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Capitolo 7
Integrali doppi
In questo capitolo studieremo gli integrali per funzioni di piu variabili: piu precisamente ci occuperemo degli integrali di funzioni di due variabili (dunque integrali doppi), ma piccole varianti dei concetti che verranno introdotti permettono di studiare gli integrali di funzioni di tre e pi`u variabili.
7.1 Motivazioni
Come per il caso degli integrali di funzioni di una variabile, il procedimento di integrazione per funzioni di due variabili nasce in modo naturale nelle applicazioni.
- Il calcolo di un volume Consideriamo una funzione f (x, y) continua, positiva e definita su un dominio rettangolare D = [a, b] × [c, d]. Per calcolare il volume della zona determinata dal grafico di f e dal piano xy e con base D, si procede in maniera analoga a quanto visto per il problema dell’area per funzioni di una variabile: si suddividono [a, b] e [c, d] tramite due suddivisione T e S
T = {a = t 0 < t 1 < · · · < tn+1 = b}
e
S = {c = s 0 < s 1 < · · · < sm+1 = d},
168 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
a t 1 t 2 b x
y
d s 3
s 2
s 1 c
si sceglie un valore ξi,j nel rettangolo [ti, ti+1] × [sj , sj+1] e si ottiene
V ∼ V˜ =
i,j
f (ξi,j )(ti+1 − ti)(sj+1 − sj ).
Raffinando le suddivisioni T e S, V˜ sar`a un’approssimazione sempre migliore di V.
- Calcolo della massa di una lastra Supponiamo di avere una lastra rettangolare D = [a, b] × [c, d], e supponiamo che ρ(x, y) sia la densit
a di massa per unita di superficie nel punto (x, y): cio significa che un piccolo rettangolo di lati ε e η vicino a (x, y) ha una massa mε,η ∼ ρ(x, y)εη. La funzione ρ(x, y) none supposta continua: in questo modo possiamo tenere in conto il caso interessante dei corpi compositi, cioe composti di diversi materiali. Analoga- mente a quanto visto nel caso di una variabile, date due suddivisioni T e S di [a, b] e [c, d], la massa m della lastrae approssimata da
M ∼ M˜ =
i,j
ρ(ξi,j )(ti+1 − ti)(sj+1 − sj )
dove ξi,j appartiene al rettangolo [ti, ti+i] × [sj , sj+1]. Raffinando T e S, abbiamo che M˜ `e un’approssimazione sempre migliore di M.
- Calcolo della superficie di una regione piana Il procedimento precedente pu
o es- sere utilizzato anche per calcolare la superficie di regioni curve. L’ideae questa: se E e una regione piana limitata con bordo curvilineo, e De un rettangolo che la contiene, possiamo considerare la funzione 1E (x, y) definita da
(^1) E (x, y) =
1 se (x, y) ∈ E 0 se (x, y) ∈ D \ E.
La regione determinata dal grafico di 1E ed il piano xy e un cilindro di base E ed altezza costante pari a 1: dunque il suo volumee pari numericamente all’area di E.
170 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
Definizione 7.1 (Funzioni integrabili e integrale doppio). Sia D = [a, b]×[c, d]. Diciamo che una funzione limitata f : D → R `e integrabile secondo Riemann se I′(f ) = I′′(f ). Tale valore si indica con
D
f (x, y) dxdy o
∫ (^) b
a
∫ (^) d
c
f (x, y) dxdy,
e si dice l’integrale doppio di f su D.
Come nel caso unidimensionale si ha la seguente condizione d’integrabilit`a.
Proposizione 7.2 (C.n.s. per l’integrabilita ). Condizione necessaria e sufficien- te affinch´e una funzione limitata f : [a, b]×[c, d] → R sia integrabile secondo Riemanne che per ogni ε > 0 esistano una suddivisione T di [a, b] ed una suddivisione S di [c, d] tali che
Σ′′(f, T × S) − Σ′(f, T × S) < ε.
Il significato geometrico della condizione precedente e il seguente:e possibile ricopri- re la superficie z = f (x, y) con (x, y) ∈ D tramite una famiglia di parallelepipedi associati ad una grigli di suddivisione di D la somma dei cui volumi `e piccola a piacere.
