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Integrali indefiniti
definita in
[
]
derivabile in
[
]
′
= primitiva di 𝑓
, D
[
]
′
- 𝑐 = tutte e sole le primitive di 𝑓
= infinite curve piane
curve integrali
ottenute dal grafico di 𝐹
traslato verticalmente di vettore 𝑣⃗
integrale indefinito di 𝑓(𝑥) = tutte le primitive 𝐹(𝑥) + 𝑐 di 𝑓(𝑥) con 𝑐 ∈ ℝ, rappresentato con ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 , «integrale indefinito di 𝑓(𝑥) di 𝑑𝑥 »
= funzione integranda, 𝑥 = variabile di integrazione, 𝑐 = 0 → 𝐹
= primitiva fondamentale
ammette una primitiva
e quindi infinite primitive
→ funzione integrabile
condizione sufficiente di integrabilità: 𝑓(𝑥) continua in [𝑎; 𝑏] → ammette primitive in [𝑎; 𝑏]
Proprietà di linearità
- l
′
integrale di una somma di funzioni integrabili è uguale
alla somma degli integrali indefiniti delle singole funzioni
∫[
)]
D {∫
[
)]
D [∫ 𝑓
𝑑𝑥] = D [∫ 𝑓
𝑑𝑥] + D [∫ 𝑔
𝑑𝑥] = 𝑓
- l
′
integrale del prodotto di una costante per una funzione integrabile
è uguale al prodotto della costante per l
′
integrale della funzione
D [∫ 𝑘 ∙ 𝑓
𝑑𝑥] = 𝑘 ∙ 𝑓
D
[
]
= 𝑘 ∙ D
[∫
]
proprietà espresse in un
′
unica formula in quanto l
′
integrale è un operatore lineare
∫[𝑐
1
2
𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝑐
1
2
Integrali indefiniti immediati
𝛼
𝛼
𝛼+ 1
D
[
𝛼+ 1
]
𝛼+ 1 − 1
𝛼
0
2
ibidem invertens
3
1
2
− 1
𝑑𝑥 = ln
𝑥 > 0 → D ln
= D ln 𝑥 =
𝑥 < 0 → D ln
= D ln
esponenziali
𝑥
𝑥
𝑥
ln 𝑎
𝑥
+ 𝑐 D [
ln 𝑎
𝑥
+ 𝑐] =
ln 𝑎
𝑥
ln 𝑎 = 𝑎
𝑥
goniometriche
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐 D[− cos 𝑥 + 𝑐] = −(− sin 𝑥) = sin 𝑥
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐 ibidem invertens
cos
2
𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐 ibidem invertens
sin
2
𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝑐 ibidem invertens
funzione
goniometrica
inversa
2
𝑑𝑥 = arcsin 𝑥 + 𝑐 ibidem invertens
2
2
𝑑𝑥 = − arccos 𝑥 + 𝑐 D
[
arccos 𝑥
]
2
2
𝑑𝑥 = arctan 𝑥 + 𝑐 ibidem invertens
2
2
𝑑𝑥 = − arccot 𝑥 + 𝑐 D[arctan 𝑥] =
2
funzione
composta
∫[𝑓
]
𝛼
′
[
)]
𝛼+ 1
′
𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝑐
tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ln
cos 𝑥
cot 𝑥 = ln
sin 𝑥
′
𝑓
( 𝑥
)
𝑓(𝑥)
ln 𝑎
′
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
′
sin 𝑓
𝑑𝑥 = − cos 𝑓
′
cos 𝑓
𝑑𝑥 = sin 𝑓
′
cos
2
𝑑𝑥 = tan 𝑓
′
sin
2
𝑑𝑥 = − cot 𝑓
′
[
)]
2
𝑑𝑥 = arcsin 𝑓
′
[
)]
2
𝑑𝑥 = arctan 𝑓(𝑥) + 𝑐
Integrazione per sostituzione
[
)]
′
′
− 1
invertibile con 𝑔
′
continua e diversa da 0
si calcola 𝑑𝑥 o 𝑑𝑡 e si sostituisce nell
′
integrale dato
Integrazione per parti
′
′
= fattore finito, 𝑔
