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0.1 Funzioni integrabili in senso generalizzato e integrali
generalizzati
In questo paragrafo estenderemo la nozione di integrabilit‡ e di integrale a fun- zioni non limitate o deÖnite su intervalli non limitati. I) Integrale generalizzato su un intervallo limitato di funzioni non limitate in un numero Önito di punti
Poniamo la seguente
DeÖnizione 3. Siano a; b 2 R con a < b e sia f : [a; b]! R una funzione non limitata in un intorno del punto a. Diremo che f Ë integrabile in senso generalizzato in [a; b] se i) per ogni c 2 ]a; b[, f Ë integrabile secondo Riemann in [c; b], ii) esiste Önito il
lim c!a+
Z (^) b
c
f (x) dx, (1)
in tale caso il limite (1) sar‡ chiamato integrale generalizzato di f esteso allíintervallo [a; b] e sar‡ indicato con Z (^) b
a
f (x) dx.
In modo analogo si pone la seguente
DeÖnizione 4. Siano a; b 2 R con a < b e sia f : [a; b]! R una funzione non limitata in un intorno del punto b. Diremo che f Ë integrabile in senso generalizzato in [a; b] se i) per ogni c 2 ]a; b[, f Ë integrabile secondo Riemann in [a; c], ii) esiste Önito il
lim c!b
Z (^) b
c
f (x) dx, (2)
in tale caso il limite (1) sar‡ chiamato integrale generalizzato di f esteso allíintervallo [a; b] e sar‡ indicato con Z (^) b
a
f (x) dx.
Osservazione 3. Si osservi il valore di un integrale generalizzato non dipende dal valore che f assume in a (nel caso in cui f non sia limitatata in un intorno di tale punto) e in b (nel caso in cui f non sia limitata in un intorno di tale punto).
Osservazione 4. Si ricordi che dalla proposizione 12 segue immediatamente che se f Ë integrabile secondo Riemann nelíintervallo [a; b] allora
lim c!a+
Z (^) b
c
f (x) dx = lim c!b
Z (^) b
c
f (x) dx =
Z (^) b
a
f (x) dx,
dove tutti gli integrali, e in particolare
Z (^) b
a
f (x) dx, sono integrali secodo Riemann.
Esempio 1. Sia un numero reale positivo e sia
f (x) =
(x a)
, x 2 ]a; b].
f non Ë limitata in un intorno di a in quanto
lim x!a+
(x a)
mostriamo che f Ë integrabile in senso generalizzato in [a; b] se e solo se < 1. (per líOsservazione 3 f puÚ essere deÖnita in modo arbitrario in a). Infatti, per ogni c 2 ]a; b[, f Ë integrabile secondo Riemann in [c; b], poichÈ f Ë continua in tale intervallo. Ora, esaminiamo il
lim c!a+
Z (^) b
c
(x a)
dx. (3)
Se 6 = 1 abbiamo
Z (^) b
c
(x a)
dx =
(x a)^1 1
#b
c
(b a)^1 1
(c a)^1 1
Invece, se = 1 abbiamo
Z (^) b
c
x a
dx = [ln (x a)]bc = ln b a c a
PerciÚ
lim c!a+
Z (^) b
c
(x a)
dx =
- 1 , se 1 , (b a)^1 1 , se^ <^1
e ciÚ prova quanto asserito.|
Esempio 2. In modo del tutto analogo si ha che la un numero reale positivo e sia
f (x) =
(b x)
, x 2 [a; b[.
