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PROBLEMI IN MATEMATICA
● Problem solving La risoluzione di problemi è tra le attività cognitive più complesse. Se immaginiamo, quindi, di riordinare le attività cognitive in base alla loro difficoltà in scala crescente (da quelle più complesse a quelle meno complesse) a sinistra possiamo collocare la memorizzazione di conoscenze semplici, ovvero quelle attività che non richiedono un particolare sforzo cognitivo; mentre all’estrema destra di questo schema troviamo la risoluzione di problemi: questa attività, infatti, richiede la padronanza e ricchezza di conoscenze di base, una certa iniziativa intellettuale, la presa di decisioni, ovvero la messa in atto di un pensiero di tipo strategico, la comprensione della situazione problematica e di un eventuale testo o rappresentazione che l’accompagna e la messa in gioco della creatività per poter arrivare alla soluzione. Tutte queste abilità che sono implicate nel problem solving richiedono un certo grado di autonomia e di iniziativa e di creatività, ma si ritiene che siano, anche, sviluppabili tramite l’insegnamento; infatti le si riscontrano nelle Indicazioni Nazionali: “ Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi , che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola. Gradualmente, stimolato dalla guida dell’insegnante e dalla discussione con i pari, l’alunno imparerà ad affrontare con fiducia e determinazione situazioni problematiche, rappresentandole in diversi modi, conducendo le esplorazioni opportune, dedicando il tempo necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che s’intende trovare, congetturando soluzioni e risultati, individuando possibili strategie risolutive.» (Indicazioni Nazionali, 2012, p.60)” In questo passaggio notiamo come la risoluzione di problemi è una caratteristica della pratica della matematica; l’importanza dei problemi è legata ad una certa tipologia che l’insegnante dovrebbe proporre ai suoi studenti, ovvero le “questioni autentiche e significative”; infine notiamo che la risoluzione di problemi è un processo complesso e questa complessità la si riscontra nel modo in cui tutto questo viene spiegato all’interno delle Indicazioni Nazionali, l’insegnante deve stimolare la discussione con i pari, deve stimolare la rappresentazione, l'esplorazione, ovvero attività che richiedono un certo tempo e un certo sforzo cognitivo. A partire da queste prime considerazioni, ci occuperemo di risoluzione di problemi matematici partendo da alcuni risultati molto importanti nel campo della Didattica della Matematica. In particolare, partiremo dagli studi del matematico ungherese George Polya, vissuto nello scorso secolo, che ha unito gli interessi di ricerca in matematica, anche in natura didattica, sostenuti dalla sua notevole sensibilità ed intuizione; in particolare Polya ha organizzato alcune di queste intuizioni e didattiche in un volume intitolato “ How to solve it ” a cui sono poi seguiti altri testi. In questo libro Polya si pone l’obiettivo didattico di insegnare a risolvere i problemi di matematica, attraverso l’analisi dei processi attuati da “un bravo risolutore”. Citiamo questo lavoro, in particolare, in quanto ha avuto un grande impatto per quanto riguarda la ricerca sul problem solving nell’educazione matematica; a partire dal lavoro di Polya si sviluppa la convinzione che i bravi risolutori possiedano non solo un buon bagaglio di conoscenze, ma anche un repertorio di strategie euristiche, tutto ciò in accordo con le scoperte avvenute in campo psicologico. Gli studi di Polya verrà successivamente ripreso ed ampliato da altri ricercatori di Didattica della Matematica, tra cui si ricorda Alan
Schoenfeld che pone l’attenzione non solo sulla conoscenza di euristiche, ma anche sulle risorse metacognitive che sono implicate nello studio del problem solving matematico. In questa immagine è possibile osservare il modello di Polya, in quale è caratterizzato da quattro fasi del processo di risoluzione di problemi: comprendere il problema, elaborare un piano, eseguirlo, controllare la soluzione per poi estenderla ad altri risultati. Le tappe indicate nel modello possono costituire una traccia utile per la gestione del processo di risoluzione a livello metacognitivo. Nella prima fase “comprendere il problema”, ad esempio, ci dobbiamo interrogare su che cosa dobbiamo trovare, utilizzando diverse strategie come: leggere il problema a voce alta, riformularlo con proprie parole, se occorre disegnare (una figura, una situazione…) e dire/esplicitare che cosa si deve trovare. La seconda parte del processo è l’elaborazione di un piano, ovvero è necessario elaborare una strategia di risoluzione; quindi la domanda che ci dobbiamo porre è “quale piano può funzionare per questo problema?” e anche in questo caso vi sono diverse modalità: immergersi nel problema, cercare nelle proprie conoscenze ed esperienze precedenti situazioni simili, organizzare i dati in tabella, disegnare delle figure, cercare di trovare una regolarità, risolvere un problema simile ma più facile, passare da rappresentazioni date ad altre rappresentazioni (es. dati del grafico, ecc.), pensare a più strategie possibili, ecc. tutto questo insieme di processi che è possibile mettere in atto per elaborare un piano prendono il nome di “euristiche”, ovvero strategie per la risoluzione di un problema. Man mano che si risolvono problemi nella propria vita scolastica, le euristiche aumentano: una delle possibili difficoltà può essere la loro gestione, ovvero scegliere la strategia più adatta al problema che si incontra; l’esperienza aiuta, ma può anche essere fuorviante (per esempio come effetto negativo del contratto didattico). La terza fase del piano di Polya prevede l’esecuzione del piano. In questo caso ci dobbiamo domandare se il piano elaborato funziona per il problema analizzato, attraverso: l’osservazione dei dati raccolti ed elaborarli (con calcoli…), trarre delle conseguenze dalla figura disegnata, esprimere una regolarità in simboli algebrici, scegliere una delle strategie elaborate, ecc. quindi fare uso delle vie euristiche per mettere in atto il piano. L’ultima fase del modello di Polya prevede la revisione dei piano utilizzato per la soluzione, ovvero equivale a chiedersi se il piano elaborato ha portato ad una soluzione sensata: la soluzione ha un senso, nel problema? Ho fatto errori di calcolo? Ho usato tutte le informazioni presenti nel problema? Posso arrivare alla stessa soluzione con un altro metodo? Posso usare la soluzione o il metodo per altri problemi? Il modello di Polya ha influenzato notevolmente la ricerca sul problem-solving per molti anni e alcuni curricoli di matematica. Nonostante queste, alcune ricerche hanno mostrato anche dei limiti: in particolare, si è notato che i bravi risolutori di problemi alternano processi di anticipazione (non presenti nel modello) ad altri di elaborazione di un piano e controllo in cicli reiterati con successivi raffinamenti e ritorni; in altre parole la linearità non è stata riscontrata concretamente nel modello. Un ricercatore, A. Schoelfeld, espande il lavoro di Polya ed identifica le componenti di conoscenza e di comportamento per risolvere i problemi. Il suo modello prevede 4 parti. Per risorse si intende l’insieme delle conoscenze matematiche potenzialmente accessibili al solutore, includendo: intuizioni e conoscenza informale sull’ambito; fatti matematici noti (relazioni, teoremi…); procedure algoritmiche; procedure non algoritmiche ma di routine e conoscenza sulle regole implicite dell’ambito (utilizzo di determinati sistemi di rappresentazione e di calcolo).
