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MATEMATICA FINANZIARIA
ET
Terzo appello d’esame
26 Agosto 2020
- Leggere attentamente le istruzioni e le richieste circa la formattazione delle risposte inserite in ciascuna domanda.
- Non utilizzare i punti per separare le migliaia: 12.345.456,00 va scritto come 12345456,
- Utilizzare la virgola come separatore decimale quindi scrivere 1,34 e non 1.
- Per ridurre la probabilit`a di falsi errori, effettuare i calcoli alla precisione della vostra calcolatrice e arrotondare solo i risultati quando li riportate nel quiz.
- Non indicare all’interno del box di risposta l’unit`a di misura nelle risposte
- Non indicare all’interno del box di risposta il segno di % quando si esprime una percentuale
- Non aggiungere spazi spuri prima e dopo la risposta.
- Arrotondare utilizzando le regole standard quindi:
- 1,314 diventa 1,
- 1,315 diventa 1,
- Ove non dichiarato esplicitamente si assume l’utilizzo dell’anno commerciale.
- Per ogni domanda sono indicati i punti ottenibili con risposte corrette (da 3 a 4). Ogni risposta sbagliata o vuota assegna 0 punti.
- In presenza di pi`u di una risposta per domanda, i punti sono assegnati (sia in positivo che in negativo) proquota.
- Il 30 e lode si ottiene raggiungendo 32 punti (il massimo). Il 30 si ottiene per punteggi ě 30.
- Al termine dell’esame, una volta usciti da SEB avete 15 minuti per caricare i vostri calcoli nell’apposito Repository disponibile nella sezione “Esame 8 giugno”).
Qualora riscontraste problemi potete inviarmi i vostri calcoli via email (comprimendo il/i files), in questo secondo caso evitate i file molto pesanti.
Esercizio 1
Si considerino due alternative d’ investimento relative ad una somma di denaro di X ą 0 euro da impiegare per 8 mesi.
- Opzione 1: investimento al tasso di interesse y ą 0 in regime di capitalizzazione semplice.
- Opzione 2: investimento al tasso di interesse y ą 0 in regime di capitalizzazione composta.
Per quali valori di y il montante ottenibile scegliendo l’opzione 1 `e maggiore del montante generato scegliendo l’opzione due? Risposta multipla:
- Non `e possibile dare una risposta senza conoscere il valore X.
- Per nessun valore di y ą 0
- Per ogni valore di y ą 0
- Solo per: y ą Xp 1 ` yq^8 {^12
- Solo per: y ă Xp 1 ` yq^8 {^12
Soluzione
La risposta corretta e la terza. Per ogni dato tasso y (positivo) e somma di denaro X (positiva), sulla durata di 8 mesi il tasso di interesse semplice produce un montante piu alto che quello del tasso di interesse composto. Questo `e discusso a pagina 25 del libro di testo.
Esercizio 2
Calcolare quale capitale impiegato per 9 anni al 7,5% annuo nominale convertibile semestralmente, genera un montante di 2500 euro. Indicare la risposta in euro, arrotondando alla seconda cifra decimale.
Soluzione
Dal tasso annuo nominale si ottiene quello effettivo semestrale
i 2 “ j 2 2
Applicando poi la formula per il calcolo del montante e ricordando che 9 anni sono 18 semestri:
2500 “ Cp 1 ` 0 , 0375 q^18 Risolvendo per C si ottiene:
C “ 1288 , 71
Esercizio 3
Per costruire la somma di 9000 euro, devo effettuare 20 versamenti trimestrali anticipati al tasso del 2,85% trimestrale. Determinare l’ammontare di ciascuna rata ed il fondo disponibile alla fine del secondo anno. Arrotondare entrambi i valori alla seconda cifra decimale.
- Strategia 2: Acquisto immediato di BOT annuali esenti da tassazione e zero-coupon, che – a fronte di un prezzo di emissione di 92,5 – garantiscono dopo 12 mesi un rimborso di 100, seguita da deposito in conto corrente per i mesi restanti alle stesse condizioni sopra esposte.
