 = α gon
45 ° convertito in gradi centesimali è 45 °. 10/9 = π/50 gon
Radiante
α°.^ π/180 = α rad
45 ° convertito in radianti è 45 °.^ π/180 = π/4 rad
Formule
Esempio
Dal grado centesimale al sessadecimale e al radiante
Grado sessadecimale
α gon. 9/10 = α°
300 gon convertito in gradi sessadecimali è 300 gon. 9/10 = 270°
Radiante
α gon.^ π/200 = α rad
300 gon convertito in radianti è 300 gon.^ π/200 = 3/2 π rad
π/ π/ π/ π/ 5π/ π/ 7π/ 2π/ 3π/ 5π/ 11π/ π 13π/ 7π/ 5π/ 4π/ 17π/ 3π/ 19π/ 5π/ 7π/ 11π/ 23π/ 2 π
Confronto tra i valori di alcuni angoli nelle diverse unità
Grado sessadecimale
Grado centesimale Radiante
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FUNZIONI TANGENTE E COTANGENTE
In una circonferenza go- niometrica si traccia la tangente geometrica per il punto A, origine degli archi e degli angoli, e si trova T, intersezione con la prosecuzione del raggio OB. Il segmento AT è funzione dell'angolo α; questa funzione goni- metrica prende il nome di tangente.
Si chiama tangente di un angolo l'ascissa del punto d'intersezione tra la tangente geometrica alla circonfe- renza goniometrica nel punto di origine degli angoli e il lato terminale dell'angolo stesso.
A
y
R = 1 x
B α
O
C
T
La tangente di un angolo α viene indicata con tg α.
Osservando la figura si può notare che i triangoli OCB e OAT sono simili, pertanto tra i loro lati sussiste la proporzione
AT : CB = OA : OC
Sostituendo in essa le funzioni goniometriche già note si ha
tg α : sen α = 1 : cos α
e quindi
tg α = sen^ α
che è la seconda relazione fondamentale della goniometria.
cos α
Se nella precedente figura aggiungiamo la tangente geometrica per il punto D (estremo del primo quadrante), possiamo individuare il punto E su O T ( l a t o t e r m i n a l e dell'angolo α).
Il segmento DE è an- ch'esso funzione di α, ed è chiamato cotangente.
La cotangente di un angolo è l'ordinata del punto d'intersezione tra la tangente geometrica alla circonfe- renza goniometrica nell'estremo del primo quadrante e il lato terminale dell'angolo stesso.
La cotangente di un angolo α viene indicata con cotg α.
Osservando la figura si può notare che i triangoli ODE e OAT sono simili, pertanto tra i loro lati sussiste la proporzione:
DE : OA = OD : OT
Sostituendo in essa le funzioni goniometriche già note, si ha
memo Nella circonferenza goniometrica gli assi carte- siani dividono il piano in quattro quadranti , indicati come in figura a lato.
y
x 3 ° 2 °
4 ° 1 °
A
B α
T
E
y
R = 1 x O D
nota bene Anche le definizioni di tangente e cotangente sono legate alla convenzione dell'angolo orientato (verso orario positivo) e all'assunzione dell'asse y come origine. Laddove sono assunte convenzioni opposte (in ambito matematico) le definizioni delle funzioni sono invertite, senza che ciò influisca sui loro valori e sulle relazioni.
cotg α =^1 tg α cotg α =^ cos^ α sen α da cui
VARIAZIONE DELLE FUNZIONI TANGENTE E COTANGENTE
Studiando le variazioni di tangente e cotangente al variare dell'angolo α, si può notare che:
Volendo rappresentare graficamente le variazioni delle fun- zioni tangente e cotangente, su una coppia di assi cartesiani si possono riportare sull'asse x i valori degli angoli e sull'asse y i valori della funzione goniometrica. La curva che rappresenta la funzione tangente è chiamata tangentoide , mentre è detta cotangentoide quella della cotan- gente.
Dalle precedenti osserva- zioni e mediante relazio- ni con le funzioni seno e coseno, calcolare i va- lori delle funzioni tan- gente e cotangente di an- goli notevoli (v. tabella a fianco).
