Scarica La Derivata e più Dispense in PDF di Analisi Numerica solo su Docsity!
LA DERIVATA (su dispense)
^^ Se^ la^ derivata^ rappresenta^ il^ coefficiente^ angolare^ della
y
fa)^ retta^ tangente al^ grafico di^ f.^ (x).
Ma ( problema) , come si definisce la netta tangente?
Fifo il^ concetto^ geometrico^ di^ tangente non^ esiste Xo >^ X ma^7 la^ definizione^ analitica
! ] il concetto di derivata attraverso il quale
si può definire la tangente ( non viceversa)
2. ^ mh =^ Ù)
p (^) , &"" h
f. Hoth)^ Per costruire la tangente avvicino Xoth a Xo : rendo
h →^0. Contestualmente Ph^ si muove (^) lungo il (^) grafico suo) ,
della funzione : muovendosi Ph , viene modificato mh.
Se mh si stabilizza a un certo valore mo (quando h
✗o (^) ← Xoth diventa (^) piccolo ) (^) , interpretiamo mo come (^) coefficiente
della netta tangente in ✗o
p ✗° { Xo - h •^ ✗ oth^ , )^ pag^3.
b
y (^) a
- daf. -. go.name/unYangolo
Io >^ ×
es . 8
lflx)^ = { Isin (^) È se ✗ =/ 0 O se^ ✗^ =^ o R (^) ( (^) y , o (^) , h ) = ÈÈ = K[ = (^) ④ sis → (^) o § limitata
' (^) (o ) = (^0) =D Ora
posso costruire^ la^ tan^ con^ mio^ =^0 e^ possente^ per^0
ro (×)^ =^0
Oss. 9 : f. ( × ) =^ TE
derivata in 0 vale +^ co =D retta verticale puo'
essere interpretata come^ tangente^ verticale^ →^ per
poterlo dire^ è^ necessaria^ però^ la^ continuità^ di^ fili)
y n 1 continua ;, non continua / ' × !
Defi of (^ definita in^ XO^ C-^ (a^ ,^ b))^ è^ differenziabile^ in^ ✗o^ se^ 7L^ ER tic. f. ( ✗ oth ) = nflxo) +^ Lh + hw ( h )
- retta ( e sarà la tan) ✗ = ✗ oth (
(× , = , yo, +^ <^ ( × -^ ✗ o , +
gx.xogwy.xoye.no, ma si (^) ga naaa, anno,umana , a (^) una maya )
olim errore (^ x)
✗ → ✗o TÈ =^0
teorema (^12 )
f è^ differenziabile in^ ✗^ o^ ☐=D^ f^ è^ derivabile^ in^ Xo
e in tal caso^ L =^ ficxo)
dim : (^) f differenziabile in ✗ (^) o (^) f derivabile in (^) ✗o (e L (^) =p ' (Xo)) dalla (^) dlf : (^) f (✗ (^) ☐ + h ) =^ f (✗ (^) o ) t L - h + hwlh) < (^) ✗ + (^) Kwan) h
R ( h , ✗ o , h ) è^ + Ó^ →^ L
quindi lim h (^) → 0 R^ (^ h^ ,^ ✗^ o^ ,^ h)^ =L ora dimostro^ il^ viceversa :^ f derivabile in^ ✗^ o =D^ f è (^) differenziabile in^ ✗o dalla (^) def : 7L c- IR t. c.^ ✓ lim (^) =L a-☐ lim h → o ÈÈ
