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A.A. 2016/
C.D.L. IN I.T.P.S. – CORSO DI MATEMATICA DISCRETA
APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE
VINCENZO C. NARDOZZA
- Anello delle Matrici
Definizione 1.1. Siano m, n ∈ N ed R un anello commutativo con unità. Diciamo matrice m × n a coefficienti in R ogni tabella fatta da m righe ed n colonne nei cui m · n posti siano posizionati elementi di R.
- Se m = n, la matrice si dice quadrata.
- Se m = 1 la matrice si dice matrice riga.
- Se n = 1 la matrice si dice matrice colonna
- L’insieme delle matrici m × n a coefficienti in R si indica con Mm×n(R).
Esempio 1.2. La tabella
è una matrice 2 × 3 a coefficienti in Z (ma
anche a coefficienti in Q, R, C). La matrice ( 1 2 3 4
è una matrice riga, la matrice 1 2 3 √^4 5
∈ M 5 × 1 (R)
è una matrice colonna a coefficienti in R.
I posti in cui compaiono i numeri di una matrice sono detti case. Una matrice m × n ha mn case. La casa (i, j) sarà posta all’incrocio tra la riga i e la colonna j. L’elemento di R che compare nella casa (i, j) viene detto l’entrata (i, j) della matrice. Per convenzione, fissati m, n, R, una matrice di Mm×n(R) verrà indicata in grassetto con una lettera minuscola. Inoltre, scriveremo
a = (aij ) per indicare a =
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n .. .
am 1 am 2... amn
Definizione 1.3. (Somma tra matrici) Siano a, b ∈ Mm×n(R), con a = (aij ) e b = (bij ). La matrice
a + b := (aij + bij ) ∈ Mm×n(R)
è detta la somma delle matrici a e b. 1
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Osservazione 1.4. Si noti che per poter essere sommate, le matrici date devono avere la stessa forma. Se ciò avviene, la loro somma è la matrice della stessa forma avente come entrata (i, j) la somma delle entrate (i, j) in a e b.
Esempio 1.5. Siano a :=
e b =
. Allora
a + b =
E’ immediato provare che
Lemma 1.6. L’addizione tra matrici è associativa e commutativa. La matrice 0 avente (^0) R in tutte le case è detta matrice nulla m × n ed è l’elemento neutro per tale operazione. La matrice opposta della matrice a = (aij ) è la matrice (−aij ), e verrà indicata con −a.
Possiamo definire un prodotto tra matrici, ma la cosa è più elaborata. Il proto- tipo di tale prodotto è il seguente:
Definizione 1.7. Siano r = (r 1 ,j ), c = (ci, 1 ) una matrice riga e una matrice colonna, rispettivamente. Se la lunghezza n di r coincide con l’altezza di c si pone
(1) r · c :=
∑^ n
j=
r 1 ,j cj, 1 = r 1 , 1 c 1 , 1 + r 1 , 2 c 2 , 1 + · · · + r 1 ,ncn, 1 ∈ F.
Esempio 1.8. Siano r =
, c =
. Allora
r · c =
Fatto questo, si dà la seguente definizione di prodotto tra matrici:
Definizione 1.9. Siano a := (aij ) ∈ Mm×n(R) e b := (bhk) ∈ Mn×p(R). Si definisce
a · b :=
∑^ n
j=
aij bjk
(^) ∈ Mm×p(R).
Commento: in proposito al prodotto tra matrici, si noti che
- la lunghezza n di (ogni) riga della matrice a deve coincidere con l’altezza di (ogni) colonna della matrice b;
- l’entrata (i, k) della matrice a · b è il prodotto (1) tra la riga i-ma ri di a e la colonna k-ma ck di b, cioè
a · b =
r 1 · c 1 r 1 · c 2... r 1 · cp r 2 · c 1 r 2 · c 2... r 2 · cp .. .
rm · c 1 rm · c 2... rm · cp
∈ Mm×p(R).
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Il prodotto di matrici unità è particolarmente semplice. Detto
δuv :=
1 se u = v 0 altrimenti
(delta di Kronecker), si ha infatti
Lemma 1.18. Siano eij , ehk ∈ Mn(R). Allora
eij ehk = δjheik.
- Trasformazioni elementari Da questa sezione in poi e salvo esplicita indicazione contraria le matrici con- siderate saranno a coefficienti in un campo F. Alcune delle considerazioni che faremo saranno valide anche nel contesto più generale di matrici a coefficienti in un anello commutativo, ma non è scopo di questi appunti entrare nei distinguo di tali generalità. Lo scopo di questa sezione è introdurre un insieme particolare e importante di matrici quadrate. La loro definizione è la seguente
Definizione 2.1. Sia F un campo, n > 2. Poniamo
- Rij (a) := (^1) n + aeij per ogni i, j ∈ { 1 ,... , n} con i 6 = j e a ∈ F ;
- Tij := (^1) n − eii − ejj + eij + eji per ogni i, j ∈ { 1 ,... , n} con i 6 = j;
- Mi(α) := (^1) n − eii + αeii per ogni i ∈ { 1 ,... , n} e α ∈ F ∗.