- per α = 0 ° ( 0 gon) si verifica che tg α = 0 cotg 0 ° = ± ∞∞
- per α = 90 ° ( 100 gon) si verifica che tg 90 ° = ± cotg 90 ° = 0
- per α = 180 ° ( 200 gon) si verifica che tg 180 ° = 0 cotg 180 ° = ±
- per α = 270 ° ( 300 gon) si verifica che tg 270 ° = ± cotg 270 ° = 0
- per α = 360 ° ( 400 gon) si verifica che tg 360 ° = 0 cotg 360 ° = ±
- per α > 360 ° ( 400 gon) si ripetono periodicamente gli stessi valori prece- denti, sempre compresi tra 0 e ±.
La funzione tg α coincide con la lunghezza del segmento AT; crescendo l'angolo, il segmento AT dal valore 0 aumenta con valori positivi fino all'angolo di 90° (qui ha un valore infinito, ), oltre il quale diviene negativo e tende al valore 0 quando α = 180°. Con analogo andamento la funzione tg α cresce con valori positivi fino a 270° (dove ha valore ) e di nuovo tende al valore 0 verso 360°.
y
O x
T 3 A T 1 T 2 B 1 B 2 B 3 B 4
T 4
y
x
O (^) D
E 1
B 1 B 2
B 3 B 4
E 2
E 3
E 4
Angolo Tangente 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 180 ° 270 ° 360 °
Cotangente ± 3 1 1/ 3 0 ± 0 ±
La funzione cotg α coincide con la lunghezza del segmento ED; quando α = 0, la funzione cotg α ha un valore positivo e infinito ( ). Essa diminuisce fino a 90° (dove ha valore 0) per poi aumentare con valori negativi fino a 180 ° (dove ha valore ); in seguito passa a valori positivi che tendono al valore 0 sui 270 ° e ancora negativi verso il valore a 360 °.
Angoli la cui differenza è 180 °
α e 180° + α
sen (180°+α) = – sen α cos (180°+α) = – cos α tg (180°+α) = tg α cotg (180°+α) = cotg α
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FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE
Le funzioni goniometriche inverse permettono di determinare l'angolo che ha un dato valore per una certa funzione gonio- metrica.
Per poter individuare il valore assunto dalla funzione inversa è necessario che l'angolo sia compreso entro un certo intervallo.
- Arcoseno
Arcoseno è l'angolo che presenta un determinato valore di seno.
Scrivendo y = arcsen x , intendiamo che y è l'angolo il cui seno è x, e quindi che x = sen y. Tra le due funzioni y = arcsen x e x = sen y c'è un rapporto biunivoco solo se l'angolo y è compreso tra – 90 ° e 90 ° ( – 90 ° y 90 ° ). Esempio: arcsen 1 = 90 ° in quanto sen 90 ° = 1
- Arcocoseno
Arcocoseno è l'angolo che presenta un determinato valore di coseno.
La funzione y = arccos x è in rapporto biunivoco con x = cos y solo se 0 ° y 180 °. Esempio: arccos 1 = 0 ° in quanto cos 0 ° = 1
- Arcotangente
Arcotangente è l'angolo che presenta un determinato valore di tangente.
La funzione y = arctg x è in rapporto biunivoco con x = tg y solo se – 90 ° y 90 °. Esempio: arctg 1 = 45 ° in quanto tg 45 ° = 1
- Arcocotangente
Arcocotangente è l'angolo che presenta un determinato valore di cotangente.
La funzione y = arccotg x è in rapporto biunivoco con x = cotg y solo se 0 ° y 180 °. Esempio: arccotg 0 = 90 ° in quanto cotg 90 ° = 0
FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ANGOLI ASSOCIATI
Sono detti angoli associati a un angolo α quegli angoli la cui somma o differenza con α abbia i seguenti valori: 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° e 360 °. I valori delle loro funzioni goniometriche sono ricavabili da quelle di α.
Angoli opposti (la cui somma è 0 ° )
α e –α sen (–α) = – sen α cos (–α) = cos α tg (–α) = – tg α cotg (–α) = – cotg α
Angoli complementari (la cui somma è 90 ° )
α e 90° – α
sen (90°–α) = cos α cos (90°–α) = sen α tg (90°–α) = cotg α cotg (90°–α) = tg α
y
x O
y
x O
α α
Angoli la cui differenza è 90 ° )
α e 90° + α
sen (90°+α) = cos α cos (90°+α) = – sen α tg (90°+α) = – cotg α cotg (90°+α) = – tg α
y
x O
α
Angoli supplementari (la cui somma è 180 ° )
α e 180° – α
sen (180°–α) = sen α cos (180°–α) = – cos α tg (180°–α) = – tg α cotg (180°–α) = – cotg α
y
O x
α
y
x O
α
α
5
0 °
90 ° 180 ° 270 ° 360 °
Tangentoide
x
y
0 °
90 ° 180 ° 270 ° 360 °
Cotangentoide
x
y
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- Problema 1
Determinare la lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo di cui è nota l'ipotenusa (25,32 m) e l'angolo α (35,4°).