risultati e dall’altro un’effettiva ricostruzione della situazione problematica, infatti se ci si interroga sul senso/significato della domanda posta, nel caso dell’esempio, è possibile notare che non è possibile fornire una risposta. Nell’ampia letteratura che ha discusso su questo problema notiamo che vi sono alcuni bambini che combinano i dati a caso (ad esempio moltiplicando 12 e 6), altre risposte denotano, invece, che spesso i bambini cercano comunque di dare una coerenza al tipo di soluzione che stanno fornendo. Alla domanda “ ma come hai ragionato? ” una risposta abbastanza diffusa è “ il pastore ha 18 anni perchè da quando è nato gli regalano un animale ” (12+6), ovvero il bambino ha costruito una storia per dare significato valevole alla sua risposta. Altro esempio molto simile a quello appena visto è: In un prato ci sono 20 pecore, 7 capre e 2 cani. Quanti anni ha il pastore? Uno studente ha risposto: “Ho fatto un ragionamento particolare: il pastore se ha due cani per così poche bestie uno dei due cani fore serve perché è non vedente. Quindi deduco che abbia sui 70-76 anni” → in questo caso in cui il problema è sostanzialmente dal punto di vista logico equivalente a quello precedente non lo è sotto quello narrativo. I risultati delle molte ricerche su questo tipo di problemi hanno portato a coniare l’espressione: “Effetto età del capitano” : gli alunni calcolano la risposta di un problema, anche se il problema non ha una soluzione numerica; per gli studenti i dati numerici presenti nel testo vanno presi tutti, magari una sola volta e possibilmente nell’ordine in cui compaiono. Vi sono diversi studi su problemi con dati insufficienti o contraddittori: queste sono molto interessanti, in quanto osservano i diversi comportamenti degli allievi in queste situazioni. Ci chiediamo quindi come mai avviene tutto ciò, che cosa spinge degli studenti a fornire delle risposte in problemi in cui non è possibile alcuna soluzione. Riprendiamo, quindi, l’importanza giocata dal ruolo delle convinzioni nella risoluzione di problemi in matematica; citando A. Schoenfeld, avevamo visto che il modo in cui si affronta un problema di matematica dipende anche dalle convinzioni che si hanno (sistema di credenze o beliefs). Queste convinzioni possono essere su: l’attività didattica in classe (contratto didattico), la matematica (visione della disciplina) e cosa si fa in matematica e i problemi di matematica. Cerchiamo di fornire una spiegazione riguardo l’effetto età del capitano partendo dal contratto didattico. Una situazione del genere contrasta con le attese dell’alunno, con le sue abitudini: se l’insegnante non ha mai dato problemi senza soluzione, i bambini possono aver introdotto implicitamente nel contratto didattico la clausola “ se l’insegnante dà un problema questo certamente deve avere una risposta ”. Allora, anche se l’alunno si rendesse conto dell’assurdità del problema, per poter rispondere che questo non ha soluzione dovrebbe farsi carico della rottura del contratto, entrando in contrasto con le loro attese, le abitudini e le clausole implicite; invece, per non assumere su di sé la responsabilità della rottura del contratto gli studenti danno lo stesso una risposta. Guy Brousseau, didattico della matematica francese che ha contribuito alla ricerca con la sua teoria delle situazioni didattiche, descrive le complesse relazioni tra insegnante e alunno che abbiamo appena visto con il costrutto teorico del “contratto didattico”: a differenza del contratto pedagogico che contiene i diritti e i doveri dei docenti e studenti, il contratto didattico pone al centro le aspettative, spesso implicite, che la situazione didattica pongono al docente e allo studente ( → il contratto didattico è un costrutto teorico che tiene conto della situazione didattica in cui l’allievo è immerso e sa di essere immerso). Brousseau (1986) afferma: “ In una situazione di insegnamento, preparata e realizzata da un insegnante, l’allievo ha generalmente come compito di risolvere il problema che gli è presentato, ma l’accesso a questo compito si fa attraverso un’interpretazione delle domande poste, delle informazioni fornite, degli obblighi imposti che sono costanti del modo di insegnare del maestro. Queste abitudini (specifiche) del maestro attese dall’allievo e i comportamenti dell’allievo attesi dal docente costituiscono il contratto didattico ”. L’insegnante e l’allievo stabiliscono le “attese” (spesso implicitamente) attraverso l’abitudine a un certo tipo di lavoro in classe e a un certo stimolo. Spesso queste attese non sono dovute ad accordi espliciti, imposti dalla scuola o dagli insegnanti o concordati con gli allievi, ma alla concezione della scuola, della matematica, alla ripetizione di modalità (ad esempio: supponiamo che un insegnante sia solito a dedicare la prima ora del martedì ad alcune interrogazioni, se l’esercizio sarà svolto correttamente dal bambino il docente segnerà una valutazione positiva sul proprio registro, se avviene il contrario segnerà una valutazione negativa → questo è tutto chiaro e l’insegnante non si metterà a spiegare ogni martedì quello che andrà a fare, il contratto didattico). Attraverso queste “attese” implicite e/o esplicite vengono determinati i ruoli rispettivi dell’allievo e dell’insegnante in classe in relazione al sapere. Tuttavia le clausole del contratto didattico si stabiliscono, cambiano, si rompono e si rinnovano durante tutto il processo di insegnamento-apprendimento. Non si presentano sotto una forma unica e immutabile nel tempo, anzi sono il frutto di
