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MATEMATICA FINANZIARIA
Mercato Finanziario luogo in cui operatori economici che hanno surplus di denaro e che hanno bisogno in aereo si incontrano ossia Luogo in cui sono svolte le operazioni finanziarie contratti con il quale un soggetto corrisponde un altro soggetto un certo importo (P) disponibili in una determinata epoca (x) in cambio di un importo (M) disponibile in una data y Operazioni di Investimento operazione mediante il quale l'investitore borsa una somma a una certa epoca e ottieni il montante della somma investita alla data di scadenza dell'operazione ➢ P= Capitale Investito ➢ x= Data Inizio investimento ➢ M= Montante del Capitale Investito ➢ y= Data scadenza investimento Operazioni di Finanziamento operazioni mediante la quale ,chi si finanza, si impegna a rimborsare una certa epoca l'importo costituente il debito ➢ P=Valore Attuale ➢ x=Data Anticipazione ➢ M=Capitale dovuto a Scadenza ➢ y= Data Scadenza Operazione ❗In entrambe le operazioni M-P è uguale ma in Op di INvestimento rappresenta il frutto dell’investimento “l’Interesse”, Op di Finanziamento è la somma a cui si rinuncia per avere subito la disponibilità di denaro “ sconto”
LEGGI FINANZIARIE Una funzione f(x,y), definita per x y…
- La funzione del montante unitario(r) → può considerarsi come tale se: è monotona crescente, se derivabile, la sua derivata prima rispetto alla data di disinvestimento è positiva : 𝜕𝑓(𝑥,𝑦)/ 𝜕𝑦 > 0: maggiore è la durata dell’operazione finanziaria e tanto più grande è il montante ottenuto se la durata dell’operazione finanziaria è pari a zero, il montante ottenuto coincide col capitale (unitario) investito, per durate non nulle dell’operazione finanziaria, il montante ottenuto deve essere sempre maggiore o uguale del capitale investito
- La funzione dell’interesse unitario (i) può considerarsi come tale se è monotona crescente, quindi, se derivabile, la sua derivata prima rispetto alla data di disinvestimento è positiva: 𝜕𝑓(𝑥,𝑦)/ 𝜕𝑦 > 0 : l’interesse prodotto è crescente rispetto alla durata dell’operazione finanziaria; per durata nulla anche l’interesse è nullo l’interesse prodotto non può essere negativo.
- La funzione dello sconto unitario (d) può considerarsi come tale se è monotona crescente, quindi, se derivabile, la sua derivata prima rispetto alla data di esigibilità del capitale è positiva : 𝜕𝑓(𝑥,𝑦)/ 𝜕𝑦 > 0: maggiore è la durata dell’operazione finanziaria di anticipazione e più è grande lo sconto richiesto per l’anticipazione stessa;
- La funzione del valore attuale unitario (v) può considerarsi come tale se è monotona decrescente, quindi, se derivabile, la sua derivata prima rispetto alla data di esigibilità del capitale è negativa : 𝜕𝑓(𝑥,𝑦)/ 𝜕𝑦 < 0 più è lontana l’epoca di esigibilità del capitale e più piccolo è il suo valore attuale; valore attuale non può essere negativo ed ha come limite superiore il capitale da scontare (unitario). TRASLABILITA (o uniformità) di una legge finanziaria Una proprietà matematica delle leggi finanziarie è la traslabilità o uniformità: una legge finanziaria di capitalizzazione o di attualizzazione è traslabile se,il montante (valore attuale) ottenuto dipendente sola dalla durata dell’operazione finanziaria e non dalla data di investimento e disinvestimento, ovvero se, h>0, la legge finanziaria è traslabile e possiamo porre t=y-x, per cui la legge finanziaria è dipendente dalla sola durata t.
