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MATEMATICA FINANZIARIA
La matema'ca finanziaria è una branca della matema'ca che studia l’evoluzione del denaro al passare del tempo.
- (^) studia il valore finanziario del denaro
- (^) Le operazioni monetarie: Le operazioni monetarie possono essere:
- (^) semplici : solo due flussi finanziari in denaro
- (^) Complesse : quando sono rela 7 vi ad altri più flussi di denaro La convenzione: i flussi di denaro in andata (in uscita) sono segnate con il segno + (-)
- (^) le convenzioni di operazioni finanziarie semplici: è un inves 7 mento se il flusso in uscita precede temporalmente il flusso in entrata.
- (^) le convenzioni di operazioni finanziarie composte: è un finanziamento se il flusso in entrata precede temporalmente flusso in uscita. Le sequenze di flussi con lo stesso segno non è un operazione finanziaria ma un arbitraggio finanziario. Le operazioni finanziarie si rappresentano sull’asse dei tempi nel seguente modo:
- (^) capitale : somma di denaro che viene inves 7 ta per un futuro ritorno finanziario
- (^) Montante È del tuDo logico pensare che il montante sia maggiore del capitale poiché chi rinuncia ad una disponibilità finanziaria richiede che al momento della consegna gli venga corrisposto un compenso. Compenso = M - C Il compenso è meglio chiamato: - (^) interesse (I) - (^) Sconto (D) L’interesse è la variazione monetaria dell’importo C che viene inves'to dal tempo T1 a T2. Quindi è il compenso per avere prestato denaro. 1
Oppure: VA (valore aDuale) C - VA = S (sconto) Lo sconto (S) è la riduzione del valore monetario C in t2. Se si vuole avere a disposizione in T1: an 7 cipazioni riba. Parliamo di capitalizzazione ( inves'mento) quando l’aumento del valore monetario di una somma di denaro a disposizione in T1 alla quale si rinuncia e la si investe in T2. Esempio: Capitale inves 7 to = 1000 in t1. Avremo un montante in T2 di 1050 Inves 7 mento = C - M = 50 Parliamo di aFualizzazione ( an'cipazione di un credito di cui ho diriFo) la riduzione del valore monetario di una somma di denaro a disposizione in T2 che si vuole avere a disposizione prima ( t1 < t2) Esempio: C = 1000 VA = 980 S = 20 Regimi e leggi finanziarie Il mercato finanziario esprime un legame tra il capitale con il montante (oggi con il futuro) e tra valore aHuale e capitale. La legge finanziaria di capitalizzazione è una funzione faFa per definire un montante M(t) accumulato nel tempo generico t partendo da un capitale C Per quanto tempo ho lasciato crescere questo capitale? Durata temporale (t) = T1 - T S 7 amo parlando di un intervallo chiuso e limitato.
Allora vuole dire che il mio montante è una funzione: M = f(c,t)
Dove f è una funzione che lega tra loro C e T con M. Il capitale che io investo dipende da quanto ne investo e per quanto tempo lo lascio maturare. 2
Tasso di interesse e tasso di sconto Tasso di interesse e di sconto possono essere messi in rapporto con il capitale iniziale e con il montante , oDenendo rispejvamente:
- (^) tasso di interesse di periodo
- (^) Tasso di sconto di periodo 4
f(t) e g(t) sono congiun 7 cioè —> f(t) x g(t) = 1 5
Ma una generica legge di capitalizzazione Allora è vero E anche vero che dalla relazione Si ottiene M c^ pit Va c^ git
quindi
Ilt (^) I 1 cit
1 t^1
dit (^) a_V9 a^ c (^91)
a g t
c i t (^) f t 1 I^ TASSO UNITARIO (^) DI INTERESSE d t (^1) g t^ A TASSO^ UNITARIO^ DI SCONTO
NB UNITARI Riferiti ad un PERIODO^ PERIODO^ A^ ANNO
Sappiamo che^ fit e^ git SONO^ CONIUGATI fit (^) git 1 t^ o fin (^) g a^1 Iit (^) fit 1
i 1 n^1
d a^9 gla
Ma dalla relazione otteniamo Dalle relazioni Dato che Espressione che può essere esplicitata rispetto I o d : flat (^) gla 1 911
fla
e dia 1
fi
i 1 i
fla 1 otteniamo
d 1 d 1 g a
a 1 ti
g
a 1 d
(^811) g a^1 allora
sti 1 d^1
sti a^ d^1 1 i^
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I a 1
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1 d
tti 1 d 1 1 d
nti
In
LA PERIODICITÀ DEL TASSO
Ogni tasso è associato ad una durata di tempo. Il tempo può essere misurato in vari modi, ma in matematica finanziaria si misura in anni Sono chiamati tassi periodali I REGIMI FINANZIARI La capitalizzazione è un’operazione che comporta il differimento di una disponibilità monetaria immediata. Si analizza l’andamento del montante nel corso del tempo.