una negoziazione che si rinnova; poiché, come abbiamo visto, il contratto influenza molti dei comportamenti dell’allievo, l’insegnante non può non tenerne conto. Vi sono diversi tipi di clausole del contratto didattico:
- Clausole buone → che danno effetti positivi al contratto didattico e sono, quindi, da ESPLICITARE e RIBADIRE durante tutto il processo di apprendimento. Ad esempio: l’insegnante che abitua i propri allievi a spiegare perché, ad argomentare le loro risposte, instaura, quindi, una buona regola che favorisce l’apprendimento della matematica perché stimola la riflessione e il controllo dell’allievo sul proprio apprendimento.
- Clausole nocive → le quali sono da INDIVIDUARE e ROMPERE. Ad esempio: l’insegnante che abitua i propri allievi a risolvere sempre il problema usando i dati e facendo calcoli, non stimolando la riflessione e il controllo dell’alunno sul proprio apprendimento. Molto spesso gli allievi svolgono le attività matematiche cercando di soddisfare le attese degli insegnanti, piuttosto che la propria curiosità intellettuale, quello che accade è che un buon numero di studenti scolasticamente ben adattati ha successo, compreso all’Università, imparando a decodificare i termini del contratto didattico e conformandosi ad esso più che imparando realmente la matematica. A causa dei forti effetti del contratto didattico, non è facile costruire situazioni d’apprendimento in cui possiamo affermare con sicurezza che il successo degli studenti implichi un reale impegno matematico. Vediamo ora un esempio legato alla ripetizione delle modalità sociali: per tre lunedì consecutivi, l’insegnante di matematica fa svolgere esercizi alla lavagna; da quel punto in poi l’allievo da che ogni lunedì sarà così → una modifica al programma atteso genera sorpresa, perché vi è un’aspettativa nei confronti di quello che accadrà ogni lunedì. Lo stesso vale, per esempio, quanto all’attesa del programma possibile nel corso di un’interrogazione: se l’insegnante ha sempre e solo fatto domande sul programma svolto nelle ultime lezioni, non può, a detta dello studente, fare domande si argomenti oggetto di lezioni passate. Vediamo ora, invece, un esempio legato alla concezione della scuola: l’allievo ritiene che la scuola sia direttiva ed esclusivamente valutativa; quindi anche se l’insegnante chiede all'allievo di scrivere liberamente quello che pensa, per esempio sulle altezze di un triangolo, l’allievo ritiene di doverlo fare con un linguaggio il più possibile rigoroso perché suppone che sotto quella richiesta vi sia comunque una prova, un controllo. Dunque non scriverà affatto liberamente, ma cercherà di dare la definizione che ritiene essere quella corretta, cioè quella che ritiene essere attesa dall’insegnante. L’allievo farà uso di un linguaggio laconico e con sintassi involuta, che tenderà ad avere come modello quello del libro di testo o dell’insegnante a lezione, quando essa si riduce ad una ripetizione di enunciati, definizioni, regole (tenta così di raggiungere l’approvazione da parte dell’insegnante o una valutazione positiva, andando però incontro a possibili miscugli di formule, parole e dati senza senso → espressioni prive di significato). Un terzo esempio, legato alla concezione della matematica: lo studente ritiene che in matematica si devono fare dei calcoli; per cui anche se la risposta alla domanda posta in un problema potrebbe essere data solo rispondendo a parole, lo studente è a disagio e tende a far uso dei dati numerici presenti nel testo del problema, per dare comunque una risposta formale, usando qualche operazione, anche se scelte a caso. Sono stati ampiamente documentati casi di allievi che, pur di produrre calcoli, scrivono operazioni senza senso, slegate dalle richieste del problema, ma che hanno come operatori i dati numerici presenti nel testo. Facciamo ora un esempio, partendo da un problema che è stato sottoposto da Schoenfeld (1987) ad un gruppo di 45. studenti quindicenni negli Stati Uniti d’America. Il testo è: Un bus dell’esercito trasporta 36 soldati. Se 1128 soldati devono essere trasportati in bus al campo d’addestramento, quanti bus devono essere usati? Il problema può essere tranquillamente risolto svolgendo la divisione 1128 : 36 = 31,333… Di tutti questi studenti, Schoenfeld ha osservato che solo un quarto (23%) è riuscito a dare la risposta attesa: 32. Anche se il 70% svolge correttamente la divisione, il 9% risponde “31 con resto 12”, il 18% “31” e il 23% “32 (numero intero di bus per trasportare tutti i soldati)”. Come possiamo interpretare questo fenomeno? Lo studente legge il testo, decide l’operazione da effettuare, quali numeri utilizzare scegliendo tra quelli del testo ed infine scatta una clausola di delega formale, ovvero dopo aver svolto il conto non tocca più allo studente ragionare, la clausola fa sì che vengano disimpegnate le facoltà razionali, cioè quelle che si occupano del controllo. Ora tocca all’algoritmo, alla macchina dire qual è il risultato, l’unico lavoro dello studente è quello di trascrizione della soluzione, senza tener conto del significato nel contesto matematico. Questo problema, invece, è discusso da Bruno D’Amore: I 18 allievi della classe seconda C vogliono fare una gita scolastica di un giorno da Bologna a Verona. Devono tener conto dei seguenti dati:
- due di essi non possono pagare;
- da Bologna a Verona ci sono 120 km;
- Valutazione dell’obiettivo → è alla base della motivazione a raggiungere lo scopo e che fa nascere il problema;