Quale delle due strategie garantisce il montante pi`u alto? NOTE:
- Si carichino online i relativi calcoli al termine dell’esame.
- Si effettuino i calcoli con tutta la precisione della calcolatrice per questo esercizio.
Soluzione
Per la prima strategia il montante pu`o essere calcolato come:
M 1 “ C ˚ p 1. 05 q^18 {^12 “ C ˚ 1 , 07592983 L’alternativa 2 prevede l’acquisto immediato di BOT annuali, validi per i primi 12 mesi. Il ricavato viene poi versato sul conto corrente dove resta fino alla scadenza dei 18 mesi. I bot annuali non prevedono il pagamento di cedole o di tasse, quindi per un dato capitale investito offrono un ritorno pari a C*(100/92,5). Tale ritorno puo poi essere depositato nel conto corrente ad un tasso annuale del 5% per 6 mesi. Quindi il montante della seconda strategiae:
M 1 “ C ˚ p 100 { 92 , 5 q ˚ p 1. 05 q^6 {^12 “ C ˚ 1 , 107778461 Risulta quindi evidente che qualsiasi sia C, la seconda strategia sia pi`u conveniente.
Esercizio 6
Il prezzo di emissione di un titolo obbligazionario soggetto alla clausola di rimborso anticipato e di 110 euro (per ogni 100 di valore nominale). Il titolo paga cedole annuali in base ad un tasso cedolare esente da imposte c=10% e puo essere:
- Rimborsato alla pari dopo 10 anni oppure
- Essere rimborsato dopo 5 anni ad un prezzo di 105 euro per ogni 100 di valore nominale.
Si trovi, valutandolo nel periodo di 10 anni, il tasso di rendimento atteso per un risparmiatore che acquista tale titolo nell’ipotesi che la probabilit`a di rimborso anticipato sia p “ 0 , 30 e che i proventi possano essere reinvestiti ad un tasso annuo del 7%. Esprimere il risultato in percentuale, con due cifre decimali.
Soluzione
Prima di tutto si calcoli il montante dopo 10 anni di 110 euro investiti nel titolo, ricordando che i proventi delle cedole possono essere reinvestiti al tasso annuo del 7% e che il titolo emette cedole annuali di 0, 10 ˚ 100 “ 10 euro per ogni 100 di valore nominale. Se il titolo viene rimborsato dopo 10 anni il rimborso e alla pari (100). Tale montantee dunque:
M 1 “ 10 ˚ s 10 | 0 , 07 100 “ 238 , 16 Calcoliamo poi il montante dell’operazione se invece l’obbligazione viene rimborsata anticipatamente dopo 5 anni. Il questo caso le cedole annuali sono solo 5 e il rimborso avviene sopra la pari a 105. Il testo dell’esercizio ci chiede poi di valutare il tasso di rendimento a 10 anni, quindi dobbiamo tenere conto del fatto chee possibile reinvestire i proventi dell’investimento rimborsato a 5 anni al tasso del 7%.
M 2 “ p 10 ˚ s 5 | 0 , 07 105 q ˚ 1 , 075 “ 227 , 92 Il tasso di rendimento atteso sara dato da:
110 p 1 ief f q^10 “ M 1 ˚ 0 , 70 M 2 ˚ 0 , 30 Risolvendo questa equazione per ief f si trova ief f “ 7 , 89%.
Esercizio 7
E’ possibile acquistare un motoscafo, il cui prezzo di listino e di 27000 euro, con una delle seguenti modalita:
- A: pagamento alla consegna con uno sconto del 2,5%
- B: pagamento del 40% alla consegna, del 42% due mesi dopo la consegna e del 22,50% quattro mesi dopo la consegna.
- C: pagamento del 35% alla consegna, del 35% due mesi dopo la consegna e del 35% quattro mesi dopo la consegna.