Per trovare il lato a si applica la formula a = c.^ sen α, da cui si ricava
a = 25,32 m.^ sen 35,4° = 25,32 m.^ 0,579 = 14,66 m
Il lato b si ottiene con
b = 25,32 m.^ cos 35,4° = 25,32 m.^ 0,815 = 20,63 m
memo In un triangolo la somma degli angoli interni equivale a un angolo piatto (180° oppure 200 gon).
- Problema 3
Determinare la lunghezza della proiezione di un segmento AB su una retta che forma con esso un angolo di 30 °.
A'B' proiezione di AB sulla retta è uguale al segmento AC; pertanto
A'B' = AC = AB.^ cos 30 ° = AB.^ 0,
A
B
A' B'
C 30 °
TRIANGOLI SCALENI
Per risolvere i problemi sui triangoli scaleni (cioè con angoli qualsiasi) è sufficiente disporre dei risultati dei due teoremi seguenti.
Teorema dei seni
In un triangolo i lati e i seni degli angoli opposti hanno un rapporto costante, equivalente al diametro della circonferenza circoscritta.
a (^) = b (^) = c (^) = 2 R sen α sen β sen γ
Queste relazioni equivalgono a: a / b = sen α / sen β b / c = sen β / sen γ a / c = sen α / sen γ
- Problema 2
Determinare la lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo di cui è noto il cateto a (44,25 m) e l'angolo a esso opposto ( α = 60,52°).
L'ipotenusa c si ottiene con la formula c = a / sen α, da cui si ricava
c = 44,25 m / sen 60,52° = 44,25 m / 0,870 = 50,86 m
Il cateto b si ottiene con a = b.^ tg α, da cui b = a / tg α e quindi
b = 44,25 m / tg 60,52° = 44,25 m / 1,768 = 25,01 m
nota bene Per trovare i valori delle funzioni trigonometriche è sufficiente disporre di una calcolatrice scientifica.
Teorema di Carnot (o del coseno)
In un triangolo il quadrato di un lato equivale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell'angolo fra essi compreso.
a^2 = b^2 + c^2 – 2 b. c. cos α e analogamente b^2 = a^2 + c^2 – 2 a. c. cos β c^2 = a^2 + b^2 – 2 a. b. cos γ
È da notare che questo non è altro che il teorema di Pitagora generalizzato ; infatti, nel caso di un triangolo rettangolo, si ha che α = 90 ° e quindi a^2 = b^2 + c^2 – 2 b. c. cos 90 ° e, poiché cos 90 ° = 0, otteniamo la formula ben nota a^2 = b^2 + c^2
- Problema 4 Noti un lato e due angoli (a = 20 m; β = 30 °; γ = 70 °), determinare gli altri elementi del triangolo. Il valore di α si individua con α + β + γ = 180 °, dove si in- seriscono i valori noti e si ha
α = 180 ° – ( 30 ° + 70 °) = 80 °
Dal teorema dei seni sappiamo che b = a.^ sen β / sen α e quindi b = 20 m.^ sen 30 ° / sen 80 ° = 20 m.^ 0,5 / 0,984 = 10,16 m Con lo stesso teorema dei seni si ricava il lato c: c = 20 m.^ sen 70 ° / sen 80 ° = 20 m.^ 0,939 / 0,984 = 19,08 m
a
α b^ c
γ β
- Problema 5 Noti due lati e l'angolo fra essi compreso (a = 20 m; b = 50 ; γ = 40 °), determinare gli altri elementi del triangolo. Il lato c si trova con il teorema di Carnot e la sua formula c^2 = a^2 + b^2 – 2 a. b. cos γ, dove si inseriscono i valori noti e si ha c = 202 + 502 – 2.^ 20.^ 50.^ cos 40 ° = 37 m Dallo stesso teorema sappiamo che a^2 = b^2 + c^2 – 2 b. c. cos α da cui si ricava cos α = 2 b. c
b^2 + c^2 – a^2
quindi cos α = 0, e α = arccos 0,937 = 20 ° Infine si determina β = 180 ° – 20 ° – 40 ° = 120 °
a α
c
b
β γ
7
- Problema 8 Sono noti 4 lati e un angolo. Si divide il quadrilatero con la diagonale BD che non taglia l'angolo α noto. Si risolve il triangolo ABD di cui si co- noscono due lati e l'angolo compreso. Conoscendo ora la diagonale BD, si può risolvere anche il triangolo BCD. Sommando gli angoli in B e in D si defi- niscono tutti gli elementi del quadrilatero.