Allora f non Ë limitata in un intorno di b e risulta integrabile in senso general- izzato in [a; b] se e solo se < 1. (per líOsservazione 3 f puÚ essere deÖnita in modo arbitrario in b).|
Se f : [a; b]! R non Ë limitata in un intorno dei punti x 1 ; x 2 ; :::xn 2 [a; b] con x 1 < x 2 < ::: < xn, la deÖnizione di integrabilit‡ in senso generalizzato puÚ essere estesa nel modo seguente. Suddividiamo líintervallo [a; b] mediante N
intervalli I 1 ; I 2 ; :::; IN , a due a due internamente disgiunti (cioË tali che
o Ii \
o Ik =
Quindi
Z (^2)
0
f (x) dx =
Z 1
0
p (^3) x 1 dx +
Z 2
1
p (^3) x 1 dx =
Esempio 4. Sia f : [ 1 ; 1]! R tale che
f (x) =
x^3 , x 2 [ 1 ; 1] r f 0 g ,
f deÖnita in modo arbitrario nel punto 0. Mostriamo che f non Ë integrabile in senso generalizzato in [ 1 ; 1] Infatti, come si deduce immediatamente dagli esempi 1 e 2, f risulta non inte- grabile in senso generalizzato negli intervalli [ 1 ; 0] e [0; 1].|
Esempio 5. Sia f : [ 1 ; 1]! R tale che
f (x) =
p 1 x^2
, x 2 [ 1 ; 1] r f 0 g ,
f deÖnita in modo arbitrario nel punto 0. Mostriamo che f Ë integrabile in senso generalizzato in [ 1 ; 1] e
Z (^1)
1
f (x) dx = .
f risulta integrabile in senso generalizzato negli intervalli [ 1 ; 0] e [0; 1] infatti
Z (^0)
1
p 1 x^2
dx = lim c! 1 +
Z 0
c
p 1 x^2
dx = lim c! 1 +^
arcsin c =
e (^) Z 1
0
p 1 x^2
dx = lim c! 1
Z (^) c
0
p 1 x^2
dx = lim c! 1 ^
arcsin c =
quindi
Z (^1)
1
p 1 x^2
dx =
Z 0
1
p 1 x^2
dx +
Z 1
0
p 1 x^2
dx =
Teorema 15 (criterio del confronto). Siano f : [a; b]! R e g : [a; b]! R due funzioni non limitate in un intorno del punto a e non negative in [a; b]. Supponiamo che i) per ogni c 2 ]a; b[, f sia integrabile secondo Riemann in [c; b], ii) f (x) g (x) per ogni x 2 ]a; b], Allora se g Ë integrabile in senso generalizzato in [a; b] anche f Ë integrabile in senso generalizzato in [a; b].
Dimostrazione. PoichÈ vale líipotesi i), per dimostrare che f Ë integrabile in senso generalizzato in [a; b] basta dimostrare che il limite
lim c!a+
Z (^) b
c
f (x) dx, (5)
esiste ed Ë Önito. Riguardo allíesistenza del limite (5) basta osservare che, poichÈ f Ë non negativa in [a; b], la funzione integrale
]a; b] 3 c!
Z (^) b
c
f (x) dx (6)
Ë decrescente. Per dimostrare che il limite (5) Ë Önito, basta osservare che dalla ii) si ha Z (^) b
c
f (x) dx
Z (^) b
c
g (x) dx , per ogni c 2 ]a; b] ,
quindi
lim c!a+
Z (^) b
c
f (x) dx lim c!a+
Z (^) b
c
g (x) dx.
Díaltra parte il lim c!a+
Z (^) b
c
g (x) dx Ë Önito perchÈ g Ë integrabile in senso general-
izzato in [a; b]. Quindi il limite (5) esiste ed Ë Önito, perciÚ f Ë integrabile in senso generalizzato in [a; b].
In modo del tutto analogo si dimostra il
Teorema 15bis (criterio del confronto). Siano f : [a; b]! R e g : [a; b]! R due funzioni non limitate in un intorno del punto b e non negative in [a; b]. Supponiamo che i) per ogni c 2 ]a; b[, f sia integrabile secondo Riemann in [a; c], ii) f (x) g (x) per ogni x 2 [a; b[, Allora se g Ë integrabile in senso generalizzato in [a; b] anche f Ë integrabile in senso generalizzato in [a; b].
Osservazione 5. Si osservi che nelle ipotesi i) ii) del teorema 15 (teorema 15bis) se f non Ë integrabile in senso generalizzato in [a; b] allora g non Ë integrabile in senso generalizzato in [a; b].
