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LOGICA INTORNO A NOI
(LOGIC IN DAILY LIFE)
È facile vedere la ‘logica in azione’ in molte situazioni della vita quotidiana. Si pensi ad esempio alla seguente situazione: In un ristorante tuo padre ha ordinato un piatto di pesce, tua madre un piatto di carne e tu un piatto vegetariano. Ad un certo punto esce dalla cucina un nuovo cameriere con i tre piatti. Che cosa accadrà? È facile intuirlo dall’esperienza: il cameriere inizierà chiedendo, ad esempio ‘chi ha ordinato carne?’ consegnando il piatto alla persona che si fa avanti. Proseguirà quindi chiedendo ‘Chi ha ordinato il pesce?’ consegnando correttamente il piatto in seguito alla risposta. Infine consegnerà il terzo piatto senza fare alcuna domanda, piuttosto traendo una conclusione dalle informazioni ricevute. L’esempio di inferenza logica calato nella vita quotidiana appena esposto può essere rappresentato nel seguente schema di inferenza simbolica: F or V or M, not M, not F => V Dove utilizziamo il simbolo F per Fish, il simbolo M per Meat ed il simbolo V per Vegetarian. La formalizzazione in termini simbolici ha un vantaggio fondamentale: lo schema si applica ora a diverse inferenze, poiché non è importante il valore che viene dato ai simboli F, V, M. Lo stesso schema di inferenze, ad esempio, entra in gioco nella soluzione di molti puzzle e giochi logici. Si pensi ad esempio alla soluzione di un SUDOKU 3x3 come: ….. Il meccanismo che porta a risolvere passo a passo il SUDOKU sopra è esattamente l’inferenza derivata dall’esempio del ristorante. Dalla prima alla seconda figura, ad esempio, la cella nell’angolo in alto a sinistra è 1 o 2 o 3, non può essere 1 perché nella riga in alto c’è un 1, non può essere 2 perché nella colonna più a destra c’è un 2 quindi sarà un 3. 1 v 2 v 3 , ¬1 ¬2 => 3 L’esempio del ristorante ci fa anche vedere come le risposte alle domande poste modifichino lo di informazione del cameriere, portandolo a risolvere il suo problema.
SCHEMI DI INFERENZA E VALIDITà
Consideriamo altre inferenze dove si giunge ad una conclusione da determinate premesse: Se prendi la medicina guarirai Ma non stai prendendo la mia medicina Dunque non guarirai In questo caso la conclusione può essere falsa nonostante le premesse siano vere. L’inferenza non è valida e potrebbe in effetti persino essere pericoloso contare sullo schema di inferenza sottostante in determinati scenari come ad esempio: Se oppongo resistenza, il nemico mi ucciderà Ma non sto opponendo resistenza Dunque il nemico non mi ucciderà Abbiamo invece visto prima un esempio di inferenza valida: Anna prende carne oppure pesce oppure verdura Anna non prende carne Anna non prende pesce Anna prende verdure Un’ altra inferenza valida è ad esempio: Se prendi la medicina migliorerai Non stai migliorando Dunque non hai preso la medicina In entrambi i casi la conclusione non può che essere vera quando tutte le premesse sono vere. Un inferenza si definisce dunque valida se ogni qualvolta tutte le premesse sono vere, la conclusione è vera. Equivalentemente un’inferenza si definisce valida se non ha controesempi dove tutte le premesse sono vere e la conclusione è falsa.
