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DERIVATE
·
LA
DERIVATA
Di UNA
FUNZIONE
Si
arriva
al
concetto di
derivata
partendo
dal voler trovare una retta
tangente
a una curva in un
punto
NEL
Caso della
parabola si Sa Già Come Procedere
l'equazione
della
tangente
a una
parabola
in un suo
punto
(Xo
yo)
si attiene
scrivendo
il sistema
gra
l'equazione
y-go
=
m(X-X.
) del
gascio
di rette
passanti per
P
e
quella
della
parabola
y
= ax
bx + c e
pomendo
A = 0
PARABOLA
Lo
stesso concetto
Non
può
essere applicato
in generale
=-
F
=
(a
si
pensa
a un procedimento
secondo
il
quale
si
può
approssi.
mare la
tangente
mediante rette secanti
che
le
siarvicinano
Selly
: diy = -
sempre
di
pic
. ·
all
: y
=
-dix :
aso U
LA RETTA TANGENTEa UNA CURVA In un PUNTO
P
y
= ax+ bx
cas
Se c
= o la
parabola
passa
per
o A
È
La Retta Limite , se Esiste ,
A cul tendono Le Secanti
Po
sebo
veya
X= 0
AL
TENDERE DI
Q
A P(SIA ADX
CHESX)
seb-o
j
co vo
·
Si
I
S
↑
P
Q
·
--
-- ·
Q
.
. RAPPORTO INCREMENTALE
Data
la
funzione y
= f(x) , definita
in un intervallo [aib]
e un
punto
del
suo
grafico
A
(c
; f(c)), si
incrementa l'ascissa
di A
di una
quantità
ho e così
atteniamo il
punto
B di
coordinate
XB
= c+
h
yB
=
f(x)
=
g(c
+h)
sia c
che cth devono
appartenere
a
Jaibl
,
ossia essere interni
all'intervallo
(aib]
considerando
i due incrementi
Ax
=
XB-Xa
=
h
Ay
=
9B-Ba
= f(c
+h)
f(c)
di Loro rapporto
B
DAT
UNA FUNZIONE
y
= f(x) ,
Definita In Un INTERVALLo [aib] gluth)
--
Edue Numeri
Reali
Cecth
(heo) ,
Interni ALL'INTERVALLO
I
RAPPORTO INCREMENTALE
DIGNEL
PUNTO
È
IL
NUMERO
:
f(c
+h)
f(c)
...
h
ge
-.
a
IL RAPPORTO INCREMENTALE
DIG
NEL
O Cth
X
p S
PUNTO C E IL COEFFICIENTE ANGOLARE
im
DELLA RETTA SECANTE PASSANTE PER ARB
h
· DERIVATA DI UNA FUNZIONE
Attribuendo
ad
h valori
sempre
più
piccoli,
il
punto
B si
avvicina sempre di
più
al
punto
A
Quando
h po
,
il
punto
B tende a
sovrapporsi al
punto
A e la retta
AB
tende a diventare la retta
tagente
alla
curva in A
. Il
coefficiente angolare
della secante
AB
, assia il
rapporto
incrementale nel puntoc
,
tende
al
coefficiente
angolare
della
tangente
in A ,
che
viene chiamato derivata della
funzione
nel
punto
c. 1
y
= mx+ 9
DATA
Una funzione
y
= f(x) , definita in
un Intervallo [aib]
, La
DERIVATA 1-
DELLA FUNZIONE
NEL PUNTO
C INTERNO ALL'INTERVALLO
,
CHE
INDICHIAMO CON S'(c) ,
È
il Limite , Se Esiste Ed e finito , PER H Che Tende Ao , DEL RAPPORTO
INCREMEN
sab
-- -- m = +Ale di grelativo ac : g'(c)
lineflcth)-C f(c) =------ p 7
h
O
C
cih
LA DERIVATA
DI
UNA FUNZIONE
IN UN PUNTO
C
RAPPRESENTA IL COEFFICIENTE ANGOLARE
In
DELLA RETTA TANGENTE AL GRAFICO DELLA Funzione NEL Suo PUNTO di ASCISSA
C
Una funzione
è DERIVABILE im
un punto a se esiste la derivata f'(c) .