Le matrici Rij (a), Tij , Mi(α) si dicono le matrici di trasformazioni elementari per righe di taglia n.
Commento: Che forma hanno le matrici di trasformazioni elementari?
- Le matrici Rij (a) hanno tutti 1 sulla diagonale principale (le case (1, 1), (2, 2),... , (n, n)), a nella casa (i, j) e altrove tutti 0 ;
- le matrici Tij sono ottenute scambiando tra loro le righe i e j della matrice (^1) n;
- Le matrici Mi(α) hanno entrate non nulle solo sulla diagonale principale, ed esse sono tutte 1 tranne che l’entrata (i, i), dove c’è α.
Le matrici di trasformazioni elementari esplicano il loro effetto nella moltiplicazione a sinistra di una data matrice. Precisamente, sia a ∈ Mn×p(F ) una matrice (non necessariamente quadrata, ma con n righe), e sia t una matrice di trasformazioni elementari di taglia n. Detta b := ta la matrice prodotto, si ha
- se t = Rij (c) allora b è ottenuta da a sommando alla riga i-ma ri di a la riga j-ma di a moltiplicata per c, crj ;
- se t = Tij , allora b è ottenuta da a scambiandone le righe i e j;
- se t = Mi(α) allora b è ottenuta da a moltiplicandone per α la riga i-ma.
Esempio 2.2. Sia a =
∈ M 2 × 3 (Z 7 ). Calcoliamo i prodotti R 12 (3)a,
T 12 a, M 2 (3)a.
: alla riga 1 di a sommiamo la riga 2 dopo averla moltiplicata per 3.
: abbiamo scambiato di posto le righe 1 e 2 di a;
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: abbiamo moltiplicato per 3 la seconda riga di a.
Le matrici elementari considerate erano
R 12 (3) =
, T 12 =
, M 2 (3) =
Il lettore può verificare che facendo esplicitamente le moltiplicazioni righe per colonne si ottengono gli stessi risultati annunciati. 2
Convenzione: quando nel seguito partiremo da una matrice assegnata a ed effettueremo una moltiplicazione ta con una matrice di trasformazioni elementari t, diremo che abbiamo effettuato una trasformazione elementare t su a, usando la stessa notazione che usiamo per t ma senza usare il grassetto (t).
Esempio 2.3. Riprendendo l’esempio precedente scriveremo, per esempio, ( 1 2 3 4 5 6
R 12 (3)
M 2 (2)
T 12
per indicare la matrice T 12 · M 1 (2) · R 12 (3) · a, ottenuta da a effettuando successi- vamente le operazioni elementari R 12 (3), poi M 1 (2) e infine T 12.
Definizione 2.4. (Matrici in forma normale) Sia N ∈ Mm×n(F ). Si dice che N è in forma normale se N = 0 o, se N 6 = 0 , se sussistono tutte le seguenti condizioni:
(1) esiste p ∈ { 1 ,... m} tale che le righe (p + 1)-ma, (p + 2)-ma,... , m-ma di N sono tutte nulle; (2) per ogni i 6 p esiste 1 6 γ(i) 6 n tale che aiγ(i) = 1 ma aij = 0 se j < γ(i); (3) è γ(1) < γ(2) < · · · < γ(p); (4) ahγ(i) = 0 per ogni h < i.
In tal caso gli elementi a 1 γ(1), a 2 γ(2),... , apγ(p) si dicono i pivot di N.
Osservazione 2.5. Una matrice in forma normale e non nulla è perciò del tipo
γ(1) γ(2) γ(3) γ(4) 1 0... 0 1 ∗... ∗ 0 ∗... ∗ 0 ∗... ∗ 0 ∗... 2 1 ∗... ∗ 0 ∗... ∗ 0 ∗... 3 1 ∗... ∗ 0 ∗... 4 1 ∗...
.. .
(le entrate non segnate sono tutte nulle; le entrate con ∗ possono essere non nulle).
Esempio 2.6. La matrice
N =
è in forma normale. Qui, p = 4, e la sequenza γ(1) < γ(2) < γ(3) < γ(4) è 3 < 5 < 6 < 8.
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Osservazione 3.2. In termini più espliciti, data a ∈ Mn(F ) si ha
a ∈ GLn(F ) ⇐⇒ ∃b ∈ Mn(F ) tale che ab = ba = (^1) n.
Come accade in generale, se a è invertibile, allora ha uno ed un solo inverso. La matrice b è quindi unica, e la si denota senza ambiguità con a−^1.