Osservazione 6. Per quanto riguarda il teorema 15 (analoghe considerazioni valgono per il teorema 15bis) si osservi che esso continua a valere se si suppone che f e g siano non negative soltanto in un intorno di a e invece di ii) si suppone che iií) esiste c 2 ]a; b] tale che f (x) g (x) per ogni x 2 ]a; c].
Teorema 16 (criterio del confronto asintotico). Sia f : [a; b]! R una funzione non limitata e non negativa in un intorno del punto a. Supponiamo che
che f Ë assolutamente integrabile in senso generalizzato (o semplicemente: as- solutamente integrabile) in [a; b] se jf j Ë integrabile in senso generalizzato in [a; b].
Vale il seguente
Teorema 17. Sia f : [a; b]! R una funzione non limitata in un intorno del punto a. Supponiamo che i) per ogni c 2 ]a; b[, f sia integrabile secondo Riemann in [c; b], ii) f Ë assolutamente integrabile in [a; b]. Allora f Ë integrabile in senso generalizzato in [a; b]. Dimostrazione. Indichiamo con f+ e f rispettivamente, le due funzioni
f+ (x) = max ff (x) ; 0 g , f (x) = min ff (x) ; 0 g. (7)
Risulta jf j = f+ + f , f = f+ f . (8)
Inoltre, da queste ultime si ha immediatamente
f+ =
jf j + f 2 , f =
jf j f 2
e da ciÚ, ricordando il teorema 7, si ha che
per ogni c 2 ]a; b[ , f+ e f sono integrabili secondo Riemann in [c; b]. (9)
Ora, da (7) si ha 0 f+ jf j , 0 f jf j. (10)
Per il teorema del confronto, da (10) e dalla (9), ricordando la ii), si ha che f+ e f sono integrabili in senso generalizzato. Quindi esistono Öniti i limiti
lim c!a+
Z (^) b
c
f+ (x) dx , lim c!a+
Z (^) b
c
f (x) dx.
PerciÚ, ricordando la seconda delle (8), abbiamo
lim c!a+
Z (^) b
c
f (x) dx = lim c!a+
Z (^) b
c
(f+ (x) f (x)) dx = lim c!a+
Z (^) b
c
f+ (x) dx lim c!a+
Z (^) b
c
f (x) dx,
quindi il limite
lim c!a+
Z (^) b
c
f (x) dx,
esiste ed Ë Önito e ciÚ prova che f Ë integrabile in senso generalizzato in [a; b].
In modo analogo si dimostra il seguente
Teorema 17bis. Sia f : [a; b]! R una funzione non limitata in un intorno di punto b. Supponiamo che i) per ogni c 2 ]a; b[, f sia integrabile secondo Riemann in [a; c],
ii) f Ë assolutamente integrabile in [a; b]. Allora f Ë integrabile in senso generalizzato in [a; b].
Osservazione 7. Si tenga presente che puÚ accadere che f sia integrabile in senso generalizzato in [a; b] e f non sia assolutamente integrabile in [a; b]. Infatti si puÚ dimostrare che la funzione
f (x) = x sin
x
, x 2 ]0; 1] ,
(f deÖnita arbitrariamente in 0 ) Ë integrabile in [0; 1], ma non assolutamente in- egrabile in [0; 1]. Omettiamo la dimostrzione di quanto asserito perchÈ richiederebbe la teoria delle serie numeriche.
II) Integrale generalizzato su un intervallo non limitato. Poniamo la seguente
DeÖnizione 6. Sia a 2 R e sia f : [a; + 1 [! R. Diremo che f Ë integrabile in senso generalizzato in [a; + 1 [ se i) per ogni b > a, f Ë integrabile secondo Riemann o in senso generalizzato in [a; b], ii) esiste Önito il
lim b!+ 1
Z (^) b
a
f (x) dx, (11)
in tale caso il limite (11) sar‡ chiamato integrale generalizzato di f esteso allíintervallo [a; + 1 [ e sar‡ indicato con
Z (^) + 1
a
f (x) dx.