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- Problema 5
Noti due lati e un angolo opposto a uno di essi (b = 17 m; c = 24 ; γ = 45 °), determinare gli altri elementi di un triangolo.
Dal teorema dei seni si ha
Sostituendo i valori noti si ha
e quindi
β = arcsen 0,5 = 30 °
È da notare che gli angoli il cui seno è 0,5 sono due ( 30 ° e 150 °), ma solo il primo valore è accettabile; infatti, se fosse β = 150 °, la somma β + γ = 195 ° > 180 ° (valore inaccettabile per un triangolo).
L'angolo α si ricava da α = 180 ° – β – γ = 105 °.
Infine il lato a si ottiene ancora con il teorema dei seni, ovvero, con la formula a = b.^ sen α / sen β,
si ottiene
a = 17 m.^ sen 105 ° / sen 30 ° = 17 m.^ 0,966 / 0,5 = 32,84 m
a
α
c
b
β
γ
b sen β sen γ
= c sen β sen γb da cui = c
sen β = sen 45 °.^ 17 m / 24 m = 0,
- Problema 6
Noti i tre lati lati (a = 30 m; b= 40 ; c = 50 ), determinare gli altri elementi del triangolo.
C on il teorema di Carnot si ha
cos α = 2 b. c
b^2 + c^2 – a^2
cos β = 2 a. c
a^2 + c^2 – b^2
cos γ = 2 a. b
a^2 + b^2 – c^2 302 + 402 – 502
2.^ 30.^ 40
2.^ 30.^ 50
2.^ 40.^ 50
=^402 +^502 –^302
da cui
α = arccos 0,8 = 36,9°
β = arccos 0,6 = 53,1°
γ = arccos 0 = 90 °
Area del triangolo
Dalla formula geometrica S = b. h / 2 , espressa mediante le funzioni goniometriche, si hanno le seguenti formule basate su diversi elementi noti.
Noti due lati e l'angolo compreso (per es. b, c, α)
Noti due angoli e il lato compreso (per es. α, β, c)
FORMULE RELATIVE ALL'AREA DEL TRIANGOLO
S =
b. c. sen α 2
S =
c^2. sen α. sen β 2 sen(α + β)
Per il calcolo dell'area di un triangolo è anche nota dalla geometria la formula di Erone , che esprime l'area conoscendo i tre lati (a,b,c) e quindi anche il semiperimetro p, cioè
S = p.^ (p–a).^ (p–b).^ (p–c)
POLIGONI
Per risolvere i problemi sui poligoni bisogna scomporli in triangoli. Una proprietà importante a tal fine è la seguente:
la somma degli angoli interni (Σα) di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanto il numero di lati (n) diminuito di due.
Σα = (n– 2 ).^ 180 ° Nel caso di un quadrilatero la somma degli angoli interni è 360 °.
Per poter risolvere un poligono di n lati bisogna conoscere almeno ( 2 n – 3 ) elementi, dei quali almeno (n– 2 ) lati.
Quindi per risolvere un quadrilatero bisogna conoscere almeno 5 elementi tra cui un minimo di 2 lati. Vediamo come operare nel caso dei quadrilateri.
Quadrilateri
Nella divisione in due triangoli si sceglie la diagonale che permette di avere un triangolo risolvibile con gli elementi noti. Quindi si passa all'altro triangolo ora risolvibile con i nuovi elementi; infine si ricompongono elementi angolari parziali.