REGIMI DI INTERESSE (RIS, RCC, RSC )
RIS “Regime Capitalizzazione Semplice” (o sconto razionale) caratterizzata dal fatto che interesse è proporzionale al capitale investito il tasso di interesse e durata dell'investimento La caratteristica essenziale del regime dell’interesse semplice è l’ipotesi di proporzionalità tra la durata dell’operazione finanziaria e l’interesse prodotto, con fattore di proporzionalità pari al tasso di interesse per periodo unitario.e i l regime finanziario della capitalizzazione semplice non è coerente con le ipotesi effettuate di mercato di capitali perfetto , portando alla formazione di prezzi diversi per la medesima attività finanziaria. il montante unitario dopo n periodi è
dove il i il tasso ottenuto è la media aritmetica dei tassi osservati sul mercato
Valore attuale unitario Se i tassi sono variabili
se i tassi sono riferiti a periodo non unitari dell’anno
La legge di formazione dello sconto unitario
se tassi riferiti a periodi non unitari dell’anno
Grandezze assolite del regime I=Pi (t) ; M=P r(t) ossia M=P* (1+it) ; P=Mv( t) ossia P=M/(Pit)
RCC Regime Capitalizzazione Composta il regime finanziario della capitalizzazione composta dello sconto opposto è caratterizzato dal fatto che l'interesse prodotto in un periodo è proporzionale al tasso di interessi al periodo unitario e al capitale maturato all'inizio del periodo e non nel capitale inizialmente investito.
rappresenta la legge di capitalizzazione nel Regime dell’Interesse Composto , possiamo riscriverla come
ossia una legge di capitalizzazione, infatti:
ANCORA…
Il regime finanziario della capitalizzazione composta è caratterizzato dal fatto che lo sconto è proporzionale al capitale da scontare al tasso di sconto e al periodo di tempo (t).
Rappresenta la legge di evoluzione del montante in regime di capitalizzazione composta a tassi variabili. Dalla si possono ricavare le altre leggi finanziarie come la legge del valore attuale in regime di capitalizzazione:
In generale il tasso medio in regime di capitalizzazione composta è
Il montante unitario è
dal quale possiamo ricavare le altre leggi finanziarie unitarie
RSC Regime dello Sconto Commerciale
consideriamo una operazione finanziaria di acquisto di un BOT il 7 gennaio con scadenza 15 giugno (la cui durata è quindi pari a 159 giorni 1 ). Supponiamo di voler rivendere tale BOT dopo 30 giorni dalla data di acquisto (quindi il 6 febbraio), al prezzo P06/02/
𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑀𝑦 − 𝑃𝑥 = 100€ − 98,5€ = 1.5€ è lo sconto prodotto in 159 giorni (y-x), per calcolare lo sconto relativo a 129 giorni (da x’ a y) impostiamo una semplice proporzione:D(x, y):(y − x) = D(x' , y):(y − x') Nel nostro esempio si ottiene:
In regime di Sconto Commerciale si ipotizza la formazione dello sconto in proporzione alla durata dell’operazione finanziaria. Da tale ipotesi si ottiene un andamento lineare sia della funzione dello sconto unitario che del valore attuale unitario (in particolare si tratta di due (semirette). la legge dello sconto unitario in un “nuovo” regime: il regime dello sconto commerciale
la legge del valore attuale unitario
la legge di formazione del montante
la legge di formazione dell’interesse
Il regime dello sconto commerciale è valido solo per durate inferiori a 1/d , infatti, la funzione del valore attuale deve essere sempre positiva, Se la durata fosse superiore il valore attuale sarebbe negativo, ovvero lo sconto applicato risulterebbe maggiore del capitale da scontare
Il Montante in RSC
TASSI EFFETTIVI & NOMINALI di INTERESSE In regime di capitalizzazione composta esiste un altro modo, oltre all’utilizzo dei tassi equivalenti, per calcolare il tasso relativo ad una frazione di periodo unitario:
● Tasso Effettivo : 𝑖 = (1 + 𝑖1/𝑚)𝑚^ − 1
● Tasso Nominale j : prende il nome di tasso nominale ed è il tasso che rende proporzionale su base annua il tasso espresso semestralmente , e generalizzando possiamo scrivere