Se è
derivabile :
la
funzione e definita in un
intorno nel
punto
c
esiste
il
limite del
rapporto
incrementale
relativo a c
, per
h
che
tende
a
O
,
cioè esistono
il
limite
destro
e sinistro
di tale
rapporto
e tali
limiti coincidano
PER
RIASSUMERE
- RAPPORTO
questo
numero
è
un numero finito . INCREMENTALE
-D
AY COFANGA I DERIVATA COEF. ANGOLARE Possiamo calcolare
la
derivata di
una funzione
anche
in
un funzionePrim retta Tangente
punto
generico x.
In
questo caso
atteniamo
un'espressione
in
funzione
dix
,
che
indichiamo
con f'(x), e ,
per
questo parliamo
diFunzione
Derivata · DERIVATA DESTRA E SINISTRA
Data una
funzione y = f(x) ,
in
un punto c:
la
DERIVATA SINISTRA e LA
DERIVATA
DESTRA
È
G:
limf(th-l , St(c) = lim Sch
Una
funzione
è derivabile in
un
punto
se esistono
finite e ugualizza
loro
la
derivata sinistra e destra
Se sono
diverse vuol
dire che
ci sono
due
tangenti
diverse
Una funzione
y
= f(x)
è
DERIVABILe
In un intervallo chiuso Laib]
se è
derivabile in
tutti i
punti
interni
[aib] e se
esistono e
sono finite la derivata destra in a
e la
derivato sinistra inb
DERIVATA
DELLA
FUNZIONE RADICE QUADRATA
DV
ex
f(x)
=
Ex
g(x)
= x
E = Ex
f(x)
= 2x
= E
.
8x
=
DERIVATA DELLA FUNZIONE SENO
f(x)
= sinx con x
espresso
in radianti e
f'(x)
=
cosx
Sim(
h)
sim(
+ B)
D
S'(x)
=
plim
9(x
+ h)
f(x)lim
Sim(xth)-sin
Sim
. cosB
cos
. simB
h h
lim
sinx
. cosh
cosx .
sink-sinx him
sinx(cosh-1) + coxsih
X
h
h
Im sisho
coh
c
Si divide in due il Limite
↓
DAI
LIMITI
NOTEVOLI
in
10
lin
DERIVATA
DELLA
FUNZIONE COSENO
f(x)
= cosx con x
espresso
in radianti
ef'(x)
=
sinx
DcoSX = -Sinx
DERIVATA DELLA
FUNZIONE
ESPONENZIALE
f(x) = a
eg,(x)
= alna
Da = a
In
a
S'(x)
= -S(x)im
in
eh
Per
I LIMITI NOTEVOLI
se De
ex
DERIVATA
DELLA
FUNZIONE LOGARITMICA
f(x)
=
logax
e
f'(x)
= ma
Dlogax
=.
logal
h
latloglog
S'k)
=
m[ ]
↓
TENDE
Se Dlnx
· OPERAZIONI CON LE
DERIVATE
DERIVATA
DEL PRODOTTO
DI UNA COSTANTE
PER UNA
FUNZIONE
D(k
.
f(x)]
= k
f(x)
y'imkf(x(x)
= k .
f'(x)
E
TENDE
Ag(x)
DERIVATA
DELLA SOMMA
DI
FUNZIONI
D(f(x)
g(x)]
f((x)
g
(x)
y
= lim
(S(x
g(xth]
-((x)
g(x))
=im
(g(xth)
-g](g(xth)
-g(x) liS(xth-imghly
= f(x)
g'(x)
DERIVATA
DEL
PRODOTTO
DI
FUNZIONI
D(f(x)
.
g(x)]
=
f(x)
g(x)
f(x)
.
g'(x)
y'
= Lim
f(x
h)
.
g(x
+h)
. g(x)
h
SottrAM
E
Somm A se
y=
imh)
. g(x
h
x+ h). f(x)
m
. f(x) g(x)
h
y-lim
g(xth)(f(x
g(x)(g(xth)-g(x)]
S SEPARAN IM
h
DERIVATA
DI
UNA FUNZIONE
COMPOSTA
D(f(g(x))]
g((g(x))
.
g'(x)
D(f(g(x))]
limg(g(xth)
-g(g(x)
pote=
g(x), ALORAg(xth)
-g(x)
h
DA
culg(x
h) =
g(x)
lim
f(z
Az)
f(z)
Moltiplichiaro
h
NeD PER Az
im
. g()
=
S'(g(x))
.