Isoliamo un caso facile da dirimere:
Corollario 3.3. GL 1 (F ) = {(α) ∈ M 1 (F ) | α 6 = 0} ∼= F ∗.
Nel seguito, assumeremo n > 2 per considerare solo i casi significativi. Il primo passo per determinare GLn(F ) è elencarne alcuni elementi importanti:
Proposizione 3.4. Siano nel seguito a ∈ F , α ∈ F ∗, i, j ∈ { 1 ,... , n} con i 6 = j.
(1) (^1) n ∈ GLn(F ); (2) le matrici di trasformazioni elementari Rij (a), Tij , Mi(α) sono invertibili; (3) tutti i prodotti di matrici di trasformazioni elementari sono matrici inver- tibili.
Dimostrazione. Il punto (1) è ovvio: l’identità di un anello è sempre invertibile. Per il punto (2) possiamo esibire esplicitamente gli inversi:
Rij (a)−^1 = Rij (−a), T− ij^1 = Tij , Mi(α)−^1 = Mi(α−^1 ).
La verifica di questo semplice fatto è lasciata al lettore. La cosa importante da notare è che l’inversa di una matrice di trasformazioni elementari è ancora una matrice di trasformazioni elementari. Infine, sia q = t 1 t 2... tk un prodotto di k > 2 matrici di trasformazioni elemen- tari. Allora è immediato verificare che la matrice t− k 1 ·... t− 2 1 t− 1 1 è l’inversa di q. Si noti che anch’essa è un prodotto di matrici di trasformazioni elementari.
L’invertibilità è completamente caratterizzata dal rango:
Proposizione 3.5. (invertibilità e rango) Sia a ∈ Mn(F ). Allora
a ∈ GLn(F ) ⇐⇒ rk(a) = n.
Inoltre, a è un divisore di 0 se e solo se 0 < rk(a) < n.
Dimostrazione. Sia N la forma normale di a e sia q la matrice associata a una se- quenza di trasformazioni elementari che porta a in forma normale. Allora qa = N. a ∈ GLn(F ) ⇒ rk(a) = n : Supponiamo per assurdo che rk(a) < n. Allora l’ulti-
ma riga di N è nulla per il Lemma 2.11 ⇒ ennN = 0. Ma notato che siccome a, q sono invertibili anche N = qa è invertibile si ha
ennN = 0 ⇒ ∃N−^1
ennNN−^1 = 0N−^1 = 0 ⇒enn = 0
e questo è falso. Perciò rk(a) = n.
rk(a) = n ⇒ a ∈ GLn(F ) : rk(a) = n ⇒ N = (^1) n per il Lemma 2.11. Allora
qa = (^1) n e dato che q è invertibile si ha a = q−^1 (perchè?). Perciò a è invertibile e la sua inversa è q. L’ultima parte dell’enunciato è immediata: se a è un divisore di zero non può essere invertibile, e quindi rk(a) < n. Viceversa, se rk(a) < n, abbiamo già trovato che d := ennq è non nulla (perchè?) e da = ennN = 0. Analogamente, qaenn = 0 e quindi aenn = 0 , e enn è un co-divisore destro di zero per a.
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Da questa Proposizione si hanno i seguenti corollari:
Corollario 3.6. Se a ∈ Mn(F ), allora
- o a = (^0) n
- o a è invertibile
- o a è un divisore di zero.
In altri termini Mn(F ) = { (^0) n} ] GLn(F ) ] D(Mn(F )),
dove D(Mn(F )) è l’insieme dei divisori di zero in Mn(F ) e ] indica un’unione tra insiemi disgiunti.
Dimostrazione. La collocazione di a è decisa dal suo rango: rk(a) = 0 ⇐⇒ a = 0. Se 0 < rk(a) < n allora a è un divisore di zero. Se rk(a) = n allora a è invertibile.
Corollario 3.7. Siano a, b ∈ Mn(F ). Allora
ab = (^1) n ⇒ ba = (^1) n.
Dimostrazione. Se ab = 1 , allora a 6 = 0 e così rk(a) > 0. Se rk(a) < n allora a è un divisore di zero e quindi esiste una matrice d 6 = 0 tale che da = 0. Ma allora
d = d1n = dab = 0b = 0 ,
assurdo. Pertanto rk(a) = n e quindi
b = (a−^1 a)b = a−^1 (ab) = a−^1 ⇒ ba = (^1) n.
Osservazione 3.8. E’, questa, una cosa che come già sottolineato è sicuramente non ovvia e non automatica per anelli non commutativi.
Corollario 3.9. Le matrici invertibili di Mn(F ) sono precisamente le matrici prodotto di matrici di trasformazioni elementari.