′
= fattore differenziale
D
[
)]
′
′
D
[
)]
∫[
′
′
)]
′
′
in genereale 𝑥
𝑛
= fattore finito negli integrali di tipo
𝑛
sin 𝑥 𝑑𝑥 ,
𝑛
cos 𝑥 𝑑𝑥 ,
𝑛
𝑥
in genereale 𝑥
𝑛
= fattore differenziale negli integrali di tipo ∫ 𝑥
𝑛
arcsin 𝑥 𝑑𝑥 , ∫ 𝑥
𝑛
arctan 𝑥 𝑑𝑥 , ∫ 𝑥
𝑛
ln 𝑥 𝑑𝑥
in genereale 𝑥
0
= fattore differenziale negli integrali di tipo ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 , ∫ arcsin 𝑥 𝑑𝑥 , ∫ arctan 𝑥 𝑑𝑥
Integrazione di funzioni razionali fratte
polinomi, 𝑁°
∫ [
]
2
2
si scompone 𝑎𝑥
2
1
2
si scrive la frazione come somma di frazioni con 𝐷°
2
1
2
si calcola la somma delle due frazioni al secondo membro
si determinano 𝐴 e 𝐵 risolvendo il sistema in cui le equazioni si ottengono
uguagliando fra loro rispettivamente i coefficienti di 𝑥 e dei termini noti
si risolve ∫ [
1
2
] 𝑑𝑥
2
1
2
1
− 1
1
si scompone 𝑎𝑥
2
1
2
1
si scrive la frazione come somma di frazioni
2
1
1
2
si calcola la somma delle due frazioni al secondo membro
si determinano 𝐴 e 𝐵 risolvendo il sistema in cui le equazioni si ottengono
uguagliando fra loro rispettivamente i coefficienti di 𝑥 e dei termini noti
si risolve ∫ [
1
1
2
] 𝑑𝑥
2
si scrive 𝐷 nella forma
[
)]
2
con il completamento del quadrato
si trasforma 𝑁 in 𝑓
′
si calcola
′
[𝑓
]
2
𝑑𝑥 = arctan 𝑓
2
si opera su 𝑁 per farvi figurare 𝐷′
si scrive l
′
integrale come somma di due integrali
2
2
teorema della media
continua in
[
]
𝑏
𝑎
[
]
dimostrazione
continua in [𝑎; 𝑏] → teorema di Weierstrass → 𝑚 ≤ 𝑓
proprietà degli integrali → ∫ 𝑚 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
proprietà dell
′
integrale di una funzione costante → 𝑚
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
teorema dei valori intermedi → ∃𝓏 ∈
[
]
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
valore medio di 𝑓
in
[
]
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
= lim
𝑛→+∞
1
1
𝑛
𝑛
, intervalli Δ𝑥
𝑖
di ampiezza costante Δ𝑥 =
1
𝑛
1
𝑛
1
𝑛
teorema fondamentale del calcolo integrale / teorema di Torricelli − Barrow
𝑓(𝑥) continua in [𝑎; 𝑏], 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]
𝑥
𝑎
= funzione 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒
continua in
[
]
′
, ovvero 𝐹
è una primitiva di 𝑓
dimostrazione
incrementare 𝑥 di un valore ℎ ≠ 0 | 𝑎 < 𝑥 + ℎ < 𝑏, 𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑥+ℎ
𝑎
𝑥
𝑎
proprietà di additività dell
′
integrale → 𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
𝑥+ℎ
𝑎
𝑥
𝑎
𝑥+ℎ
𝑎
teorema della media → integrale = ℎ ∙ 𝑓
, 𝓏 ∈ [𝑥; 𝑥 + ℎ] se ℎ > 0 ∨ 𝓏 ∈ [𝑥 + ℎ; 𝑥] se ℎ < 0
, lim
ℎ→ 0
𝑓(𝓏) = lim
𝑧→𝑥
𝑓(𝓏) = 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) continua per ipotesi
