Logica e insiemi, Appunti di Analisi Matematica I

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logica

-proposizione:assets^ che^ ha^ sense^ definize^ VERSO^ FALSD

commettivongunziee^ [p,

7, N:^ proposizioni

negazione

P TP

/Pere^

VF

VF

FV

FU

implicazione:condizionenecessariamanonsufficientee

p9p=^9 OSSERVAZIONE:

Pat (^) happle

stesso

V V V

UF F

FV V

FF

saranno

il

(p

q)n(q=^ p)^ = px

q

Quantificatori

-Universale o

*x, p(x)^ érezo^ seogni elemento^ x soddisfa la^ proposizione data XX,p()é V= p(x1)/p(xz)... e

• Esistenziale I 7x, p(x)^ èreca^ se^ la^ proposizione si^ verifica (^) per almeno^ una^ x 5x,p(x) eV^ c=^ >^ p(X)Vp(X2)... V
• Uno e (^) solo uno I? Negazione deiquantificatori 2(Xx,p(x)) == 25x,7p(x) 7(7x,p(x))e= fx,7p(x) Principio diinduzione

Sia mo un intero e sia P(m) un pudicate definite per

ogniintelo^ m^ =^ mo.

Supponiamo che^ siano^ recificate le^ due^ sequenticondizioni,

1) P(no) èvero

1. (^) Riz (^) ogni n = no, se P(n) (^) èveio allozar P(n+1) é (^) vezo (II)

Alloza P(n) éveco per ogni n= no

/ IRcampo ordinato xy =x

zxy

+ z TRICOTOMIA

se zie

xy

=X.E

Insiemi (^) N.B. Q = A

· P, a interi

· 9F

IN:naturali · p, a seno (^) complime 10

E:interi

0, (^3) e at

MCD P,9 =^1

④:razionali (^) Fa -^52 R:zeali

Irazionali irrazionali)

Numeri (^) irrazionali

RE Q ->^ Dimostrazione per assurdo:

(^2) Q V2 = (^1) p =r.q

p (^2) = 292 L -

pazi pazi

N.B. (^) Sepe (^) q (^) p = pazi

Smo entrambip=^ 2k^ ->^ 4k=^292

pari, essinon

possono essere^ - COMPRIMI (^) q = pazi

S C.V.d.

Teoria

degli

insimi

INSIEME:collezione dielementi (^) (A, B, C) X A

↓xappartiene all'insieme A A =

(x/p(x)) A = B == ogni elemento diA^ appartiene a e viceversa A^ =^ Bx=^ ACB1BCA contenuto Sottoinsieme:A =(x= A = x- B) ·

ogniinsieme^ èsettsinsieme^

dise stesso:ACA ===xeA = x-A V

. l'unico insieme che (^) non (^) possiede elementi è l'insieme vuoto:

↓ èsottoinsieme di tutti

gliinsiemiOCA

Insieme delle (^) parti P(A) = (x/xcA) A = (1,2,3) S

insieme delle

parti diA P(A) = (A;;1;2;3;

• 2; - 3; - 1) N.B. Se A han (^) elementiP(A)^ =2"elementi Numeli (^) combinatori

(B)

= s 01 M ERVIVAENTI OSSERVAZIONE:(Y) =m(n-^ -)^ (m^ -^ 2)^ ...^ (m^ - k+)(k)! k!(x)! N.B. (^0)! =^1 m! = gruppi che^ posso creare din^ oggetti (COMBINAZIONE) ↑) = quauti (^) gruppidi^ Kelementiposso mare^ nell'insieme^ m^ (PERMUTAZIONE)

OSSERVAZIONE:

(P)

(x) = = xs:= (^) mix

=^1 =

(n) TEOREMA:binomio (^) diNewton (4) = n(n) (a+ b)*= (r) abr (3) = (ri)

(*^7

DEFINIZIONI X (^) c IR X^ si dia limitate (^) superiormente se e solo se 7kt1R/x kxEX X cIR X^ si dia limitate (^) inferiormentese (^) e solo se (^7) kt1R/x > kxEX X cIR X^ si dia limitato se e (^) solo se X èlimitate

contemporaneamente

superisemente ed^ inferiormente XcIR, k (^) - IR · kéun maggiozante di X^ sex- tx -^ X · ké un minorante (^) diXc X2k (^) XxeX · k (^) èil MAX diX sek (^) éun maggiolaute Xx-X (^) ed insttie (^) appartiene ad X · K (^) èilMIN di (^) Xsekéun minorante Fx-X^ ed insttze keX

• si (^) dice che (^) K èl'estremo superiore dell'insieme^ X(K=supX)^ se^ éil S minore dei maggicauti di (^) X, ossia

k=min(y

EIR/y éu^ mag.

