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1
Variabili casuali
- Una variabile casuale X e’ una funzione definita sullo spazio
campionario W che associa ad ogni evento E W un unico
numero reale.
- Esempi: somma dei punteggi nel lancio di due dadi, numero di
pezzi difettosi in un lotto, variazione giornaliera nel rendimento
di un titolo, numero di prodotti di un certo tipo venduti
giornalmente in un particolare punto vendita
9
E
1
E
2
E
8
E
7
E
4
E
6
E
5
E
3
E
1
x
6
x
4
x
5
x
2
x
3
x
X
W
2
- Una variabile casuale può essere classificata come discreta o
continua.
- Una variabile casuale discreta può assumere un insieme
discreto (finito o numerabile) di numeri reali.
- Una variabile casuale continua può assumere tutti i valori
compresi in un intervallo reale.
W discreto
V.C. discreta
W continuo
V.C. discreta o continua
3
Variabili casuali discrete
- Una variabile casuale discreta X è caratterizzata dalla sua funzione
di probabilità che associa ad ognuno dei valori x
i
la corrispondente
probabilità P(X=x
i
).
- La funzione di probabilità deve verificare le due proprietà:
- Una variabile aleatoria discreta può anche caratterizzarsi attraverso
la sua funzione di ripartizione che fa corrispondere ai valori x le
probabilità cumulate P(Xx):
- La funzione di ripartizione verifica le seguenti proprietà:
F(x) è non decrescente
F(x) è continua a destra
P X i
i
0 ,
1
i
i
PX
wx
Fx PX x PX w
lim 0 lim 1
F x e F x
x x
4
Esempio
- Corrispondenza tra eventi e valori della variabile casuale
X={somma dei punteggi}, nella prova “lancio di due dadi”
X
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(x)
F(x) 1
36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
1
36
3
36
6
36
10
36
15
36
21
36
26
36
30
36
33
36
35
5
0
0,
0,
0,
0,
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x
F(x)
- Rappresentazione grafica della funzione di ripartizione per
l’esempio del lancio di due dadi
6
Variabili casuali continue
- Una variabile casuale continua X è caratterizzata dalla sua funzione
di densità, f(x) tale che l’area sottesa alla funzione, in un intervallo, è
pari alla probabilità che X assuma un valore in quell’intervallo:
- La funzione di densità deve verificare le proprietà:
La probabilità che la v.c. assuma un particolare valore è 0.
- Una v.a. continua può anche caratterizzarsi attraverso la funzione di
ripartizione:
- La funzione di ripartizione verifica le proprietà già viste in
precedenza; inoltre per v.a. continue, essa è assolutamente continua.
b
a
Pa X b fx dx
f x 0
1
f xdx
x
Fx PX x fw dw
7
Esempio
- Si consideri la v.a. X che può assumere tutti i valori
dell’intervallo reale [a ; b] in modo che tutti i sottointervalli di
uguale ampiezza abbiano la stessa probabilità.
- La funzione di densità è
- La funzione di ripartizione è
altrimenti
sex a b
b a
fx
0
;
1
sex b
sex a b
b a
x a
sex a
F x
1
;
0
Funzione di densità di probabilità Funzione di ripartizione
8
Valore atteso di una v.a.
- Il valore atteso di una v.c. X, è definito come
se la v.c. è discreta
se la v.c. è continua
- Il valore atteso di una funzione Y = g(x), della v.a. X, può
essere calcolato come:
se la v.c. è discreta
se la v.c. è continua
EX xfxdx
i
i i
EX xPx
EY gxfxdx
i
i i
EY gx Px
13
Teorema di Chebyshev
- Sia X una variabile casuale e k un valore reale positivo, allora
vale la seguente disuguaglianza:
Indipendentemente dalla distribuzione della v.c., la probabilità
che X assuma valori distanti dalla media più di k deviazioni
standard è al più 1/k
2
2
k
P XEX kSD X
14
Modelli di v.a. discrete: v.a. uniforme
- Una v.a. uniforme discreta X assume valori interi compresi in
un certo intervallo [a,a+s-1], ciascuno con la stessa probabilità.
Viene indicata come X UD(a,s).
- La funzione di probabilità di una uniforme discreta è:
- Media e varianza di una uniforme discreta sono rispettivamente:
- Esempio: X UD(1,8)
altrimenti
sex aa s
s
Px
0
; 1
1
12
1
2
1
2
s
e V X
s
EX a
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1 2 3 4 5 6 7 8
P(x)
x
2 , 29
5 , 25
4 , 5
SD X
V X
E X
15
Modelli di v.a. discrete: v.a. di Bernoulli
- Una v.a. Bernoulliana, indicata come X Bernoulli( p) assume
solo due valori, 1 o 0, rispettivamente con probabilità p e 1- p.