Dimostrazione. La matrice (^1) n è prodotto di trasformazioni elementari: per esem- pio, (^1) n = T 12 · T 12. Se a ∈ GLn(F ) ed è diversa da (^1) n allora esiste una matrice q ottenuta come prodotto di matrici di trasformazioni elementari tale che qa = (^1) n. Perciò a−^1 = q. Ciò equivale a a = q−^1. Dato che l’inversa di un prodotto di matrici di trasformazioni elementari è ancora un prodotto di matrici di trasforma- zioni elementari (si veda in merito quanto notato nel corso della dimostrazione della Proposizione 3.4) , si ha quanto voluto.
Osservazione 3.10. Ciò consente di controllare l’invertibilità di una assegnata matrice e, nel caso, automaticamente di invertire la stessa. Basta infatti eseguire una sequenza t 1 , t 2 ,... , tk che porti la matrice assegnata in forma normale. Se la forma normale è (^1) n, allora la matrice data è invertibile. La stessa sequenza t 1 , t 2 ,... , tk applicata alla matrice (^1) n dà la matrice q che è l’inversa di a.
Esempio 3.11. Si decida se la matrice
a :=
∈ M 3 (Z 7 )
è invertibile e in caso affermativo si determini la sua inversa.
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e in forma più esplicita da
a 11 x 1 +a 12 x 2... +a 1 nxn = c 1 a 21 x 1 +a 22 x 2... +a 2 nxn = c 2 .. . am 1 x 1 +am 2 x 2... +amnxn = cm E’ chiaro che tutte le informazioni essenziali per il problema sono contenute solo nei suoi coefficienti, non nel nome delle incognite. Precisamente detta a la matrice dei coefficienti
a :=
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 1 n .. .
am 1 am 2... amn
e detta c :=
c 1 c 2 .. . cm
la colonna dei termini noti,
il sistema può essere riscritto compattamente come un’equazione lineare avente
come incognita la colonna x :=
x 1 x 2 .. . xn
: ax = c.
Tale informazione sul problema può essere codificata ancora un po’ più compat- tamente introducendo la definizione seguente:
Definizione 4.1. Sia ax = c un sistema lineare di m equazioni in n incognite a coefficienti in F. La matrice s ottenuta aggiungendo alle colonne di a la colonna dei termini noti in ultima posizione si dice la matrice completa del sistema.
Si noti che s ∈ Mm×(n+1)(F ). Nel seguito, la rappresenteremo come s = (a | c) per evidenziare il ruolo diverso che a e c giocano nel problema. La matrice completa del sistema gioca un ruolo essenziale nella risolubilità del sistema lineare e, una volta che essa sia stata controllata, nella determinazione delle sue soluzioni. L’osservazione principale è riassunta nel seguente
Lemma 4.2. Sia ax = c un sistema lineare di m equazioni in n incognite a coefficienti in F ed s la sua matrice completa.
(1) se t è una matrice di trasformazioni elementari in Mm(F ), allora il sistema di matrice completa s′^ = ts è equivalente al sistema di matrice completa s; (2) se N = (a′|c′) è la forma normale della matrice s = (a|c), il sistema a′x = c′^ è equivalente al sistema ax = c.
Dimostrazione. E’ facile rendersi conto che le trasformazioni elementari sulle ri- ghe corrispondono a trasformazioni sul sistema che conservano l’equivalenza tra i problemi. Esplicitamente, si ha
- sia t = Rij (a). Allora ts è la matrice ottenuta da s sommando alla riga i di s la sua j-ma riga dopo averla moltiplicata per a ∈ F. Pertanto il sistema
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che ha come matrice completa ts è il sistema ottenuto sommando membro a membro la i-ma equazione alla j-ma dopo aver moltiplicata quest’ultima per a ∈ F , e pertanto è equivalente al sistema di partenza;
- sia t = Mi(α). Allora ts è la matrice ottenuta da s moltiplicandone per α ∈ F ∗^ la riga i-ma ⇒ il sistema di matrice completa ts è ottenuto dal sistema di partenza moltiplicandone per α l’i-ma equazione, e pertanto è equivalente ad esso;
- se infine t = Tij allora ts è ottenuta da s scambiano tra loro le righe i e j ⇒ il sistema associato a ts è ottenuto dal sistema originale scambiando di posto le equazioni i e j, e quindi manifestamente è equivalente al sistema di partenza.
Se N è la forma normale di s ⇒ N = qs dove q = t 1... tk è un prodotto di matrici di trasformazioni elementari ti ⇐⇒ N è la matrice completa del sistema ottenuta da s effettuando la sequenza tk,... , t 2 , t 1 (in quest’ordine!) di trasformazioni elementari sulle righe. Dato che a ogni passo la matrice che si ottiene è associata a un sistema lineare equivalente al sistema originale, si ha quanto voluto.