In modo analogo si pone la seguente
DeÖnizione 7. Siano a 2 R e sia f : ] 1; a]! R. Diremo che f Ë integrabile in senso generalizzato in ] 1; a] se i) per ogni b < a, f Ë integrabile secondo Riemann o in senso generalizzato in [b; a], ii) esiste Önito il
lim b!
Z (^) a
b
f (x) dx, (12)
in tale caso il limite (11) sar‡ chiamato integrale generalizzato di f esteso allíintervallo ] 1; a] e sar‡ indicato con Z (^) a
f (x) dx.
Esempio 6. Sia un numero reale positivo, sia a > 0 e sia
f (x) =
x
, x 2 [a; + 1 [.
Infatti (^) Z
0
x^2 + 1
dx = lim b!+ 1
Z (^) b
0
x^2 + 1
dx = lim c!+ 1 [arctan x]c 0
= lim c!+ 1 arctan c =
e, analogamente,
Z (^0)
x^2 + 1
dx = lim b!
Z 0
x^2 + 1
dx =
Quindi
Z (^) + 1
x^2 + 1
dx =
Z + 1
0
x^2 + 1
dx +
Z 0
x^2 + 1
dx =
I seguenti teoremi si dimostrano in modo analogo ai teoremi 15-17bis, pertanto ne omettiamo la dimostrazione.
Teorema 18 (criterio del confronto). Siano f : [a; + 1 [! R e g : [a; + 1 [! R due funzioni non negative in [a; + 1 [. Supponiamo che i) per ogni b 2 [a; + 1 [, f sia integrabile secondo Riemann in [a; b], ii) f (x) g (x) per ogni x 2 [a; + 1 [, Allora se g Ë integrabile in senso generalizzato in [a; + 1 [ anche f Ë integrabile in senso generalizzato in [a; + 1 [.
Teorema 18bis (criterio del confronto). Siano f : ] 1; a]! R e g : ] 1; a]! R due funzioni non negative in ] 1; a]. Supponiamo che i) per ogni b 2 ] 1; a], f sia integrabile secondo Riemann in [b; a], ii) f (x) g (x) per ogni x 2 ] 1; a], Allora se g Ë integrabile in senso generalizzato in ] 1; a] anche f Ë integrabile in senso generalizzato in ] 1; a].
Osservazione 8. Si osservi che nelle ipotesi i) ii) del teorema 18 se f non Ë inte- grabile in senso generalizzato in [a; + 1 [ allora g non Ë integrabile in senso gen- eralizzato in [a; + 1 [. Considerazioni analoghe valgono per il teorema 18bis.
Osservazione 9. Per quanto riguarda il teorema 18 (analoghe considerazioni valgono per il teorema 18bis) si osservi che esso continua a valere se si suppone che f e g siano non negative soltanto in un intorno di + 1 e invece di ii) si suppone che iií) esiste b 2 [a; + 1 [ tale che f (x) g (x) per ogni x 2 [b; + 1 [.
Teorema 19 (criterio del confronto asintotico). Sia f : [a; + 1 [! R una funzione non negativa in un intorno di + 1. Supponiamo che i) per ogni b 2 [a; + 1 [, f sia integrabile secondo Riemann in [a; b],
ii) lim x!+ 1 x f (x) = L , con L 2 Re, L 0.
Allora: j) se 0 < L < + 1 , f Ë integrabile in senso generalizzato in [a; + 1 [ se e solo se > 1 , jj) se L = 0 e > 1 , f Ë integrabile in senso generalizzato in [a; + 1 [, jjj) se L = + 1 e 1 , f non Ë integrabile in senso generalizzato in [a; + 1 [.
Teorema 19bis (criterio del confronto asintotico). Sia f : ] 1; a]! R una funzione non negativa in un intorno di 1. Supponiamo che i) per ogni b 2 ] 1; a], f sia integrabile secondo Riemann in [b; a], ii) lim x! ( x) f (x) = L , con L 2 eR, L 0.