Si determini il tasso di interesse mensile che rende equivalenti le modalita di pagamento B e C. Indicare il tasso in percentuale con due cifre dopo la virgola. Si determini inoltre l’ordine di preferenza – per l’acquirente del motoscafo – delle tre modalita di paga- mento, con il criterio del REA, per un tasso del 10% mensile. Indicare le lettere delle opzioni nell’ordine dalla pi`u alla meno preferita. Ad esempio: “ABC” o “BCA” (senza le virgolette). NOTA: SI RICORDI DI UTILIZZARE LA CONVENZIONE DEL BASSO PIANCA DI CONSIDERARE SOLO I FLUSSI DI MONETARI NEL CALCOLO DEL REA.
Soluzione
Il REA di B `e dato da:
REApBq “ ´ 0. 4 ˚ 27000 ´ 0. 42 ˚ 27000 p 1 aq´^2 ´ 0. 2250 ˚ 27000 p 1 aq´^4 il REA (C) = `e dato da:
REApCq “ ´ 0. 35 ˚ 27000 ´ 0. 35 ˚ 27000 p 1 aq´^2 ´ 0. 35 ˚ 27000 p 1 aq´^4 Il tasso che rende equivalenti le due modalita di pagamentoe REApBq “ REApCq.
´ 0. 4 ˚ 27000 ´ 0. 42 ˚ 27000 p 1 aq´^2 ´ 0. 2250 ˚ 27000 p 1aq´^4 “ ´ 0. 35 ˚ 27000 ´ 0. 35 ˚ 27000 p 1 aq´^2 ´ 0. 35 ˚ 27000 p 1aq´^4
Che si puo semplificare in un’equazione di secondo grado ponendo p 1 iq´^2 “ x:
´ 0. 4 ˚ 27000 ´ 0. 42 ˚ 27000 x ´ 0. 2250 ˚ 27000 x^2 “ ´ 0. 35 ˚ 27000 ´ 0. 35 ˚ 27000 x ´ 0. 35 ˚ 27000 x^2
Questa e una equazione di secondo grado i cui risultati sono: x “ ´ 0 , 4166 Ñ sostituendo x con la sua definizione si hanno due soluzioni complesse e dunque inac- cettabili. x “ 0 , 97166 Ñ sostituendo x con la sua definizione: p 1 iq´ 2 “ 0 , 97166 si ha i “ ´ 2 , 0145 (non accettabile perch´e negativo) e i “ 0 , 0144. Il tasso che rende uguali REA(B) e REA(C) e dunque 1,44% Per quanto concerne l’ordine di preferenza valgono le seguenti osservazioni. Il REA(A)e indifferente al tasso di interesse, e `e sempre:
REApAq “ ´ 27000 ˚ p 1 ´ 0 , 025 q “ ´ 26325 , 00
Gli altri due REA possono essere calcolati semplicemente sostituendo i “ 0 , 10 alle formule generiche date sopra:
Soluzione
Il REA dell’operazione `e dato dalla seguente espressione:
REApiq “ ´ 200 `
R
i Questa e una funzione strettamente monotona decrescente del tasso di valutazione i. Il TIR dell’operazionee quel tasso i˚^ che annulla il REA. Poich´e il REA(i) `e decrescente in i, si ha che:
i ď i˚^ ðñ REApiq ě 0
i ą i˚^ ðñ REApiq ă 0 Pertanto il TIR del progetto `e inferiore al 20% se risulta
REAp 0. 2 q ď 0
Ma allora dobbiamo avere che:
REAp 0. 2 q “ ´ 200 `
R
ď 0
da cui si ricava:
R ď 40 Il capitale investito `e pari al costo iniziale di 200, i valori di R che soddisfano la seconda richiesta sono quelli che verificano la seguente disequazione:
´ 200 `
R
ě 200 ¨ 0. 10
Da cui si ricava R ě 44