g'(x)
h-po
Az
DERIVATA
DELLA
FUNZIONE
INVERSA
D(g"(y)]
gx)
con
=
g
(y)
Darcsinx
=
Darco =
=
Darccotx
=
-ixz
· RETTA TANGENTE
Dato che la retta
tangente
in un
punto
P(xo
yo)
al
grafico
di
una funzione
f(x)
si calcola con
la
derivator
f(x)
im X
Se
la
retta
tangente
esiste
e non e
parallela
a
y
,
la sua
equazione e y-f(x)
f'(xo)
.
(x
X)
y1 yu
1
·
m= 0
·
m m ·
m i I
In
Questo
Caso la retta
tangente
ha
equazione
y=k
e
cofficiente angolare
= o
Dati
La funzione
y
= f(x)
E un
suo Punto
X
= c , Se fi(c)
= 0 ,
allora
= C e un
PUNTO
STAZIONARIO
O
PUNTO A
TANGENTE ORIZZONTALE
· Derivata e
Velocitàdi
VARIAZIONE
Se versiamo
del
liquido
in un bicchiere
a forma
canica
con quale velocità varia
il volume
del
liquido
al
variare
della
sua
altezza nel bicchiere ?
con
il concetto
di
derivata si
può
calcolare
la
velocità di variazione del volume
AY
Xix
+h
AX
= h I RAPPORTO
INCREMENTALE EX
Ela
Velocità Media DI VARIAZIONE
Y
RISPETTO AX
,
PERCHE
INDICA
L'incremento
Di
y
per OGNI
Unità di Incremento Di
La
Velocità
Istantanea Di VARIAZIONE
È IL
LIMITE
A CUITende IL RAPPORTO INCREMENTALE
Per hudo
,
cioe
La Derivata
di
y
Rispetto Ax
In
fisica
,per
il moto
rettilineo
uniforme ,
si scrive
la
LEGGE Oraria SiS(h) , con
SDipendente
e indipendente LA GRANDEZZA VELOCITE MEDIA RELATIA ALL'INTERVALLO
DI
TEMPO teAt
,
È DEFINITA DAL RAPPORTO
Fra
20
SPAZIO
PERCORSO AS
, che
È
La
differenza
Tra La Posizione finale e
la
Posizione Iniziale
,
EL TEMPO
AT
IMPIEGATO A PERCORRERLO
:
VelocitàMedia
=
S(trAt-S(t)
At
↓
LA
VELOCITE
ISTANTANEA È
IL LIMITE DEL RAPPORTO INCREMENTALE
= Si(t)
ACCELLERAZIONE
Amedia
= limlim =
v
=A
INTENSITà
IMEDIA = alt
-(t
a · PUNTI
Di NON
DERIVABILITÀ
I Punti in cul 12 lim+ e il lima del
rapporto
incrementale
esistono
finiti
ma sono diversi tra loro , oppure in cui il limite del
rapporto
incrementale
è
infinito
, sono Punti di non Derivabilità FLESSI A TANGENTE
VERTICALE
1 "
- 0 ↑ IL Coefficiente Angolare delle SECANTI , OSSIA IL RAPPORTO INCREMENTALE DELLA FUNZIONE X-AC Tende A +CO , Sia Da Y DESTRA CHE DA SINISTRA L Per DEFINIZIONE Di DERIVATA , IL LIMITE DEL RAPPORTO INCREMENTALE
S'(C)
Deve essere Un VALORE FINITO , LA FUNZIONE NON E' DERIVABILE IN X=C
A
↓ ↓ ~
ot L fi(c) = fi
x) =
COEF
. ANG.
RETTA
TANG
i X fi(c) = g
(c)
a m = +g =
tgz
= ↑ = i ARB sono PUNTI DI NON DERIVABILITA
SONO
Detti PUNTI DI FLESSO A TANGENTE
PARALLELA ALL'ASSEY
O A
TANGENTE
VERTICALE
O X
CUSPIDI
!
0 1 y1 i
· D
" ... i ...
