Funzioni reali di due variabili reali - Complementi di Matematica A-E, Appunti di Diritto

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Funzioni reali di due variabili reali

Complementi di Matematica A-E

Luca Guerrini

E-mail: [email protected]

Introduzione

Nel corso di Matematica generale si studiano le funzioni reali di una variabile reale:

f : X ⊂ í → í, x → f (x), y = f (x),

con X il dominio della funzione (detto anche insieme di definizione o insieme di esistenza della funzione).

Nella realtà è però spesso difficile trovare processi nei quali esiste una sin- gola causa (la variabile indipendente x) ed un singolo effetto (la variabile dipendente y). Di conseguenza, tale nozione di funzione sembra essere troppo ristretta.

Per esempio, in un processo produttivo è improbabile che un bene prodot- to derivi da una singola materia prima, così come una malattia non è generalmente causata da un singolo agente ma da più fattori.

L’insieme í^2

Definizione

L’insieme í^2 è il prodotto cartesiano di í per se stesso 2 volte, ossia è l’insieme di tutte le coppie ordinate di numeri reali del tipo (x 1 , x 2 ), con xi ∈ í, i = 1 , 2 :

í^2 = í︸︷︷︸ × í 2 volte

(x 1 , x 2 ) ∈ í^2 : xi ∈ í, i = 1 , 2

La coppia (x 1 , x 2 ) si chiama vettore di componenti xi (i = 1 , 2) [notazione v = (x 1 , x 2 )], oppure punto di coordinate xi (i = 1 , 2) [notazione P = (x 1 , x 2 )].

Si usa talvolta la notazione matriciale (v come vettore colonna o vettore riga):

v =

[

x 1 x 2

]

oppure vT^ =

[

x 1 x 2

]

(dove T sta per trasposto).

Come notazione si usa anche (x, y), ossia si lavora con x 1 = x, x 2 = y.

Rappresentazione grafica dell’insieme ín

In generale, si parlerà di insieme delle n-ple di numeri reali. In simboli, ín^ = í︸ ×︷︷ ... × í︸ n volte

= {(x 1 , x 2 , ..., xn) ∈ ín^ : xi ∈ í, i = 1 , 2 , ..., n}.

I vettori con 1, 2 o 3 componenti si possono rappresentare geometricamente, rispettivamente, su una retta í, nel piano cartesiano í^2 , nello spazio cartesiano a tre dimensioni í^3. Per n ≥ 4 non è più possibile una rappresentazione di tipo geometrico.

• í
  • í^2

6

• í^3

6

Combinazione lineare di vettori

Le operazioni di somma di vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare consentono di introdurre la nozione di combinazione lineare di vettori.

Definizione

Siano v^1 , v^2 , ..., vk^ ∈ í^2 e a 1 , a 2 , ..., ak ∈ í. Il vettore di í^2 dato da

v = a 1 v^1 + a 2 v^2 + ... + akvk^ =

∑^ k

i= 1

aivi

si dice combinazione lineare dei vettori v^1 , v^2 , ..., vk^ con coefficienti a 1 , a 2 , ..., ak.

Un qualsiasi vettore di í^2 è combinazione lineare dei vettori fondamentali ei (i = 1 , 2) [ricordo e^1 = (1, 0) ed e^2 = (0, 1)]:

(x 1 , x 2 ) = x 1 e^1 + x 2 e^2 =

∑^2

i= 1

xiei.

Prodotto scalare di due vettori

Definizione

Siano u = (u 1 , u 2 ), v = (v 1 , v 2 ) ∈ í^2. Si dice prodotto scalare (o prodotto inter- no) di u e v il numero reale, denotato con u · v, ottenuto moltiplicando ogni componente del primo vettore per la corrispondente componente del secondo vettore e sommando tra di loro i vari prodotti così ottenuti:

u · v = u 1 v 1 + u 2 v 2 =

∑^2

i= 1

uivi.

Come notazione per il prodotto scalare si usano anche < u, v >, (u|v).

Definizione

Due vettori non nulli si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è zero.

Definizione

Lo spazio vettoriale í^2 munito del prodotto scalare si chiama spazio euclideo.

Distanza tra due vettori

Definizione

Siano u = (u 1 , u 2 ), v = (v 1 , v 2 ) ∈ í^2. Si definisce distanza di u da v il numero reale non negativo, indicato con d(u, v), definito dalla norma della differenza di u e v :

d(u, v) = ||u − v|| =

(u 1 − v 1 )^2 + (u 2 − v 2 )^2

∑^2

i= 1

(ui − vi)^2.

Attraverso la norma possiamo quindi dare la nozione di distanza tra punti di í^2 , la quale ci consentirà di dare con buona precisione la nozione di vicinanza o meno tra due punti.

Definizione

Lo spazio euclideo í^2 munito della norma si dice spazio metrico.

