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insiemistica
definizione: se A e B sono due insiemi si puo' definire un nuovo insieme, indicato con A x B, detto prodotto cartesiano di A con B in questo modo definizione: (^) dati A e B insiemi, si chiama relazione binaria tra A e B un qualunque sottoinsieme di A x B, quindi se R A x B, R e' una relazione tra A e B A nomi propri di chi e' in aula B cognomi di chi e' in aula A x B coppie nome, cognome sia R nome, cognome la coppia rappresenta una persona realmente in aula se a, b R dico che ''a e' in relazione con b tramite R'' o in simboli ''aRb'' su N sia R la relazione R N x N cosi' definita: R e' la relazione ''minore o uguale'' e scrivo 1 2 in luogo di 1R se A e B sono insiemi, c'e' sempre la relazione vuota O tra A e B; come anche la relazione universale A x B fissato un insieme A, si puo' definire la relazione identita' su A cosi' sia f una funzione da A, ovvero dominio, in B, ovvero codominio il suo grafico e' la relazione definizione: se f e' una funzione da A in B si definisce la relazione nucleo di equivalenza di f cosi' e' una relazione da A in A inciemictica
- -^1 xB A + : = ((a, b) a = A (^) - b = (^) B) ↑ "Coppia ordinator" A - - - -^ E^ Jo^ da^ A^ in^ By -ex (^) : = 1 = ( 13)^1 , f (^2) non a tutte^ le^ cappie corresponde una persona "reale"^ in^ dula
- & ! - - ~ (^) eX : ↑ E R : = &(n. m) esiste e en talehen + e (^) = m) COMC (^192) / (^323) , (^528) .... mar 482 Nol & ex : ! - Fa :^ = ((a , a)n =^ 1) 24 : V
G = ((a , b)^ =^ 123f(a)^ = b)
& =(a,ay^ =^ a^ +^ a^ f(a) = fray)
proprieta' delle relazioni su uno stesso insieme sia R A x A, si dice che R e' riflessiva se per ogni a A: aRa R e' simmetrica se aRb implica bRa R e' antisimmetrica se aRb e bRa implica a b R e' transitiva se aRb e bRc implica aRc definizione: (^) R A x A si dice d'ordine se e' riflessiva, antisimmetrica e transitiva definizione: R A x A si dice di equivalenza se e' riflessiva, simmetrica e transitiva definizione: siaR A x A una relazione di equivalenza e a A, si chiama R classe di equivalenza di a l'insieme l'insieme di tutte le classi di equivalenza degli elementi di A forma una partizione di A detta quoziente di A tramite R, in simboli relazioni di equivalenza (^) parallelismo: se A e' l'insieme di tutte le rette del piano o spazio, si chiamano direzioni le classi di equivalenza della relazione di parallelismo congruenza: se A e' l'insieme dei segmenti del piano o spazio e BC e DF sono segmenti, si dice che BC e' congruo a DE se esiste un movimento rigido come traslazione, rotazione che porta B in D e C in E; le classi di equivalenza di questa relazione si chiamano lunghezze vettori geometrici definizione: si chiama segmento orientato una coppia ordinata di punti dello spazio. Se A e B sono punti, al posto di A, B scrivo il punto A e' il punto di applicazione di AB definizione: dati AB e CD si dice che AB e' equipollente a CD se esiste una traslazione che porta A in C e B in D in tal caso AB e CD hanno stessa direzione, lunghezza e verso oppure hanno lunghezza pari a zero l'equipollenza e' una relazione di equivalenza e le sue classi di equivalenza si chiamano VETTORI GEOMETRICI, o vettori liberi = & - - & -- D (^) - -
- -- & (^) & (^) - & (^) & (^) - & & - (a) :^ = (b =^1 arb) ----- (^) - Ar af direzioni-
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mphezze vetto2i (^) geometrici &
- T W -^ punto^ di^ applicazione-" &^ -^ Y^ Y
~ -^ A=^ 000- !! -
c'e' una corrispondenza biunivoca tra i vettori liberi e i punti del piano e tra i punti del piano e le terne ordinate di numeri reali: se P e' un punto nello spazio di ascissa, ordinata e quota rispettivamente allora scrivero' e identifichero' il vettore geometrico u OP con la stessa terna e scrivero' a questo punto il vettore OP si chiama vettore posizione del punto P e i tre numeri costituiscono le componenti di OP e di v se u , v e t R avremo definizione di norma, o lunghezza: osservazione: definizione: se u 1, si dice che u e' un versore; se invece u 0, allora e' un versore detto normalizzato di u osservazione: se A e B , quale vettore posizione OP rappresenta lo stesso vettore geometrico di AB? so che OA OP OB quindi OP OB OA, ovvero in particolare AB e' la distanza tra A e B punto medio: il punto medio di AB e' il punto M tale che AM e MB rappresentano lo stesso vettore geometrico, ovvero definizione parallelismo: (^) dati u e v vettori geometrici dico che u v se hanno la stessa direzione o se uno dei due e' 0, per questo 0 sara' parallelo a tutti i vettori ovvero, per definizione, esiste t R tale che u t v il parallelismo e', quindi, una condizione di proporzionalita' ! ·
- u = =^0. 40ez V =^ (xp (^). 40. 7) I Y : V --^40 , 40 , Za · Zol Eliteita) el du + (^) u = (40 + (^) xa (^) / 40 + (^) ya (^) , z + (^) zo) b) +^ x = ( +^40 ,^ +^ 4p. +za) · e = (0 (^) , (^0) , 8) e - u = (- % - (^40). - za) & (11) (^) , no (^) la1 = (^) 10) = V4 + (^) ya + (^) z z Vuo + ze i Mr (^) Evertore (^) ,or (^) at all o b) ((u)) = 0seu = (^0) 24 + (^) ya (^) (1 +. (^41) = 1 + (^) ). (a)
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- U 4/1^ (lu/) W Y - > = (^) (a (^) , Ya (^) , z1) (^) = (8 (^) , 43. 73) = " =^ " = " (^) "di= (a - +a , 4 -^ ya^ -^ za^ -^ za) ..... 11
I^ V^ =^ v(4a^ -^ +1)^ +^ (43 - ya)" +^ (zg^ -^ za) &
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