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INTEGRAZIONE
15
RIEMANN
t
oltre a prendere i
gradini
s
f-
sotto la
funzione
, prendiamo | s anche i gradini t sopra la
funzione
a 4 § Xu b = Xm Il xo
area s e area f area ts area
f
si chiama DIVISIONE dell' intervallo Ca ; b
]
un insieme costituito da un numero finito di punti = { XO , Xe , Xz ,
...
, Xm } con il=XOLXilXz < → CXM = b. q :[a , b ] → IR si dice a GRADINATA se
una divisione D di ca ; b] tale che
q
è costante nell' aperto di ciascun intervallo associato alla divisione , cioè : qcx ) = Ci , X E I Xi
; Xi [ i = 1, , _. . , M °
Data
q
:[
a. b
]
IR a gradinata si
definisce
INTEGRALE della
q
nell' intervallo [ Q ; b ] e si scrive b { Il % , erenz.ae l' espressione /
EHI
dxelxe-ai.cat μ il t (X
Xi ) czt . .
funzione
della X tlxn
Xn
s ) con = integrando = , Hi
Xi
s )
. ci ( somma di aree
di
rettangoli
Sf
=
{
s :[a
,
b]
tra
gradinate
: scxi
E
fcx
)
,
V'
XE
fa
;
b
]
}
Tf
=
ft
:[
a
:b
]
tra
gradinata
:
tlxisflxi
,
KXE
La ;D }
Se
f
è limitata
inferiormente
5ft
O
se
f
è limitata
superiormente
Tft
o
→
f
deve essere LIMITATA
→
C.
N
.
per
l'
integrazione
su
pasta
di
quando
se
Sf
=
fa
}
di EIR
perché
limitata
→
integrale
integrale
inferiore
su
pedigree
di f
III.
{
ÌXIDX
=
!
! Ht
DX
EIR
perchè
limitata
→
{
ÌINDXEÌÌIXI
DX
se
f
è
limitata
Una
f
:[
a.
b
]
IR limitata
si
dice INTEGRABILE secondo
Riemann
in
[
a
,
b
]
f
E
Rice
,
BJ
)
se
{
Ìlxtdx =
[
IN
DX e
in tal caso
fabfcxidx
:{
Ìlxidx
=
b
=
ffcx
)
DX
a
{
Indro
fica
di =
fa
!
cxidx se bca
CLASSI DI FUNZIONI
INTEGRABILI
1
.
se
f
e
'
CONTINUA
in
[
a
,
b)
f
E R Ka
,
b
] )
f
limitata
2
.
se
f
è LIMITATA e
MONOTONA
f
ERICA
,
b]
)
3
,
sia
f
E
RITA
,
b]
)
e sia
gia
=
fcx)
tranne che in
un numero
finito
di
punti
g
E Rica ,
BJ
)
^
a efebflxidx
-
}
di
-
E
I 19
l
l l
l
'
l
9
il b
Q
1 2 3 4 b
In
particolare
la 3
.
ci dice
che una
f
con un numero
finito
di
punti
di
discontinuità
è
integrabile
Sia
fama
funzione
con un numero
infinito
di
punti
di discontinuità
che
possiede
un numero
finito
di
punti
di
accumulazione
f
E
Rko
,
BJ
)
A
5
.
non
f
: IRI
IR
I
monotona
=
i
1 i s
FCX)
e
1M ,
×
E)
1M
, 1mL ,
D) 1
e.
±
: :
/:
.
A-
Fm
,
me
IN
}
U
{
o
}
insieme
di
punti
di discontinuità
di
I
specie
→
infinità
numerabile
→ A
'
=
{
o
} numero
finito
funzione
è
integrabile
esempio
di
farmitata con
f
el
RICO
,
BI
)
[
]
f
di Dirichlet
fa
)
1
,
× e QN
[
0
,
2 ]
f-
1
,
× e
IIRIQ
In [
0,
^
b
1
_
fa
bflxidx
=
supfslxidx
=
a
=
!
?
si
dx =
a
e
%bfcxsdx-infIHHdx-%7cxidx-az-%ecxsdx.sn
{
21 dx =
2
fa
Rica
,
BJ
)
,
ma
f
è limitata
PRIMITIVE
Data
f
:[
a.
b
]
IR
si chiama
PRIMITIVA di
f una
funzione
P
:[
e
,
b)
IR :
P
è derivabile in
Ca
,
b
]
B)
P' IX)
=
flx
) ,
KX E [
0
,
b
]
INTEGRALE
INDEFINITO
fflx
)
DX =
Isef
continua
)
PIXITK
,
KEIR
famiglia
di
funzioni
fabflx
)
DX
=P
I
b)
Pla )
→
prima
si calcola
l'
integrale
indefinito
{
ÌN
dxeffcxidx-fpcxdba.pl
b)
Pia
PRIMITIVE
DI
FUNZIONI NOTE
1
. Scusi
DX
= semx
te
8
.