Si può provare che il primo argomento è valido e il secondo non è valido considerando i quattro possibili casi dati dalla combinazioni di valori di verità per p e q: pq, p!q, !pq, !p!q, dove p (risp q) denota p risp q) vera e !p (risp !q) denota che p (risp q) è falso. Nella prima inferenza, la premessa non q è vera per p!q e !p!q. La premessa “se p allora q” è vera solo per !p!q, che è dunque l’unico caso in cui entrambe le premesse sono vere. In tale caso !p!q, la conclusione non-p è vera e l’argomento è valido. Nella seconda inferenza invece, entrambe le premesse sono vere in 2 situazioni: !p!q e !pq. Il caso !pq costituisce un controesempio alla validità dell’ inferenza poiché entrambe le premesse sono vere e la conclusione “non-q” è falsa. Possiamo anche visualizzare l’aggiornamento dello stato di informazione che deriva dal considerare ognuna delle premesse. Nel primo caso l’aggiunta dell’informazione “non-p” non porta ad alcun cambiamento (la verità della conclusione è garantita dalle premesse e l’inferenza
p--->q, ¬q--->¬p è valido). Nel secondo caso invece aggiungere “non-q” aggiunge informazioni! Consideriamo un altro esempio in cui risolviamo il seguente caso investigativo i1) Almeno uno dei tre fratelli Grimm (Wilbur, Morc, Solomon) è colpevole del delitto. i2) Non tutti i fratelli Grimm sono colpevoli i3) Se Solomon è innocente, allora Morc è innocente i4) Se Wilbur è colpevole allora Morc è colpevole. Indichiamo con w, !w, m, !m, s, !s che ‘Wilbur è innocente’, ‘Wilbur è colpevole’, …. …..possiamo concludere che sicuramente Solomon è colpevole e Wilbur è innocente. Non sappiamo se Morc è colpevole!
Utilizzando questi simboli siamo in grado di rappresentare la frase complessa dell’esempio precedente mediante una formula dove vengono utilizzati i simboli C, S, A per le proposizioni semplici ‘ha un cavallo’, ‘ha un osso’, ‘ha una spada’. ‘Ha una asso se non ha un cavallo oppure una spada’ ‘se (non ha un cavallo o una spada) allora (ho un asso)’ ‘(non ha un cavallo o una spada) -- -> (ha un asso)’ ‘(non ( ha un cavallo o una spada)) ---> ( ha un asso)’ ‘ ¬ ( (ha un cavallo) o (ha una spada) ) ---> (ha un asso)’ ‘¬ ( (ha un cavallo) v (ha una spada) ) ---> (ha un asso) ‘ ¬ (C v S) ---> a Si noti che la fase iniziale in effetti è ambigua e, oltre all’interpretazione ¬(C v S)--->a ammette anche l’interpretazione (¬C v S) --- >a. Le due formule appaiono immediatamente diverse (per via delle parentesi che non compaiono nel linguaggio notevole e ciò può essere fonte di ambiguità). La costruzione delle due formule sopra a partire dalle proposizioni
c, s, a ed utilizzando i connettivi logici ¬, v, può essere utilizzato mediante gli alberi di
costruzione sintattica:
Diamo ora la definizione formale del linguaggio della logica proposizionale. Vi sono due modi equivalenti di definire la sintassi della logica proposizionale. Nella definizione ricorsiva che segue diciamo che: Definizione [sintassi LOGICA PROPOSIZIONALE] Il linguaggio della logica proposizionale può essere anche definito utilizzando cosiddetta ‘Backus Naur Form’ , un metodo di formalizzazione della sintassi dei linguaggi di programmazione che si deve agli informatici John Backus e Peter Naur che ‘reinventarono’ in solida informatica la specifica dei linguaggi proposta nel 1956 dal linguista Noam Chomsky Definizione [LINGUAGGIO LOGICA PROPOSIZIONALE]
LOGICA PROPOSIZIONALE – SEMANTICA
Le formule sono oggetti sintattici a cui diamo un significato definendone la semantica. In particolare, per valutare una formula, dobbiamo innanzitutto conoscere il valore di verità delle proposizioni coinvolte. Introduciamo dunque la nozione di valutazione proposizionale. DEFINIZIONE [VALORI DI VERITÀ] I valori di verità sono V ed F (anche denotati 1 e 0), dove V corrisponde a vero ed F a falso. DEFINIZIONE [VALUTAZIONE PROPOSIZIONALE] Sia P un insieme di lettere proposizionali. Una valutazione proposizionale su P è una funzione v: P {0,1}. Una volta nota la valutazione proposizionale v, saremo in grado di stabilire il valore di
verità [φ]v ∈ {0,1} della formula φ data v: P{0,1}. Scriveremo ad esempio [φ]v =
(oppure v (φ) = 1 oppure v ⊨ φ) per indicare che è vera data la valutazione proposizionale
Tutte le lettere proposizionali sono formule.
Se c φ è una formula, allora ¬ φ è una formula.
