Inferenza statistica:
Verifica delle ipotesi: i dati del campione
vengono elaborati con l’obiettivo di valutare
se si conformano ad una congettura
riguardante il parametro o i parametri di
interesse
Stima dei parametri: i dati del campione
vengono elaborati con l’obiettivo di
assegnare valori “ragionevoli” al parametro
(o ai parametri) incognito (incogniti)
Def: I campioni casuali rappresentano
l’anello di congiunzione tra il calcolo delle
probabilità e l’inferenza statististica
Campione casuale: un insieme di n ≠ 0 elementi
estratti casualmente dalla popolazione
Si chiama campione casuale di ampiezza la
n-upla di variabili casuali X1, X2, ..., Xn
indipendenti e identicamente distribuite.
Popolazione
(universo o collettivo statistico): l’insieme degli
elementi cui si rivolge l’interesse del ricercatore
Esempio
Se valuto il QI di 50 persone estratte a caso dalla
popolazione, ogni singolo QI è descritto da una
variabile casuale X~N(100,225).
Queste 50 variabili sono:
!
Indipendenti: la singola osservazione non
produce effetti sulle altre
!
Identiche: perché l’esperimento (estrazione
casuale) è ripetuto nelle medesime condizioni
La ripetizione di un esperimento casuale n volte
genera le variabili casuali X1, X2, ..., Xn che
sono indipendenti e hanno tutte la stessa
distribuzione di probabilità.
Queste variabili casuali rappresentano un
campione casuale di X
Distribuzione campionaria di una statistica
campionaria:
è la distribuzione dei valori che la statistica
assume nell’insieme dei campioni casuali
osservabili
• Non è altro che la distribuzione di quella
statistica (es. media) in tutti i diversi campioni
estratti dalla stessa popolazione.
• Ovviamente, le medie più vicine alla media
della popolazione saranno le più probabili,
mentre quelle più “estreme” saranno le meno
probabili.
Conoscere la distribuzione campionaria della
statistica significa poter calcolare la
probabilità che la statistica assuma valori
all’interno di un intervallo [a, b] qualsiasi
Distribuzione campionaria della media:
(DCM)
!
Una delle distribuzioni campionarie di una
statistica più utilizzate è la Distribuzione
Campionaria della Media (DCM)
!
Lo studio della DCM ha come scopo quello di
poter calcolare la probabilità che una
variabile casuale assuma una valore
nell’intervallo [a,b], per una coppia
qualsiasi di numeri a e b.
"
Come nella distribuzione di un campione ogni
dato è costituito da una singola osservazione,
nella DCM ogni dato è rappresentato dalla
media dei singoli campioni, di ampiezza n,
estratti dalla stessa popolazione.
▪
La radice quadrata della varianza si chiama
errore standard della media e rappresenta la
media delle oscillazioni della variabile casuale
attorno alla media µ
▪
è una stima di quanto la media del
campione si avvicini alla media della
popolazione.
▪
Più il campione è grande, minore sarà
l’errore standard, e più la media del
campione si
avvicinerà alla media della popolazione.
!
Se la popolazione generatrice è normale
la DCM sará una variabile casuale normale
con media µ e varianza σ2/n
!
Se la popolazione generatrice NON è
normale la DCM non è normale
Tuttavia, all’aumentare dell’ampiezza del
campione, la DCM tende ad una forma sempre
più stabile, sempre più indipendente dal modello
della popolazione
⚠
Se il campione è maggiore di 30,
qualunque sia la sua distribuzione la
possiamo approssimare a una curva
normale (gaussiana), perchè se il nostro
campione è grande possiamo sfruttare la
formula di Z (standardizzazione)—> Xi-
media/deviazione standard
Se la varianza non è nota applico la formula di
S^2 (varianza campione) che ha come
denominatore
Dividere per n – 1 invece che per n aumenta di
un po’ la dispersione stimata.
—>s2 è allora una stima corretta di σ2
Parametro: una costante numerica che
caratterizza la variabile casuale x
Statistica inferenziale:
campioni casuali