Ma
ROVO (^) MI c (^) f a (^1600)
6 1
ROVO Ma MI
f 3 3885 71 Io
NB M 5 c 5 Ma (^713) mensile 112 1 mese
trimestrale in 1 trimestre
semestrale 12 1 semestre annuo 1 anno i K d K REGIME DELLA^ REGIME della CAPITALIZZAZIONE CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE (^) COMPOSTA
A) CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE L’interesse I è una grandezza proporzionale al capitale C e al tasso i e alla durata t Allora il fattore montante Gli interessi si calcolano sempre sul capitale iniziale B) CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA In questo regime al termine del periodo di riferimento gli interessi maturati diventano loro volta capitale, e da lì in poi contribuiranno a produrre nuovi. Gli interessi generano.
capitale e
Tasso i
durata t I c^ i^ t
M C^ I^ c^ c^ i^ t^ c^ a it
fit a^ it^ retta Ma i (^) in (^0 1 2 73) M
Ma c^1 it^ c^ nti^ con^ t^1
Ma Mi 1 1 c^ a^ i^ Ati
Ma c^1 112 nti^ C^1
Ma
c o 1
tm
Il fattore più utilizzato nella pratica è quello composto. Esempio :
Convenzione lineare Convenzione Esponenziale
nti In (^) it lati
t
Kim atit^ Him^ In^ tilt at (^) it nti (^) solfa 1
maggiore
a (^) it In tilt con (^) octen di è^ fit In (^) tilt t o montante (^) esponenziale latift eln^ tilt et
en ati non dipendendo da^ t
allora è una
costante
Ponendo ln nti
8 si^ ottiene^ che^ fit^ est e f ln^
nti è
chiamato
FORZA DI^ INTERESSE
INTENSITA ISTANTANEA DI^ INTERESSE
i 101 0,
fit 11 0,^ t S (^) film nti^ In^1 0,1^ In^ 1,1^0
Una sua espressione equivalente è I TASSI EQUIVALENTI due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono, per la stessa durata t e a parità di capitale impiegato, lo stesso montante. A) RIS C. SEMPLICE Ma i due tassi devono originare uguale montante , allora fit est t e
909532 t^
2
It ln^ ato^
t
sono la medesima cosa
conosco i^ i e i k
annuo (^) periodale f t^ n^ it^ se^ il^ tasso^ è^ misurato^ di^ anno
Il tasso è il k e il tempo complessivo
TTOT t K
Allora t
t (^) a (^) ii te
at it^ a iktk
it IK.tk
i IK K
ik
TASSO ANNUO NOMINALE CONVERTIBILE ( k volte nell’anno) Esempio: Deve esserci corrispondenza tra tempi e tasso JK
JK K IK
in
TK
K C 1000 M 18 semestri^ investimento^ al^ tasso^ annuo^ convertibile
fa 0,
m 18 semestri Bisogno di 12
iz 203 0,
M 1000 1 0,
18 Sappiamo che
OK K IK
Ik a i 1 a i 1
quindi
JK K nti _^1
i se k^ penso ad^ una capitalizzazione continua
TASSI VARIABILI NEL TEMPO
A) CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE calcolo t fim
ai 1
fim
Ati 1 7 se K i^ no 7 o
4k
lim ati 1 ln nti
z 0 7
NB lim a 1 lna ma ln nti
O (^) X c Ita
Mta
0 ta
ta
is is
Mta
Mt (^) fit a it
Mta c^1 1 ta
Mta c^ Intinta ia ta^ ta^ e^ Cata^ Cia^ ta^ ta
ln att^ S^ a^ te^ e In (^) latin Se a (^) in es In 1 12 Sa a^ la^ e
esta esata^ e Salta^ ta
e sta e
Sata Salta ti
Sta (^) fata Sa ta ta^ da cui 5 Sata (^) Salta ta
ta
esempio 0,06 (^) 0, C 1 one 5 Cs (^) f t a it (^) if s^1 0,06 2 0,14 3 1,
i a i 5 1,54 da cui i 0,
arona i^ i^ È ia 0,06 25 0, 5 0,
REGIME FINANZIARIO DI CAPITALISMO AD INTERESSI ANTICIPATI L’interesse è direttamente proporzionale al montante e alla durata secondo un fattore di proporzionalità CC (^) f t (^) ati (^) if s^ a (^) 0,06 1 0,14 1 66466
Allora i^ a i^
5 1,
1 i^ 1,6646 da cui i^0
TASSO UNITARIO DI SCONTO BOT Va (^) C I 1 O (^) t In (^) questo regime (^) git 1 di git o (^1) at o (^) te t e (^) git sono CONIUGATI^ ft git 1 se (^) gli 1 dt allora (^) It p con d^ i 9,700 10. I (^0 )
I 10 000 9700 300
i
3 0 0,^
d i 0, 1,
0,03 3 infatti il^31 di^ 10.000^ è^300