di

X) *= supX).Ex/x (^) n- k= mx/xk+

-^3 Si dice^ che^ è l'estremo (^) inferisce dell'insieme X (=^ infX) se (^) éil massimo deiminorauti^ di (^) X, ossia k=max(y R/y^

éun^ min. di

XI

Insieme R (^) éun (^) campo R (^) èordinato

R ècompleto (copre tutta laretta deinumeri)

I non esiste intervallo

④édauso in IR: sepundo 2 numeri reali Xxz 7rE/ Xrexe disolimumuliirrazionale

Principio diArchimede. Per (^) qualsiasinumero arcoun numero (^) piùalto mar Prodotto (^) cartesiano

• preudo 2 insiemiX, Y^ & Si (^) definisce XxX, l'insieme dituttele (^) coppie vidimate((x,y)(x

X,y (^) Y) Se RcXXY (^) Si dice che Ré^ una relazione diX in Y Funzione Si (^) dice (^) chef éuna (^) funzione diX (^) in Y (^) se éunarelazione diX (^) in Y/^ pez

ogni

xin X esiste no^ e^ solo^ un (^) y inY/(X,y) (^) tf Notazione fix

• X X (^) = dom(f) f(x) = immagine dimediantef, X- x == f(x) =

y

I= evator (^) (f) kx - X,7!y - y/f(x) = y (^) A

y

CIASCUN ELEMENTO^ DEL

DOMINID Deve essete ASSOCIATO

I

UNO ED^ UN^ SOL ELEMENTD

=

DEL CODOMINIO^ -

· AcX Si (^) definisce (^) l'immagine diAf(t) = (f(x)/X

• A)cy = (y - y/5x 21:f(x)^ = y) TUTTI GLI^ ELEMENTI O^ Y SOND [ IMMAGINE (^) DEGLI ELEMENTI DIA (^) I

· BCY

Si definisce la contro

immagine diBf(B) =

(x

-A/f(x)

B) = (x

X/7y -^ B:f(x)^ = y)

TUTTI GLI ELEMENTI DEL

I I

DOMINID LACUI IMMAGINE

APPARTIENE AB

Funzione segue Funzione Parteintera INTERD + (^) GRANDE CHe NON (^) SUPERAX ⑧ anali F.

Funzione mantissa

M(x) = x-^ (x)^

EF

.^ ... (^) fix - Y iniettiva, sidefinisce^ f

I la

funzione

inversa (^) dif, la^ funzione didominio (^) f(x) e codom.

Xche per

y ef(x)^ he^ per^ valore^ quell'^ unico

EF elemento x = x^ pic any= f(x), (^) f(y) = x

1. Funzione (^) iniettiva se (^) XFy => f(x)

• fly)

1. funzione^ suriettiva^ se^ f: X-Y/f(x) = y

3) Funzione biettiva =>f(x) èiniettiva èsuziettiva

Numeri complessi 2 = a+^ bi^ R(z) = a] a,b

• IR

(z) =b

2 =^ C OSSERVAZIONE:(z1 (^) = E Modulo Iz1=^ Vt^ a+^ bi^ =c+ dix= xa=^ c1b=d Coniugato

E =a- bi Neutzo: 0 +^ Di

Piaus (^) di Gaus Argand^ x = argomento complesso=Arg(z)

1I(b)

cosx =

l a = 1z/cost senx (^) = 1 b =^ (z/senx 121

As

Tiroduld (^) z =(z)(cosx (^) + isenx)=Izle" a (^) R(a) Operazioni inC (a+^ bi)^ +^ (c+^ di)^ =^ (a+^ c)^ + (b+^ d)i (a + bi))c + di) (^) =ac + adi + bci + di = ac-bd + adi + bei

i=^ -^1

z. E^ =^ R(z)+1m(z)2^ =^ a+^ b OSSERVAZIONE:i= i

i = - 1

i=ii=^ -^ i

cielo

i

*=

i3.i = - i

2

=^1

I

Prodotto (^) e (^) rapporto De Moire (^21) =^ 21.ei 1 21-22 =^ (21-22)^ -e:(x^

• x2) z=2. eix 22 =^ 22.^ ei2^ E=2".^ e in (cosa +isena)=cosmx+isenma

Se Zaf

=E^ eild-a

N. B. 1z1^ =^ r

Radicim-esime Vogliamo determinale^ icomplessi^ (^1) = 2.e'/Z = w Ex =^ .i

+ 2k

w = p.eix n

k = 1,2,3...n-^1

esempio

Bi-1z1 = (^2) cosx= =I^

senx =

=Ex

= re

2 = 2.e ↓conk = e

2x = 2.(cos(

2k)

isen

2)) =2. (^) ei Teorema fondamentaledell'algebra Sia (^) p(z) =^ ao+anz + azz+ ... anz con antoake (^) Dokm, allower Tm=m^ complessi In, Zm^ distinti^ ed^ M,u2..um interi(21)(M+u2 (^) +..Mn =^ n/p(z)^ =^ (z^ -^ zi)mi...^ (z^ -^ zm) am