Il punto in tutto ciò è che è assai facile decidere se il sistema è risolubile e quali eventualmente siano le sue soluzioni se la sua matrice completa è in forma normale. Si ha infatti
Lemma 4.3. Sia ax = c un sistema la cui matrice completa s sia in forma normale. Esso è risolubile ⇐⇒ nessun pivot cade nella colonna dei termini noti. Inoltre, se il sistema è risolubile, siano p = rk(s) e sia (γ(1),... , γ(p)), la sequenza delle colonne in cui sono collocati i pivot. Allora le soluzioni del sistema sono le n-ple (y 1 ,... , yn) ∈ F n^ tali che
- se j = γ(i) ∈ {γ(1),... , γ(p)} allora yγ(i) = ci −
h>γ(i)
aihyh;
- se j 6 ∈ {γ(1),... , γ(p)} allora yj è un qualunque elemento di F. In particolare, il sistema lineare ha |F |n−p^ soluzioni distinte, dipendenti da n − p parametri liberi yj al variare di j in { 1 ,... , n} \ {γ(1),... , γ(p)}.
Dimostrazione. Sotto la p-ma riga ci sono solo righe nulle. Se l’ultimo pivot cade nella colonna dei termini noti, l’ultima equazione del sistema è 0 = 1, che non ammette soluzioni e quindi il sistema è incompatibile, cioè non ha soluzioni. Se ciò non accade, la i-ma equazione del sistema in forma normale sarà aiγ(i)xγ(i) +
h>γ(i)
aihxh = ci.
Notato che aiγ(i) = 1 perchè è il pivot della i-ma riga di s, si ha
xγ(i) = ci −
h>γ(i)
aihxh.
Si noti che se h ∈ {γ(1),... , γ(p)} è aih = 0. Per ogni assegnazione delle variabi- li xj con j /∈ {γ(1),... , γ(p)} si ha allora un’assegnazione forzata per le variabili xγ(1),... , xγ(p), ottenendo una soluzione del sistema. Dato che ciascuna delle varia- bili “libere” xj (con j /∈ {γ(1),... , γ(p)}) può essere assegnata in |F | modi differenti e le n-ple ordinate che si ottengono sono tutte distinte, si ha quanto asserito.
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La matrice dei coefficienti, la colonna dei termini noti e la matrice completa sono rispettivamente
a =
(^) , c =
(^) , s =
Tramite una sequenza di trasformazioni elementari, arriviamo alla forma normale della matrice completa s:
N =
corrispondente al sistema lineare { x 1 +2x 3 = 4 x 2 +3x 3 = 5
in cui x 3 può variare liberamente in tutto Z 7. Ognuna delle 7 possibili assegnazioni di x 3 dà luogo a una assegnazione forzata di x 1 e x 2 :
posto x 3 = y ∈ Z 7 allora dev’essere
x 1 = 4 − 2 y x 2 = 5 − 3 y
L’insieme delle soluzioni è allora
{(4+5y, 5+4y, y) | y ∈ Z 7 } = {(4, 5 , 0), (2, 2 , 1), (0, 6 , 2), (5, 3 , 3), (3, 0 , 4), (1, 4 , 5), (6, 1 , 6)}.
Si noti, di nuovo, che p = 2, n − p = 1 e effettivamente ci sono 71 soluzioni distinte del sistema.
Esempio 4.7. Si dica se il seguente sistema lineare a coefficienti in Z 7
5 x 1 +2x 2 +2x 3 = 4 3 x 1 +4x 2 +4x 3 = 5 6 x 1 +6x 2 +2x 3 = 6
è compatibile e, se si, si dica quante e quali sono le sue soluzioni Svolgimento La matrice dei coefficienti, la colonna dei termini noti e la matrice completa sono rispettivamente
a =
(^) , c =
(^) , s =
Tramite una sequenza di trasformazioni elementari, arriviamo alla forma normale della matrice completa s:
N =
corrispondente al sistema lineare equivalente a quello dato
x 1 +2x 3 = 0 x 2 +3x 3 = 0 0 = 1
in cui la terza equazione non ammette soluzioni. Il sistema pertanto è incompatibile.
14 VINCENZO C. NARDOZZA
Si noti che anche in questo caso p = 3 e n − p = 0, ma stavolta NON ci sono soluzioni, perchè la loro esistenza dipende NON SOLO da qual è il rango della matrice completa del sistema, ma anche da dove compaiono i suoi pivot
La formulazione di questo principio in termini classici è la seguente:
Teorema 4.8. (Rouchè-Capelli) Un sistema lineare di m equazioni in n incognite è compatibile se e solo se il rango della matrice completa del sistema uguaglia il rango della matrice dei coefficienti. In tal caso, detto p tale rango, le soluzioni del sistema dipendono da n − p parametri liberi.
Dimostrazione. Basta notare che dire rk(s) = rk(a) equivale a dire che tutti i pivot presenti nella forma normale N di s compaiono nelle prime n colonne, e cioè che nella ultima colonna di N non compare un pivot.
