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Il Teorema di Lagrange: Spiegazione e Applicazioni, Guide, Progetti e Ricerche di Matematica
Una spiegazione dettagliata del teorema di lagrange, un importante teorema dell'analisi matematica. Il teorema con esempi pratici e ne analizza le conseguenze, mostrando come può essere applicato per dimostrare la costanza di una funzione e per determinare la differenza tra due funzioni. Il documento include anche una breve biografia di joseph-louis lagrange, il matematico che ha dato il nome al teorema.
Tipologia: Guide, Progetti e Ricerche
2022/2023
1 / 14
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Lagrange
Il contesto storico
Nonostante il XVIII secolo in un certo senso “sfiguri”, perché
preceduto dal “Secolo dei Geni” e seguito dall’ “Età dell’oro” , i
matematici del periodo della Rivoluzione francese non solo
contribuirono significativamente all’aumento delle conoscenze
matematiche, ma furono anche i promotori di quella che sarebbe
stata “l’esplosiva proliferazione della matematica” nel secolo
successivo.
Monge - Lagrange - Laplace - Legendre - Carnot - Condorcet
La vita di Joseph-Louis Lagrange
Continua la sua carriera quindi alla corte di Luigi XVI di Francia ormai alle porte della Rivoluzione. Durante il periodo del Terrore (1793-94) Lagrange pensò ad abbandonare la Francia, non avendo particolare interesse nella politica e non partecipando alle attività rivoluzionarie. Proprio in questi anni però venne invitato a tenere dei corsi di analisi all’École Normale e l’École polytechnique. Il ritorno all’insegnamento fu per lui un vero e proprio risveglio dal letargo, Lagrange, infatti, era caduto nuovamente in depressione, dopo aver avuto alti e bassi dal 1783 quando sua moglie Vittoria morì. Parigi, che era stato uno dei centri scientifici più importanti al mondo nel XIV secolo, aveva perso da tempo questa posizione e ormai la maggior parte degli uomini di scienza, dei matematici francesi non avevano più rapporti con le università, ma erano legati alla chiesa o all’esercito. Il ‘700 in Francia era un periodo di grave crisi e ciò contribuì a far si che nessuno dei sei matematici ottenne una posizione degna delle proprie capacità.
La vita di Joseph-Louis Lagrange
Per i suoi studenti preparò molte lezioni che poi raccolse in due opere: Lectures on Elementary Mathematics , una versione inglese delle lezioni che tenne all’ École Normale, e Théorie des fonctions analytiques (per i corsi di livello superiore dell’ École polytechnique), testo che da allora è considerato un classico della matematica. La pubblicazione di quest’opera nel 1797 segna, insieme alle Réflexions di Carnot, l’inizio dell’ età del rigore in matematica. Lagrange fece parte poi anche del comitato che si doveva occupare della riforma dei pesi e delle misure, alla fine il comitato si accordò sul sistema decimale, appoggiato fermamente da Lagrange. La fama di Lagrange si consolidò sempre di più, ricevette addirittura la Legion d’Onore, la più alta onorificenza assegnata dallo Stato Francese; morì nel 1813 e venne sepolto nel Pantheon di Parigi.
Il teorema di Lagrange
Il teorema di Lagrange
Il teorema più famoso di Larange, detto anche teorema del valore medio, è un importante teorema dell’analisi matematica. Viene comunemente considerato il “fratello maggiore” del teorema di Rolle, che ne dimostrò una forma ristretta e ad oggi è visto anche come un caso particolare del più Se una funzione f(x) è^ ampio teorema di Cauchy. continua nell'intervallo limitato e chiuso [a;b] derivabile in ogni punto interno a esso, allora esiste almeno un punto c interno all'intervallo per cui vale la relazione :
Il teorema di Lagrange
Il teorema afferma che esiste almeno un punto per il quale la tangente è parallela, ma volendo possono essere anche più di uno.
Il teorema di Lagrange
- f(x)=-x^(2)+6 x-
- f '(x)=-2 x+
- f(b)-f(a)/b-a=f(4)-f(1)/4-1=5-2/4-1=3/3= f '(x)=f(b)-f(a)/b-a
- -2 x+6=
- 2x=6-
- 2x=
- x=5/
Conseguenze del teorema di Lagrange
Se f(x) e g(x) sono due funzioni continue nell'intervallo [a;b], derivabili in ]a;b[, allora esse differiscono per una costante k. Calcoliamo la differenza tra le derivate delle funzioni z'(x) z'(x)=f'(x)-g'(x) Se le due derivate sono uguali, f'(x)=g'(x), allora z'(x)=0. Applicando il teorema precedente z(x)=k, quindi la differenza è costante in tutto l'intervallo.