- Valutazione del problema (dopo che questo è sorto) → è legata alla motivazione a risolvere il problema. A livello scolastico, in genere, si concentra l’attenzione tutt’al più sul secondo momento, ovvero sulle modalità di valutazione e risoluzione del problema, ma tanti comportamenti “patologici” sono da ricondurre al fatto che manca il primo tipo di motivazione, quella che fa nascere il problema. Normalmente ci si interroga poco sul fatto che gli scopi e gli obiettivi, che gli studenti e gli insegnanti hanno, potrebbero essere diversi; data la centralità che questi scopi giocano all’interno del processo di risoluzione dei problemi questo aspetto potrebbe costituire un ostacolo nel processo di comprensione-risoluzione del problema. Di conseguenza, è importante porsi questa domanda: l’obiettivo pensato dal soggetto che pone il problema (che a volte non è nemmeno quello dichiarato esplicitamente) è condiviso da chi deve risolvere il problema? → questo può generare incomprensioni e comportamenti patologici. Un’altra caratterizzazione di problema viene da Polya (1945), il quale sottolinea l’importanza dei problemi in quanto attività più specifica del genere umano. Egli afferma: “ Risolvere problemi significa trovare una strada per uscire da una difficoltà, una strada per aggirare l’ostacolo, per raggiungere uno scopo che non sia immediatamente raggiungibile. Risolvere problemi è un’impresa specifica dell’intelligenza e l’intelligenza è il dono specifico del genere umano: si può considerare il risolvere problemi come l’attività più specifica del genere umano. ” → Polya si riferisce, in altri lavori, all’importanza giocata dal problem solving proprio nella pratica matematica. Facciamo ora una distinzione legata maggiormente al campo matematico:
- Esercizio → la risoluzione prevede che si debbano utilizzare regole e procedure già apprese (eventualmente in corso di consolidamento) → il comportamento che viene attivato è automatico (regole già conosciute che bisogna solamente applicare).
- Problema → la risoluzione prevede che si debbano utilizzare regole o procedure che non sono ancora pienamente bagaglio cognitivo del solutore → è coinvolto un comportamento di tipo strategico, ovvero si devono fare delle scelte e valutare un obiettivo per poterlo poi raggiungere. Discutiamo le formulazioni di situazioni che contengono una richiesta, che non nascono all’interno di un contesto matematico ma ci aiutano a comprendere maggiormente la differenza tra problema ed esercizio:
- Esco di casa per andare a scuola: cosa faccio? → si tratta di un ESERCIZIO, in quanto contiene una serie di azioni di routine che bisogna compiere per andare a scuola; - Torno a casa e mi accorgo di non avere le chiavi: cosa faccio? → questo, a differenza del precedente, è un PROBLEMA, perché bisogna mettere in atto delle strategie per superare l’ostacolo dato dalla situazione e raggiungere l’obiettivo (entrare in casa); - Esco di casa per andare a scuola: cosa faccio? Ho appena cambiato città ed è la prima volta che mi reco a scuola. → se ci troviamo in questa situazione siamo di fronte ad un PROBLEMA, in quanto non sappiamo come raggiungere la scuola; - Torno a casa e mi accorgo di non avere le chiavi: cosa faccio? Ho i genitori che abitano accanto ed hanno una copia delle chiavi. → questa situazione, sotto alcuni aspetti, è simile alla seconda, ma presenta alcune differenze come la presenza dei genitori per poter reperire la copia di chiavi. Di conseguenza in questo caso ci troviamo di fronte ad un ESERCIZIO, perché non vi è alcuno scoglio da superare. Quindi il fatto che una situazione sia di routine (esercizio) o problematica non è in modo assoluto un dato oggettivo legato alla situazione, bensì dipende da chi deve risolvere la situazione, ovvero le condizioni che il soggetto, in una certa situazione, possiede. Nel caso dell’esercizio la funzione per l’insegnante è quella di un consolidamento di conoscenze ed abilità: l’esercizio viene somministrato tutte quelle volte in cui vi è un’abilità che è stata appresa e la si vuole consolidare più profondamente. Nel caso del problema la funzione che dovrebbe ricoprire nell’insegnamento è l’acquisizione di conoscenze, ovvero di un percorso che porta a scoprire l’oggetto di insegnamento. Un’altra importante differenza che possiamo notare riguarda il focus su cui puntano i nostri soggetti: nel caso dell’esercizio il focus è sul prodotto finale; nel
problema, invece, quello che è rilevante è tutto il processo di risoluzione, ovvero le strategie che vengono messe in atto dallo studente. Nell’esercizio il ruolo dell’insegnante consiste nella scelta degli esercizi da sottoporre e correggere e valutare i prodotti finali; il ruolo degli studenti è di tipo esecutivo e passivo. Nel caso del problema, invece, il ruolo dell’insegnante è quello di scegliere i problemi per poi seguire i processi di risoluzione, mentre il ruolo dello studente è di tipo produttivo, quindi più attivo e creativo. La distinzione appena osservata tra esercizio e problema ne richiama una successiva riguardante due visioni opposte della matematica: la matematica strumentale e la matematica relazionale. Queste sono state introdotte dal ricercatore britannico in Didattica della Matematica Skemp (1976). All’interno della matematica relazionale è importante conoscere cosa fare, a differenza di quella strumentale in cui prevalgono regole senza ragioni. In quest’ultima vi sono tante formule che devono essere semplicemente memorizzate, bisogna fare molti esercizi per poter consolidare tali regole e il focus è posto unicamente sul prodotto finale di questi esercizi. Nella matematica relazionale, invece, vi sono pochi principi con più generale applicabilità; vi sono più ragionamenti, viene data importanza al