- (^) L = o h → O w(÷ f(✗otY-h -^ L^ =^ wch)^ =D^ f.^ (^ ✗^ o^ +^ h^ )^ =^ f.^ (^ ✗^ o^ )^ +^ Lh^ +^ hw^ (^ h)
dim (ii )
Rapporto incrementale
R ( fg , Xo , h) = Alioth)^ g Hoth)^ - f. (^ ✗a)^ g (Xo)^ =
h
= nflxoth)^ g (✗oth)^ -^ f(Xo^ )^ glio th)^ tf(Xo)^ gcxoth)^ -^ fcxo)glio)^ =
h
= ÈÈ^. gcxo +^ h)^ +^ h (^ Xo )^ MÈGE
f- ng, , ,, , jg, (^) yo, g,^ yo,
= Rlf , Xo , h)^ g I^ h)^ +^ f (^ Xo )^ R^ (^ g , ✗ ah )
- g ( ✗ o + h) → (^) glxo) (^) poiché (^) g è continua ( e lo è (^) perché derivabile)
dimciii)
lisina (^) :& • ! " = (f- (^) §) " = (^) per (^) regola prodotto = a. a.) (^) (g) ( ×. > + ! jj,^ ×.^ >^ ±^ g.^ (^ ×^ » .gg,^ +^ g.^ (×.)^. ygqyjgy-e.gg/o)gao)-gixo)g.(xo
[ glxo) ] '
allora dimostriamo
à÷
=^9
( ✗° )^ - g ( ✗o + h)
÷ '
Oss . : g (Xo) =/ o [glxo)] '^ ✓
gg → g (^ ✗^ ☐^ +h)^ =/^ O^ per il^ teorema^ della^ permanenza del^ segno
dim
f (x)^ =^ xd^ f'(×)^ =^ ✗^ ✗^ ✗^
'✗ + h)^ "^ -^ ×^ " =
[(^ i^ +^ ¥)^ " - (^) i ] ~ È.^ a. ¥ =^ a-^ è
- (^) ' h - ( i^ +^ G)^ ×^ -^ i^ ~^ ✗^ O
di m
f(^ ×^ )^ =^ e^ × f. '^ (^ ×^ )^ =^ ex
ex +^ h - ex
" - i ] ~ = è
- (^) f' / e- × ) = -^ è × = e [ è"^ - (^) i] ~. (- (^) h) = - è in
dim
flx)^ =^ sinx^ f. '^ G)^ =^ cosi
+È
h
si =
cosxsinf-simxli-cfshlht.se~ - sinx - È = jif.tn/.cosx ( sin ✗ ) '^ =^ cosi
dim
f.(^ ×)^ =^ cosi^ f.'^ (^ ×)^ =^ -^ sin^ ✗
cos ( ✗ +h) -^ COSX = cosa cosh - simnxsimh - cosa = cosi
Sinhan^ (•[^ -^ Sims ne ncosx. f- È): (^) t
dirmi =D ( cosx ) '^ = - Sini
( tanxi '^ = (%l' = = cosi^ - cosx-i-sim.IE = ÷ ÷, = •÷t= i + tana × COSI ×
dim
( (^) cotanx) '^ = - ÷ ,
dim
✗ >^ o
log (^ ✗^ +h)^ - log ×^ eog
h
h = f- log ( i + (^) f) ~ f. (^) ¥ = ¥ dim (coshx) " = =D (^) / { ex + { e- × ) = { ☐ [ è] + { ☐ [ e- × ] =L , è + (^) La 1- è ) = èj = simhx
es . 1)
f. (^ ×^ )^ =^ l×tsi
logx
l'Cx^ )^ =^ ÈÉÉ
log'^ ×
es (^).
1) [ ✗^ ×^ ]^ =^ ☐ [^ èeosx^ ] =
= èlos^ "^ [^ ✗ log × ] = ✗×^ [log ✗ + i ]
tan
7. y - "
hlxo ) y prima f. (^ ×)^ è^ sotto, poi sopra (^ o^ viceversa) I (^) ✗ o > (^) ×
teorema FERMAT
a Xo ha mai locale
f. (^ ✗^ o^ th)^ -^ f(^ Xo^ )^ E^0 (per^ h^ piccolo)^ , ✗o f. (^ ✗^ 0+-4^ )^ - f. (Xo^ ) h (^4). R (h, ✗ (^) o (^) , h )^ £^
° ( h^ >^0 )
IO ( h < 0 )
lim R^ =^ f'^ ( ✗ o )^ E^0 Teo permanenza del segno
h →^ o +
lim R = f '^ ( ✗ o ) IO
h → o -
f. '^ (^ Xo^ )^ =^0
esempio 31 (^9).
