Logaritmi ed equazioni, Schemi e mappe concettuali di Matematica

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LOGARITMI

Definizione

 Dati due numeri reali positivi a e b, con a≠1, si dice logaritmo in base a di b, l’esponente x da assegnare alla base a per ottenere il numero b  Il logaritmo in base a di 1 è sempre uguale a 0: log𝑎 1 = 0 ↔ 𝑎 0 = 1  Il logaritmo in base a di a è sempre uguale a 1: log𝑎 𝑎 = 1 ↔ 𝑎 1 = 𝑎  L’esponente 𝑎 log𝑎 𝑏 è uguale a b, infatti per capire basta sostituire la x nell’equazione 𝑎 𝑥 = 𝑏, con x = log𝑎 𝑏 → 𝑎 log𝑎 𝑏 (=𝑥) = 𝑏 log𝑎 𝑏 = 𝑥 ↔ 𝑎 𝑥 = 𝑏 log 5 25 = 2 ↔ 5 2 = 25 All’aumentare dell’argomento b, il log𝑎 𝑏 ∶

• Aumenta, se a>
• Diminuisce, se 0<a< log𝑎 𝑏 = 𝑥 ↔ 𝑎 𝑥 = 𝑏 log 5 25 = 2 ↔ 52 = 25 log 5 125 = 3 ↔ 53 = 125 log 1 2 1 4 = 2 ↔ 1 2 2 = 1 4 log 1 2 4 = − 2 ↔ 1 2 − 2 = 4

Logaritmo di una radice: log𝑎 𝑛 𝑏 = log𝑎 𝑏 1 𝑛 (^) = 1 𝑛 log𝑎 𝑏 Es: log 7 3 5 = 1 3 log 7 5 Formula del cambiamento di base: log𝑎 𝑏 = log𝑐 𝑏 log𝑐 𝑎 Es: log 3 25 = log 5 25 log 5 3

Altre proprietà utili

log 1

𝑏 = −log

𝑎

log

𝑎

𝑏 ∙ log

𝑏

Equazioni Logaritmiche

log𝑎 𝐴 𝑥 = log𝑎 𝐵 𝑥 ↔ 𝐴 𝑥 = 𝐵(𝑥) log 10 (𝑥 + 1 ) = log 10 2𝑥 + 3 ↔ 𝑥 + 1 = 2𝑥 + 3 RICORDA: ogni volta che ci sono i logaritmi bisogna fare le condizioni di esistenza dell’argomento, quindi prima di fare qualsiasi cosa è sempre necessario porre tutti gli argomenti dei logaritmi > 0 mettendoli a sistema. Nell’esempio sopra quindi: log 10 (𝑥 + 1 ) = log 10 2𝑥 + 3 C.E.: ቊ

3 2 → →C.E.: x>- 1 Poi risolvo: 𝑥 + 1 = 2𝑥 + 3 → 2𝑥 − 𝑥 = 1 − 3 → 𝑥 = − 2 →non accettabile poiché per le condizioni di esistenza x deve essere maggiore di - 1.

3 2 -^1

RISOLUZIONE ESERCIZI:

o Applicazione definizione di un logaritmo:  log 𝑥− 9 4𝑥

C.E.:

𝑥− 9 4𝑥

𝑥 > 9 ; →C.E.: 𝑥 < 0 V 𝑥 > 9

 log 𝑥− 9 4𝑥 = log 1 Definizione di logaritmo:  𝑥− 9 4𝑥 = 1 log𝑎 1 = 0  𝑥 − 9 = 4𝑥  3𝑥 = − 9  𝑥 = − 3

N

D

o Applicazione logaritmo di un prodotto:  log 𝑥 − 1 + log 𝑥 − 3 = log 8 C.E.: ቊ

 log 𝑥 − 1 𝑥 − 3 = log 8 Logaritmo di un prodotto:  log 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = log 8  𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 8 log𝑎 𝑏 + log𝑎(𝑐) = log𝑎(𝑏 ∙ 𝑐)  𝑥 2 − 4𝑥 − 5 = 0  𝑆: 𝑥 1 = − 1 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑐𝑐𝑒𝑡𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 , 𝑥 2 = 5  𝑆𝑓: 𝑥 = 5

o Applicazione logaritmo di un quoziente:  log 𝑥 − 1 − log 𝑥 + 3 = log 𝑥 − 3 − log 𝑥 − 2 C.E.: →C.E.: x>  log 𝑥− 1 𝑥+ 3 = log 𝑥− 3 𝑥− 2 Logaritmo di un quoziente:  𝑥− 1 𝑥+ 3

𝑥− 3 𝑥− 2  𝑥 − 1 𝑥 − 2 = (𝑥 − 3 )(𝑥 + 3 ) log𝑎 𝑏 − log𝑎(𝑐) = log𝑎 𝑏 𝑐  𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 𝑥 2 − 9  3𝑥 = 11  𝑥 = 11 3

• 3 1 2 3

o Applicazione proprietà varie:  log 3 (𝑥 + 1 ) + 2 log 9 (𝑥 + 1 ) = log 3 9 C.E.: 𝑥 + 1 > 0 ; 𝑥 > − 1  log 3 (𝑥 + 1 ) + 2 log 9 (𝑥 + 1 ) = log 3 3 2  log 3 (𝑥 + 1 ) + 2 log 9 (𝑥 + 1 ) = 2 log 3 3 Logaritmo di una potenza  log 3 (𝑥 + 1 ) + 2 log 32 (𝑥 + 1 ) = 2  log 3 (𝑥 + 1 ) + 1 2 ∙ 2 log 3 (𝑥 + 1 ) = 2 Proprietà dei logaritmi  log 3 (𝑥 + 1 ) + log 3 (𝑥 + 1 ) = 2  2 log 3 (𝑥 + 1 ) = 2  log 3 (𝑥 + 1 ) = 1 Definizione logaritmo  log 3 (𝑥 + 1 ) = log 3 3  𝑥 + 1 = 3  𝑥 = 2

 log 3 8 ∙ log 4 27 =  = log 3 2 3 ∙ log 4 3 3 =  = log 3 2 3 ∙ log 22 3 3 =  = 3 log 3 2 ∙ 3 2 log 2 3 = log 3 2 ∙ log 2 3 = 1 [log𝑎 𝑏 ∙ log𝑏 𝑎 = 1 ]  = 3 ∙ 3 2

9 2  log 1 3

C.E.: 2𝑥 − 3 > 0 , 𝑥 >

3 2

 −log 3 (2𝑥 − 3 ) = − 2 [log 1 𝑎 𝑏 = −log𝑎 𝑏]  log 3 (2𝑥 − 3 ) = 2  log 3 (2𝑥 − 3 ) = log 3 3 2  2𝑥 − 3 = 9  𝑥 = 6