pensare, allo svolgere problemi e il focus è posto sui processi. La visione strumentale della matematica risulta accattivante, poiché in generale è più facile, i risultati sono più immediati ed evidenti e richiede meno conoscenze. Skemp, però, sottolinea il valore di una visione della matematica di tipo relazionale in cui il ruolo della memoria è meno determinante, lo studente è in grado di adattarsi meglio a nuovi compiti perché è in grado di ricavare i fatti matematici di cui ha bisogno (non deve richiamarli nella memoria) e la sensazione di “poter fare”, non di “dover fare”, sostiene la motivazione e provoca maggiore soddisfazione negli alunni (aspetti motivazionali). Approcciare l’insegnamento della matematica favorendo l’una o l’altra visione ha un grande impatto sulla relazione che gli studenti hanno con la disciplina: proprio per questo motivo, da docenti, dobbiamo sempre interrogarci se la natura dei compiti che proponiamo è pari ad un esercizio o ad un problema e essere consapevoli di questa scelta. Rosetta Zan, nelle sue ricerche, sottolinea la presenza di una frattura tra i problemi reali, ovvero quelli concreti legati alla vita quotidiana extra-scolastica, e problemi scolastici. Quando si dice “problema” nelle ore di matematica a scuola, i bambini “sanno” che non ci si riferisce a problemi reali, ma a qualcosa di artificioso, solamente valido a livello scolastico. Problemi reali e problemi scolastici verbali sono molto diversi rispetto ad alcune caratteristiche ed in effetti i bambini tendono a “vedere” problemi reali e problemi scolastici come due mondi separati. Vediamo questo esempio discusso da Nesher (1980): “ Quale sarà la temperatura dell’acqua in un recipiente se ci metti una caraffa d’acqua a 80° ed uno a 40°? ” Molti bambini rispondono “120 gradi”, ovvero fanno la somma tra i due numeri forniti all’interno del problema. Eppure se chiediamo agli stessi bambini: “ Come diventa l’acqua se in un recipiente metti acqua calda ed acqua fredda? ” la risposta è “Tiepida!”. I bambini spesso affrontano i problemi scolastici senza collegarli alle esperienze della vita reale, ma piuttosto vedendoli come parte di un “rituale scolastico”. Più che “contestualizzare” la narrazione del testo, si cerca di capire da questo solo l’operazione matematica necessaria ed in questo esempio c’è l’idea “micidiale” di mettere dell’acqua e poi AGGIUNGERNE dell’altra che porta “fatalmente” a pensare all’addizione.
- “ Per me la parola problema mi fa venire in mente che in quel momento lì devi concentrare, stare attento, capire bene il testo e non devi mai distrarti ” Come viene vissuta l’attività di risoluzione di problemi da parte dei bambini? Questa può essere un’attività frustrante o gratificante:
- “ Per me la parola problema mi fa venire in mente di farlo bene. Quando la maestra dice: oggi si fa un problema io divento felice. Quando vado a correggere mi sento sempre emozionato ” → emozioni positive.
- “ Quando sento la parola problema ho subito un po’ di paura perché io non sono brava a fare i problemi ” → emozioni negative che entrano a far parte di un rituale che si ripete ogni volta che è presente questa attività. Le ricerche di R. Zan, insieme a P Di Martino, hanno messo in evidenza l’importanza di un atteggiamento positivo nei confronti della matematica (già importante nelle Indicazioni Nazionali) e in particolare della risoluzione di problemi. Ricordiamo un loro progetto recente chiamato “Problemi al centro. Matematica senza paura”: nel sito si legge proprio che il progetto vuole “promuovere negli allievi un atteggiamento positivo verso la matematica, una disciplina d’idee, ragionamenti, creatività, comunicazione, collaborazione,spirito critico.” (vd. schede in piattaforma realizzate durante la quarantena). Ecco alcuni temi fatti dai bambini nelle ricerche con le quali è stato indagato il rapporto tra bambini e matematica:
- Io con la matematica non mi ci trovo un granché bene. L’incubo peggiore che ho a proposito di questa materia sono quelli arcimaledetti problemi! perché mi devo spremere il cervello al massimo, e non è detto che riesca a capire come risolverli. Io durante le ore di matematica immagino le insufficienze che volano nella classe felici e allegre. (Quarta elementare)
- A volte però sono un po’ insicuro nelle divisioni lunghe e nei problemi. Sbagliare una due o più volte, il voto abbassa sempre di più e questo mi fa molta paura. Mentre svolgo un problema e non mi riesce, dopo qualche o molti minuti sento le voci dei miei compagni di classe che gridano di avere finito. La fila per correggere il problema si forma sempre più vasta facendomi venire ancora più ansia. (Quinta elementare)
- ma c’è una cosa che quando la faccio mi blocco e rimango lì a pensarci e ripensarci perché ho paura di sbagliare e questa cosa sono i problemi!!. In certe occasioni quando la maestra Laura mi chiama per andare alla lavagna ho un po’ di paura perché penso dentro di me: “Se sbaglio?” Se la maestra ci dà una verifica li per lì sono felice perché credo di finirla a pieni voti ma quando arrivo alle cose difficili mi sento come un tremolio in tutto il corpo e come un grande freddo però quando ci penso intensamente e mi riesce ritorno la Sara di sempre. (Quinta elementare) ● Video: Rosetta Zan, Dare senso all’educazione matematica (https://www.youtube.com/watch?v=7drVFFQaXJA) Dare senso all’educazione matematica è un problema che ci dobbiamo porre per molti motivi: tra questi troviamo il fatto che l’insegnamento della matematica è obbligatorio durante tutto il percorso scolastico e quindi è importante che gli studenti riescano