- La classe delle funzioni integrabili
e molto ampia. Ragionando come nel caso uni- dimensionale, si vede che risultano certamente integrabili le funzioni continue. Abbiamo visto che sono interessanti anche le funzioni discontinue. Una classe che ricorre nelle applicazionie quella delle funzioni continue a tratti. La definizione di funzione continua a tratti in un dominio bidimensionale imita quella gi`a vista in una variabile. Siano A 1 , A 2 ,... , An insiemi aperti disgiunti contenuti in D e tali che
⋃^ n
j=
A^ ¯j = D
Una funzione f : D → R si dice continua a tratti in D se esistono una famiglia di aperti A 1 , A 2 ,... , An che soffisfa (7.1) e delle funzioni continue f 1 , f 2 ,... , fn : D → R tali che f = fj su ogni Aj.
7.3. I DOMINI NORMALI RISPETTO AGLI ASSI 171
Aj
Per una condizione di integrabilit`a per funzioni continue a tratti, rinviamo alla sezione 7.4.
- L’integrale doppio gode delle propriet
a di linearita ∫ ∫
D
(af + bg) dxdy = a
D
f dxdy + b
D
g dxdy,
e di confronto, cio`e se f ≤ g ∫ ∫
D
f dxdy ≤
D
g dxdy.
In particolare, si ha (^) ∣ ∣ ∣ ∣
D
f dxdy
D
|f | dxdy.
7.3 I domini normali rispetto agli assi
In questa sezione introduciamo una classe di insiemi essenziali nello studio degli integrali doppi e nelle loro applicazioni.
- Supponiamo che α, β : [a, b] → R siano due funzioni tali che
∀x ∈ [a, b] : α(x) ≤ β(x).
La regione di piano determinata da α e β pu`o essere descritta dalla formula
E = {(x, y) ∈ R^2 : a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}.
Si dice che E `e un dominio normale rispetto all’asse delle x.
7.4. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE SU UN INSIEME 173
pu`o essere descritto sia nella forma
T = {(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x}
che nella forma T = {(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x ≤ 1 }.
Altri domini invece non sono normali n´e rispetto ad un asse, n´e rispetto all’altro: ad esempio questo `e il caso di una corona circolare.
7.4 Integrale di una funzione f su un insieme E
Nelle applicazioni e utile poter integrare funzioni non solo su rettangoli, ma anche su in- siemi piu generali (cerchi, ellissi...). E pertanto opportuno estendere il procedimento di` integrazione su insiemi con bordi curvilinei.
- Come abbiamo visto nella sezione delle motivazioni (parlando di area di regioni pia- ne), data una funzione integrabile f : D → R con D = [a, b] × [c, d], un modo ragionevole per definire il suo integrale su un insieme E ⊆ D `e quello di porre ∫ ∫
E
f dxdy =
D
f (^1) E dxdy.
x
y
z
D
E
z = f (x, y)
174 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
In questo modo, ponendo f uguale a zero fuori di E, ci si concentra solo su quanto accade nell’insieme E. La definizione risulta ben posta se f (^1) E e una funzione integra- bile: cio `e garantito se 1E risulta integrabile, perch´e il prodotto di funzioni integrabili risulta integrabile.
- Gli insiemi tali che 1E sia integrabile si dicono insiemi misurabili secondo Rie- mann. Pertanto
e ben definita l’integrazione su insiemi di questo tipo. Dall’inter- pretazione geometrica dell’integrabilita , e dalla forma particolare del grafico di 1E , si vede che l’integrabilita secondo Riemanne equivalente al fatto che il bordo di E possa essere ricoperto mediante una famiglia finita di rettangoli la somma delle cui aree e piccola a piacere. Cio viene sintetizzato dicendo che ∂E ha area nulla. Dun- que possiamo concludere che l’integrabilita secondo Riemann di un insiemee equivalente al fatto che il suo bordo abbia area nulla.
Sono sicuramente misurabili secondo Riemann gli insiemi normali rispetto agli assi determinati da funzioni integrabili di una variabile. Questo discende immediatamente dal fatto che i bordi di tali insiemi sono costituiti da due segmenti e da due curve: i segmenti hanno chiaramente area nulla; le curve pure hanno area nulla perch´e cio discende dall’integrabilita delle due funzioni.