- Unicità della forma normale di una matrice La chiave per accedere a buona parte dei risultati operativi ottenuti era costi- tuita dal Teorema 2.7, di riduzione a forma normale. La prima parte del Teorema non necessita di una dimostrazione (basta ragionare per induzione con un po’ di coerenza, ripetendo quanto fatto negli esempi, per provare che ogni matrice o è in forma normale o può essere messa in forma normale dopo un numero finito di passi). Il fatto non ovvio è che la forma normale alla quale si arriva è unica, a prescindere dalla particolare sequenza di trasformazioni elementari seguite. La di- mostrazione di ciò non è inclusa nel programma del corso, ma ho ritenuto utile inserirla in questa sezione per completezza, oltre che per soddisfare la curiosità di studenti particolarmente diligenti. Fissiamo Mm×n(F ) e sia V = M 1 ×n(F ). In altri termini, V è l’insieme delle matrici riga di lunghezza n. Sappiamo che (V, +) è un gruppo abeliano, e inoltre si ha che ∀ α ∈ F , ∀ r ∈ V è αr ∈ V. Invece che parlare di matrici riga useremo spesso il termine più semplice di vettori, specificando eventualmente la lunghezza n di ciascuno di essi. Inoltre, chiameremo scalari gli elementi di F. Sia poi E l’insieme delle trasformazioni elementari; sappiamo che T− ij^1 = Tij , Mi(α)−^1 = Mi(α−^1 ) e Rij (u) = Rij (−u), per cui E ⊆ GLm(F ). Di conseguenza, risulta H := 〈E 〉 6 GLn(F ). Inoltre, se la matrice b è stata ottenuta da a attraverso una sequenza di trasformazioni elementari sulle righe, ciò vuol dire che esiste un q ∈ H tale che b = qa. Ciò in particolare comporta che se n è una matrice in forma normale ottenuta da a attraverso una sequenza di trasformazioni elementari, allora n = qa per una certa q ∈ H. Introduciamo una relazione di equivalenza in Mm×n(F ):
Proposizione 5.1. Per ogni a, b ∈ Mm×n(F ) scriviamo a ∼H b se esiste q ∈ H tale che b = qa. La relazione introdotta è una relazione di equivalenza.
Dimostrazione. E’ un semplice esercizio.
In questa maniera, l’insieme Mm×n(F ) è ripartito in classi di equivalenza rispetto la relazione ∼H , e in [a]∼H ci sono tutte le matrici che possono essere ottenute da a tramite una sequenza finita di trasformazioni elementari. Tra esse, sicuramente ci sarà una matrice in forma normale. Il nostro scopo in questo paragrafo sarà raggiunto se riusciremo a provare che esattamente una matrice in forma normale è presente in ciascuna classe di equivalenza.
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Allora se n, n′^ sono matrici in forma normale ottenute da a, è n ∼H a ∼H n′, e quindi n ∼H n′. In particolare, deve accadere che ciascuna riga di n′^ è combinazione F -lineare delle righe di n e viceversa. Proveremo che questo fatto comporta che n = n′. Da questo punto possiamo lavorare direttamente con matrici in forma normale, e per comodità spezziamo la dimostrazione in due parti:
Proposizione 5.6. Siano a, b matrici in forma normale. Se a ∼H b allora a e b hanno lo stesso numero di pivot, ed essi sono collocati nelle medesime case.
Dimostrazione. Se a = 0 allora b = 0 e viceversa. In tal caso, l’asserto è ovvio. Supponiamo quindi che a 6 = 0 e sia (γa(1), γa(2),... , γa(p)) la sequenza delle co- lonne dei pivot di a. Analogamente sia (γb(1), γb(2),... , γb(q)) la sequenza delle colonne dei pivot di b. Vogliamo provare che p = q e che le due sequenze sono uguali. Si noti che poichè a 6 = 0 anche b 6 = 0 , per cui p, q > 1. Sia t = min{p, q}. Poichè a ∼H b, per il Corollario 5.5 si ha che la prima riga di b è combinazione F -lineare delle righe di a, e quindi per certi scalari α 1 ,... , αm ∈ F si ha
b 1 =
∑^ m
j=
αj aj.
Notiamo che, poichè la somma di vettori è effettuata componente per compo- nente, nella h-ma colonna della combinazione lineare
∑m j=1 αj^ aj^ si ha l’entrata ∑^ m
j=
αj ajh = α 1 a 1 h + α 2 a 2 h +... αmamh,
e quindi dall’uguaglianza b 1 =
∑m j=1 αj^ aj^ si ha che per ogni^ h^ = 1,... , n^ risulta
b 1 h =
∑^ m
j=
αj ajh = α 1 a 1 h + α 2 a 2 h +... αmamh.
In particolare, nella colonna γb(1) si ha l’entrata b 1 ,γb(1) = 1, pivot di b relativo alla sua prima riga, e quindi
1 = α 1 a 1 ,γb(1) + α 2 a 2 ,γb(1) + · · · + αmam,γb(1).