a cogliere il senso e che questo venga percepito come utile. Quando parliamo di utilità dell’insegnamento della matematica, spesso, da parte degli adulti questa utilità viene giustificata come l’utilità DELLA matematica: questa, secondo la Zan, è un’argomentazione riduttiva poiché ci sono tante cose utili nel mondo che non sono indispensabili da insegnare. Dall’altra parte dagli studenti l’utilità dell’insegnamento di questa disciplina viene identificata come l’immediata spendibilità pratica delle conoscenze e abilità acquisite e questo è da considerarsi pari ad un boomerang perché come diceva un bambino di terza primaria “ La matematica è solo una perdita di tempo perché una volta imparati i numeri si può anche smettere…” e dall'altra parte è difficile giustificare in questo modo un insegnamento obbligatorio per 13 anni. Alla luce di tutto ciò queste semplificazioni sono da vedersi come entrambe rischiose. L’utilità dell'insegnamento della matematica va associata al suo valore formativo, ovvero a quello che viene sintetizzato nello slogan “La matematica insegna a ragionare” per una serie di fattori tra cui i processi che la caratterizzano: congetturare, esplorare rappresentare, dimostrare, attivare processi di controllo, definire, stabilire convenzioni… → quello che attiva questi processi sono i PROBLEMI, con la loro risoluzione e porsi e affrontare quesiti, che da parte di numerosi matematici (Hilbert, Polya, Halmos ecc) vengono descritti come il “cuore della matematica”. Saper affrontare i problemi è la competenza per cui i laureati in matematica sono richiesti nei settori più vari. L’educazione matematica ha un forte valore formativo perché fin dalla scuola primaria può insegnare:
- il pensiero critico;
- ad affrontare i problemi in modo razionale;
- ad utilizzare il pensiero riflessivo e a darsi il tempo necessario;
- ad essere determinati nel perseguire un obiettivo;
- ad argomentare e a valutare le argomentazioni degli altri;
- ad utilizzare il linguaggio con attenzione e consapevolezza;
- a conoscere e gestire le proprie risorse;
- ad interpretare e affrontare il fallimento. Queste sono competenze cruciali anche per una cittadinanza attiva e consapevole. Nella realtà, però, abbiamo visto che non è affatto così, in quanto la relazione di Di Martino ci ha mostrato che molti studenti sembrano non cogliere alcun senso nell’insegnamento della matematica; la matematica viene descritta come una disciplina che ti obbliga a fare e non come una disciplina che ti permette di fare, vedere, capire, interpretare, prendere decisioni, ecc.
- VISIONE PROCEDURALE → la matematica è vista come una disciplina ridotta ad una serie di regole da memorizzare che verranno poi applicate in esercizi ripetitivi e percepiti come artificiosi; l’errore è considerato come un indicatore di fallimento e va, quindi, evitato; è vista come una disciplina inutile, caratterizzata da un linguaggio criptico, di cui non si coglie il senso; è centrata sui prodotti/risultati.
- VISIONE CONCETTUALE → è la visione tipica dei matematici, la quale è centrata sui processi e sui problemi. La visione sulla matematica posseduta da uno studente è fondamentale in quanto dirige i suoi comportamenti: se si presenta una visione di tipo procedurale, lo studente cercherà di ricordare e non di comprendere, ovvero ostacola l’acquisizione di conoscenze e competenze. La visione della matematica che i nostri studenti costruiscono è molto spesso distorta e le conoscenze e le competenze dei nostri studenti appaiono inadeguate (come risulta dalle prove INVALSI, PISA, problemi del raccordo…): questo fenomeno ha un elevato costo individuale e sociale. Nel primo caso (individuale) perché un difficile rapporto con la matematica provoca disagio e addirittura sofferenza ed influenza le scelte di vita degli studenti, che per quanto riguarda la matematica sono spesso scelte di evitamento (es: ragazzo alla fine della scuola media sceglie una scuola superiore in cui vi sono meno ore di matematica); nel secondo caso (sociale), invece, il nostro Paese ha bisogno di cittadini con adeguate competenze matematiche di base e di alcune persone con elevate competenze matematiche per i settori occupazionali e professionali altamente qualificati. In tutto questo si riscontra, ovviamente, una certa responsabilità nell’insegnamento, in quanto un ragazzo non nasce con un certo tipo di visione, ma la costruisce nel suo percorso scolastico e spesso la visione procedurale che costruisce durante gli anni scolastici è frutto di un insegnamento procedurale. Questo è incentrato sulle regole, applicate su esercizi ripetitivi, richiede memoria e velocità piuttosto che riflessione, l’errore è visto come nemico e non come risorsa, è incentrato sui prodotti, ovvero sulla correttezza dei risultati, invece che sui processi e la complessità (tipica della realtà) è vista come un ostacolo alla produzione di risposte corrette e perciò evitata. La parola “regola” merita un approfondimento, perché è un termine che non appartiene assolutamente alla matematica, però è la parola più usata quando studenti e adulti descrivono la disciplina. La parola “regola” nel linguaggio quotidiano indica: “ Norma dell’agire che prescrive il modo in cui comportarsi in determinate circostanze: trasgredire, violare, rispettare la r.; le regole del gioco; le regole della buona educazione.” (Dizionario Hoepli) → all’interno di questa definizione troviamo i concetti di “fare” e “dovere”, che unendosi diventano “dover fare” evocato dalla regola. Nell’insegnamento della matematica spesso una regola nasce in modo insidioso: prendiamo, per esempio il teorema di Pitagora “ In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti AB e AC è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa BC. In formula: 𝑎 = + ” , ovvero un fatto 2 𝑏 2 𝑐 2 matematico (teorema) che si dimostra a partire da altri fatti; questo non ci dice che cosa dobbiamo fare, ma esprime una relazione tra il quadrato costruito sull’ipotenusa e i quadrati costruiti sui cateti → è una risorsa che possiamo utilizzare in certe situazioni con certi obiettivi. Spesso, dopo una prima introduzione, il teorema assume questa forma: “ Per trovare