Y (^ x^ )^ =
{ ✗ ' sin (^) ✗ =/ O 0 × = o
Y' (^ o^ )^ =^ o
se ✗ (^) =/ (^0) Y' ( ×) = 2 ✗ (^) Sint + ✗ ' cos (^) ¥. (- f-a) =
= 2. ✗ sin ¥ -^ cos ¥
✗ in^0 non^ è^ continua^ →^ Il^ limite^ him ✗→ o^ è^ indeterminato
=D non è una funzione di classe
(
' × '
l/ I) e
μ, aaaaa.ee in • Time
ma non continua ✗ 2 DOMANDA esame Teo 32
Sapendo che^ :^ f
' e ' derivata di f in
ogni punto^ di^ I
in Xo f'^ sia discontinua
Quale dei^ tre^ grafici è^ possibile?^ Quali^ sono^ vietati^?
RICORDA : f' soddisfa Darlow-
÷
f- ÷ t.mn
- -. I > (^) ×. ) (^) • > ✗ c'^ è^ scelto^ no^ DARBOUX^ X il^ valore (^) y non viene ✓^!^!^ L'^ unico^ tipo di^ Discontinuità^ compatibile raggiunta con^ la^ proprietà dei^ valori^ intermedi^ è
la discontinuità di II Specie
Tez LaGrange
dim (^) : ( (^) voglio ricondurvi a Rolle) (^). Introduco (^) g ( ×) (^) funzione ausiliaria : gcx)^ =^ fa)^ - ÷È(~b- a
9 '^ "^ e
' continua su [a. g ]
#"° °" • elhiciente angolare = qyx,
} perché composizione di^ nflx^ )^ cont.^ e^ derivabile
e derivabile^ in (^ a^ , b ) e^ una netta
g (a)^ =^ f.^ (a)
glb)^ =^ f.^ (b)^ -^ Èh^ (^ by)^ =^ f.^ (a)
Ha =D Soddisfa Rolla 7C C- ( (^) a. b) t.ca (^). g'^ (c) = 0
g'^ (^ ×)^ =^ f'^ (^ ×)^ -^ te^ derivata^ di^ una^ retta^ =^ coefficiente^ angolare^ della^ vetta
g'^ (c)^ =^ o^ ☐^ f.'^ (c)^ - ÉTÉ =^0 teorema condizione^ sufficiente^ DI^ DERIUABIUTÀ
Sia f : (^ a, b)^ →^ IR e sia ✗o C- ( aib) .
1) f è derivabile in ( a. b) -^ {✗ o } Io
2) f è continua in ✗ o
Se 3- lim (^) f. ' (× ) =L C- IR (^) , allora (^) f è derivabile in (^) ✗ o a (^) f.' ( Xo ) =L ✗ →^ ✗o
- 1 : La^ continuità in ✗ o è necessaria es. (^) funziona di Stearns^ ide^ a
Hlx) =
{ 1 se ✗ Io (^) • O se ✗ < o
non è derivabile in ✗ o
Oss. 2 :^ zooma è^ condizione saggia.cn
y (×^ )^ =
{ × ' sin (^) f- se ✗ =/ 0 O (^) se ✗ = 0 se ✗ to ma
Y' (^ ✗^ )^ =^ 2.x^.^ sin^ +^ ✗^
' cos ( (^) ¥) = = (^) ZX Sin ¥ - COSI ✗
him Y' ( × ) =^ ¥ End . perché sin oscilla → ma non posso dire che per Teo . non
✗ → o ☒ derivata in^ ✗^ =^0 , ma solo^ che^ non^ so^ calcolarla :
dovrò calcolare la derivata in altro modo
non + tra le importanti {dirmi. dimostro che f. ' + (Xo)^ =L^ (e^ analogamente l'_^ (^ Xo)^ =L^ )^ ✗o o Io (^) + h
( h > 0 )
È
h
In [✗ o, Xoth] è continua . In (Xo , Xoth) è derivabile ( per Lagrange)
IX.he ( (^) Xo (^) , ✗ ☐ +h ) t (^) - c. = (^) f'( ✗ (^) n ) Poiché li h →.sn o Xn = Ho
Xo < Xh < Xoth
' ✗o (^) v}^ × il^. ✗ (^) o
- DERIUABIUTÀ (^) e monotonia
f:[a.^ b]^ →^ IR
- f continua in [ (^) a (^) , b] o f derivabile in (a (^) , b)
