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Capitolo 16
Esercizi sugli integrali doppi
————————————————– Brevi richiami di teoria
Sia f : [a, b] × [c, d] −→ B ⊂ IR una funzione limitata e non negativa, definita sul rettangolo R = [a, b] × [c, d]. Dividiamo l’intervallo [a, b] in n intervallini, diciamo Ik, k = 1,... n, e l’intervallo [c, d] in m intervallini, diciamo Jh, h = 1 ,... , m; denotiamo con (xk, yh) il punto centrale del rettangolino Ik × Jh. Si definisce integrale doppio di f (x, y) sul rettangolo R il limite:
∫ ∫
R
f (x, y)dxdy = lim n,m→∞
∑^ n
k=
∑^ m
h=
f (xk, yh) · area(Ik × Jh)
Se gli intervallini Ik e Jh sono tutti uguali, l’espressione di sopra diventa:
∫ ∫
R
f (x, y)dxdy = lim n,m→∞
∑^ n
k=
∑^ m
h=
f (xk, yh)
(b − a)(d − c) nm
Per definire l’integrale doppio esteso ad un insieme E limitato che non `e un rettangolo, si procede come segue. Sia R un rettangolo contenente E al suo interno; allora si pone
∫ ∫
E
f (x, y)dxdy =
R
f ∗(x, y)dxdy
ove f ∗(x, y) =
f (x, y) se (x, y) ∈ E 0 se (x, y) ∈ R − E Si chiama dominio normale rispetto all’asse x un insieme del tipo E = {(x, y) ∈ IR^2 : a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}, dove α(x) e β(x) sono due funzioni di x.
12 Capitolo 16
Si chiama dominio normale rispetto all’asse y un insieme del tipo F = {(x, y) ∈ IR^2 : a ≤ y ≤ b, α(y) ≤ x ≤ β(y)}, dove α(y) e β(y) sono due funzioni di y. Per calcolare l’integrale doppio di f (x, y) esteso ad un dominio E normale rispetto all’asse x, si procede come segue:
∫ ∫
E
f (x, y)dxdy =
∫ (^) b
a
dx
β(x)
α(x)
f (x, y)dy
in cui si calcola prima l’integrale interno tra ( ), il cui risultato risulta una funzione di x, e poi si calcola l’integrale esterno, integrando in dx. Per calcolare l’integrale doppio di f (x, y) esteso ad un dominio F normale rispetto all’asse y, si procede come segue:
∫ ∫
F
f (x, y)dxdy =
∫ (^) b
a
dy
β(y)
α(y)
f (x, y)dx
in cui si calcola prima l’integrale interno tra ( ), il cui risultato risulta una funzione di y, e poi si calcola l’integrale esterno, integrando in dy. Se E si puo scrivere sia come dominio normale rispetto all’asse x, che come dominio normale rispetto all’asse y, l’integrale doppio si calcola indifferente- mente in uno dei due modi, pervenendo allo stesso risultato, grazie al Teorema di Fubini. Se l’insieme E si puo scrivere come unione di piu insiemi, l’integrale doppio di f (x, y) esteso ad E risulta essere la somma degli integrali doppi estesi agli insiemi la cui unionee E (additivita dell’integrale doppio). L’ integrale doppio esteso ad E di una combinazione lineare di funzioni f (x, y) e g(x, y) risulta essere la combinazione lineare degli integrali doppi (linearita dell’integrale doppio). Il significato geometrico dell’integrale doppio di f (x, y) esteso ad E `e il volume della parte di spazio compresa sotto al grafico (superficie) della funzione f (x, y) ed individuata dall’insieme E. Se f (x, y) = 1, si ottiene
E dxdy^ = area(E). ——————————————————————————————————
. Esercizio 16. Calcolare l’integrale doppio esteso all’ insieme a fianco indicato:
E x
(^3) y dxdy, E = {(x, y) ∈ IR (^2) : 0 ≤ x ≤ 1; − 1 ≤ y ≤ 0 };
E sin^ x^ cos^ y dxdy, E^ =^ {(x, y)^ ∈^ IR
(^2) : 0 ≤ x ≤ π; 0 ≤ y ≤ π};
E x
1 + y^2 dxdy, E = {(x, y) ∈ IR^2 : − 1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 3 };
E
1 1 −x−y+xy dxdy, E^ =^ {(x, y)^ ∈^ IR
2 ≤^ x^ ≤^
1 2 ; 0^ ≤^ y^ ≤^
1 2 };
14 Capitolo 16
. Esercizio 16. Calcolare
−∞
−∞ e
−(x^2 +y^2 )dxdy
. Esercizio 16. Calcolare
E (x^ −^ 2)
(^2) dxdy, E = {|x| ≤ 2 , |y| ≤ 2 , x (^2) + y (^2) ≥ 1 }
. Esercizio 16. Calcolare
E
1 x dxdy, E^ =^ {^1 ≤^ x
(^2) + y (^2) ≤ 4 , −x ≤ y ≤ x}
. Esercizio 16. Calcolare l’area racchiusa dall’ellisse di equazione x
2 a^2 +^
y^2 b^2 = 1
. Esercizio 16. Calcolare
E xe
y (^) dxdy, ove E `e il triangolo formato dalla retta di equazione
y = −x + 1 e gli assi coordinati.