Per la formazione in servizio della didattica mancano piani sistematici organici di formazione: questo è il nodo critico della matematica. Un esempio interessante è quello intitolato “Il modello Singapore”: Singapore è una città stato di 5.600.000 abitanti, ha un territorio di 700 km quadrati, presenta 360 scuole con un totale di 500 mila studenti e l’economia si basa quasi esclusivamente sulla risorsa umana. Negli anni ‘60 e ‘70 vi era un alto tasso di analfabetismo che ha spinto ad intervenire ed ad investire nell’educazione; a partire dagli anni ‘80 venne creato l’Istituto per lo Sviluppo dei Curriculum (CDI). Il metodo Singapore parte dai risultati della ricerca internazionale in campo pedagogico e didattico (ad esempio Bruner, Skemp…) ed individua tre errori fondamentali nell’insegnamento tradizionale della matematica:
- Pensare alla matematica come calcoli;
- Pensare all’insegnamento della matematica come procedurale;
- Insistere sulla memorizzazione. Quindi si registra un cambiamento radicale di approccio con un modello interessante ed articolato che mette al centro il problem solving matematico. Negli anni ‘90, dopo aver applicato questo metodo sistematico accompagnato da libri di testi scritti ad oc, Singapore occupa i primi posti nelle classifiche internazionali e attualmente questo metodo è guardato con attenzione da molti Paesi (Canada, USA, Australia, UK…) che hanno aiutato, anche, nella ricerca ( → ritorno all’occidente). Il “metodo Singapore” sfrutta il fatto che questa città dedica all’istruzione circa il 20% della spesa pubblica (contro l’8,1% dell’Italia), ma soprattutto gli insegnanti: sono attentamente selezionati e preparati; dopo la selezione, i futuri insegnanti sono sostenuti con fondi pubblici per le spese di formazione e ricevono subito uno stipendio; vengono seguiti e consigliati nei primi anni di lavoro e fanno carriera in base al merito e per ogni insegnante sono previste 100 ore di aggiornamento l’anno. Qualsiasi tentativo di dare senso all’educazione matematica richiede necessariamente:
- di utilizzare i risultati dell’attività di ricerca in didattica della matematica;
- di non disperdere le numerose esperienze di qualità che sono state realizzate in Italia con finanziamenti MIUR (Progetto SeT, m@tabel, PQM…);
- di un piano di investimenti di risorse intellettuali ed economiche nel campo dell’educazione matematica e della formazione insegnanti. Il valore formativo dell’educazione matematica deve essere realizzato nella pratica, fatto percepire agli studenti, non solo dichiarato; non può essere riservato ad un’elite (licei, licei scientifici, ragazzi bravi…); non può ignorare proprio quelli che più ne hanno bisogno. ● Problem solving in classe L’attività di problem solving in classe ha un forte impatto sulla relazione affettiva con la matematica. Questo aspetto è stato trattato nella seconda lezione, in cui abbiamo visto la relazione tra problemi e convinzioni, nel lavoro di R. Zan, Schoenfeld e in relazione al contratto didattico. I comportamenti sono legati all’immagine che si ha dei problemi in matematica: tale immagine non può che nascere in classe e le scelte dell’insegnante risultano, quindi, fondamentali. Il fatto che tutti i comportamenti (negativi e patologici che abbiamo descritto) siano legati all’immagine che si ha dei problemi di matematica, implica che l’immagine di problema nasca in classe, e quindi le scelte dell’insegnante sono fondamentali. La scelta dei problemi da proporre agli allievi è uno dei compiti più delicati: L’insegnante infatti deve tenere conto sia degli aspetti concettuali della disciplina che sono coinvolti, dei processi cognitivi, ma anche di altri elementi che sono specifici del contesto di apprendimento. Perchè fare problem solving a scuola? Abbiamo già anticipato l’importanza data ai problemi nelle Indicazioni Nazionali. Vediamo alcuni passaggi nel dettaglio
nelle prossime slide, così come anche dal documento “Indicazioni Nazionali e nuovi scenari” (2018). Vedete al secondo
link la proposta al ministro dell’educazione francese del famoso matematico francese Cedric Villani: “Uno
sguardo all’estero: il rapport Villani in Francia (medaglia Fields 2010 e deputato della maggioranza in Francia) → http://www.lejdd.fr/societe/education/mathematiques-ce-que-propose-le-rapport-villani- Uno dei punti messi in luce è proprio il “metodo Singapore”, che mette al cuore della didattica della matematica il problem solving e un approccio “per problemi”, opposto ad uno tipicamente procedurale (vd. appunti video di Rosetta Zan). Per quanto riguarda le Indicazioni Nazionali del 2012, il riferimento alle competenze relative alla formulazione e alla risoluzione di problemi è costante. → Profilo dello studente al termine del primo ciclo di istruzione (p. 10): E’ importante, nel caso della seconda immagine concentrarsi sulla prima frase (“Per pensiero computazionale … pianificando una strategia). Con quali obiettivi l’insegnante dovrebbe proporre le attività di problem solving a scuola, nelle ore di matematica?