Se γb(1) < γa(1), allora la colonna γb(1)-ma di a è nulla, per cui per ogni i = 1 ,... , m risulta ai,γb(1) = 0, da cui l’uguaglianza precedente darebbe 1 = 0, assurdo. Quindi γb(1) > γa(1). Invertendo i ruoli di a e b, scrivendo cioè a 1 =
∑m i=1 βibi, si deduce che γa(1) > γb(1). Pertanto γa(1) = γb(1), e quindi sulla prima riga sia a che b hanno il pivot nella stessa posizione. Induttivamente, supponiamo che per ogni 1 6 i 6 t − 1 risulti γa(i) = γb(i) =: γ(i) e proviamo che γa(i + 1) = γb(i + 1). Come prima, la riga bi+1 è combinazione F -lineare delle righe di a, per cui per certi scalari α 1 ,... , αm ∈ F si può scrivere
bi+1 =
∑^ m
j=
αj aj.
In particolare, nella colonna γb(i + 1) si ha l’entrata bi+1,γb(i+1) = 1, pivot di b relativo alla sua riga (i + 1)-esima, e quindi
1 = α 1 a 1 ,γb(i+1) + α 2 a 2 ,γb(i+1) + · · · + αmam,γb(i+1).
A.A. 2016/17 – ALGEBRA LINEARE 17
Il valore degli scalari αj si può ottenere guardando le colonne γ(1),... , γ(i):
0 = bi+1,γ(1) = α 1 a 1 ,γ(1) + α 2 a 2 ,γ(1) + · · · + αmam,γ(1) = α 1 0 = bi+1,γ(2) = α 1 a 1 ,γ(2) + α 2 a 2 ,γ(2) + · · · + αmam,γ(2) = α 2 .. .
0 = bi+1,γ(i) = α 1 a 1 ,γ(i) + α 2 a 2 ,γ(i) + · · · + αmam,γ(i) = αi
perchè per definizione di matrice in forma normale nella colonna γ(j) di a l’unica entrata non nulla è il pivot, posizionato in (j, γ(j)). Quindi α 1 = α 2 = · · · = αi = 0, e si ha
1 = αi+1ai+1,γb(i+1) + αi+2ai+2,γb(i+1) + · · · + αmam,γb(i+1).
In questa uguaglianza, se γb(i + 1) < γa(i + 1) allora ai+1,γb(i+1) = ai+2,γb(i+1) = · · · = am,γb(i+1) = 0, per cui si ottiene 1 = 0, assurdo. Perciò dev’essere γb(i + 1) > γa(i + 1) e di nuovo, invertendo i ruoli, si ha γa(i + 1) > γb(i + 1). Pertanto anche γa(i + 1) = γb(i + 1), e possiamo concludere che per ogni 1 6 j 6 t risulta γa(j) = γb(j) =: γ(j). Resta da provare che p = q. Supponiamo per assurdo che p < q, e quindi che t = p. Allora la riga p + 1 di b è non nulla, e per certi scalari α 1 ,... , αm si ha
bp+1 =
∑^ m
i=
αiai.
In particolare, la prima entrata non nulla di bp+1 sarà il pivot di tale riga, collocato in (p + 1, γb(p + 1)), e quindi
1 = α 1 a 1 ,γb(p+1) + α 2 a 2 ,γb(p+1) + · · · + αmam,γb(p+1).
Ma le righe ap+1,... , am sono tutte nulle, per cui
1 = α 1 a 1 ,γb(p+1) + α 2 a 2 ,γb(p+1) + · · · + αpap,γb(p+1).
Inoltre, come prima, gli scalari α 1 ,... , αp si ottengono guardando le colonne γ(1), γ(2),... , γ(p) e si scopre che α 1 = · · · = αp = 0. Ne segue che 1 = 0, assurdo. Non potendo essere p < q, necessariamente è p > q. Invertendo i ruoli di a e b, si ha q > p, da cui p = q.
Osservazione 5.7. Anche se non abbiamo ancora provato che a = b, già possiamo concludere che il rango di una matrice è ben definito. Infatti, se n e n′^ sono forme normali associate alla matrice a, risulterà che n ∼H n′^ e per quanto visto n e n′ devono avere lo stesso numero di pivot, collocati nelle stesse case. 2
Per concludere, resta solo da provare che
Proposizione 5.8. Se a,b sono in forma normale e a ∼H b allora a = b.