OSSERVAZIONE:Se iconficenti dip(z) sono zali e se Zo éuna radice complessa,

allow (^) to é anche ilsuo (^) coniugatoo

Teorema dell'unicita' del limite: Se illimite esisteallonaeunico

Hp:limPane,^ lim an^ e Ts: (^) l=l

dimostrazione

① Dato a^7 N, Ne^ /mzN =lan-les^ Scelgo N = ② (^) Dato max(N;N2}

2 7 N, N2/kmNz^ =lam-fl

Notiamo (^) che Il-le) = 1l+an-an-h Il-Melane+lang=>Il-le2=>

Il-bl = e

l=^ b^ C.V.d. Algebra deilimiti Siano (an),(bm} successioni/liman=s,^ imbate^ come, e-

Alloza:

si(an

bn) =l Dimostrazione^ 1)^ infatti Date (^) Ex (^) UN, N2/m> N1 = lam-les 2 Min (an bn)

= l.ls Date 220 FN, Nz/fma N2 => /bn - h/e

③ (^) him kan=lim^ au=K^ Scelgo N=max^ { N;N2} n + C Iman: I

con ans el= 0 Fr>N^ lan-l)^ +^ (bm^ -h)^ e^ a

lan + bn -^ (l+^ h)(k|am^ -l)^ +^ 1bm^ - lie

• an + bn (^) =^ l+ l

Teorema deicarabiniezi Hp:an^ =^ bm=cm^ Fr^ T:^ lim br=e

lim an=l-lim em

n + e (^) n+ c

dimostrazione

Fax (^7) N, N2 N/Xm>N2 = lan-1) SalgoN =

max(

N; Fr>N2 => 1cm -^11 e 3 Ne} I Fr-N, si arca ossia lan-le= (^) -scan-leE l-Ecamelte

l-e no, andante

Teorema (an)

successione monotona^ allora^ una saza'couvergente oppure divergente

I (^) particolare se ècrescente il lins - and,

se édecrescente

in(and

dimostrazione

· Poniamo (an) crescente e^ limitate.^ Posto^ l= Sup(am)=+cs. Ysco,^ Jan /l-3=am. D'altra (^) partean (^) and En>^ no ossia l-scano e (^) am ·Supponiamo (^) (and crescentoed^ illimitato, il sup[an)= tos.^ Fissatoun^ reale^ ed

abitzaris ↓allow Jano/anoc Fn>^ no. Quindisiccome anand si arcaama e

cise' lim an= + es

Nes

IntornixIR Uxo (^) intorno del (^) punto se contiene (^) un intervallo (^) apertocontementexo

F.

Unintonoaperto simmete disto,

Xot, sara'^ un^ intervallo^ opertoere xes^ xtfszaggio I centro

F. (^) Un (^) intorno di infinito UC+cs)^ Salaun^ intervallo^ apertodel^ tipo (4; + a), (^) analogamenteU(-c)^ sara')-cs;-M)^0 (-c;N)^ comNEIR

EF (^) RR (^) = (Ru)

• x; + c): retta^ estesa

F punto diaccomulazione X (^) -> (^) IR, xo - , to si dice (^) puntodiaccomulazione di X (^) se dato qualsiasi U(xos =Uen X-[xr)^ 71, ossia richiede che (^) ogni UCto) contengainfiniti^ punti di X

esempio X^ =^ NN^ xo^ =^ +^ cs^ èun^ punto diaccomulazione^ per X

X =^ -^ N^ xD^ =^ -^ a^ éun^ puntodiaccomulazione^ per X limite (^) difunzione

Una

funzione (X=domf) -> (^) IR (^) con xe = punto diaccomulazione^ del^ dominiof. Sidic lim^ fitest eselagene e 5 UKosVelementoin^ te

e

re Tato/txt (^) domf, XF1, 0elX-x08] (domf-e/

x - 8xxx x1 +^6

TeoremadiBolzawa (^) Waiestrass Ognisuccessione^

limitata ammetteuna sottosuccessione convergente

OSSERVAZIONE:

LIMITe eSISTe

en = successione limitata^ successione crescente Ee ()

(meiN (^) sep, ed^ inf Intes en (^) CONVERGENTE Alloza (^) limitatezza e monotonia (^) famosi che ent

Le e 23

e 2,

en = {4+ (^) few = (m) in (^) - )(- )...- )is = k =^1 ↓ min-e)(m? ...^ (m^ -^ M^ + ( -n)(

• )...( - )