𝑗(𝑚) =
𝑖1/𝑚 1 𝑚
= 𝑚 * 𝑖1/𝑚
La prossima formula che vedremo ci dice , conoscendo il tasso nominale annuo, quale sia il corrispettivo tasso effettivo nell’ipotesi che i tassi di reinvestimento siano uguali a quelli precedenti 𝑖 = ( 1 + 𝑗(𝑚)/𝑚)^(𝑚) − 1 TASSI EFFETTIVI & NOMINALI DI SCONTO In questo paragrafo determineremo le medesime grandezze, 𝑖 1/𝑚; 𝑗(𝑚) 𝑒 𝑗(∞)sempre in capitalizzazione composta , in relazione ai tassi di Sconto Suddividiamo un anno in due semestri e immaginiamo di dover anticipare 1€ di un anno. Definendo un tasso di Sconto semestrale 𝑑1/2, dopo 6 mesi avremmo esattamente → 1 − 𝑑1/2e dopo ulteriori 6 mesi, ovvero in t0, avremmo (1 − 𝑑1/2)^2
𝑝 =− 𝑙𝑛(1 − 𝑑) = 𝑙𝑛(1 + 𝑖) = δ quindiδ = 𝑙𝑛(1 + 𝑖)
𝑝(𝑚) = 𝑚 * 𝑑1/𝑚 = =
𝑚*𝑖1/𝑚 1+𝑖1/𝑚^ =^
𝑗(𝑚) 1+𝑖1/𝑚^ 𝑚 *^ 1 − (1 −^
𝑖 1+𝑖 )
1 ⎡ 𝑚 ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
Andamenti di Jm e Pm
FORZA DI INTERESSE
Una qualsiasi funzione r(t) può esprimere una legge di capitalizzazione se in t=0 vale 1 e non deve essere decrescente in quanto, se investo dei soldi , aspetto che il montante sia maggiore del capitale investito ( può essere costante ma mai inferiore), quindi 𝐼 0 ; 𝑡 0 + ∆𝑡0^ ≃^ 𝑟(𝑡 0 ) *^
𝑟'(𝑡0) 𝑟(𝑡0) * ∆𝑡
“A parità di Capitale e Tempo investito, l’Interesse prodotto è tanto più alto quanto è il valore di tale numero” per questo motivo, tale “numero” prende il nome di “FORZA di INTERESSE”; è possibile renderlo in funzione di δ(𝑡) , ossia la funzione che rappresenta al variare di (t) la forza con cui, in quell’istante , si sta formando l’interesse
= ossia Forza con cui , al variare di (t) , si forma in quell’istante l’Interesse
𝑟'(𝑡0) 𝑟(𝑡0)
Forza di Interesse nei tre Regimi
➔ δ(𝑡) = = → Capitalizzazione Semplice all' aumentare di t la forza di interesse
assume valori sempre più piccoli, quindi nella capitalizzazione semplice il modo con cui si forma l'interesse dipende dal momento nel quale siamo (dipende da t) e quanto più grande è t più è debole la forza dell'interesse.
➔ δ(𝑡) = = → Capitalizzazione Composta la forza di
𝑡 *𝑙𝑛(1+𝑖)
interesse rappresenta una forza costante. Questo significa che in ogni istante l'interesse che si produce in relazione al capitale prodotto in quel momento è sempre costante in misura percentuale. Nota l’intensità istantanea di interesse =ln(1+i), è possibile esprimere la legge di capitalizzazione in regime di
capitalizzazione composta in funzione di δ. Infatti: → la legge di evoluzione del montante in regime di
capitalizzazione composta nel continuo; ed,
inoltre, è possibile ricavare anche le altre leggi finanziarie: come valore attuale e sconto
➔ δ(𝑡) = = → Capitalizzazione Commerciale forza di interesse nella
1 1−𝑑*𝑡 capitalizzazione commerciale assume la forma d/ (1 - d •t) che è una funzione crescente.
Ancora …
r(t)= 𝑒 → r(t)= espressione che permette, conoscendo la forza di interesse, di ricavare la
0
𝑡
δ𝑡
corrispondente legge di capitalizzazione
OPERAZIONI A PRONTI e A TERMINE
Considerato un titolo in Capitalizzazione integrale che scade 28/02/2018 con diritto di avere 100€ alla data di scadenza indicata, il prezzo è fissato con data 15/10/2017 a 99,585€ ed il rendimento annuo di tale titolo è 1,22% P= 99, i = 1,22% t= 28/02/2018- 15/10/2017 = 136 gg → t= 136/365 = 0,37 anni
99,585 prezzo da pagare per comprare un titolo di valore unitario,
➔ Se si parla in Operazioni di Finanziamento è detto “ Prezzo a Pronti ” v(x,y)
➔ “Prezzo a Termine” v(u,x,y) ossia il prezzo del titolo fissato in u che si deve pagare in x per avere un 1€in y
In generale, possiamo scrivere:
da cui si ricavano, per ciascuna scadenza, i tassi a pronti i(0,t) e i successivi tassi a pronti i(s,t), con
0< s< t< n. Entrambe le tipologie di tassi sono riferiti ad operazioni a pronti, ma mentre i tassi i(0,t)
sono tassi certi, i tassi i(s,t) sono riferiti a future operazioni a pronti, dunque rappresentano le
aspettative degli operatori sui tassi in epoche future.