teorema Di^ DERIUABIUTÀ^ e^ monotonia
f è^ crescente^ in^ [a^ , b]^ ☐^ f.'^ (^ ×>^ Io^ ti^ c-^ (^ a. b)
( (^) f è decrescente in [a. b] ☐=D (^) f'( (^) ×) EO ✗ c- ( (^) a. b) Oss. banale (^) , ma (^) importante :^ f è crescente^ ☐=D^ - f è decrescente)
corollario 1
f costante^ ☐^ f.'^ (×)^ =^ o^ #^ ×^ c-^ (a. b)
Se (^) fa (^) g hanno derivata (^) uguale in (^) ogni punto ✗ c- ( (^) a. b) Allora (^) fa (^) g differiscono di una costante dim : hlx) = f. ( ×) - glx)
h' ( ×) = f' ( ✗ ) - g' ( ×) = o
hcx) = c con CEIR =D f. ( x) = glx) + c
es (^). #× > o
cnctanx + arctan = È
f.(^ ×)^ =^ arctanx^ + anatomia (su^ (^ o^ , +^ ao)^ )
f'(^ ×^ )^ = + +. ( ¥) =^ o^ qs. funzione è^ costante
f. (^ x^ )^ =^ f^ (1)^ tx
La fli) = Zarctan 1 = 2. =
- (^) ✗o (^) μ.to stazionario
È ✗o xè Xo
f'^ +^ - f'^ -^ •^ +^ f'^ +^ +^ f'^ -^ •^ - er (^) e →^ er t^ t^ er (^) , e a → → ✗o =^ feto di Max ✗o =^ feto di min ✗o = (^) feto di (^) flesso ✗o =^ feto di (^) flesso locale (forte) locale (forte) a tour orizzontale (^) a tan Orizzontale
( ascendente)
DERIVATA SECONDA e CONVESSITÀ
Delà f :^ [^ a.^ b]^ →^ R^ convessa
Trey e^ [^ a.^ b^ ] }
f. (^ txt^ (^ i^ -^ a)y )^ E^ Xp (a)^ +^ (^ i^ -^ a)^ f. (y)
fa c- (0,1 )
a f ( t)
T
IN f. ( ✗a) Erlxa)
; (^) ; ! !
✗ a = -1×+11 -^ a)y e ix.y)
-^ i^ rlt)^ =^ fly)^ -^ fi)^ (t^ -^ ×)^ +^ f.(×) la (^) ×^ ' Ig j > t y -^ × r (^ ✗ a) =^ fly^ )^ -^ fa)^ +^ fa)^ = ¥
( i.^ a)^ ( y
= (^) (fly) - f. ( ×)) ( i - a) + (^) f. ( ×) =
Teorema 48 n = Ifa) + ( i - a) f. (y)
dim " °" richiesta , & (^ ×) À(×°)(×-×°)+f
i rcx)
È L
caso × > Xo Xo th^ =^2 ×^0 +^ (^ i^ -^ 7)^ × ×jÈ+h -^ ✗^ +^ ✗^ oth^ =^ a^ (^ ✗^ o^ -^ ×^ )
✗ - Xo -^ h = Z (✗ -^ ✗ o )
a- f. (✗oth^ )^ E^ Zf^ (^ ✗^ a)^ +^ (^ i^ -^ a)^ f.(^ ×^ )^ 1-^ ✗^ = à f. (^ ✗^ oth)^ E^ ×^ f.(Xo)^ + ÷àf(×) X-xoflxoi-f-ofcxdflxoi-hf-h-osh-I.jo)
Rlf , ✗^ o^ , h^ )^ E^ per Teo^ per. segno
μ (✗ - Xo) (^) fE f¥¥Y ✓ (^) flx)^ If'^ ( ✗ a)^ (✗ -^ ✗a) + (^) f.( ✗o) #× > Xo (netta^ sta sotto (^) frizione)
f. concava
. fconvessa
f:^ [^ a. b^ ]^ →^ IR^1 ✗o I
[μ.to cambio di convessità
a _÷. approssimazione lineare
lim
✗ →^ o^ ✗ 3
PCX)^ =^ ×^ -^ sin^ ×^ è^ differenziabile^ in^0 →^ pcx)^ +^ aw^ (^ x)^ dove^ wcx)^ →^0
errore
se rimpiazzi pcx) con la netta tangente , stai controllando la
tmn" →~ " foto)^ =^0 -^ Simo)^ =^ o
P'(^ ×)^ =^ I^ -^ cosi^ =D^ P' (^0 )^ =^0
foto)^ -^ P'^ (o)^ =^ o^ la
/(×^ )^ =^ ×^ wcx)
Plx) ±: = ÷: =^ né ✗ 3
=D non so^ comunque risolvere^ il^ limite^ : voglio una migliore approssimazione
→ al^ posto della^ retta^ , prendo la^ parabola , o^ la^ cubica^ ,...