Se φ, e φ 2 sono formule, allora φ 1 v φ2, φ 1 ^ φ 2
φ 1 φ 2 e φ 1 φ 2 sono formule. Non vi sono altre formule nella logica
proposizionale. Sia P un insieme di lettere proposizionali e sia p ∈ P
φ := p | ¬ φ | (φ v φ) | (φ ^ φ) | (φφ) | (φφ)
Sappiamo dunque che la formula (¬p v q) r è falsa per la valutazione proposizionale
dove p e q sono vere ed r è falso. Possiamo ora valutare (¬p v q) r in ogni contesto
possibile (ovvero per ogni valutazione delle variabili proposizionali p, q ed r) : Nella scorsa lezione abbiamo definito formalmente la sintassi delle formule della logica proposizionale DEFINIZIONE [ SINTASSI FORMULE PROPOSIZIONALI ] L’insieme delle formule proposizionali è definito per ricorsione come segue: Se p ∈ P è una lettera proposizionale, allora p è una formula proposizionale
Se φ è una formula proposizionale, allora rφ è una formula proposizionale
Se φ e ψ sono formule proposizionali allora:
- (φ /\ ψ) è una formula proposizionale
- (φ v ψ) è una formula proposizionale
- (φ ψ) è una formula proposizionale
- (φ ψ) è una formula proposizionale
ESERCIZIO
Quali delle seguenti stringhe di simboli sono formule?
(Vpq), ( ¬ (p(q/\p))), ((p/\q) rV), (p/( ¬ q)) V (r q), p ¬ r, /\p p q
SOLUZIONE
La definizione di sintassi delle formule proposizionali sopra ci permette di riconoscere immediatamente se una certa stringa di simboli è una formula. È facile verificare che (Vpq) non è una formula: infatti non è elemento dell’insieme di lettere proposizionali P e non è stato costruito con nessuna delle altre regole.
Lo stesso possiamo dire delle stringhe ((p/\q) rV) p ¬ r, /\p.
Sono invece formule proposizionali le rimanenti stringhe. Possiamo visualizzarne la costruzione secondo le regole date nelle definizioni di sintassi delle formule della logica proposizionale, utilizzando gli alberi di costruzione sintattica. La definizione data di formula della logica proposizionale è RICORSIVA: l’insieme di formule della logica proposizionale viene definita elencando le formule atomiche (lettere proposizionali) ed un insieme di regole per costruire nuove formule a partire da formule date.
Nel corso della lezione precedente abbiamo dato un’altra definizione procedendo per ricorsione sulla complessità delle formule: la definizione di semantica delle formule della logica proposizionale. Diamo un’ulteriore definizione procedendo per ricorsione sulla complessità delle formule: la definizione che segue di sottoformula DEFINIZIONE [SOTTOFORMULA] ESERCIZIO
Elencare tutte le sottoformule di φ = (P(qV ¬ r))
SOLUZIONE
(p(qV ¬ r)), p, qV ¬ r, q, ¬ r, r
Per semplificare la lettura delle formule introdurremo alcune regole di precedenza tra i connettivi logici ed alcune convenzioni che ci permetteranno di ammettere alcune parentesi. In particolare le convenzioni adottate saranno le seguenti: CONVENZIONI (sulla scrittura delle formule) [1] Si omettano le parentesi più esterne
[2] ¬ ha la precedenza su /, V e
[3] /\ e V hanno la precedenza su ESEMPIO
Usando le convenzioni date, ¬ φ V ψ abbrevia (( ¬ φ) v ψ).
La formula ( ¬ (( ¬ φ) (q /\ ( ¬ r)
Concludiamo con un esercizio di traduzione in logica proposizionale dal linguaggio naturale. ESERCIZIO Rappresentare le affermazioni seguenti mediante formule della logica proposizionale (1) Se l’umidità è elevata pioverà questo pomeriggio o questa sera
Definiamo per ricorsione sulla complessità della formula φ quali sono le sottoformule φ di φ.