Riscritta in funzione dei tassi a termine
La Struttura dei prezzi
Sia v(x, y,z) il prezzo definito nell’istante x, da pagare all’epoca y, per ottenere un importo unitario all’epoca z, Possiamo definire: ➢ evoluzione del prezzo la funzione v(x, y,z) , fissati x e z, al variare di y; ➢ struttura per scadenza la funzione v(x, y,z) , fissati x e y, al variare di z; ➢ evoluzione della struttura dei prezzi la funzione v(x, y,z) , fissati y e z, al variare di x. La relazione di equilibrio propria del mercato perfetto
ed ipotizzando che v(x, y) 0 possiamo scrivere
Se operiamo in un mercato perfetto e deterministico, nel quale vale l’uguaglianza tra prezzi a termine e futuri prezzi a pronti v(y,z) = v(x, y,z) i prezzi impliciti coincidono con i prezzi che effettivamente si osserveranno sul mercato all’epoca t=y:
ARBITRAGGIO e STRATEGIE
gli arbitraggisti sono operatori economici che attraverso operazioni a pronti o a termine su un mercato che presenta disallineamenti di ottenere un profitto certo immediato Date tre epoche ordinate x y z , possiamo scrivere (in ipotesi di mercato in equilibrio): v(x,z) = v(x, y)v(x, y,z) con ● v(x,z): prezzo all’epoca x di un titolo a pronti che assicura all’epoca t=z il pagamento di un capitale unitario; ● v(x,y): prezzo all’epoca x di un titolo a pronti che assicura all’epoca t=y il pagamento di un capitale unitario; ● v(x,y,z): prezzo di un titolo a termine contrattato all’epoca t=x, da pagare (riscuotere) all’epoca t=y, che assicura all’epoca t=z il pagamento di un capitale unitario. Ipotizziamo che il mercato sia in disequilibrio, ovvero che v(x,z) = v(x, y)* v(x, y,z). In particolare possiamo distinguere due casi:
- se il prezzo a pronti v(x,z) è maggiore della combinazione tra il prezzo a pronti v(x,y) e quello a termine v(x,y,z)
- se il prezzo a pronti v(x,z) è minore della combinazione tra il prezzo a pronti v(x,y) e quello a termine v(x,y,z) Strategia a) Sia, per ipotesi, → v(x,z) > v(x, y) * v(x, y,z)
Sommando i flussi per ciascuna scadenza si ottiene il profitto dell’arbitraggio posto in essere (si veda la Tabella 1). Il profitto ottenuto è sicuramente maggiore di zero per l’ipotesi di partenza, è certo, immediato e non comporta alcun esborso futuro, dunque è un profitto da arbitraggio. Strategia b)
si può, in tal caso, acquistare la quantità q=1 del titolo a pronti di prezzo v(x,z). Quindi all’epoca t=x si paga il prezzo v(x,y), per incassare il capitale unitario alla scadenza (t=z). Per pagare il capitale in uscita all’epoca t=x, è possibile finanziarsi emettendo titoli con scadenza all’epoca t=y. La quantità di titoli emessi è pari a v(x,y,z) Ci si vuole ora assicurare un’entrata all’epoca t=y pari esattamente all’impegno assunto: a tal fine si emette un titolo a termine, contrattato all’epoca t=x, con prezzo v(x,y,z), impegnandoci a pagare il capitale unitario all’epoca t=z. (operazione c’):
Riassumento (Calcolo con Excel)
Se la rendita ha le rate anticipate e variabili in progressione geometrica di ragione q 1. diventa
Per ottenere il montante di una rendita con rate variabili in progressione geometrica di ragione q possiamo procedere direttamente alla capitalizzazione delle rate, applichiamo il secondo approccio al calcolo del montante della rendita posticipata e, poi, a quella anticipata. Per la proprietà di scindibilità del regime della capitalizzazione composta, il montante delle rate rappresentate
Se invece la rendita è anticipata
Valutazione di rendite con rate variabili in progressione aritmetica ipotizziamo di voler calcolare il valore attuale di una rendita temporanea n anni, con rate in progressione aritmetica di ragione d=1 con prima rata pari ad 1
Valore attuale possiamo scrivere
Problemi sulle rendite ( La ricerca di n e la ricerca di I) La ricerca di n Consideriamo una rendita posticipata di cui conosciamo il valore attuale A, il tasso effettivo annuo di interesse di valutazione i e la rata costante R. Vogliamo determinare il numero delle rate n.Prima di poter calcolare n dobbiamo capire se la funzione che stiamo utilizzando è una funzione iniettiva e suriettiva, in altri termini se è (sempre) possibile calcolare n conoscendo R e A o meno Consideriamo la funzione, ci interessa capire l’andamento della funzione per 𝑛 ≥ 0.