LIMITE
DESTRO E SINISTRO
SONU
~
Infiniti di
segno opposto
on=c livS(
h
f()
l'Caso
~
i
~ intern in
m
=
f(x)
=
f(x)
=
f(d)
= M(x
b]
f(x)
= 0
Ext]a
, b)
MIM
=
SCOSTANTE
D(K) = 0 c. v . d
°
CASO
m
=M
FUNGONE
NONSAN
Uno del Due Punti
(Massimo
o Minimo)
sono
Caib]
INTERNI ALLA FUNZIONE
g(h)
g()
f(c
h)
f()
1
M
DIVIDIAMO PER
I
e
RISULTA CHE
:
D
-(
se
ha f(c
h
sehco
achc
ithb
cEJa
,
b)
limhf()
=
folimog
= f
1
MAYg((th)
g(c)
:
Min
↑ 2
c
ch
Questi
LIMITI
RAPPESENTAN
La
DERIVATA
DX
E
SX
S'()
lims(th-f
=
Dif(x)
in c
E
POCHEB(x)
EDERIVABIE
,
DEVONO ESSER
FINITI
E
COINCIDENT
GEOMETRICAMENTE
,
PER
FAR
ESSERE
O
LA FUNZIONE
,
LA RETTA
TANGENTE DEVE ESSERE
PARALLELA
ALL'ASSE
X
· TEOREMA
DI
LAGRANGE
IPOTESI
Se
una funzione
f(x)
:
· Continua nell'intervallo Limitato e chiuso [aib]
·
DERIVABILE IN OGNI
PUNTO INTERNO
A
Esso
ALLORA ESISTE
ALMENO UN
PUNTO
C INTERNO ALL'INTERVALLO
PER
CUl
VALE
LA
RELAZIONE
:
TESI
g(b) -S(a)
=
Co
DIMOSTRAZIONE
CONSIDERO La Funzione
f(x) =
f(x)
KX KEIR
f(x) e
continua in
Laib] ,
perche Somma di
funzioni
continue
SPERTIN FASCODIRET
f(x)
e
Derivabile
in JaibS ,
perche Somma
di
2 funzioni
Derivabili
SIC)
PERIPOTE NIZONE
y
APPLICHIAMO
IL
TEOREMA DI
ROCCE [F(a)
F (b)]
f(a)
ka =
f(b)
kb
kb
ka =
g(b)
g(a)
k(b
=
f(b)
f(a)
=
k
=
g)
Sostituiamo
Alla funzione f(x)
f(x)
kX
F(x)
g(x)
S (a)
.
X
LD PERROLLE Jxt]aib[ : f(c) = o
f(x)
(a)
I Applichiata
f'()
=
S
INTERPRETAZIONE GEOMETRICA
Essendo
y
=
f(x)
derivabile
nell'intervallo
aperto
JaibL ,
il
corrispondente grafico
in tutti
i suoi
punti
è
dotato
di retta
tangente
. Il teorema
afferma
che deve esserci almeno
un
punto
c
per
il
quale questa
retta
tangente
è
parallela
alla
congiungente
i
punti
del
grafico
A e B
rispettivamente
di
ascisse a
,
b
La Tangente Na Coefficiente Angolare In c = f'(c) f(b)
IL TEOREMA AFFERMA CHE ESISTE ALMENO
UN
S
--
punto
ceJaib [
,
ma possono Anche Essere A
Al
↑
O on X
Data una
funzione
y
= f(x) ,
continua in un
intervallo
I
e derivabile
nei
punti
interni
diF :
Sef(x)
è crescente
in
I
,
allora f'(x)
XXeI
-seg(x)
è
decrescente
int
, alloraf'()
VXeI
es :
f(x)
=
XS
CRESCENTE IN
R
f(x)
=
3x
20
AxER
DIMOSTRAZIONE
X
e X2 El
con tr
0 Anche
f(x)
g(x1)
Quindi
g(x)g(X1)
avindi è crescente in
·
f(x)-f(x)
co
e
per
ipotesi f(c)
Lo
Quindi
f(xz)
K
= b) Sot
kg() f(x) =
g(x)
3- F(x) soddisfa
le
ipotesi
del teorema
di Rolle
,
perciò
esiste almeno un
punto
C EJ a i bStale che F'(c)
F'(x)= f((x)
Sbag -f(= f()-fa) : gc atteniamo= · TEOREMA DI DE L'HOSPITAL
IPOTESI
Date due
funzioni
&(x) e g(x) definite
nell'intorno I di
un
punto
xo , sei ·
f(x) eg(x)
sono continue in xo
l f(x)
=
g(x)
= 0 ·
f(x)
eg(x)
sono derivabili in I eccetto al
pici
Xo ·
gi(x)
= 0 im
I-5x
· esiste &im
x
TESI
allora esiste
anche
S e risulta lim
DIMOSTRAZIONE
Se
consideriamo
un
punto
qualsiasi X
dell'intorno I
,
con XXo
, possiamo applicare
il
teorema
di
Cauchy
alle due
funzioni
f(x) eg(x)
nell'intervallo
[xo i
x]
Esiste allora
un
punto
cEJXo
:
x[
per
cui O Poiché
per
ipotesi
è
f(x)
g(x)
= o , scriviamo atteniam lastessa
guaglia
e se
Se Xexo
anche
cxo , quindi im = lim Dato che Emm , allora =im
Data
una
funzione y
=
f(x) , definita
in un intervallo
faib]
,
Xoe Caib] è un
punto
di minimo relativo se esiste un interno I del
punto
Xo tale che
f(x)
f(x) per
ogni
dell'intorno I
.
