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Matematica concetti base, Appunti di Matematica Generale

Università degli Studi di Pavia (UNIPV)Matematica Generale

Appunti di matematica base e geometria, utili a fissare i principali concetti necessari per la risoluzione degli esercizi d'esame.

Tipologia: Appunti

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28-30/09/2020
MATEMATICA
Aritmetica
Diversi sono gli insiemi numerici e ciascuno dei seguenti comprende e allarga quello
precedente:
Naturali N: insieme ordinato di numeri interi non negativi che hanno un numero che segue e
uno che precede e possono essere messi in relazione tra loro; è un insieme discreto poichè
ci sono buchi tra i vari numeri.
Relativi Z: insieme di numeri interi caratterizzati da segno; possono essere concordi (stesso
segno), discordi (segno diverso) o opposti (uguali ma segno diverso).
Razionali Q: insieme di numeri che possono essere espressi sotto forma di frazione
(numeratore e denominatore) che possono essere messi in relazione tra di loro, dopo
essere ricondotti a frazioni aventi lo stesso denominatore.
Tali numeri possono essere ricondotti inoltre ad un decimale che può essere approssimato
qualora presenti numerose cifre; se la cifra successiva a quella da approssimare è
compresa tra 1 e 4 allora la cifra viene lasciata tale (difetto), se la cifra supera il 5 allora si
passa a quella successiva (eccesso).
Irrazionali I: numeri decimali illimitati ma non periodici, cioè che non possono essere
ricondotti a frazione che possono essere algebrici, cioè possono essere soluzioni di
un’equazione polinomiale come , oppure trascendenti come .
2, 𝜋
Reali R: insieme di tutti i numeri razionali e irrazionali, illimitati sia positivamente che
negativamente.
In questo insieme sono due sono le operazioni definite:
- l’addizione: proprietà commutativa a+b = b+a
proprietà associativa (a+b)+c = a+(b+c)
esistenza dell’elemento neutro, cioè che non comporta alcun
cambiamento se sommato, lo 0
esistenza dell’elemento inverso, cioè che annulla tutto se sommato, il
contrario di tale numero
- la moltiplicazione: proprietà commutativa axb = bxa
proprietà associativa (axb)xc = ax(bxc)
esistenza dell’elemento neutro, cioè che non comporta alcun
cambiamento se sommato, l’1
esistenza dell’elemento inverso, cioè che moltiplicato mi da 1, il
reciproco 1/a
Ogni numero può essere positivo, negativo o nullo; si parla di TRICOTOMIA.
Anche in questo insieme è possibili stabilire una relazione tra due numeri reali:
- la relazione d’ordine prende il nome di relazione d’ordine totale in quanto valgono
≤
le 3 proprietà (riflessiva a a, antisimmetrica a b e b a allora a=b e transitiva a b e
≤ ≤ ≤ ≤
b c allora a c)
≤ ≤
- le relazioni d’ordine > o < prendono il nome di relazione d’ordine stretto poiché, non
essendoci l’uguale, perdono la riflessività e l’antisimmetria.
Intervalli possono essere:
vuoti
limitati aperti )a,b(
limitati chiusi (a,b)
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MATEMATICA

Aritmetica

Diversi sono gli insiemi numerici e ciascuno dei seguenti comprende e allarga quello precedente: Naturali N : insieme ordinato di numeri interi non negativi che hanno un numero che segue e uno che precede e possono essere messi in relazione tra loro; è un insieme discreto poichè ci sono buchi tra i vari numeri. Relativi Z : insieme di numeri interi caratterizzati da segno; possono essere concordi (stesso segno), discordi (segno diverso) o opposti (uguali ma segno diverso). Razionali Q : insieme di numeri che possono essere espressi sotto forma di frazione (numeratore e denominatore) che possono essere messi in relazione tra di loro, dopo essere ricondotti a frazioni aventi lo stesso denominatore. Tali numeri possono essere ricondotti inoltre ad un decimale che può essere approssimato qualora presenti numerose cifre; se la cifra successiva a quella da approssimare è compresa tra 1 e 4 allora la cifra viene lasciata tale (difetto), se la cifra supera il 5 allora si passa a quella successiva (eccesso). Irrazionali I : numeri decimali illimitati ma non periodici, cioè che non possono essere ricondotti a frazione che possono essere algebrici, cioè possono essere soluzioni di un’equazione polinomiale come 2,, oppure trascendenti come 𝜋. Reali R : insieme di tutti i numeri razionali e irrazionali, illimitati sia positivamente che negativamente. In questo insieme sono due sono le operazioni definite:

  • l’ addizione : proprietà commutativa a+b = b+a proprietà associativa (a+b)+c = a+(b+c) esistenza dell’elemento neutro, cioè che non comporta alcun cambiamento se sommato, lo 0 esistenza dell’elemento inverso, cioè che annulla tutto se sommato, il contrario di tale numero
  • la moltiplicazione: proprietà commutativa axb = bxa proprietà associativa (axb)xc = ax(bxc) esistenza dell’elemento neutro, cioè che non comporta alcun cambiamento se sommato, l’ esistenza dell’elemento inverso, cioè che moltiplicato mi da 1, il reciproco 1/a Ogni numero può essere positivo, negativo o nullo; si parla di TRICOTOMIA. Anche in questo insieme è possibili stabilire una relazione tra due numeri reali:
  • la relazione d’ordine ≤prende il nome di relazione d’ordine totale in quanto valgono le 3 proprietà (riflessiva a ≤a, antisimmetrica a ≤b e b ≤a allora a=b e transitiva a ≤b e b ≤c allora a ≤c)
  • le relazioni d’ordine > o < prendono il nome di relazione d’ordine stretto poiché, non essendoci l’uguale, perdono la riflessività e l’antisimmetria. Intervalli possono essere: vuoti limitati aperti )a,b( limitati chiusi (a,b)

illimitati aperti e chiusi se compare +∞ o -∞ M.C.D. : massimo comune divisore (fattori comuni con il minimo esponente) m.c.m : minimo comune multiplo (fattori comuni e non comune con il massimo esponente) Criteri di divisibilità: regole che permettono se un numero è divisibile per un altro

  • 2 se è pari
  • 3 se la somma delle cifre è multiplo di 3
  • 5 se le cifre delle unità sono 0 o 5
  • 7 se il valore assoluto della differenza tra il numero scritto senza la cifra delle unità e il doppio di tale cifra è uguale a 0 o 7 o multipli Numeri primi: numeri che sono divisibili solo per 1 o per sé stessi; tutti gli altri sono numeri composti. Scomposizione in fattori : procedimento per riscrivere un numero come prodotto di numeri primi. Potenza : moltiplicazione con fattori uguali an^ = a x a x a (n volte) a = base n = esponente Proprietà ax^ x bx^ = (a x b)x ax^ : bx^ = (a : b)x ax^ x ay^ = ax+y ax^ : ay^ = ax-y (ax)y^ = axy Potenze particolari a^1 = a 1 x^ = 1 0 y^ = 0 a^0 = 1

Radicali: numeri definiti con radici di indice intero; n=indice e x=radicando 𝑛 𝑥 L’indice può essere pari oppure dispari; se l’indice è pari è richiesto un radicando sempre positivo o nullo, poiché qualsiasi potenza abbia come esponente un numero pari risulta necessariamente positiva. La condizione di esistenza dei radicali con indice pari, quindi, è che il radicando sia sempre maggiore o uguale a zero. I radicali possono essere espressi anche come un elevamento a potenza in cui l’esponente sia una frazione con numeratore l’esponente del radicando e denominatore l’indice del radicale = 𝑛 𝑥 𝑥 1 𝑛 Proprietà