Conoscendo A;
possiamo trovare, con semplici passaggi , Applicando i logaritmi ad ambo i termini e risolvendo rispetto ad n si ottiene:
È ovvio che, essendo i un tasso di interesse non può essere negativo, dunque il logaritmo al denominatore della (1) esiste ed è positivo. Il logaritmo al numeratore , esiste solo se la rata R risulta maggiore di A i. La condizione necessaria e sufficiente affinché una rendita abbia un numero di rate finito è R>Ai. Il problema non si pone se, per calcolare n conosciamo il montante della rendita , infatti l’esistenza stessa del montante ci assicura che la rendita in esame non può essere perpetua. In particolare, partendo dalla relazione che ci permette di calcolare il montante nota la rata, il tasso di valutazione e il numero delle rate.
La ricerca di i Data una operazione finanziaria è sempre possibile calcolare un (unico) tasso che renda equa l’operazione finanziaria stessa. Sia noto il valore attuale A, la durata e le rate costanti di una rendita posticipata. Vogliamo calcolare il tasso di interesse che rende equa l’operazione finanziaria di acquisto della rendita al prezzo A
Riassumendo, le proprietà della duration sono:
- Dalla definizione di duration (media delle epoche ponderate con gli importi attualizzati) segue immediatamente che – se il flusso dell’operazione finanziaria prevede n esborsi – è D n, essendo D = n se e solo se il rimborso avviene in un’unica soluzione (es. zero coupon bond)
- La duration decresce al crescere di ciascuno degli importi Rs se s è un’epoca precedente all’epoca duration, viceversa cresce (tendendo alla maturity) al crescere di Rs con s epoca successiva all’epoca duration (es.titoli a bassa cedola, cd. deep discount bonds→ La duration è funzione decrescente dei flussi precedenti l’epoca duration e del tasso con cui viene calcolata; viceversa è funzione crescente della durata dell’operazione finanziaria analizzata:
La Duration come “epoca ottima di smobilizzo”
La duration rappresenta “l’epoca ottima di smobilizzo”, ovvero l’epoca in cui, disinvestendo, si ottiene con certezza il rendimento preventivamente associato all’investimento, a prescindere dalle condizioni effettive del mercato. Se si utilizzano i tassi di mercato per calcolare la duration allora ha senso finanziario pensare ad una variazione degli stessi. Se invece utilizziamo il TIR per calcolare la durata media finanziaria non ha senso finanziario pensare a variazioni del TIR senza variazioni delle altre grandezze (il prezzo in particolare). In particolare, se i tassi di mercato aumentano il valore attuale dei flussi futuri diminuisce. In particolare, se i tassi diminuiscono il montante diminuisce. ALTRO SULLA DURATION ➔ La duration, quindi, esprime l’elasticità del prezzo (valore attuale) al tasso di interesse ➔ la duration è, a meno di una costante, la derivata prima della funzione valore attuale, dunque, per il significato stesso di derivata in un punto, ne rappresenta la pendenza ➔ la duration è un coefficiente di proporzionalità: più elevata è la duration e tanto più il prezzo del titolo è sensibile a variazioni del tasso di interesse (il progetto con duration elevata è più rischioso del progetto con duration più bassa). Usare la duration per stimare il valore della funzione valore attuale, Possiamo usare la duration per stimare il valore della funzione valore attuale a seguito di variazioni del tasso di interesse.