- Torniamo all’integrabilit`a delle funzioni continue a tratti f : D → R a cui abbiamo accennato nella Sezione 7.2: se A 1 ,... , An e f 1 ,... , fn sono gli insiemi aperti in D e le funzioni continue associate a f secondo la definizione di funzione continua a tratti, si ha f =
∑^ n
j=
fj 1 Aj + g
176 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
- Come nel caso di funzioni di una variabile, la simmetria della funzione f (x, y) pu
o age- volare il calcolo di un integrale doppio. Per esempio se f (x, y)e una funzione pari in x f (−x, y) = f (x, y),
ed E e un insieme misurabile simmetrico rispetto all’asse delle y, cioe
(x 0 , y 0 ) ∈ E =⇒ (−x 0 , y 0 ) ∈ E
si ha (^) ∫ ∫
E
f (x, y) dxdy = 2
E+
f (x, y) dxdy,
dove E+^ := {(x, y) ∈ E : x > 0 }.
Geometricamente, il risultato dice semplicemente che la regione dello spazio di cui dobbiamo calcolare il volume e simmetrica rispetto al piano x = 0, per cui tale volumee semplicemente il doppio del volume della regione nel semispazio x ≥ 0.
x y
z
E
z = f (x, y)
Similmente si ha che se f (x, y) e una funzione dispari in x, cioe
f (−x, y) = −f (x, y)
ed E `e un insieme misurabile simmetrico rispetto all’asse delle y, allora si ha ∫ ∫
E
f (x, y) dxdy = 0.
Geometricamente, il risultato dice semplicemente che le due regioni appartenenti ai semispazi x ≥ 0 e x ≤ 0 hanno lo stesso volume ma con segno differente.
7.5. FORMULE DI RIDUZIONE 177
x y
z
E
z = f (x, y)
Analoghe considerazioni si possono fare se f ha una particolare simmetria in y ed il dominio E `e simmetrico rispetto all’asse dell x.
7.5 Formule di riduzione
Fino a questo momento non abbiamo un metodo pratico per calcolare un integrale doppio che non sia quello di applicare la definizione. Le formule di riduzione di cui ci occupiamo in questa sezione, permettono di ridurre il calcolo di un integrale doppio al calcolo di due integrali per funzioni di una variabile.
- Le formule di riduzione consistono nell’integrare prima rispetto ad una variabile e poi rispetto ad un’altra.
Proposizione 7.3 (Formule di riduzione). Sia D = [a, b] × [c, d], e sia f : D → R una funzione integrabile. Supponiamo che per ogni x ∈ [a, b] l’applicazione y → f (x, y) sia integrabile su [c, d]. Allora l’applicazione
x →
∫ (^) d
c
f (x, y) dy
`e integrabile sull’intervallo [a, b] e si ha ∫ (^) b
a
∫ (^) d
c
f (x, y) dxdy =
∫ (^) b
a
(∫ (^) d
c
f (x, y) dy
dx.
Similmente se per ogni y ∈ [c, d] l’applicazione x → f (x, y) `e integrabile su [a, b], allora l’applicazione
y →
∫ (^) b
a
f (x, y) dx
`e integrabile sull’intervallo [c, d] e si ha ∫ (^) b
a
∫ (^) d
c
f (x, y) dxdy =
∫ (^) d
c
(∫ (^) b
a
f (x, y) dx
dy.
7.5. FORMULE DI RIDUZIONE 179
e dunque
inf x∈[ti,ti+1] g(x) ≥
∑^ m
j=
inf [ti,ti+1]×[sj ,sj+1] f
(sj+1 − sj ).
Concludiamo che
Σ′(g, T ) =
∑^ n
i=
inf x∈[ti,ti+1]
g(x)
(ti+1 − ti)
∑^ n
i=
∑^ m
j=
inf [ti,ti+1]×[sj ,sj+1]
f
(ti+1 − ti)(sj+1 − sj ) = Σ′(f, T × S)
cio`e che Σ′(g, T ) ≥ Σ′(f, T × S). Similmente si dimostra che
Σ′′(f, T × S) ≥ Σ′′(g, T ).
Passando al sup e all’inf sulle possibili suddivisioni T e S otteniamo le disuguaglianze
I′(f ) ≤ I′(g) e I′′(g) ≤ I′′(f ).
Poich´e f `e integrabile su D, si ha
I′(f ) = I′′(f ) =
∫ (^) b
a
∫ (^) d
c
f (x, y) dxdy
per cui deduciamo ∫ (^) b
a
∫ (^) d
c
f (x, y) dxdy ≤ I′(g) ≤ I′′(g) ≤
∫ (^) b
a
∫ (^) d
c
f (x, y) dxdy.