Allora: j) se 0 < L < + 1 , f Ë integrabile in senso generalizzato in ] 1; a] se e solo se > 1 , jj) se L = 0 e > 1 , f Ë integrabile in senso generalizzato in ] 1; a], jjj) se L = + 1 e 1 , f non Ë integrabile in senso generalizzato in ] 1; a].
Esempio 9. Mostriamo che la funzione
f (x) = e x
2 , x 2 R,
Ë integrabile in senso generalizzato in R. A questo scopo dimostriamo che f Ë integrabile in senso generalizzato sia in [0; + 1 [ che in ] 1; 0]. Infatti, se b 2 [0; + 1 [ allora f Ë integrabile secondo Riemann in [0; b] poichÈ f Ë una funzione continua. Inoltre per ogni > 1 si ha
lim x!+ 1 x e x
2 = 0,
quindi, per il teorema 18, f Ë integrabile in senso generalizzato sia in [0; + 1 [. In modo analogo (applicando il teorema 18bis) si dimostra che f Ë integrabile in senso generalizzato sia in ] 1; 0]. PerciÚ f Ë integrabile in senso generalizzato in R. Con strumenti non trattati in queste note si puÚ dimostrare che Z (^) + 1
e x
2 dx =
p .
Poniamo la seguente
DeÖnizione 8. Sia a 2 R e sia f : [a; + 1 [! R (oppure f : ] 1; a]! R). Diremo che f Ë assolutamente integrabile in senso generalizzato, o semplice- mente: assolutamente integrabile, in [a; + 1 [ (in ] 1; a]) se jf j Ë integrabile in senso generalizzato in [a; + 1 [.
Vale il seguente Teorema 20. Sia a 2 R e sia f : [a; + 1 [! R (oppure f : ] 1; a]! R). Supponiamo che
ESERCIZI SVOLTI
Negli esercizi 1 e 2 che seguono, riformuliamo la formula di integrazione per parti e di integrazione per sostituzione relativamente agli integrali deÖniti.
ESERCIZIO 1 Siano f; g : [a; b]! R due funzioni derivabili con derivata continua in [a; b], allora (^) Z b
a
gf 0 dx = [f g]ba
Z (^) b
a
gf 0 dx. (15)
SOLUZIONE
Si ha (f g)^0 = f 0 g + f g^0 , in [a; b].
PerciÚ, integrando ambo i membri e utilizzando la linearit‡ dellíintegrae di Rie- mann, abbiamo (^) Z b
a
(f g)^0 dx =
Z (^) b
a
f 0 gdx +
Z (^) b
a
f g^0 dx. (16)
Díaltra parte per il secondo teorema fondamentale del calcolo (teorema 14) abbiamo (^) Z b
a
(f g)^0 dx = [f g]ba.
Da questíultima e da (16) otteniamo la (15).
ESERCIZIO 2
Sia I un intervallo di R e siano f : [a; b]! R una funzione continua e ' : I! R una funzioni derivabile con derivata continua in I rispettivamente. Supponiamo che ' (I) [a; b] e siano c; d 2 I tali che
' (c) = a e ' (d) = b.
Allora la funzione f (' (t)) '^0 (t) Ë integrabile secondo Riemann nellíintervallo chiuso di estremi c e d e risulta Z (^) d
c
f (' (t)) '^0 (t) dt =
Z (^) b
a
f (x) dx. (17)
(Si noti che non Ë richiesto che c < d).