CONVEXITY
definita come la derivata seconda della funzione valore attuale rispetto al tasso di interesse: ci indica come l’obligazione reagisce aòe variazione del Tasso i , misura la volatilità delle obligazioni e corrisponde alla derivata seconda negativa del rapporto tra prezzo e renidimento dell’obligazione
e la formula esplicita della convexity dipende dalla tipologia di tasso utilizzato può essere riscritta, in funzione dei tassi effettivi, come:
- somma della duration (definibile come momento primo delle scadenze, ponderato con i valori attuali dei flussi) e del momento secondo –D (2) - ponderato sempre con i valori attuali dei flussi
- Tale approccio si modifica parzialmente se utilizziamo i tassi istantanei (δ) e e quindi le derivate prima e seconda, rispetto a δ,
Fomrula Convexity
La convexity può essere utilizzata anche per risolvere problemi di carattere strategico (scelta tra alternative di investimento) , Le indicazioni strategiche che ricaviamo dalla convexity sono comunque le stesse, sia che noi lavoriamo con tassi “discreti” che “continui”, infatti la convexity, essendo un indicatore variazionale del II ordine, può essere utilizzata solo a parità di duration (ricordiamo che comunque i progetti devono essere confrontabili) e a parità di TIR: la convexity indica come l’obbligazione reagisce alle variazioni del tasso
VOLATILITY misura la variazione % del prezzo di uno strumento finanziario nel corso del tempo
−
1+𝑖 *^ 𝐷(𝑖)
La duration di portafoglio
Consideriamo un ipotetico mercato composto dai seguenti titoli, tutti con valore nominale di rimborso pari a 100€:
- Titolo A: BtP con tasso cedolare iA=10%, durata 10 anni, cedole annue e prezzo PA=143,52€
- Titolo B: BtP con tasso cedolare iB=8%, durata 5 anni, cedole annue e prezzo PB=112,99€
- Titolo C: BtP con tasso cedolare iC=7,5%, durata 7 anni, cedole annue e prezzo PC=113,21€
- Titolo D: ZCB durata 10 anni e prezzo PD=58,54€ La duration media del portafoglio è pari alla media aritmetica ponderata delle duration dei singoli titoli, in cui i pesi sono dati dai prezzi dei titoli stessi. Per il nostro portafoglio dunque possiamo scrivere
Per il calcolo del rendimento medio si deve effettuare una doppia ponderazione, per tener conto sia dei diversi prezzi di acquisto dei titoli sia delle diverse durate (espresse dalla durata media finanziaria)
Come si può osservare i valori ottenuti calcolando le medie ponderate dei tassi interni di rendimento e delle duration sono molto simili a quelli ottenuti con la costruzione del meta titolo.
Duration di portafoglio e orizzonte programmato di investimento
Abbiamo visto come la duration può essere interpretata come orizzonte programmato di investimento. Quindi l’alternativa migliore in cui investire è quella con duration pari ad H, essendo H l’orizzonte programmato di investimento, con la prospettiva di disinvestire proprio in t=H.
Debito Residuo e Valore Residuo
Il debito residuo valutato all’epoca 𝑡 = ℎ rappresenta la parte di capitale mutuato non ancora restituito all’epoca h di valutazione. In questa accezione il debito residuo è calcolato prospettivamente, ovvero considerando gli impegni futuri del mutuatario nei confronti del mutuante: possiamo definire quindi il debito residuo come la somma delle quote capitali ancora da restituire.