Abbiamo dunque che g `e integrabile e che ∫ (^) b
a
g(x) dx =
∫ (^) b
a
∫ (^) d
c
f (x, y) dxdy
che `e la tesi.
Vediamo un esempio di applicazione delle formula di riduzione.
Esempio 7.4. Se D = [0, 1] × [0, 2], si ha ∫ ∫
D
xy dxdy =
0
0
xy dxdy =
0
0
xy dy
dx
0
[
x
y^2 2
] 2
0
dx =
0
2 x dx =
[
x^2
] 1
180 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
- Le formule di riduzione su un rettangolo forniscono le formule di riduzione per domini normali rispetto agli assi. Se ad esempio E
e un dominio normale rispetto all’asse delle x determinato da due funzioni integrabili α(x) e β(x) con a ≤ x ≤ b, si ha che l’integrale di una funzione integrabile f su Ee dato da ∫ ∫
E
f (x, y) dxdy =
∫ (^) b
a
β(x)
α(x)
f (x, y) dy
dx.
Similmente se F ⊆ D `e un dominio normale rispetto all’asse delle y individuato dalle funzioni integrabili γ, δ : [c, d] → R, si ha ∫ ∫
F
f (x, y) dxdy =
∫ (^) d
c
δ(y)
γ(y)
f (x, y) dx
dy.
x
y y = β(x)
a b
y = α(x) x
y
d
c
x = γ(y)
x = δ(y)
Tali formule si deducono immediatamente dalle formule di riduzione nel rettangolo. Ad esempio, per quanto riguarda i domini normali rispetto all’asse x, basta notare che la sezione Ax della zona determinata da f con base E e semplicemente la zona sotto il grafico di f (x, y) sull’intervallo [α(x), β(x)]: dunque l’area di Axe semplicemente ∫ (^) β(x)
α(x)
f (x, y) dy
e quindi l’integrale doppio si ottiene integrando tale quantit`a rispetto a x ∈ [a, b].
x y
z
α(x)
x = b β(x)
x = a
Ax
z = f (x, y)
182 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
e data chiaramente dalla differenza delle aree determinate dai grafici di f e g, cioe ∫ (^) b
a
[f (x) − g(x)] dx.
Tramite gli integrali doppi e le formule di riduzione si ha
Area(E) =
E
dxdy =
∫ (^) b
a
f (x)
g(x)
dy
∫ (^) b
a
[f (x) − g(x)] dx
e si ottiene precisamente la stessa formula.
7.6 Formula del cambiamento di variabili
In questa sezione ci occupiamo dell’analogo per gli integrali doppi della formula d’integra- zione per sostituzione per funzioni di una variabile.
- Iniziamo con il definire cosa intendiamo per cambiamento di coordinate. Sia U un aperto di R^2 , e diciamo (x, y) il suo generico punto. Cambiare le coordinate in U significa passare a nuove coordinate u, v legate alle vecchie da una relazione del tipo { x = Φ 1 (u, v) y = Φ 2 (u, v).
Al variare di (x, y) in U, le coordinate (u, v) descrivono un insieme V. Si dice che Φ e un cambiamento di coordinate di classe C^1 se Φ : V → Ue un’applicazione di classe C^1 , invertibile e tale che l’inversa Φ−^1 : U → V sia di classe C^1. Il cambiamento di coordinate puo anche essere pensato come una trasformazione tra V e U la cui leggee data da Φ, e che ammette inversa Φ−^1.
(u, v)
(x, y)
V
U
Φ
Φ−^1
Esempio 7.6. Ad esempio (^) { x = u + 2v y = u + v e un cambiamento di coordinate di classe C^1 in R^2 il cui inversoe dato da { u = 2y − x v = x − y.
7.6. FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI VARIABILI 183
Esempio 7.7 (Le coordinate polari). Sono molto utili nelle applicazioni le coor- dinate polari piane: si descrive (x, y) tramite (r, ϑ) dove r e la lunghezza del vettore determinato da (x, y), e ϑe l’angolo che esso determina con l’asse delle ascisse come in figura.