! (^) plx) (^) =p (o) + (^) P' co) (^) x + ✗ wcx) retta (^) , polinomio di 1° (^) grado che (^) meglio approssima la (^) funzione
f. (^ ✗^ +h)^ =^ f.^ (×)^ +^ f'^ (^ ✗a)^ h^ +
funz retta
f (×^ )^ -^ f' (Xo)^ (^ ×^ -^ Xo)^ +^ f. (✗^ o)
la retta condivide con la funzione la derivata e in ✗o assuma lo stesso valore
=D se voglio costruire la Parabola che meglio approssima la funzione =D avrò bisogno
di 3 coefficienti :^ stesso valore in^ ✗o e stessa^ derivata^ (come^ con^ la^ retta)^ +
stessa derivata seconda
es. ✗ (^) o =^0
f.(^ ×^ )^ =^ è^ +^ sin✗
Polinomio Di^ è^ :^ tutte^ derivate è^ =^ è
Pm (^ Xo)^ =^1 + ✗ +^ + ¥ +... + I m! ( ponno, ☐, sin ; ;
Pmlxo) =^ ×^ -^ I^ + È^ _...
1 + (^) ✗ + [+ + È" + È + (^) × - ¥ +^ È^ = 1+2 ✗ + ¥ + È + È es. de l' (^) Hopital ein ×_ È^ È= È ✗ → 0 ✗ 3
dim : (^) Teo TAYLOR - Peano ✗o =^0 f. (×) g. (x)^ =^ f.^ (^ ✗^ +^ Xo) glx)^ -^ Pn^ ( X^ )^ - O ✗ ~^ ✗^ →^ ✗^ o ( ga.m.p.a.no,^ | ( ✗ -^ ✗a) m^ o^ °
=D non perdo generalità
of derivabile^2 volte^ in^ ✗^ =^0
Pz ( x) = f. ( o) + l'(a) + ÈI × '
allora voglio dimostrare che lnlx)^ -^ Pz^ (^ X)
Definisco glx)^ =^ f. (^ x)^ -^ Pz^ (^ x)^ =D^ la^ Th^ diventa^ → o
noto che :
glo)^ =^0 g'^ (o)^ =^ o^ g"^ Co)^ =^ o
1 ; i '
applico Lagrange :
gÈ = g '^ (Tx) dove TE (^) (0,1)
gcx)^ =^ ✗^ g '^ (Tx)
1 ; I '
vorrei applicare ancora Lagrange a g' ( X) sull' intervallo (o , Tx) , ma non posso
[ (^) la dim. nel caso (^) nf sia derivabile n volte è (^) uguale : per n - (^) A volte applico Lagrange^ ,^ la^ M^ -^ esima^ volta^ non^ posso^ =D^ procedo^ in^ modo^ diverso^ ]^.
Io so che , dato che Jf" ( ×) f'( x) è differenziabile in ✗ = o
=D (^) applico nozione di (^) differenziabilitè di (^) f' in ✗ = 0 Prendo (^) ey qualsiasi :
g'^ (y)^ = g'^ (a)^ +^ g'
' (a) (^) rgteyw ( (^) y) per Hp : g' (^ y)^ = oyw (^ y) scelgo (^) iy =^ Tre
g' (^ y )^ =^ Tre^ w^ (Tx)
glx)^ =^ Tx
' w (Tx)
%-) =^ TÉw( ✗ 2 =^ Tw^ (Tx) / ✗^ →^ o o ✓