rappresenta la valutazione prospettiva senza interessi degli impegni del mutuatario. D’altronde il mutuatario si è impegnato contrattualmente, all’epoca t=0, a pagare una successione di rate, comprensive di quota capitale e quota interesse, dunque deve risultare, all’epoca t=h 1
Quindi, come è ovvio, la valutazione prospettiva senza interessi degli impegni futuri del mutuante coincide con la valutazione con interessi Si può interpretare il debito residuo anche in senso retrospettivo, ovvero come la differenza tra il capitale mutuato e la somma di quanto già restituito. Se si vuole effettuare tale valutazione retrospettiva senza tener conto del tasso di interesse, si può scrivere
Il piano di ammortamento “tedesco” è caratterizzato da quote interessi pagate anticipatamente, mantenendo il pagamento delle quote capitali posticipate. Il numero totale delle rate è, quindi, pari ad n+1. La quota interessi relativa al periodo (ℎ − 1, ℎ), pagata all’inizio del periodo di riferimento è il valore attuale della stessa che si sarebbe pagata in modalità posticipata:
Calcoliamo il debito residuo:
Un generico ammortamento tedesco può essere a “quote capitali costanti” o a “rate (pressoché) costanti” Ammortamento tedesco a quote capitali costanti→ quote capitali e il debito residuo è esattamente come nell’ammortamento italiano. Le rate (riferite alle epoche t, con t=1, 2, ..,n, non la rata pagata in t=0, composta dalla sola quota interessi) decresce in progressione aritmetica di ragione -d(A/n).
AMMORTAMENTO AMERICANO detto anche ammortamento “a due tassi” prevede il pagamento di
La quota interessi versata alla banca, calcolati con il tasso di remunerazione La quota di fondo, versata separatamente in un fondo il cui scopo è quello di costituire alla scadenza del prestito proprio il capitale S preso a prestito. Il tasso del fondo è definito tasso di costituzione Sfrutta, in parallelo, il pagamento della sola quota interessi, mentre per la componente del capitale da restituire, si procede al versamento in un piano di accumulo
COSTITUZIONE DI CAPITALE
La costituzione di capitale è un’operazione finanziaria mediante la quale un soggetto all’epoca t0 decide di versare alle scadenze t s (con s =0, 1, …, n) la successione di capitali Rs al fine di poter disporre di un capitale M all’epoca finale tn. Per la condizione di equità dell’operazione finanziaria descritta deve risultare:
Le rate di costituzione possono essere sia anticipate (allora la prima rata coincide con l’istante in cui si decide di porre in essere l’operazione finanziaria stessa) che posticipate (in questo caso il capitale M è costituito in concomitanza con l’ultimo versamento) Nelle operazioni di costituzione di capitale vengono esplicitate, per le diverse epoche, le diverse componenti finanziarie che contribuiscono alla formazione del capitale finale, pervenendo ad un vero e proprio “piano di costituzione”. Il piano di costituzione è composto dalle rate (Rt), quote capitali (Ct), quote interessi (It), fondo accumulato fino all’epoca considerata (Ft) e capitale ancora da accumulare (CAt). Le relazioni intercorrenti tra tali elementi sono esplicitate nella Tabella
TIR e VAN
TIR “Tasso Interno Rendimento” di un investimento,
Matematicamente il TIR è definito come il tasso di attualizzazione i che rende il valore attuale netto (VAN) di una serie di flussi di cassa pari a zero, posto che questo tasso i esista nell'intervallo (-1,+∞) e che sia unico. Per cui, il TIR si calcola risolvendo l'equazione del VAN con i tale che il valore del VAN sia pari a zero.
t : scadenze temporali; CFt : flusso finanziario (positivo o negativo) al tempo t ; Il criterio del TIR ha il vantaggio di non dipendere dalle valutazioni o previsioni dell'operatore (se non per quanto riguarda le singole somme di cui è composta l'operazione, non sempre prevedibili con certezza nella pratica di un'operazione) → Criterio Oggettivo ❗non rappresenta uno strumento idoneo, di per sé, a misurare l'effettiva desiderabilità di un investimento, in quanto non considera il confronto tra progetti in termini di valore attuale netto creato, ma solo il rendimento percentuale
VAN “Valore Attuale Netto” di un investimento determina in buona sostanza il valore ad oggi dei redditi che
un investimento potrebbe generare in futuro. VAN tiene conto dei costi opportunità (cioè le mancate entrate derivanti dall'uso alternativo delle risorse). Presuppone l'esistenza del mercato perfetto nel quale gli azionisti abbiano libero accesso a un mercato finanziario efficiente in modo da poter calcolare il costo opportunità del capitale. È un criterio soggettivo poiché l’operatore che deve scegliere il tasso i con cui valutare i propri progetti
