Scarica Le funzioni: teoria e proprieà e più Appunti in PDF di Matematica solo su Docsity!
Le funzioni
= dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di ℝ, una funzione 𝑓 da A a B è una relazione che associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale di B. 𝑓: A → B Se la x esiste nel sottoinsieme A e la y nel sottoinsieme B diciamo che y è immagine di x mediante 𝑓; la legge che definisce la funzione è spesso indicata con y = 𝑓 (x). In una funzione di questo tipo x è detta controimmagine di y mediante 𝑓. Gli insiemi A e B sono detti rispettivamente dominio e codominio di 𝑓; il sottoinsieme b che è formato dalle immagini (= y) degli elementi di A (= x) è detto insieme immagine ed è indicato con 𝑓(A), Im (𝑓) o Im.
La x è la variabile indipendente della funzione a contrario della y che è la variabile dipendente. La funzione scritta y = 𝑓(x) è nella sua forma esplicita, esiste anche la forma implicita che è 𝑓(x;y) = 0. Il grafico della funzione è l’insieme dei punti P (x;y) tali che y è l’immagine di x mediante 𝑓, l’insieme dei punti P (x; 𝑓(x)). Le intersezioni con gli assi si cercano mediante un sistema tra l’equazione della funzione e quella dell’asse. Le funzioni a tratti sono quelle date da espressioni analitiche diverse a seconda dei valori attribuiti alla variabile indipendente.
Classificazione delle funzioni
La funzione è algebrica se l’espressione analitica y = 𝑓(x) che la descrive contiene solo, per la variabile x, operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice. ● razionale intera o polinomiale = espressa mediante un polinomio, se quest'ultimo è di primo grado rispetto alla variabile x la funzione è detta lineare, se è di secondo grado è detta cubica; ● razionale fratta = espressa mediante quozienti di polinomi; ● irrazionale = la variabile indipendente x compare sotto il segno di radice Se la funzione non è algebrica, è definita trascendente.
Dominio e zeri
Il dominio naturale detto anche campo di esistenza della funzione y = 𝑓(x) è l’ insieme più ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y.
Due funzioni y = 𝑓(x) e 𝑔(x) sono funzioni uguali se hanno lo stesso dominio D e se 𝑓 (x) = 𝑔 (x) per ogni x che esiste nel dominio.
Un numero reale a è uno zero della funzione y = 𝑓(x) se 𝑓 ( a ) = 0 Nel grafico di 𝑓(x) gli zeri della funzione sono le ascisse degli eventuali punti di intersezione con l’asse delle x. Inoltre è possibile studiare il segno di una funzione ovvero cercare per quali valori di x appartenenti al dominio il corrispondente valore di y è positivo, e per quali è negativo.
Proprietà delle funzioni
Una funzione da A (dominio) a B (codominio) è: ➔ iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A ➔ suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A ➔ biiettiva o biunivoca se è sia iniettiva sia suriettiva Una funzione è iniettiva se a elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B, ossia x1 ≠ x2 → 𝑓(x1) ≠ 𝑓(x2) Ogni funzione è suriettiva se si prende come codominio l’insieme immagine della funzione.
y = 𝑓(x) di dominio D ⊆ ℝ è una funzione crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 < x2, risulta 𝑓(x1) < 𝑓(x2). → la funzione si dice non decrescente o debolmente crescente se nella definizione sostituiamo < con ≤.
y = 𝑓(x) di dominio D ⊆ ℝ è una funzione decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 < x2, risulta 𝑓(x1) > 𝑓(x2). → se nella definizione > diventa ≥ allora la funzione si dice non crescente o debolmente decrescente.
Una funzione di dominio D ⊆ ℝ è monotòna in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se in quell’intervallo è sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto. Analoga definizione può essere data per una funzione monotòna in senso lato. → una funzione monotòna in senso stretto è sempre iniettiva.
y = 𝑓(x) è una funzione periodica di periodo T con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, abbiamo 𝑓(x) = 𝑓(x + kT). Il grafico in una funzione di questo tipo si ripete di periodo in periodo; se una funzione è periodica allora non è iniettiva perchè x e x + kT hanno la stessa immagine. Le dilatazioni modificano il periodo delle funzioni. Se 𝑓(x) è una funzione di periodo T1, la funzione 𝑓(kx) ha un periodo che è T = T1/k.
Indichiamo con D un sottoinsieme di ℝ, tale che, se x ∊ D allora anche -x ∊ D. y = 𝑓(x) è una funzione pari in D se 𝑓 (-x) = 𝑓 (x) per qualunque x appartenente a D. = se una funzione polinomiale ha espressione analitica contenente solo esponenti pari, allora la funzione è pari → il grafico di una funzione, se pari, è simmetrico rispetto all’ asse y.
Indichiamo con D un sottoinsieme di ℝ, tale che, se x ∊ D allora anche -x ∊ D. y = 𝑓(x) è una funzione dispari in D se 𝑓 (-x) = - 𝑓 (x) per qualunque x appartenente a D. = e una funzione polinomiale ha espressione analitica contenente solo esponenti dispari, allora la funzione è dispari → il grafico di una funzione, se dispari, è simmetrico rispetto all’ origine degli assi.
Data la funzione biunivoca y = 𝑓(x) da A a B, la funzione inversa di 𝑓 è la funzione biunivoca x = 𝑓 - ¹(y). Se una funzione ammette inversa, si dice invertibile → se una funzione non è biunivoca è possibile effettuare una restrizione del dominio a un sottoinsieme D’ in cui sia biunivoca. Il grafico di una funzione e della sua inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
= la funzione logaritmica è l’inversa di quella esponenziale e viceversa, sono entrambe strettamente monotòne e quindi non è necessaria la restrizione del dominio.
= le funzioni goniometriche sono periodiche e quindi non biunivoche, è necessario effettuare restrizione dei domini in modo tale che risultino biiettive.
Date le funzioni 𝑓 e 𝑔, indichiamo con 𝑔∘𝑓 (𝑔 composto 𝑓) o con y = 𝑔 [𝑓(x)] la funzione composta che si ottiene associando a ogni elemento x del dominio di 𝑓, che abbia immagine 𝑓(x) appartenente al dominio di 𝑔, il valore y immagine di 𝑓(x) mediante 𝑔.. = per comporre le due funzioni occorre che l’immagine di x mediante la prima funzione sia un valore per il quale si può determinare l’immagine della seconda funzione. → la composizione delle funzioni non è commutativa.
Se si compone la funzione 𝑓 con la sua inversa si ottiene la funzione identità che associa a ogni elemento di un insieme se stesso.