−
−
, lim
ℎ→ 0
−
= lim
𝑧→𝑥
−
continua per ipotesi
⟩ lim
ℎ→ 0
= lim
𝑧→𝑥
lim
ℎ→ 0
= lim
ℎ→ 0
′
= D ∫ 𝑓
𝑥
𝑎
𝑥
𝑎
calcolo dell
′
integrale definito
= primitiva qualsiasi di 𝑓
= particolare primitiva di 𝑓
𝑥
𝑎
𝑎
𝑎
𝑏
𝑎
𝑥
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
= formula di Leibniz − Newton
indicata in modo sintetico: 𝜑
[
)]
calcolo delle aree
curva − asse 𝑥
𝑓 pari 𝑆 = ∫ 𝑓
𝑎
−𝑎
𝑎
0
𝑓 dispari 𝑆 = ∫ 𝑓
𝑎
−𝑎
tra due curve
continue in
[
]
[
]
[
)]
𝑏
𝑎
calcolo dei volumi
solido di rotazione
asse 𝑥
trapezoide esteso all
′
intervallo [𝑎; 𝑏]
delimitato da 𝑓
positiva o nulla,
dall
′
asse 𝑥, dalle rette 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥)]
2
𝑏
𝑎
asse 𝑦
trapezoide delimitato da 𝑥 = 𝑓
positiva o nulla,
dall
′
asse 𝑦, dalle rette 𝑦 = 𝑎 e 𝑦 = 𝑏
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑓
]
2
𝑏
𝑎
metodo dei gusci cilindrici
attorno all
′
asse 𝑦
trapezoide esteso all
′
intervallo
[
]
delimitato da 𝑓(𝑥) positiva o nulla,
dall
′
asse 𝑥, dalle rette 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏
𝑏
𝑎
integrali impropri
numero finito di punti di discontinuità in
[
]
𝑓(𝑥) continua in ogni punto di [𝑎; 𝑏[ eccetto 𝑏
𝓏 ∈ [𝑎; 𝑏[ → 𝑓
continua in 𝓏 → ∃ ∫ 𝑓
𝑧
𝑎
definita in [𝑎; 𝑏[
∃ lim
𝓏→𝑏
−
𝑏
𝑎
= lim
𝓏→𝑏
−
𝓏
𝑎
integrabile in senso improprio o generalizzato in [𝑎; 𝑏]
𝑏
𝑎
integrale improprio e convergente di 𝑓
in [𝑎; 𝑏]
∄ lim
𝓏→𝑏
−
∨ lim
𝓏→𝑏
−
non integrabile in senso improprio in
[
]
𝑏
𝑎
integrale indeterminato ∨ divergente
𝑓(𝑥) continua in ogni punto di ]𝑎; 𝑏] eccetto 𝑎
𝓏 ∈ ]𝑎; 𝑏] → 𝑓
continua in 𝓏 → ∃ ∫ 𝑓
𝑏
𝑧
definita in ]𝑎; 𝑏]
∃ lim
𝓏→𝑎
𝑏
𝑎
= lim
𝓏→𝑎
𝑏
𝓏
integrabile in senso improprio o generalizzato in
[
]
𝑏
𝑎
integrale improprio e convergente di 𝑓
in
[
]
∄ lim
𝓏→𝑎
∨ lim
𝓏→𝑎
non integrabile in senso improprio in
[
]
𝑏
𝑎
integrale indeterminato ∨ divergente
𝑓(𝑥) continua in ogni punto di [𝑎; 𝑏] eccetto 𝑐 ∈ [𝑎; 𝑏]
𝑏
𝑎
in senso improprio = somma degli integrali
𝑐
𝑎
e
𝑏
𝑐
se esistono in base alle definizioni precedenti
𝑏
𝑎
= lim
𝑡→𝑐
−
𝑡
𝑎
𝓏→𝑐
𝑐
𝓏
integrale di una funzione in un intervallo illimitato
continua in ogni punto di [𝑎; +∞[
𝓏
𝑎
definita in [𝑎; +∞[
∃ lim
𝓏→+∞
+∞
𝑎
= lim
𝓏→+∞
𝓏
𝑎
+∞
𝑎
integrale determinato e convergente
∄ lim
𝓏→+∞
∨ lim
𝓏→+∞
non integrabile in senso improprio in [𝑎; +∞[
+∞
𝑎
integrale indeterminato ∨ divergente
continua in ogni punto di ] − ∞; 𝑎]
𝑎
𝓏
= 𝓌 ∈ ℝ = 𝐹(𝓏) definita in ] − ∞; 𝑎]
∃ lim
𝓏→−∞
𝑎
−∞
= lim
𝓏→−∞
𝑎
𝓏
𝑎
−∞
integrale determinato e convergente
∄ lim
𝓏→−∞
∨ lim
𝓏→−∞
non integrabile in senso improprio in ] − ∞; 𝑎]
𝑎
−∞
integrale indeterminato ∨ divergente
𝑏
𝑎