ϑ
r
(x, y)
x
y
Se descriviamo ad esempio l’insieme
U = {(x, y) ∈ R^2 : 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4 , x ≥ 0 }
x
y
tramite le coordinate polari, otteniamo che (r, ϑ) variano nel rettangolo V
1 ≤ r ≤ 2 e −
π 2
≤ ϑ ≤
π 2
- Diciamo jacobiano del cambiamento di coordinate Φ l’applicazione JΦ : V → R definita da JΦ(u, v) = det
∂u
∂Φ 1 ∂Φ^ ∂v 2 ∂u
∂Φ 2 ∂v
Possiamo dare un significato geometrico a |JΦ(u, v)| nel seguente modo.
7.6. FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI VARIABILI 185
Quindi l’area di Aε e approssimata dall’area del parallelogramma con un vertice in (x 0 , y 0 ) e con lati dati da εγ 1 ′(0) e εγ 2 ′(0): ricordando il significato del prodotto vettoriale tra due vettori, quest’areae data da
|εγ′ 1 (0) ∧ εγ 2 ′(0)| = ε^2 |γ 1 ′(0) ∧ γ 2 ′(0)|.
Ma |γ 1 ′(0) ∧ γ 2 ′(0)| = |JΦ(u 0 , v 0 )|. Dunque |JΦ(u 0 , v 0 )| pu`o essere interpetrato come il rapporto
|JΦ(u 0 , v 0 )| = lim ε→ 0
Area(Aε) Area(Qε)
- Possiamo ora enunciare l’analogo dell’integrazione per sostituzione per gli integrali doppi.
Proposizione 7.8 (Cambiamento di variabili). Siano U, V due aperti di R^2 , e sia Φ : V → U un cambiamento di coordinate di classe C^1. Sia f : U → R una funzione continua. Allora per ogni insieme misurabile secondo Riemann E ⊆ U tale che E ⊂ U, si ha che Φ−^1 (E) `e misurabile e ∫ ∫
E
f (x, y) dxdy =
Φ−^1 (E)
f (Φ 1 (u, v), Φ 2 (u, v))|JΦ(u, v)| dudv.
In particolare, scegliendo f = 1 si ha
Area(E) =
Φ−^1 (E)
|JΦ(u, v)| dudv.
La dimostrazione rigorosa della formula del cambiamento di variabili e complessa, ma l’idea che ne sta alla basee tutta contenuta nel significato geometrico del termine |JΦ(u, v)| che abbiamo visto al punto precedente. Infatti una somma di Riemann dell’integrale a secondo membro rispetto ad una quadrettatura nel piano (u, v) con quadrati Qijε di lato ε e con il vertice in basso a sinistra dato da (uij , vij ) `e data da
S˜ε =
i,j
f (Φ(uij , vij ))|JΦ(uij , vij )|Area(Qijε ).
Ma se Φ(uij , vij ) = (xij , yij ), e Aijε e il trasformato tramite Φ di Qijε , allora grazie al significato geometrico di |JΦ|, per ε piccolo tale sommae prossima a
S˜ε ∼
i,j
f (xij , yij )Area(Aijε ).
Il secondo membro `e una somma di Riemann per l’integrale a primo membro relativo ad una quadrettatura curvilinea nel piano xy data dai quadrilateri curvilinei Aijε e pertanto S˜ε approssima l’integrale doppio iniziale.
186 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
Qijε
Aijε
Φ
v
u
y
x
Esempio 7.9. Calcoliamo ∫ ∫
T
(x − y)^2 1 + (x − y)^2
dx dy
dove T = {(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ x − y ≤ 2 }. Facciamo il cambiamento di variabili { x = u x − y = v
x = u y = u − v
cio`e Φ(u, v) = (u, u − v). Si ha
JΦ(u, v) = det
L’insieme T diventa l’insieme
0 ≤ u ≤ 2 , 0 ≤ v ≤ 2
per cui
I =
0
0
v^2 1 + v^2
du dv = 2
0
v^2 1 + v^2
dv = 2
0
1 + v^2
dv
= 2 [v − arctan v]^20 = 2(2 − arctan 2).
- Nel caso delle coordinate polari piane si ha che JΦ(r, ϑ) = r cos`ı che si ha ∫ ∫
E
f (x, y) dxdy =
Φ−^1 (E)
f (r cos ϑ, r sin ϑ)rdrdϑ.
Esempio 7.10. Consideriamo
I =
T
x^2 dx dy
dove T = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 4 , x ≥ 0 , y ≥ 0 }.