- Sviluppa: ● la capacità di prendere decisioni ● L’assunzione della responsabilità dei propri processi di pensiero… ● …dell’apprendimento
- Educa al “pensiero logico” (induzione-deduzione; analisi-sintesi; convergenza-divergenza)
- Educa al metodo sperimentale
- Sviluppa abilità metacognitive
- Favorisce la costruzione del senso di autoefficacia
- Favorisce una visione delle discipline come discipline vive, di processi più che di prodotti Tutti questi aspetti sono cruciali, ma anche delicati, come abbiamo già visto. Il ruolo dell’insegnante è centrale, in relazione alla scelta e alla gestione delle attività di problem solving in particolare. Polya suggerisce proprio che l’insegnante dovrebbe proporre problemi di difficoltà proporzionata alle conoscenze degli allievi, ed eventualmente aiutare con domande opportune (si ricordi lo schema del modello di Polya visto nella prima lezione): “ Un insegnante di matematica ha una grande possibilità. Ovviamente, se egli impiegherà le sue ore di lezione a far eseguire dei calcoli ai suoi studenti, finirà per soffocare il loro interesse, arrestare il loro sviluppo mentale e sciupare l’opportunità che gli si presenta. Invece, se risveglierà la curiosità degli alunni proponendo problemi di difficoltà proporzionate alle conoscenze della scolaresca e li aiuterà a risolvere le questioni proposte con domande opportune, egli saprà ispirare in loro il gusto di un ragionamento originale ”. Dunque, proporre situazioni, problemi e contesti significativi è importante. Quello descritto da Gianna sembra particolarmente sfortunato: “ Scrivevamo più o meno "la signora Pina ha lasciato il rubinetto aperto. Se fuoriescono 2 metri cubi di acqua l’ora, quante ore occorrono per allagare il suo appartamento di 400 metri cubi?" Povera signora Pina! Spero per lei che abbia chiuso quel rubinetto prima di farsi sommergere! ” Come fare? Come agire da insegnanti in questa complessità? Abbiamo già detto che un problema dovrebbe avere nel processo di apprendimento degli studenti non per consolidare qualcosa di già appreso, ma piuttosto per introdurre concetti nuovi. Gli strumenti e i metodi risolutivi vanno introdotti dopo che l’allievo si è scontrato con la difficoltà di risolvere certi problemi. Ciò può contribuire a dare un senso all’attività matematica: in matematica certi strumenti nascono per una esigenza (che può essere pratica, ma anche teorica) e dunque introdurli ha «senso» perché rispondono a una certa necessità, non »calano» dall’alto, semplicemente imposti.
l‟insegnante ad una maggiore tolleranza verso l‟errore, a volte lo spinge piuttosto a proporre esercizi ripetitivi invece che problemi, a evitare domande «troppo difficili»: in altre parole a evitare errori. (Zan) Quindi, dobbiamo rivedere l’idea di successo: successo in matematica dovrebbe fare rima con processi di pensiero significativi, piuttosto che ridurlo al fornire la risposta «giusta». Di nuovo, il ruolo giocato dall’insegnante in questa catena è importantissimo. Concentriamoci su questo aspetto. Il ruolo attivo dell’insegnante in relazione ai problemi non riguarda solo la scelta dei problemi da sottoporre agli allievi, ma, dato che abbiamo visto che il focus è piuttosto sui processi e non tanto sul prodotto, anche sul comportamento dell’insegnante che accompagna l’attività di problem solving. L’insegnante non deve fornire la risposta corretta, ma piuttosto stimolare i processi di pensiero, attraverso domande come:
- Cosa avete fatto?
- Come state procedendo?
- Cosa pensate di fare? Una buona prassi è quella di alternare a processi di problem solving individuale o di gruppo anche fasi di «discussione matematica» (comunità di pratica): in questo modo, nella discussione collettiva, l’insegnante può:
- sottolineare la varietà dei processi possibili
- sviluppare abilità di argomentazione
- far evolvere significati Gli obiettivi dell’attività di problem solving in classe devono spingere verso la costruzione di conoscenze e competenze, e dunque è impossibile ridurre del tutto la complessità, che è necessaria per attivare processo di pensiero significativi. Che tipo di problema?
- Problemi verbali (solo testo)
- Problemi che includono tabelle, grafici nel testo (es: biciclette Velox)
- Problemi che partono dall’osservare regolarità matematiche
- Giochi di interazione strategica
- Problemi senza testo, ma che nascono da una situazione complessa
- Problemi che nascono dall’osservazione di fenomeni naturali o dall’interpretazione di dati raccolti e disponibili
- … Questi sono alcuni tipi di problemi che possono essere significativi, in tutti i livelli scolare e in particolare alla scuola primaria. Alcuni di questi li avete già incontrati in questo corso e nel corso dell’anno scorso, quindi ci limitiamo a una carrellata nelle prossime slide. Per quanto riguarda invece i problemi verbali, Rosetta Zan, che abbiamo già citato, si è occupata a lungo di questo tema. Non abbiamo purtroppo il tempo di concentrarci su questo argomento per motivi di tempo, ma vi consiglio come approfondimento il testo «I problemi di matematica», R. Zan, Ed. Carocci.