. Esercizio 16. Calcolare
A x(y+sin^ πy)dxdy,^ ove^ A^ e la figura piana la cui frontiera percorsa in verso orarioe formata dal grafico di y = 2
x, per 0 ≤ x ≤ 1; dal segmento di retta y = −x + 3, per 1 ≤ x ≤ 2; dal segmento di retta y = x − 1 per 0 ≤ x ≤ 2; dal segmento 0 ≤ x ≤ 1 dell’asse x.
. Esercizio 16. Calcolare
A(1 +^ x^ +^ y)
− (^2) dxdy, ove A `e l’insieme dell’ Esercizio 16.
. Esercizio 16. Calcolare area e baricentro di B, ove B `e delimitato dalla parabola di equazione y = x^2 e dalla retta y = 1. . Esercizio 16. Calcolare
C e
x+y (^) dxdy, ove C = [0, π/2] × [0, π].
. Esercizio 16. Calcolare
D (x
(^2) +y)dxdy, ove D `e la parte di piano delimitata dalla parabola
di equazione y = −x^2 + 1 e dall’asse delle x.
. Esercizio 16. Se G = {x^2 +y^2 / 4 ≤ 2; y ≥ 2 x}, calcolare l’area di G e
G x
(^3) ydxdy. Calcolare
inoltre
G |y|dxdy.
Capitolo 32
Soluzione degli esercizi del Capitolo 16
. Esercizio 16.
- I =
0 x
(^3) dx ∫^0 − 1 ydy^ =^
0 x
(^3) dx[y (^2) /2] 0 − 1 =^...^ =^ −^ 1
I =
∫ (^) π 0 sin^ xdx^
∫ (^) π 0 cos^ ydy^ =^
0 π^ sin^ xdx[sin^ y]
π 0 = 0.
- I =
− 1 xdx^
0
1 + y^2 dy. Ricordiamo che
1 + y^2 dy = y 2
1 + y^2 + 1 2 ln(y^ +
1 + y^2 )+C, dunque I = [x^2 /2]^1 − 1 ·[ y 2
1 + y^2 + 12 ln(y +
1 + y^2 )]^30 = 1 2 (
10 + ln(3 +
- La funzione integranda si pu`o scrivere (^) (1−x)(1^1 −y) , pertanto
I =
− 1 / 2
1 1 −x
0
1 1 −y dy^ =^...^ = ln 2^ ·^ ln 3.
- I =
∫ (^) π/ 2 0 dx^
∫ (^) x 0 dy^ sin(x^ +^ y) =^ −^
∫ (^) π/ 2 0 dx[cos(x^ +^ y)]
y=x y=0 + −
∫ (^) π/ 2 0 dx(cos 2x^ −^ cos^ x) =^...^ = 1.
- I =
− 1 xdx^
∫ (^) 1+x −x^2 ydy^ =^
− 1 xdx[y
(^2) /2]1+x −x^2 =^...^ =^
1
L’insieme E `e la cornice racchiusa tra il quadrato Q di vertici (2, 0), (0, 2), (− 2 , 0), (0, −2) e il quadrato Q′^ di vertici (1, 0), (0, 1), (− 1 , 0), (0, −1). Quindi I =
Q f^ (x, y)dxdy^ −
Q′^ f^ (x, y)dxdy. Ora
Q f^ (x, y)dxdy^ =^
0 ydy^
∫ (^2) −y y− 2 (x^ −^ 1)dx^ +^
− 2 ydy^
∫ (^) y+ −y− 2 (x^ −^ 1)dx^ =^...^ = −8; l’altro integrale
Q′^ f^ (x, y)dxdy^ =^
0 ydy^
∫ (^1) −y y− 1 (x^ −^ 1)dx^ si calcola in maniera analoga.
. Esercizio 16. l’iperbole di equazione xy = α interseca la retta y = 1 nel punto (α, 1). L’insieme E e quindi l’unione del rettangolo di base α e altezza 1 con il sottografico di y = α/x per x ∈ (α, 1). Pertanto, l’area di Ee uguale a
α +
α αdx/x^ =^...^ =^ α(1^ −^ ln^ α).
Soluzione degli esercizi del Capitolo 16 17
{(ρ, θ) : −π/ 2 ≤ θ ≤ π/ 2 , 0 ≤ ρ ≤ 4 cos θ}. Si ottiene quindi
I =
∫ (^) π/ 2 −π/ 2 dθ^
∫ (^) 4 cos θ 0 ρ
(^2) dρ =... = 4π.
. Esercizio 16. I =
0 dy^
∫ (^) y y^2 (x
(^2) + y (^2) )− 1 / (^2) dy =...