B
α
C
D A
- Problema 9 Sono noti 3 lati e 2 angoli tra loro opposti. Si divide il quadrilatero con la diagonale AC che non taglia i due angoli β e δ noti. Si risolve il triangolo ABC di cui si co- noscono due lati e l'angolo compreso. Conoscendo ora la diagonale AC, si può risolvere anche il triangolo ACD. Sommando gli angoli in A e in C si defi- niscono tutti gli elementi del quadrilatero. - Problema 10 Sono noti 2 lati e 3 angoli. Dagli angoli noti (α, β, γ) si ricava α = 360 ° – ( β + γ + δ) Si risolve il triangolo ABC di cui si co- noscono due lati e l'angolo compreso. I nuovi dati sono AC e gli angoli di ABC; con questi ultimi si ottengono per diffe- renza da α e γ gli angoli del triangolo ACD; quest'ultimo è ora risolvibile perché sono noti 3 angoli e un lato. 8
B β
C
D A
δ
B β
C
D A
δ
γ
QUADRILATERI
- Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 42,15 m, BC = 45,76 m, CD = 52,86 m, DA = 56,15 e β = 124,60°. Determinare gli elementi incogniti. [α = 71,71°; γ = 72,60°; δ = 91,09°]
TRIANGOLI RETTANGOLI
Trovare gli elementi incogniti di ABC sulla base di quelli noti: c = 20 β = 30 ° [α = 60 °; b = 10 ; a = 10 3 ] b = 10 c = 10 2 [a = 10 ; β = α = 45 °] b = 13 β = 30 ° [α = 60 °; a = 13 3 ; c = 26 ]
In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in C, sono dati l'ipotenusa c = 250 m e l'angolo β = 39 °; determinare il perimetro. [601,61 m]
In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in C, sono dati l'ipotenusa c = 41 m e l'angolo α = 64,35°; determinare l'area. [327,95 m^2 ]
In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in C, sono dati il cateto b = 88,75 m e l'angolo α = 32,78°; determinare le lunghezze delle proiezioni (p e q) dei cateti sull'ipotenusa. [p = 74,61 m; q = 30,94 m]
In un triangolo isoscele ABC sono noti la base BC = 20 cm e gli angoli alla base β = γ = 72 °; trovare il perimetro ( 2 p) e l'area (S). [ 2 p = 84,72 cm; S = 307,76 cm^2 ]
FORMULE GONIOMETRICHE
- Mediante le formule di addizione trovare il valore di: sen 75 ° (osservando che 75 ° = 30 ° + 45 °)
cos 105 °(osservando che 105 ° = 45 ° + 60 °)
- Mediante le formule di sottrazione trovare il valore di: cos 15 ° (osservando che 15 ° = 45 ° – 30 °)
tg 15 ° (osservando che 15 ° = 45 ° – 30 °)
Mediante le formule di duplicazione trovare il valore di cos 2 α: cos α = 3/4 con 0 ° < α < 90 ° [1/8] sen α = 1/4 con 0 ° < α < 90 ° [7/8]
Mediante le formule di bisezione trovare il valore di cos α/ 2 : cos α = 1/2 con 0 ° < α < 90 °
sen α = – 1
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TRIANGOLI SCALENI
Tramite il teorema dei seni verificare che gli elementi a = 200 , b = 160 , α = 78,8° e β = 51,7° sono lati e angoli di un triangolo.
Essendo noti a = 4 3 , b = 4 e γ = 30 °, determinare mediante il teorema di Carnot gli elementi incogniti del triangolo. [c = 4 ; α = 120 °; β = 30 °]
Essendo noti a = 3 , b = 1 e c = 2 , determinare mediante il teorema di Carnot gli elementi incogniti del triangolo. [α = 60 °; β = 30 °; γ = 90 °]
Essendo noti a = 2 , c = 6 – 2 , α = 75 °, determinare mediante il teorema dei seni gli elementi incogniti del triangolo. [b = 2 ; β = 75 °; γ = 30 °]
a
α b c
γ β
Del quadrilatero ABCD sono noti: AD = 197,14 m, CD = 374,65 m, α = 121,50° e β = 81,60°, γ = 68,33°. Determinare gli elementi incogniti. [δ = 88,57°; AB = 273,77 m; BC = 359,65 m]
Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 46,92 m, BC = 22,15 m, CD = 32,65 m, α = 114 ° e γ = 150 °. Determinare gli elementi incogniti. [AD = 12,11 m; β = 30 °; δ = 66 °]
B A
C
D
β (^) α
δ
γ
B
D C
A
α
γ
β
δ
B
C D
A (^) α
γ
β
δ
a
α c (^) b
β 90 °
A
B C