SOLUZIONE
La funzione t! f (' (t)) '^0 (t) Ë integrabile secondo Riemann nellíintervallo chiuso di estremi c e d perchÈ continua in tale intervallo. Per il primo teorema
fondamentale del calcolo esiste una primitiva di f nellíintervallo [a; b], sia essa F. Abbiamo F 0 (x) = f (x) , per ogni x 2 [a; b]. (18)
Dal teorema di derivazione di una funzione composta abbiamo
d dt
(F (' (t))) = F 0 (' (t)) '^0 (t) ,
che, insieme alla (18), fornisce
f (' (t)) '^0 (t) =
d dt (F (' (t))) ,. (19)
Integrando ambo i membri della (19) abbiamo, per il secondo teorema fonda- mentale del calcolo e ricordando che ' (c) = a, ' (d) = b
Z (^) d
c
f (' (t)) '^0 (t) dt = F (' (d)) F (' (c)) = F (b) F (a). (20)
Díaltra parte da (18) abbiamo
Z (^) b
a
f (x) dx = F (b) F (a).
InÖne da questíultima e da (20) otteniamo la (17). ESERCIZIO 3 Sia a > 0 e f : [ a; a]! R una funzione continua. Allora: i) se f Ë dispari si ha (^) Z a
a
f (x) dx = 0,
ii) se f Ë pari si ha (^) Z a
a
f (x) dx = 2
Z (^) a
0
f (x) dx.
SOLUZIONE
Dallíadditivit‡ dellíintegrale di Riemann si ha
Z (^) a
a
f (x) dx =
Z (^) a
0
f (x) dx +
Z 0
a
f (x) dx. (21)
Ora ' : [0; a]! R, tale che ' (t) = t. Si ha ' ([0; a]) = [ a; 0], ' (a) = a e ' (0) = 0. Quindi utilizzando la formula di integrazione per sostituzione dimostrata nellíesercizio 3 si ha Z (^0)
a
f (x) dx =
Z 0
a
f (' (t)) '^0 (t) dt =
Z 0
a
f ( t) dt.
quindi líarea di T 2 Ë uguale al valore del seguente integrale
Z (^) ( ha )^1 =^2
( ha )^1 =^2
h ax^2
dx.
Quindi Z (^) ( ha )^1 =^2
( ha )^1 =^2
h ax^2
dx = 2
Z (^) ( ha )^1 =^2
0
h ax^2
dx
hx
ax^3
( ha )^1 =^2
0
= h
h a
a
h a
h^3 a
- Risulta
T 3 =
n (x; y) 2 R^2 j x 2
h 0 ;
p 2
i , x^2 x y 1 jx 1 j
o ,
quindi líarea di T 2 Ë uguale al valore del seguente integrale
Z p 2
0
1 jx 1 j
x^2 x
dx.
Per líadditivt‡ dellíintegrale
Z p 2
0
1 jx 1 j
x^2 x
dx
Z 1
0
1 jx 1 j
x^2 x
dx +
Z p 2
1
1 jx 1 j
x^2 x
dx
Z 1
0
2 x x^2
dx +
Z p 2
1
2 x^2
dx =
x^2
x^3 3
0
2 x
x^3 3
p 2
1
=
p 2
p 2 3
p 2 3
ESERCIZIO 5
Sia f : [a; b]! R una funzione continua e siano
xk = a +
k (b a) n
, k = 0; 1 ; :::; n.
Allora (^) Z b
a
f (x) dx = lim n!
X^ n
k=
f (xk) (xk xk 1 ). (22)
SOLUZIONE
Abbiamo (^) Z b
a
f (x) dx =
X^ n
k=
Z (^) xk
xk 1
f (x) dx
e (^) n X
k=
f (xk) (xk xk 1 ) =
X^ n
k=
Z (^) xk
xk 1
f (xk) dx,
quindi
Z (^) b
a
f (x) dx
X^ n
k=
f (xk) (xk xk 1 ) =
X^ n
k=
Z (^) xk
xk 1
(f (x) f (xk)) dx. (23)
Ora, poichÈ per il teorema di Heine-Cantor f Ë uniformemente continua abbiamo che Össato " > 0 esiste > 0 tale che
(x^0 ; x^00 2 [a; b] ; jx^0 x^00 j < ) =) jf (x^0 ) f (x^00 )j < ".