Se p è una lettera proposizionale, P è la sua unica sottoformula
Se φ = ¬ ψ, allora le sottoformule di φ sono ψ e φ stessa
Se φ = ψ 1 /\ ψ 2 , allora le sottoformule di φ sono ψ 1 , ψ 2 e φ stessa
(2) La mancia sarà pagata solo se il servizio è di qualità (3) L’inter vincerà lo scudetto, a meno che oggi non vinca il Milan (4) Condizione necessaria e sufficiente per superare l’esame di filosofia è superare l’esame orale SOLUZIONE (1) Introduciamo le formule atomiche: p: l’umidità è elevata q: pioverà questo pomeriggio r: pioverà questa sera La traduzione sarà p (q V r) (2) L’affermazione ‘la mancia sarà pagata solo se il servizio è di qualità’ si può riformulare con ‘condizione necessaria affinché la mancia sia pagata è che il servizio sia di qualità’, o anche ‘se il servizio non è di qualità, non viene pagata la mancia’. Introducendo gli atomi p: la mancia sarà pagata q: il servizio è di qualità
La traduzione sarà: ¬ q ¬ p oppure pq che in effetti sono equivalenti come si evince
valutandone la semantica La formula qp traduce invece ‘Se il servizio è di qualità allora la mancia sarà pagata’ (3) Usiamo la lettera proposizionale p, per rappresentare la proposizione atomica ‘L’inter vincerà lo scudetto’ e la lettera proposizionale q per rappresentare ‘oggi vince il Milan’. L’enunciato ‘L’inter vincerà lo scudetto a meno che oggi non vinca il Milan’ afferma che se non vince oggi il Milan allora certamente vincerà lo scudetto l’Inter’ , traducibile
con ¬ qp. Con questa interpretazione di ‘a meno che’ non si esclude il caso in cui
l’Inter vince comunque lo scudetto, nonostante oggi vince il Milan. Ma le frasi nel
CONTRADDIZIONI Formule che non sono mai vere. In altre parole una formula φ
è una contraddizione se e solo se non esiste una valutazione proposizionale v tale che
[φ]v =1.
FORMULE SODDISFACIBILI Una formula φ si dice soddisfacibile se e solo se
esiste una valutazione proposizionale v tale che [φ]v = 1.
FORMULE VALIDE o TAUTOLOGIE Una formula φ si dice valida (tautologia se
e solo se per ogni valutazione proposizionale v, [φ]v = 1.
CONSEGUENZE VALIDE E CONSISTENZA
DEFINIZIONE [CONSEGUENZA VALIDA]
DEFINIZIONE [EQUIVALENZA LOGICA]
Come abbiamo detto nelle lezioni precedenti le inferenze ci permettono non solo di imbastire argomentazioni valide, ma anche di rifiutare congetture. Infatti, quando la conclusione di un’inferenza valida è falsa. Secondo alcuni filosofi questo utilizzo della logica per rifiutare false credenze è alla base dell’apprendimento, processo nel quale vengono costantemente messi in dubbio e negati fatti che contraddicono nuovi fatti nati. ESEMPIO Consideriamo ad esempio la seguente inferenza valida detta MODUS TOLLENS
la seguente tabella di verità mostra la sua validità
L’inferenza da un insieme finito di premesse φ 1 , φ 2 … φk ad una conclusione ψ si dice una
conseguenza logica valida denotata come:
φ 1 , φ 2 … φk ⊨ ψ
se e solo se per ogni valutazione proposizionale v tale che [φ 1 ]v = [φ 2 ]v =… = [φk]v =
si ha anche [ψ]v = 1.
Le formule φ e ψ (denotato φ ≡ ψ) se e solo se:
φ ⊨ ψ e ψ ⊨ φ
Vi è soltanto un caso dove entrambe le premesse sono vere, e per quel caso anche la conseguenza è falsa. La tabella di verità che segue mostra invece la non validità della conseguenza logica
In particolare, si è evidenziato un controesempio, che mostra le premesse vere e le conseguenze false. DEFINIZIONE [INSIEME FORMULE SODDISFACIBILE] Un insieme di formule soddisfacibile si dice anche consistente. Un insieme di formule nono consistente non ammette dunque una valutazione che rende tutte le formule vere. Possiamo valutare se un insieme di formule è consistente, costruendo la tabella di verità e verificando se contiene una riga di soli 1. Le nozioni di inferenza valida e consistenza di un insieme di formule sono in effetti legate tra loro. Vale in particolare:
φ1… φk ⊨ ψ se e solo se { φ 1 … φk ¬ ψ) non è consistente
Le tautologie si possono vedere come un caso speciale di inferenze valide senza premesse. In effetti, le tautologie possono codificare una qualunque inferenza poiché vale:
φ1… φk ⊨ ψ se e solo se (φ 1 /.../\ φk) ψ è una tautologia.