. Esercizio 16. Passando a coordinate polari centrate in (0, 0) si ottiene
I =
∫ (^2) π 0 dθ^
0 ρe
−ρ^2 dρ = ∫^2 π 0 [−e
−ρ^2 /2]+∞ 0 =^...^ =^ π.
. Esercizio 16. L’insieme di integrazione `e la parte di piano interna al quadrato Q di lato 4 con centro nell’origine ed esterna al cerchio con centro l’origine e raggio 1. Quindi I =
− 2 (x^ −^ 2)
(^2) dx ∫^2 − 2 dy^ −^
∫ (^2) π 0 dθ^
0 ρdρ(ρ^ cos^ θ^ −^ 2)
3 −^
17 π
. Esercizio 16. L’insieme di integrazione `e un settore di corona circolare di raggi 1 e 2, pre-
cisamente si ha I =
∫ (^) π/ 4 −π/ 4 dθ^
1 ρdρ^
1 ρ cos θ =^
∫ (^) π/ 4 −π/ 4
dθ cos θ = [−^ ln^ |^ tan(π/^4 − x/2)|]π/ −π/^44 = ln | tan(3π/8)| − ln | tan(−π/8)|.
. Esercizio 16. Usando le coordinate polari ellittiche
{ x = aρ cos θ y = bρ sin θ
la parte di piano racchiusa dall’ellisse si scrive come {(ρ, θ) : 0 ≤ ρ < 1 , θ ∈ [0, 2 π)}. La matrice Jacobiana associata alla trasformazione inversa `e
J =
a cos θ −aρ sin θ b sin θ bρ cos θ
con detJ = abρ. Pertanto, l’area dell’ellisse `e
∫ (^2) π 0 dθ^
0 abρ^ =^ πab.^ Nel caso del cerchio (ovvero per a = b = r) si riottiene la nota formula A = πr^2.
. Esercizio 16. I =
0 xdx^
∫ (^) −x+ 0 e
y (^) dy =... = e − 5
. Esercizio 16. I =
0 dx^
∫ 2 √x 0 dy x(y^ + sin^ πy) +^
1 dx^
∫ (^3) −x x− 1 dy x(y^ + sin^ πy) =^...
18 Soluz. Cap. 16
. Esercizio 16. I =
0 dx^
∫ 2 √x 0 dy^ (1 +^ x^ +^ y)
− 2 + ∫^2
1 dx^
∫ (^3) −x x− 1 dy^ (1 +^ x^ +^ y)
. Esercizio 16. L’area di B `e uguale a 2 − 2
0 x
(^2) dx = 4 3 ; l’ascissa^ xc^ del baricentro di B `e ovviamente 0 per motivi di simmetria, mentre yc =
B ydy/(4/3) = 3 4
− 1 dx^
x^2 ydy^ =^...^ =^
3
. Esercizio 16. I =
∫ (^) π/ 2 0 e
xdx ∫^ π 0 e
y (^) dy =
π/ 2 0 e
xdx
π 0 e
y (^) dy)^ = (eπ (^) − 1)(eπ/ (^2) − 1).
. Esercizio 16. I =
− 1 dx^
∫ (^) −x (^2) + 0 (x
(^2) + y)dy = ∫^1 − 1 dx[x
(^2) y + y (^2) /2]−x^2 + 0 =^...
. Esercizio 16. L’equazione dell’ellisse x^2 + y^2 /4 = 2 si riduce in forma canonica dividendo
entrambi i membri per 2, ovvero x
2 2 +^
y^2 8 = 1.^ L’insieme^ G^ e costituito dalla parte di ellisse sopra la retta y = 2x; questa interseca l’ellisse nei punti di ascissa x = ± 1. Pertanto, passando a coordinate polari ellittiche (v. Esercizio 16.15), si puo scrivere G = { 0 ≤ ρ ≤ 1 , π/ 4 ≤ θ ≤ 5 π/ 4 }. Quindi, l’area di
G `e uguale a
∫ (^5) π/ 4 π/ 4 dθ^
0 abρ^ =^
πab 2.^ Sostituendo^ a^ =^
2 e b =
8 , si ottiene area(G) = 2π.
Risulta poi
G x
(^3) ydxdy = ∫^5 π/^4 π/ 4 dθ^
0 abρ
(^5) cos (^3) θρ sin θdρ =
= 4
∫ (^5) π/ 4 π/ 4 cos
(^3) θ sin θdθ ∫^1 0 ρ
(^5) dρ =... 0.
Infine
G |y|dxdy^ = 4^
∫ (^5) π/ 4 π/ 4 dθ^
0 ρdρ|ρ^ sin^ θ|^ =^
4 3
∫ (^5) π/ 4 π/ 4 |^ sin^ θ|dθ^ =
= (^43)
∫ (^) π π/ 4 sin^ θdθ^ −^
4 3
∫ (^5) π/ 4 π sin^ θdθ^ =^...^
8