- La funzione di probabilità di una v.a. di Bernoulli è:
- Media e varianza di una Bernoulliana sono rispettivamente:
- Tutte le prove che producono solo due possibili risultati
generano v.c. di Bernoulli: il lancio di una moneta, il
superamento o meno di un certo livello di inflazione, l’aumento o
meno della quotazione di un titolo, l’acquisto o meno di un certo
prodotto, la difettosità o l’integrità di un certo pezzo…
1 0 , 1
1
P X x per x
x x
p p
E X p e V X p 1 p
16
Modelli di v.a. discrete: v.a. Binomiale
- La v.a. Binomiale è una distribuzione discreta che si utilizza
quando si è in presenza di n prove indipendenti (es. n
estrazioni con ripetizione o n estrazioni da una popolazione
infinita), ciascuna prova ha solo due esiti possibili, indicati
come successo e insuccesso (es. difettoso/non difettoso,
aumento/decremento, acquisto/mancato acquisto), e la
probabilità p (es. tasso di difettosità) di osservare un successo
in una singola prova rimane costante per tutte le prove.
- Una v.a. Binomiale si indica come X Binomiale( p;n) e la sua
funzione di probabilità è:
௫
ି௫
17
- Una v.a. Binomiale può essere ottenuta considerando la somma
di v.c. di Bernoulli, indipendenti e identicamente distribuite:
ଵ
ଶ
ୀଵ
dove X
i
Bernoulli( p), indipendentemente per ogni i.
- Media e varianza di una Binomiale sono rispettivamente:
- Una v.a. Binomiale è caratterizzata dalle seguenti proprietà:
Il valore atteso e la varianza crescono al crescere di n;
Per p=0,5 la distribuzione è simmetrica rispetto al valor
medio (n/2);
Per n→ la distribuzione tende ad essere simmetrica
rispetto al valor medio.
E X n p e V X n p 1 p
18
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Binomiale(20;0,5)
Binomiale(7;0,5)
Esempi di Binomiale
19
Esempio
- Un’industria che produce tappi di sughero sa che il tasso di
difettosità dei macchinari a disposizione è del 5%.
Per controllare giornalmente che tale tasso rimanga invariato, il
responsabile del controllo di qualità ogni giorno estrae 20 tappi
a caso tra quelli prodotti e osserva quanti di essi risultano
difettosi.
È più probabile che si trovi ad osservare 1 solo tappo difettoso
o nessun tappo difettoso? E qual è invece la probabilità di
osservarne 2?
20
p la probabilità di produrre un tappo difettoso;
n il numero di tappi estratti;
X il numero di tappi difettosi tra quelli estratti.
- Le informazioni a disposizione sono:
p = 0,05; n = 20;
P(X = 0), P(X = 1) e infine P(X = 2).
0 20 0
0 0
! 20!
( 0) 1 0,05 1 0,05 0,
0! 0! 0! 20 0!
n n
P X p p
n
1 20 1
1 1
! 20!
( 1) 1 0,05 1 0,05 0,
1! 1! 1! 20 1!
n n
P X p p
n
2 20 2 2 2
n
n
P X p p
n
25
- Una v.a. Uniforme continua X, indicata come X U(a;b), può
assumere valori sull’ intervallo reale limitato [a;b], in modo che
tutti i sottointervalli di uguale ampiezza abbiano la stessa
probabilità.
- La funzione di densità è
- Media e varianza di una uniforme sono rispettivamente:
- Esempio: X U(0;1),
altrimenti
sex a b
b a
fx
0
;
1
Modelli di v.a. continue: v.a. uniforme
2 12
2
a b
e V X
a b
E X
0,
0,
0,
1,
1,
-0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,
f x
0,
26
- Una v.a. Normale (o Gaussiana) X, indicata come X N( m; s
2
può assumere valori su tutto l’asse reale.
- La funzione di densità è
- Media e varianza di una normale sono rispettivamente:
- La Normale gode delle seguenti proprietà:
Ogni trasformazione lineare di una v.a. Normale è ancora una v.a.
Normale
La somma di v.c. Normali indipendenti è ancora una v.c. Normale con
media e varianza pari, rispettivamente, alla somma delle medie e delle
varianze delle v.c. Normali.
