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LOGICA FUZZY
INDICE
Introduzione
1. La logica fuzzy
2. Limiti e paradossi della logica binaria
3. Bit contro Fit
4. Bivalenza contro polivalenza: semplicità contro precisione
5. Conflitto matematico tra l’impostazione bivalente e quella fuzzy
6. La logica fuzzy applicata al conflitto arabo- israeliano
Bibliografia
Introduzione
“La logica classica è come una persona che viene a un party in abito nero, camicia bianca inamidata, cravatta nera, scarpe lucide e così via, mentre la logica fuzzy è un po’ come una persona vestita informalmente, in jeans, maglietta e scarpe da tennis. Nel passato questo abito informale non sarebbe stato accettabile. Oggi le cose vanno pressappoco all’opposto” con queste
famose parole l’inventore della logica Fuzzy Lotfi A Zadeh fornisce l’esatta descrizione all’uomo comune di che cosa rappresenta la logica fuzzy nel mondo del divenire. In questo breve elaborato cercherò di descrivere questa tipologia di logica “sfocata” come il superamento della logica binaria aristotelica. Porrò attenzione all’importanza di questa approccio polivalente per il mondo reale e contemporaneo il quale si trova spesso in situazioni dove non è sempre possibile rispondere in maniera dicotomica tra o vero o falso; o vincere o perdere; o bianco o nero. Attraverso questo approccio non esiste un demarcazione netta tra insiemi concettuali, logici, matematici e linguistici ma tutto viene considerato polivalente. In ultimo, descriverò un applicazione pratica della logica fuzzy a situazioni di conflitto in Medioriente attraverso una esempio di MAPPA COGNITICA FUZZY (o FCM) dimostrando che l’approccio fuzzy è sicuramente uno strumento efficace per affrontare fenomeni di conflitti internazionali come nel caso del conflitto arabo- israeliano.
La logica classica, ispirata dalle idee di Parmenide e Aristotele, perfezionata in epoca medievale e poi formalizzata da Gottlob Frege alla fine del XIX secolo, è la disciplina scientifica che studia la correttezza dei ragionamenti deduttivi, attraverso i quali si esprime l’esercizio della razionalità. Nel calcolo enunciativo ciò avviene indipendentemente dal significato delle proposizioni la cui concatenazione costituisce il ragionamento. In esse infatti gli enunciati (forme linguistiche costituite da un soggetto, un predicato e una copula che li relaziona) vengono connessi tra loro attraverso gli operatori logici e si studia l’esito delle composizioni (inferenze) piuttosto della verità delle proposizioni stesse (che invece viene discussa attraverso la branca della logica detta “predicativa”). La teoria fuzzy estende la tradizionale teoria degli insiemi poiché ne rilascia i vincoli costituiti dagli aristotelici principi di non contraddizione e del terzo escluso 2. Indicato per convenzione con A un
generico insieme e con !A il suo complemento (o negazione) questi due principi possono essere enunciati nei modi seguenti:
(^2) Veronesi M. & Visoli A. – Logica Fuzzy. Fondamenti teorici e applicazioni pratiche, ed. Franco Angeli, Milano (2003). Principio di non contraddizione (A 0 54 8 !A = Ø ): ogni elemento x appartenente all’insieme A non può contemporaneamente appartenere anche a non –A. Ciò
corrisponde alla verità logica per la quale, in un sistema binario, un enunciato p non può essere contemporaneamente vero o falso (¬(p v ¬p)).
Principio del terzo escluso (A U !A = 1): l’unione di un insieme A e del suo complemento !A costituisce l’universo del discorso ovvero ogni elemento, se non appartiene all’insieme A, deve appartenere al suo complemento. Ciò corrisponde alla verità logica per la quale, in un sistema binario, un enunciato p può essere vero o falso, una terza possibilità è esclusa ((p v ¬p)).
Nel realtà delle cose e nel mondo del divenire non si possono spiegare alcuni paradossi o comportamenti umani seguendo il paradigma e i principi della bivalente logica tradizionale ma si riesce con maggiore efficacia anche nel senso comune ad esprimersi con toni sfumati (fuzzy) senza effettuare valutazione categoriche. Nella realtà spesso le sensazioni e i comportamenti sono quasi sempre espressi in termini graduali. Per esempio la “aristotelica “logica booleana non riesce a stabilire la verità o la falsità di questo semplice enunciato: “QUESTO ENUNCIATO è FALSO” Seguendo quanto esso afferma si è infatti portati a dedurre che quanto affermato è falso; se però così fosse esso dovrebbe essere un enunciato vero e quindi di nuovo esso andrebbe ritenuto falso. La pendolazione non avrebbe mai fine. Se non si desidera cadere nelle trappole dell’autoricorsione è sufficiente formulare il paradosso come segue: la frase seguente è falsa la frase precedente è vera
bicchieri vuoti tanto quanto in quelli dei bicchieri pieni. Il linguaggio logico matematico crea demarcazioni e rigidi confini tra le cose reali che invece la ragione ed il buon senso tendono a sfumare ed attenuare. L’edificio della matematica e della logica sembra così crescere poggiando su fondamenta basate almeno in parte su se stesso. La logica fuzzy ha negli ultimi 10 anni costituito un valido approccio per la modellistica ed il ragionamento approssimativo su fenomeni sui quali sono ben note conoscenze di tipo qualitativo (vago), senza ricorrere a rigorose leggi ed equazioni derivanti dalle conoscenze della fisica ma che spesso sono sconosciute o vengono ignorate in quanto il reale beneficio dell’applicarle non giustifica l’elevato sforzo necessario per ricavarle. Non c’è da stupirsi che la migliore ricettività ed i primi validi contributi siano arrivati dall’Estremo Oriente, ove la filosofia Buddista- Zen meglio si accosta all’idea di una logica non binaria ma “sfumata” in diversi gradi di verità 4.
(^4) Kosko B. – Il Fuzzy Pensiero. Teoria e applicazione della logica Fuzzy, Baldini & Castoldi, Milano (2010).
3.Bit contro Fit
La logica fuzzy ci porta quindi al di fuori dal rigido mondo binario degli zeri e degli uno. Consideriamo infatti una serie di tre classi di temperatura: BASSA, MEDIA, ALTA. La classificazione della temperatura può allora essere
espressa da una stringa di tre Bit (BInary digiT), ognuno dei quali esprime la verità con la quale la temperatura appartiene alla corrispondente classe: ad esempio una temperatura T sotto la prima soglia di bassa sarà associata alla stringa (1, 0, 0); viceversa per la temperatura media si avrà (0, 1, 0) e per una alta (0, 0,1). Nel caso fuzzy i Bit vengono rimpiazzati da valori (detti Fit = Fuzzy digIT) che variano con continuità da zero ad uno perché così viene espressa la misura di verità degli enunciati ovvero il grado di appartenenza dei valori di temperatura alla varie classi (Kosko, 1995). La stessa temperatura T può quindi appartenere contemporaneamente a varie classi, con gradi di verità differenti: ad esempio (0.4, 0.6, 0) per una temperatura medio-bassa o (0, 0.6, 0.4) per una medio-alta. Si intuisce subito come la descrizione della realtà sia migliore. Volendo rappresentare graficamente questo concetto di Fit possiamo riportare i valori di verità degli enunciati su un diagramma cartesiano e notare come la logica binaria sia in grado di ricoprire solamente i vertici del tetraedo di sinistra (in figura) che rappresenta l’universo del discorso. La logica fuzzy riempie invece l’intero tetraedo (a destra della figura).