SISTEMI ASSIOMATICI
Un sistema assiomatico è un sistema formale che consiste in
Un insieme di formule X = {φ 1 , …,φk} si dice soddisfacibile se e solo se esiste una
valutazione v tale che [φ 1 ]v =… = [φk] = 1.
informazioni a seguito dell’acquisizione di nuova conoscenza. Oltre ad essere di supporto in tali esercizi e puzzle logici, la logica proposizionale è anche e soprattutto un linguaggio utilizzabile per tutto ciò per cui un linguaggio viene definito: comunicare fatti rilevanti, descrivere situazioni, argomentare…. In questa prospettiva è fondamentale il concetto di espressività, ovvero di cosa siamo in grado di esprimere con la logica proposizionale. Ad un primo impatto quello della logica proposizionale appare un linguaggio piuttosto limitato: non possiamo guardare all’interno delle proposizioni atomiche, possiamo solo combinarle con i connettivi booleani enunciati atomici. Questo è vero, e tuttavia dati questi limiti, la logica proposizionale è piuttosto espressiva! Consideriamo due generiche proposizioni p e q. Abbiamo visto che siamo in grado di affermare, ad esempio ‘vale p oppure vale q’ (p V q), ‘Se vale p allora vale anche q’ (pq) …….e poi? Possiamo vedere p V q e pq come due funzioni binarie booleane p V q: B 2 B e Pq: B^2 B e sappiamo che la loro tabella di verità è: p q pVq pq 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 In generale ci sono 16 funzioni booleane su due variabili booleane (tutte le stringhe di 4 bit) … Ad esempio, la seguente funzione rappresenta una disgiunzione esclusiva ‘p oppure q non entrambi’ p q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Posso esprimere tutte queste 16 funzioni booleane? La risposta è si!! Per la disgiunzione esclusiva posso ad esempio costruire le seguenti formule della logica proposizionale:
(pVq) /\ ¬ (p/\q)
Ma pensandoci bene posso costruire una formula della logica proposizionale per ognuna
delle 16 funzioni booleane su p e q utilizzando soltanto i connettivi booleani /, V, ¬
(suggerimento: si pensi al teorema di Shannon visto nella parte di reti logiche!!). Potrei in effetti farlo anche:
Utilizzando soltanto i connettivi booleani /, ¬
Utilizzando soltanto i connettivi booleani V, ¬
Utilizzando soltanto i connettivi booleani , ¬
Lo vedremo negli esercizi che seguono: ESERCIZIO
Definire tutti i connettivi booleani della logica proposizionale usando ¬ ed /\
SOLUZIONE
Disgiunzione: pVq è vero soltanto se non è vero che sia p che q sono falsi. Dunque:
pVq ≡ ¬ ( ¬ p /\ ¬ q)
Implicazione: pq ≡ ¬ pVq
Equivalenza: pq ≡ (pq) /\ (qp)
≡ ( ¬ pVq) /\ ( ¬ qVp)
≡ ¬ (p/\ ¬ q) /\ ¬ (q/\ ¬ p)
ESERCIZIO
Definire i connettivi booleani della logica proposizionale utilizzando solamente ¬ ed
Congiunzione p/\q ≡ ¬ (p ¬ q)
Disgiunzione pVq ≡ ¬ ( ¬ p/\ ¬ q)
≡ ¬ ( ¬ ( ¬ p ¬¬ q)
≡ ¬ pq
Doppia implicazione p ≡ (pq) /\ (qp)
≡ ¬ ((pq) ¬ (qp))
ESERCIZIO
Supponiamo di sapere i seguenti fatti: (1) Se Carlo è americano e Giovanni non è francese allora Elena è tedesca (2) Se Elena è tedesca, allora Lucia è spagnola oppure Giovanni è francese