Dimostrazione. Dal risultato precedente, sappiamo che a e b hanno lo stesso nu- mero di pivot, ed essi sono collocati nelle stesse case (i, γ(i)) per ogni riga non nulla i. Supponiamo che vi siano p > 1 pivot (altrimenti, a = b = 0 e non c’è nulla da provare). Sicuramente, le righe sotto la p-esima sono nulle, e quindi uguali, in a
A.A. 2016/17 – ALGEBRA LINEARE 19
gli elementi della diagonale principale a cui viene sottratto il prodotto degli elementi sull’altra diagonale. Usiamo questo fatto per calcolare il determinante di una matrice 3 × 3 :
se A =
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
(^) si ha
det(A) = (−1)1+1a 11 det(A 11 ) + (−1)1+2a 12 det(A 12 ) + (−1)1+3a 13 det(A 13 )
= a 11 det
a 22 a 23 a 32 a 33
− a 12 det
a 21 a 23 a 31 a 33
a 21 a 22 a 31 a 32
= a 11 (a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 12 (a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 − a 22 a 31 ) = (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 23 a 13 ) − (a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 + a 23 a 32 a 11 ).
La formula è molto più complicata da spiegare, ma si può notare che l’elemento det(A) ∈ R è stato ottenuto formando una somma algebrica di prodotti; ogni prodotto ha tre fattori presi da A. I prodotti che hanno segno + sono quelli ottenuti prendendo i fattori nei posti contrassegnati da • :
cioè gli elementi che stanno sulla diagonale principale e quelli che stanno sui triangoli aventi base parallela ad essa. I prodotti preceduti da segno −, similmente, sono i seguenti
cioè quelli ottenuti prendendo gli elementi sulla diagonale secondaria e quelli sui triangoli aventi base parallela ad essa (regola di Sarrus).
Osservazione 6.5. Ognuno degli addendi del determinante di una matrice di ordine 3 è
- un prodotto di 3 addendi
- in ogni addendo, ognuno dei tre fattori proviene da una riga e una colonna distinte.
Questa cosa è un fatto generale, cioè
- se A ha taglia n, allora det(A) è una somma algebrica di addendi;
- ogni addendo è un prodotto di n fattori, ciascuno scelto in una riga e una colonna diversa dagli altri (non ci sono cioè due fattori che provengono dalla stessa riga o dalla stessa colonna).
Tuttavia non abbiamo nè tempo nè interesse in questa sede di approfondire questa discussione valida in generale. 2
Per matrici di taglia n > 4 non c’è vantaggio nello scrivere una formula per il calcolo diretto del determinante, in quanto essa sarebbe non più semplice da applicare che la definizione stessa.
Definizione 6.6. (Trasposta e matrici simmetriche) Sia A = (aij ). Si dice trasposta della matrice A, e si indica con AT^ , la matrice (bij ) tale che per ogni i, j 6 n sia bij = aji.
20 VINCENZO C. NARDOZZA
Si dice poi che A è simmetrica se A = AT^.
Osservazione 6.7. In altri termini, la trasposta di A è la matrice ottenuta da A effettuando una riflessione delle sue entrate lungo la diagonale principale.
Esempio 6.8. Sia A :=
. Allora AT^ =
Definizione 6.9. (Complementi algebrici) Sia A = (aij ) ∈ Mn(R), con n > 2. Si dice complemento algebrico di aij l’elemento
γij := (−1)i+j^ det(Aij ) ∈ R.
La matrice Γ := (γij ) ∈ Mn(R) si dice la matrice dei complementi algebrici di A.
Osservazione 6.10. Utilizzando la nozione di complemento algebrico, la defini- zione di determinante di una matrice di taglia n > 2 può essere riscritta come
det(A) =
∑^ n
j=
a 1 j γ 1 j.
2 La relazione tra una data matrice e la sua matrice dei complementi algebrici è espressa nel seguente importante
Teorema 6.11. (Formule di Laplace) Siano n > 2 , A = (aij ) ∈ Mn(R) e Γ = (γij ) la matrice dei complementi algebrici di A. Allora per ogni i 1 , i 2 , j 1 , j 2 ∈ { 1 ,... , n} risulta ∑^ n
j=
ai 1 j γi 2 j =
0 se i 1 6 = i 2 det(A) se i 1 = i 2 ∑^ n
i=
aij 1 γij 2 =
0 se j 1 6 = j 2 det(A) se j 1 = j 2
Queste formule in apparenza complicate hanno due serie conseguenze:
Corollario 6.12. Scelto i ∈ { 1 ,... , n}, si ha
det(A) =
∑^ n
j=
aij γij.
La precedente espressione viene detta sviluppo di det(A) lungo la riga i. Analoga- mente, scelto un qualunque indice di colonna j ∈ { 1 ,... , n}, si ha
det(A) =
∑^ n
i=
aij γij
ed essa vien detta sviluppo di det(A) lungo la colonna j.
Nella definizione di determinante, in effetti noi abbiamo effettuato lo sviluppo del determinante lungo la prima riga. Il precedente corollario dice che avremmo potuto dare la definizione scegliendo una riga qualunque o anche una colonna qualunque: il risultato sarebbe stato lo stesso.