Il
valore
GIxo)
è detto minimo relativo della
funzione
in
Caib].
1
Y
U
: S XO X
mi
& Punto DI MINIMO
RELATIVO
Se
xo è
interno all'intervallo
[aib]
,
l'intorno di
xo
deve
essere
completo ;
se Xo
coincide
con a ,
l'intorno di xo è destro
;
se Xo
coincide con b
,
l'intorno
di
Xo è sinistro.
·
CONCAVITà
Siamo
date la
funzione
y
=
f(x)
,
definita
e derivabile nell'intervallo SaibLe la retta di
equazione
y
= +(x)
,
tangente
al
grafico
di
f(x)
nel suo
punto
di
ascissa Xo ,
interno all'intervallo Jaib I
.
Poiché
f(x)
è derivabile in
Iaibl
,
la retta
tangente
esiste in
ogni punto
.
Diciamo che in
xo la
funzione
f(x)
ha la concavità rivolta verso
il semiasse positivo
delle
y
(verso
l'alto
se esiste un intorno
completo
I di Xo tale che , per
ognix
appartemente
all'intorno
e
diverso
da xo
,
la
funzione
assume
valori
maggiori
di quelli
dit(x)
nei
punti
aventi
la stessa ascissa
assia
: f(x)<
+(x) ExeF-3x
M
y
=
f(x) ...
f(x))
(x)
y
= +(x)
s
i
Diciamo
che
in xo la
funzione
B(x)
ha
la
concavità rivolta verso
il
semiasse
negativo
delle
y
(verso il
basso
se
esiste
un
intorno
completo
I di xo
tale che
,
per
ogni
x appartentente
all'intorno e
diverso da
xo ,
la
funzione
assume
valori
minori di
quelli
di
t(x) nei
panti
aventi la stessa
ascissa
assia
f(x)
(x) VXEI
Exo
y
= t(x)
"
i
y
f(x)
f(x)
(x)
!
· FLESSI
Data la
funzione y
=
f(x) definita
in Taiblisia XoEJaibL un
punto
di derivabilità per
f(x)
, oppure
tale
cheexo
f'(x)
=+
a a
EmxoS'(x)
= - co . Il panto Xo è un
panto
di
flesso
se in xo il
grafico
di
f(x)
cambia
cancavità.
1 T
Y
Y
7 I
I
O
i
X
Il
glesso
viene detto :
orizzontale
se
la
tangente
nel
punto
di
flesso
è parallela
all'assex
-VERTICALE
se
la
tangente
è parallela
all'asse
y
obriano
se la
tangente
non è parallela
a uno degli
assi
g'(x)
S
1
SEMPRE
CON LA
i
TANGENTE
ORIZZONTAl
·
Ti
tangente
OBLIQUA
Sono
punti
di
discontinuità
si trova
con
la
derivata seconda
Se la
concavità verso
il
basso a sinistra del punto
di
flesso
e
verso
l'alto
a
destra ,
il
glesso
è
ASCENDENTE
Se la concavità verso l'alto a sinistra del
punto
di
flesso
e
verso
il basso
a
destra
il
glesso
è
discendente