Sia n 0 2 N tale che
b a n
b a
, per ogni n n 0.
PerciÚ se n n 0 allora
Z (^) b
a
f (x) dx
X^ n
k=
f (xk) (xk xk 1 )
X^ n
k=
Z (^) xk
xk 1
jf (x) f (xk)j dx
X^ n
k=
" (xk xk 1 ) = "
da cui la (22).
ESERCIZIO 5
Sia f : [a; b]! R una funzione derivabile in [a; b]. Supponiamo che
jf 0 (x)j M , per ogni x 2 [a; b] (24)
e, siano
xk = a +
k (b a) n , k = 0; 1 ; :::; n.
Allora (^) Z b
a
f (x) dx
X^ n
k=
f (xk) (xk xk 1 )
M (b a)^2 2 n
SOLUZIONE
Quindi, se 6 = 1 allora
Z 1 x jln xj
dx =
ln
x
+ C;
con C costante arbitraria. Invece, se = 1 allora
Z 1 x jln xj dx =
Z
ln (^) x^1
d dx
ln
x
dx = ln ln
x
+ C
con C costante arbitraria. PerciÚ se 6 = 1 abbiamo
Z (^1) = 2
c
x jln xj
dx =
(ln 2)^1 ^ +
ln
c
e se = 1 abbiamo
Z (^1) = 2
c
x jln xj
dx = ln (ln 2) + ln ln
c
quindi
lim c! 0 +
Z 1 = 2
c
x jln xj
dx =
1 (ln 2)
1 (^) , se > 1
In conclusione, la funzione (26) Ë integrabile in senso generalizzato se e solo se
1 e per questi valori di risulta Z (^1) = 2
0
x jln xj dx =
(ln 2)^1 ^.
ESERCIZIO 7
Sia 2 R. Stabilire il carattere del seguente integrale generalizzato e even- tualmente calcolarlo (^) Z (^) + 1
2
x (ln x)
dx. (27)
SOLUZIONE
Per ogni c 2 ]2; + 1 [ la funzione (^) x(ln^1 x) Ë integrabile secondo Riemann in [2; c] perchË continua in tale intervallo. Quindi, per stabilire il carattere dellíintegrale (27) bisogna esaminare il limite
lim c!+ 1
Z (^) c
2
x (ln x)
dx.
Ora (^) Z 1 x (ln x)
dx =
Z
(ln x)
d dx
(ln x) dx.
Quindi, se 6 = 1 allora Z 1 x (ln x)
dx =
(ln x)^1 ^ + C;
con C costante arbitraria. Invece, se = 1 allora Z 1 x ln x
dx =
Z
ln x
d dx
(ln x) dx = ln (ln x) + C
con C costante arbitraria. PerciÚ se 6 = 1 abbiamo Z (^) c
2
x (ln x)
dx =
(ln c)^1 ^
(ln 2)^1 ^ ,
e se = 1 abbiamo Z (^) c
2
x ln x
dx = ln (ln c) ln (ln 2)
quindi
lim c!+ 1
Z (^) c
2
x (ln x) dx =
1 (ln 2)
1 (^) , se > 1
In conclusione, la funzione (^) x(ln^1 x) Ë integrabile in senso generalizzato in [2; + 1 [ se e solo se > 1 e per questi valori di risulta
Z (^) + 1
2
x (ln x)
dx =
(ln 2)^1 ^.
ESERCIZIO 7
Sia p una funzione polinomiale e > 0. Dimostrare che la funzione
f (x) := p (x) e x, x 2 [a; + 1 [
Ë assolutamente integrabile e quindi integrabile in senso generalizzato per ogni a > 0. SOLUZIONE Sia
p (x) =
X^ n
k=
akxk.
Innanzitutto osserviamo che per ogni c > a, la funzione p (x) e x^ Ë integrabile secodo Riemann [a; c]. Inoltre per ogni > 1 abbiamo
lim x!+ 1 x jf (x)j = lim x!+ 1 x +ne x
X^ n
k=
akx k^ = 0.