  • somma e differenza: solo i radicali simili, cioè con lo stesso radicando e stesso indice possono essere sommati o sottratti tra loro;
  • prodotto e quoziente: solo i radicali con lo stesso indice possono essere moltiplicati o divisi tra loro; = = 𝑛 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 𝑥𝑦 𝑛 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 (^) 𝑥 𝑦
  • moltiplicazione e divisione: si moltiplicano o dividono i coefficienti e si sommano o sottraggono gli esponenti delle parti letterali;
  • elevamento a potenza: si eleva il coefficiente e si moltiplicano gli esponenti di ciascun termine letterali. Polinomio: espressione algebrica scritta come somma algebrica di monomi. Si dice in forma normale se tutti i monomi sono in forma normale e non presenta termini simili. Il grado della variabile è l’esponente massimo della variabile considerata del polinomio in forma normale mentre quello del polinomio è il massimo grado tra i gradi dei suoi termini. es. a^2 + 2ab^2 + b^2 (grado a è 2, b è 2, grado polinomio è 3). Un polinomio si dice omogeneo se presenta termini con lo stesso grado; es. x^4 + x^2 y^2 + xy^3 si dice completo se presenta tutte le potenze di una variabile; es. x^2 + 2x + Operazioni:
  • somma e sottrazione: sommare tra loro i monomi simili che li costituiscono;
  • moltiplicazione e divisione: si moltiplica o divide ogni monomio del primo polinomio con ciascuno del secondo polinomio;
  • scomposizione: riscrivere il polinomio come prodotto di polinomi con grado minore (si dice riducibile) o uguale (irriducibile); esistono diverse tecniche: ● raccoglimento totale: raccogliere il M.C.D. tra i termini; ● raccoglimento parziale: raccogliere il M.C.D. tra gruppi di monomi per poi operare un raggruppamento totale; ● trinomio caratteristico: dato tu trinomio x^2 +sx+p = (x+a)(x+b) dove s=a+b e p=axb Prodotti notevoli: regole di calcolo che consentono di ricavare velocemente la scomposizione di un polinomio. ● quadrato di binomio: (a+b)^2 = a^2 +b^2 +2ab o (a-b)^2 = a^2 +b^2 -2ab ● somma per differenza: (a-b)(a+b) = a^2 -b^2 ● cubo di binomio: (a+b)^3 = a^3 +b^3 +3a^2 b+3ab^2 o (a-b)^3 = a^3 -b^3 -3a^2 b+3ab^2 ● somma di cubi: a^3 +b^3 = (a+b)(a^2 +b^2 -ab) o a^3 -b^3 = (a-b)(a^2 +b^2 +ab)

Equazione: uguaglianza che mette in relazione due entità differenti, verificata per determinate soluzioni; se non esistono soluzioni significa che l’uguaglianza non è verificata, mentre se l’uguaglianza è sempre verificata sono infinite. Il grado dell’equazione determina il numero di soluzioni dell’equazione, cioè il numero di incognite. L’insieme delle soluzioni di un’equazione può essere:

  • vuoto, se l'equazione è impossibile;
  • insieme delle soluzione, se l’equazione è determinata
  • insieme R, se l’equazione è indeterminata. Equazioni equivalenti: se le equazioni ammettono lo stesso insieme di soluzioni. Principi di equivalenza: - sommando o sottraendo la stessa quantità da entrambi i membri dell'uguaglianza, il risultato non cambia;
  • moltiplicando o dividendo entrambi i membri dell’equazione per una stessa quantità il risultato non cambia. 2

Equazioni fratte: presentano frazione algebriche in cui l’incognita appare anche al denominatore (che deve essere diverso da 0 per condizione di esistenza).

Sistemi lineari: gruppi di equazioni in una o più incognite di cui bisogna individuare il valore che soddisfa contemporaneamente le equazioni del sistema; esistono sistemi lineari di vario tipo:

  • determinato: ammette una soluzione ( ); 𝑎 𝑎2 ≠^ 𝑏 𝑏
  • indeterminato: ammette infinite soluzioni ( ); 𝑎 𝑎2 =^ 𝑏 𝑏2 =^ 𝑐 𝑐
  • impossibile: non ammette soluzioni ( ). 𝑎 𝑎2 =^ 𝑏 𝑏2 ≠^ 𝑐 𝑐 La risoluzione di un sistema lineare avviene seguendo diversi metodi:
  • Metodo di sostituzione: consiste nell’esprimere un’incognita in termini delle altre sostituendola all’interno dell’altra; _- Metodo per confronto: consiste nell’isolare in tutte le equazioni la stessa incognita per poi confrontare le espressioni ottenute;
  • Metodo per riduzione:_ consiste nel sommare o sottrarre ad un’altra equazione un’altra così da eliminare una delle incognite; - Metodo di Cramer: procedimento per la riduzione dei sistemi di equazione lineari che prevede di determinare le soluzioni dei sistemi attraverso il calcolo del determinante associato. Per la risoluzione è importante ricavare una matrice, una tabella in cui si scrivono i coefficienti in ordine seguendo la forma normale: a 1 b 1 a 2 b 2 A partire dalla matrice si ricava il determinante, moltiplicando i coefficienti in diagonale e sottraendo i risultati: a 1 x b 2 - a 2 x b 1 :
  • se il determinante è 0 allora il sistema è indeterminato o impossibile;
  • se il determinante è diverso da 0 allora si possono calcolare i valori di x e y. Si ricava quindi il determinante x sostituendo nella matrice i termini noti prima con i coefficienti di y poi di y sostituendo i coefficienti di x poi i termini noti, operando come prima. Per trovare x e y divido i due determinanti x e y per il determinante calcolato all’inizio. Nel caso di un sistema a 3 si ottengono i determinanti andando ad affiancare le due matrici e operando come in precedenza. Due sistemi si dicono equivalenti se possiedono le stesse soluzioni.