4 ¥ ,
dxeorctgxtc
- . SSCMX
di
=
e
=
orccotgxtc
3
/
Xddx
=
×
atto
te
dt
1
fede
=
tgxtc
cosa
/
!
DX =
log
IXHC
ftp.dx-orcsemxtc
f-
dx
=
ORCCOSX
te
le
FORMULA
DI
INTEGRAZIONI
PER PARTI
f.
q
:[
a
,
b)
→ IR limitata e
integrabile
in
Ea
,
b
]
e
f
,
qe
cella
,
BS
)
/
fixing
'
lxidx
=p
IN
.fm
ff
'
Ht
.
fin
di
integrale
[
ftp.qhxtdx-fglxt-flxfa-faflxtfYXI
DX
definito
esempio
%
'
e
×
.
cosxdxefex
. cosi
]
! !
I
"
.
semxdx =
E
'
LXI
= È
file
COSX
= [
e
'
. cosi
}
t
[
e
'
.
semx
]
[
e
×
. cosi
dx
→
2
[
e
×
cosi
DX
=
[
e
×
cos
Xtsenx) ] }
= èlsenztcosz
=
¥
cosa
tsemz
[
eogxdx
=
[
e
hqx
di
=
EX
hqx
JI
§
dx =
= Ex
.
log
X
];
=
[
xllogx
III.
=
allega
-1ITL numero
reale
se
fosse
stato
flop
X DX
=
51
.
log
X
DX =
=
X.
logli
SX
#
DX
= X
log
X
tc
famiglia
di
primitive
esempio
si
fvsixtdx
=
fusi
.
sentite
feste
.
sentite
DX
dicesti
=
sent dt
×
Usicosat
9 i
=
fsemt.semtdte-fsematdt-tcostsent.tt
e
2
= X.
ULF
narccosx te
2
INTEGRAZIONE
DI
alcune
FUNZIONI
RAZIONALI
m
,
MEIN
,
LEIR
→
μ
=
fa
)
mdlx
a)
(
X-21M
mt 1
4*-2 →
flytmdy
=
te
= - 1
M
1
¥
,
te
=
=
tc
I
"
(
d)
m
1
M
= 1
k¥
,
=
copiato
'
tpxtq
=
O
Le
= 2<=
,
LEIR
D=
O
>
21 I
22
,
da
.dz
EIR DSO
'
E
E
latiB)(
d- l' B)
D
LO
Xztpxtq
( X
a)
2
Xztpxtq-LX-ddlX.dz
xhpxtq-H-d-l.pl/X-dtiB)--lX-dla-liBla=
= (
X
d)
'
tpa
→
SÌ
/
=
SHA'
dlx-ak-lx.at
etc
Snake
È
.it#aiffIaa=--afeogh-ast-eoelx-azItc=feoe
fq.dz#+p
.
→
primitiva
:
ftp.dx-orctgxtc
=
Ha
→ d
)
=
Ipdlx
di
→
¥
I
Ha
dxepfft-ffd.LI?e--fS#du--forazttc-y=x-ad--
farete
Itc
P
r s
→
RIN =
Ai t BJXTCJ td
TCXI
QIN X
di
xztpsxtqs
DI
cadavere
.
l' =L 5=
TCX )
-. _
X-arflr-tfxztpextqdve-to.lxztpsxtqs.rs
deg
ITIXI
) e'
al
più
inferiore
al rispetto al
grado
del
denominatore
FORMULA
di
DECOMPOSIZIONE
di HERMITÉ
esempio
di
x
=
Rlxtorodoo
→
RCH
QIHqrodo3aqqkxqx.se
_ deprime
degli
)
>
X-D
Metz)
,
Xe
1/22--1,112=
=
.IE#etaIlbet-ItfI-boe
de
costanti
si
ottengono facendo
il
m.c.mn
( che
è il
nostro QIX
) )
→ XZCX
→ I.= A XIX
TAZX
'
= AIX
?
Aixtazx
'
boxt
bo
= X ( Art
Ar )
las tbo
)
Xtbo
Ast Az
= O
→
(a) XTL
→
1=
Ae
bo = O di
bo
= 1 il suo
grado
èo
Ast Az =
O
{
Ae
bo
= o
trovo le costanti
bo
= 1
Ai
=
Az
f.
÷
TÈ
:
:*
.
=
÷
È
/
di
=
/ }
di
t dxt
¥
=
=
eoglxltloglx-s.lt
}
te =
ha
/
If
It
}
te
Se
QIXI ha
solo zeri reali
con
molteplicità
III.