Esercizi con prodotto scalare e norma

Esercizio

Determinare il prodotto scalare tra i vettori u = (1, 3 , −4) e v = (2, − 1 , 3).

u · v = 1 · 2 + 3 · (−1) + (−4) · 3 = − 13

Esercizio

Determinare le lunghezze dei vettori u = (2, 1 , 3) e v = (4, − 2 , 0) e la distanza d(u, v).

La norma di u è ||u|| =

La norma di v è ||v|| =

42 + (−2)^2 + 02 =

La distanza tra u e v è d(u, v) = ||u − v|| =

(2 − 4)^2 + [1 − (−2)]^2 + (3 − 0)^2 =

Relazioni tra punto ed insieme

Una volta introdotto il concetto di intorno è possibile precisare la diversa ”na- tura” e ”posizione” di un punto relativamente ad un dato insieme.

Definizione

Dati un insieme X ⊂ í^2 ed un punto P 0 ∈ í^2 si dice che

(^1) P 0 è interno ad X se esiste un intorno I(P 0 , r) ⊂ X, ossia se esiste un intorno di P 0 tutto contenuto in X. (^2) P è esterno ad X se esiste un intorno I(P 0 , r) ∩ X = ∅, ossia se esiste un intorno di P 0 che non contiene alcun punto di X. (^3) P 0 è di frontiera per X se non è né interno né esterno ad X, ossia se in un ogni intorno di P 0 esistono si punti di X che punti che non appartengono ad X. (^4) P 0 è di accumulazione per X quando in ogni suo intorno esiste un punto di X diverso da P 0 , ossia in ogni suo intorno cadono infiniti punti di X.

Si osservi che un punto interno è necessariamente di accumulazione.

ESEMPIO

X •^ P^0

• P 1

• P 2

P 0 punto interno P 1 punto esterno P 2 punto di frontiera

Funzione reale di due variabili reali

Definizione

Una funzione reale di due variabili reali

f : X ⊂ í^2 → í, (x, y) → f (x, y), z = f (x, y)

è una legge che associa ad ogni punto (x, y) del sottoinsieme X di í^2 uno ed un solo numero reale f (x, y). L’insieme X si chiama il dominio o insieme di definizione o insieme di esistenza della funzione. Le variabili x e y sono le variabili indipendenti, mentre la z assume il significato di variabile dipendente.

Altra notazione usata è:

f : X ⊂ í^2 → í, (x 1 , x 2 ) → f (x 1 , x 2 ).

Dominio di una funzione reale di due variabili reali

Per una funzione di due variabili reali rappresentata analiticamente dalla formula z = f (x, y) si pone il problema di determinarne il dominio, ossia la totalità delle coppie ordinate di numeri reali (x, y) in corrispondenza alle quali z assume valori reali.

Nel caso di funzioni di una variabile reale y = f (x), il dominio risulta essere un sottoinsieme di í.

Esempio: f (x) =

4 − x^2 ha dominio dato da − 2 ≤ x ≤ 2, ossia è l’inter- vallo [− 2 , 2] ⊂ í.

Nel caso di funzioni di due variabili reali z = f (x, y), la determinazione del dominio può essere impostata in modo analogo al caso delle funzioni di una variabile reale. La differenza è che il dominio è ora un sottoinsieme di í^2 e di conseguenza la sua determinazione risulta ben più complicata.

Grafico di una funzione reale di una variabile reale

Per rappresentare graficamente una funzione occorrono tanti assi (carte- siani) quante sono le variabili coinvolte.

Nel caso di funzioni reali di una variabile reale, y = f (x), occorrono quindi due assi cartesiani:

uno delle ordinate per la variabile dipendente y e l’altro delle ascisse per l’unica variabile indipendente x.

L’uso di due assi dà luogo al piano cartesiano í^2.

Il grafico della funzione y = f (x) di dominio X ⊂ í è l’insieme

G =

(x, y) ∈ í^2 : x ∈ X, y = f (x)

(x, f (x)) ∈ í^2 , x ∈ X

⊂ í^2

Tale insieme individua una curva nel piano cartesiano í^2.

Grafico di una funzione di due variabili reali

Nel caso di funzioni reali di due variabili reali, z = f (x, y), occorrono invece tre assi cartesiani:

un asse per la variabile dipendente z ed altri due assi per le variabili indipendenti x, y.

L’uso di tre assi dà luogo allo spazio tridimensionale í^3.

Il grafico della funzione z = f (x, y) di dominio X ⊂ í^2 è l’insieme

G =

(x, y, z) ∈ í^3 : (x, y) ∈ X, z = f (x, y)

(x, y, f (x, y)) ∈ í^3 , (x, y) ∈ X

⊂ í^3

Tale insieme individua una superficie nello spazio tridimensionale í^3. La rappresentazione grafica delle funzioni di due variabili è dunque molto più complicata di quella per le funzioni di una variabile.