Disequazioni: disuguaglianza in cui sono presenti una o più incognite, che si possono trovare anche al denominatore (in questo caso si parla di fratta). Anche in questo caso il grado della disequazione dipende dalla potenza a cui l’incognita è elevata. Un numero è soluzione di una disequazione se sostituito all’incognita verifica la disuguaglianza. Per indicare il risultato di una disequazione spesso sono utili gli intervalli che costituiscono l’insieme delle soluzioni oppure la rappresentazione grafica (semiretta orientata su cui vengono riportati i valori di interesse). In questo campo importanti sono i due principi di equivalenza:

  • sommo o sottraggo lo stesso valore ad entrambi i termini della disequazione che il risultato non cambia;

Anche per le disequazioni di secondo grado l’incognita può comparire al denominatore e pertanto è necessario discutere non solamente il segno del numeratore ma anche quello del denominatore, inserendo poi i risultati ottenuti all’interno di una tabellina dei segni.

Geometria

Geometria: parte della matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro relazioni; la prima geometria è quella euclidea che definisce concetti semplici come il punto, la retta e il piano, che attraverso l’algebra e l’analisi si estende a quella cartesiana in cui i punti nello spazio sono rappresentati tramite coordinate e le figure geometriche sono descritte tramit equazioni e disequazioni. Piano cartesiano: caratterizzato da due assi di riferimento x e y e un punto di intersezione di tali assi che prende il nome di origine. Ogni punto nel piano può essere associato ad una coppia di numeri reali attraverso un sistema di coordinate x (ascisse) e y (ordinate). Gli assi dividono il piano in 4 regioni, i quadranti (dove x e y possono essere positive o negative). Segmento: unione di molti punti, linea di lunghezza finita che unisce due punti, che può essere misurata:

AB= |𝑥 𝐴 − 𝑥𝐵|se hanno le stesse y

AB= |𝑦 𝐴 − 𝑦𝐵|se hanno le stesse x

AB= (𝑥 𝐴 − 𝑥𝐵) per il teorema di Pitagora

2

2 Teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree costruite sui cateti. Ogni segmento presenta un punto medio , le cui coordinate possono essere calcolate: M ( 𝑥 = ; 𝑀

𝑀

𝑥𝐴+𝑥𝐵 2 𝑦𝐴+𝑦𝐵 2 Nel caso in cui hanno la stessa x o la stessa y se ne usa solo una delle due. Se il segmento viene esteso all’infinito è possibile ottenere:

  • la semiretta, se ha un punto d’inizio ma si prolunga fino all’infinito ;
  • la retta, se è infinita. Prese due semirette con la stessa origine, le regioni di piano delimitate da esse prende il nome di angolo; gli angoli possono essere concavi, se contengono i prolungamenti delle semirette, convessi , se non li contengono. Gli angoli si misurano in gradi sessagesimale e in base all'ampiezza appartengono a varie categorie: acuto (se <90°), ottuso (se >90°), retto (se =90°), piatto (se =180°), giro (se =360°). Esistono anche importanti relazioni tra coppie di angoli: complementari (somma = angolo retto), supplementari (somma = angolo piatto), esplementari (somma = angolo giro). La retta , invece, può essere descritta attraverso un’equazione: y = mx+q (forma esplicita con m=coefficiente angolare e q=termine noto) oppure ax+by+c=0 (forma implicita). Esistono rette particolari: y=0 (asse x), x=0 (asse y), y=x (bisettrice I/III quadrante), y=-x (bisettrice II/IV quadrante). Il termine noto q indica l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y; Il coefficiente angolare m indica la pendenza della retta, l’angolo che essa forma con l’asse delle x e può essere calcolato con la formula: 𝑥 =. 𝑦𝐴−𝑦𝐵 𝑥𝐴−𝑥𝐵 Nel caso in cui A e B abbiano la stessa ordinata il coefficiente angolare è pari a 0, perciò la retta è parallela a x; se A e B hanno la stessa ascissa allora il coefficiente angolare non esiste; se il coefficiente angolare è positivo ci si trova nel I/III quadrante; se è negativo ci si trova nel II/IV quadrante.