Fette
.-
tf:[ mette
:)
t.tn?aIn+---tII;tI::ui----tIIInr
esempio
di
QIH
= XIX talk
a)
3
Gli
zeri QIX.to
→ 21=
Ma
= 1
✓
da
=
1
Ma
=
1
tutte
radici reali 23=
μ
> =
3
e
¥
tata
È Tee
TEE
devo
arrivare fino
alla
sua
molteplicità
2)
SR
(
X
,
a
xatbxt c)
DX
se
a
so
,
c zo
,
2
,
B
E IR
→
Soluzioni
di
axatbxtc-oaxatbxtT-taxtttaxfbt-X.tt
Te
se io so
,
2
,
B
E 6
(
c
>
a)
possiamo
utilizzare
le stesse sostituzioni
- /
Xm
(
a
Xpt
b)
mdx
m
,
m
,
p
e Q
a
,
b
E IR
xmlaxpt
b)
m
differenziale
del
binomio
si
riconduce
all'
integrale
di
una
frazionale
M
21
<
{MÌ
e
z
,
oppure
M¥ 1
tm e
z
Se
ne
ritorna un
integrale
visto
precedentemente
Se
meta
e 2
,
m non intero
mese
,
s
so → eaxptb =
ts
se
M¥ 1
tm
e
→
at
by
Pets
esempio
fetta
di
TÈ
= x
_
( xzt si
E
nn
1
,
P
= 2
a =L
,
b
= e
'
M
=
E
m ¢ 21
,
non
è intero
MI
E 21
?
→
=
O E
21 →
s
t
XI
E
P
2
XE te
e
→
EE
dx-jff.ee/EEdx--
ftp.tf#o--ffIzdt--f.IIdt=/dttffdt=ttff.)dt---
t t
E
#
÷
dt
= tt
I
log
Hat
Glad
that te
=
t
t
{
log
/
t.de/t
e
quindi
THE
tg
log
the t
c
/
OFt 1
INTEGRAZIONE di
alcune FUNZIONI TRASCENDENTALI
/
R
(
ad
f)
DX 2
,
B
E I R
,
a
> 0
,
a te 1
ad
Xtp
= t
ICRITERIO
DI INTEGRABILI
TA'
ALLA
REIMANN
C. N
.
e
S
. affinchè
f
:[ a.
b
]
IR LIMITATA
sia
integrabile
alla Reinamm
in [
a
:b
] è
che i HE
>o Iso
Esp
,
Ito C-
Tl
:
Ito
di
Isdn
di
<
E
dimostrazione
C.
N
.
)
Dall'
ipotesi
(
ferra ;
b
)
risulta
che
LÌ
IN
DX
[
bflxidx
=
fabfcxidx
Per
definizione
fabfcxidx
=
supfabscxidx, sesf
teso
7 so
esf
:
fabflxidx
§
cfabsolxidx
=
[
bflxidx
=
imffabtocxidx
,
tetf
tt
§
sotto
etf
:
{
Ìlxldxt
£
affondi
tt
§
so
so E
Sf
,
Ito
etf
:
fabflxidx
Ez
%
!
IHDX
Effondi
<
If
dxt
§
fatto
DX
-1%1× 1
DX
E
§
te
= E
C.
s
. )
d.
d.
fabflxidx
=
Ìfflxsdx
=L
È cxidx
{
bsdxidx
La
} lxidx
E
[
bfcxidx
to
dx
%fadxfabfcxidxqftdxidx-f.sc
xidx
È
E
VE
>
0%
DX
[
fcxidx LE
[ bfcxidxefebfcxldx
=
=
fabfixidx
f
e rtaib »
c. v.
d.
TEOREMA DELLA MEDIA INFERIORE
Siano
f
, @
i
[
e
,
b)
→ IR
LIMITATA e f
, ge
Rko
,
b.
se
gliela
0
,
KX E [a
.by (oppure
q
CHE
0
,
ttx eco
;
BJ
)
I 0
e
[
imffcx
)
,
supfcxi
]
:
LÌ
gcxidx-o.to?gcxidx
osservazioni
sia
f
e c'
Ha :b
]
)
fica
;
b)
=
condominio
che è
un
CONNESSO (
teorema della conservazione della
connessione
tutti i valori
del condominio sono valori assunti
dalla
f
sup
tesi
:
¥ 7 TE la ;D
:
fabfcxtglxidxefhtfabqlxidx
1
W
i
1 9
a
ME
I
b
sia
f
e
colla
;
BI
)
e
qcxk
1
,
ttx E [ a
;D
IT
E
[
a
;D
]
:[
fai
DX
= fatti I
b-
a)