0
2
1
exp
2
1
2
2
2
m s
s
m
s p
x
f x
Modelli di v.a. continue: v.a. Normale
2
EX m e VX s
27
0,
0,
0,
0,
0,
0,
-4,5 -3,0 -1,5 0,0 1,5 3,0 4,
N(0;1)
s
s
s
s
Esempi di v.a. Normali
0,
0,
0,
0,
-1,5 0,0 1,5 3,0 4,5 6,0 7,
m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=
28
- Se la v.a. X ha una distribuzione normale con parametri m e s
2
allora Z = (X- m)/ s è ancora una v.a. Normale con media 0 e
varianza 1. La v.a. Z è nota come Normale standardizzata e si
indica come Z N(; 1 ).
- La funzione di densità della Normale standard è
2
2
1
exp
2
1
fz z
p
0,
0,
0,
-1,96 0,00 1,
0,
29
- La funzione di ripartizione di una v.a. Normale standard viene in
genere indicata come (•), ossia
- I valori della funzione di ripartizione di una Normale standard
sono tabulati e questo semplifica i calcoli delle aree sottese
dalla funzione di densità.
- Esempio: Calcolo dell’area sottesa nell’intervallo [-2,2]
F z P(Zz) z
2 2 2 1 2 2 2 1 2 0 , 977 1 0 , 954
30
31
ESEMPIO
Un’industria che produce componenti sta valutando la
possibilità di fornire una grossa ditta.
I macchinari sono settati per produrre componenti con un
diametro di 10mm, tuttavia non tutti i pezzi prodotti
hanno esattamente la stessa dimensione.
È noto invece che il diametro dei pezzi prodotti segue una
distribuzione normale con media 10mm e deviazione
standard 0,5mm.
La ditta che dovrebbe acquistare questi pezzi può utilizzare
esclusivamente componenti con un diametro compreso
tra 9 e 11 mm.
Si vuole stabilire se almeno il 90% della produzione di
componenti incontri le necessità della ditta.
32
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
Densità della variabile "diametro"
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
Densità standardizzata
Indichiamo con X la variabile “diametro”:
X
P X P
m m m
s s s
2 2 0 , 9545
P Z P Z
37
Applicazioni del teorema
38
- Una v.a. Chi-quadrato X, indicata come X c
(g), può
assumere valori nell’intervallo [0;].
- La funzione di densità è
- Media e varianza di una Chi-quadrato sono rispettivamente:
- Una v.a. c
(g) si può ottenere come somma dei quadrati di g
v.a. Normali standardizzate indipendenti, ossia
Modelli di v.a. continue: Chi-quadrato
E X g e V X 2 g
0
1
2
fx x per x
g x
g
g
2 2
2
e
2
1
2 2
2
2
1
2
g
c g Z Z …Z
39
Esempi di v.a. Chi-quadrato
0,
0,
0,
0,
0,0 7,5 15,0 22,5 30,
4
2
c
8
2
c
12
2
c
20
2
c
All’aumentare di g la distribuzione tende ad una N(g;2g)
40
- Una v.a. t di Student T, indicata come T Student(g), può
assumere valori nell’intervallo [- ;].
- Una v.a. T Student(g) si può ottenere come rapporto tra una
v.a. Normale standardizzata e la radice quadrata di una v.a.
Chi-quadrato divisa per i suoi gradi di libertà, ossia
dove Z N(0,1) e Y c
(g).
Modelli di v.a. continue: t di Student
Y g
Z
T
41
- Una variabile aleatoria doppia (X,Y) è una funzione definita
sullo spazio campionario W, che associa a ogni risultato
i
una
coppia di numeri reali (x,y).
- Una v.a. doppia è completamente definita dalla sua funzione di
probabilità congiunta o dalla sua funzione di densità
congiunta, a seconda che sia discreta o continua.
- In caso di indipendenza si deve avere:
Caso discreto
Caso continuo
Cenni sulle v.a. doppie
P x,y P x P y
f x,y f x f y
42
- Il valore atteso di una combinazione lineare di p v.a.
è dato da
mentre la varianza è
dove
è la covarianza tra X
i
e X
j
Media e varianza di combinazioni
lineari di v.a.
p p
X aX aX aX
1 1 2 2
p p
E X aEX aEX aEX
1 1 2 2
p
i
p
j i
i j i j
p
i
i i
V X aVX aaCovX X
1 1 1
2 ,
i j XX i i j j
Cov X X E X EX X EX
i j
,
, s
…
…
Dove e come studiare
- Libro di testo: S. Borra, A. Di Ciaccio (2014), Cap. 9 (escluso
paragrafo 9.8.5)
- Svolgere ‘Esercitazione 5’.
- Svolgere i restanti esercizi nel file ‘Esercizi di probabilità.xls’.
43
