Matematica finanziaria , Dispense di Matematica Finanziaria

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Matematica

Finanziaria

II EDIZIONE

La matematica finanziaria è quella parte della matematica che viene applicata allo studio dei problemi concernenti la finanza. Essa interessa quella branca della matematica applicata che si occupa di operazioni economico-finanziarie.

Per operazioni economico-finanziarie (indicate con x l t ) si intendono tutte le operazioni economiche che hanno per oggetto l'impiego di uno o più capitali monetari o riconducibili ad una valutazione monetaria. Quindi perché un’operazione finanziaria sia significativa deve avere due caratteristiche:

• Gli importi monetari.
• E uno scadenzario temporale, ovvero una sequenza di tempi nei quali si registrano gli scambi monetari.

x l t = {𝒙𝟎 …. 𝒙𝟏 … … 𝒙𝒏}^ l {𝒕𝟎 …. 𝒕𝟏 … … 𝒕𝒏}

Gli importi vengono indicati con x mentre i tempi con t. Come si può vedere perché un’operazione finanziaria sia valida vi deve essere una perfetta concordanza con i tempi e gli importi, ovvero ad ogni importo deve corrispondere un tempo e ad ogni tempo un importo.

Andiamo ora a parlare degli elementi inscindibili di qualsiasi operazione finanziaria:

• L’interesse: il compenso spettante a colui che concede in prestito un capitale rinunciando per un certo periodo di tempo al suo utilizzo.
• Il capitale iniziale: sta per il capitale prestato all’istante iniziale.
• Tasso d’interesse: la percentuale del capitale iniziale che va pagata come interesse.

La somma del capitale e dell’interesse da luogo al montante. Il montante può essere definito come l’importo spettante a colui che ha prestato il denaro alla fine dell’operazione.

Quindi l’interesse è dato:

I = M – C

Il tasso d’interesse è invece^1 :

i =

𝐈

𝐂 =^

𝐌−𝐂 𝐂

(^1) Non si faccia confusione tra TASSO d’interesse e interesse. Il primo è una percentuale, il secondo invece è la differenza tra montante e capitale.

LEGGE DEGLI INTERESSI SEMPLICI

Si immagini di avere la seguente sequenza di epoche e si immagini che tra un periodo e l’altro si maturi sempre lo stesso interesse I

In questa particolare condizione, detta legge degli interessi semplici, il fattore di capitalizzazione relativo al tempo s-t è dato da:

r(s,t) = 1 + (t-s)^2 i

Esercizio: Calcolare M e I generato da un C=2500 dopo otto mesi con iA (tasso d’interesse annuale) = 12.5%

Il montante è dato da:

M = C r(otto mesi)

È necessario che i tassi d’interesse e i tempi siano espressi tutti nello stesso tempo. Quindi otto mesi, quanti anni sono? Sono uguali a 8/

Quindi il montante sarà dato da:

M = 2500 (1 + 0.66*0.125)

= 2706.

Esercizio: Calcolare il tempo necessario se iA = 8.25% affinché un capitale di 2000 produca un montante di 3000

M = C∙r

3000 = 2000(1 + t0.0825)

3000 = 2000 + 165t

(^2) Con (t – s) si intende la durata dell’operazione. Infatti, dire ad esempio che un’operazione finanziaria inizia in 0 e finisce in 10, vuol dire che dura 10 – 0, per l’appunto istante finale meno istante iniziale. Inoltre si faccia notare che una legge finanziaria necessita unicamente di un fattore perché possa essere calcolato qualsiasi valore: il fattore di capitalizzazione. Infatti con esso si può calcolare il montante generato da un determinato capitale in un periodo di tempo semplicemente con un prodotto, oppure passare dal montante al capitale utilizzato facendo ricorso al fattore di sconto, che ricordiamo è semplicemente il reciproco del fattore di capitalizzazione.

I (^) I I I

0 1 2 3 k n

T =6.06 anni^3

TASSI EQUIVALENTI NEL REGIME DEGLI INTERESSI SEMPLICI

Si andrà qui a studiare come passare da un tasso d’interesse espresso su un determinato tempo, ad esempio da un tasso d’interesse annuale a quello equivalente mensile, nel regime degli interessi semplici.

Si potrebbe infatti pensare che il 12% annuale sia equivalente all’ 1% mensile. Non è vero perché non si tratta di processi lineari, con l’unica eccezione nel regime degli interessi semplici.

Si pensi di passare da anni a mesi, ovvero dal tasso d’interesse annuale iA a quello mensile iM. Si ponga che la durata dell’operazione finanziaria sia 1 anno. Da qui:

1 ANNO = 12 MESI

Se si lavora nel regime degli interessi semplici allora:

iM = 1 12 iA

Se invece si avesse avuto a disposizione il tasso d’interesse mensile e si volesse passare ad anni allora:

iA = 12*iM

Si vadano ora ad elencare le principali proprietà delle operazioni finanziarie.

Uniformità nel tempo

“Una legge di valutazione si dice uniforme nel tempo se r(s,t) = r(s + Δ, t + Δ) con Δ > 0”

Se incrementiamo i due istanti di uno stesso quantitativo (Δ) le cose non cambiano in una condizione di uniformità del tempo. Ciò vuol dire che il montante non dipende dall’istante iniziale e finale ma dalla DURATA.

La legge degli interessi semplici verificano questa proprietà, essa è infatti uniforme nel tempo:

r(s,t) = 1 + (t-s)i = r(s + Δ, t + Δ)

r(s + Δ, t + Δ) = 1 + [(t + Δ) – (s + Δ)]i

= 1 + (t-s)i

Infatti I fattori di capitalizzazione, purché abbiano la stessa durata, sono uguali.

(^3) Specificare sempre il tempo.

LEGGE DEGLI INTERESSI COMPOSTI

Si ipotizzi in questo caso un’operazione finanziaria a n tempi che per epoche successive (1- 2, 2-3, 3-4 ad esempio e non 2-4) il tasso d’interesse (i) e non l’interesse (I) rimane costante.

Andiamo a vedere ora il fattore di capitalizzazione (r) in questa condizione di mercato:

R(t) = (𝟏 + 𝐢) 𝐭−𝐬

Ovvero esso è uguale alla somma di uno più il tasso d’interesse, tutto elevato alla durata dell’operazione presa in considerazione, che ripetiamo è data da istante finale meno istante iniziale.

Fattore di sconto:

v =

1 (1+i)t−s

Esercizio: Calcola I e M generati in 3 anni e 8 mesi da un C = 3500 e tasso d’interesse annuale iA = 13%

Prima di tutto si passi tutta la durata in anni. Otto mesi sono uguali a 8/12 di anno. Quindi:

3 + 8/12 = 3.66 anni

M = 3500(1 + 0.13)3.66^ = 5478.

I = M – C

I = 5478.84 – 3500 = 1978.

Esercizio: Calcolare il capitale da investire per produrre in tre anni al iA = 21% M = 12500

12500 = C(1 + 0.21)^3

C = 7055.

Calcolare il tempo in cui un capitale C = 8000 produce I = 800 con 𝑖= 17%

8800 = 8000(1 + 0.17) t^ =

1.1 = 1.17t

Per trovare t, che sta all’esponente si deve fare ricorso ai logaritmi, ricordando che il logaritmo è l’esponente da affibbiare alla base per avere l’argomento.

Log1.1 = log1.17t

Per la proprietà dei logaritmi se l’argomento è elevato ad un esponente possiamo scrivere:

log1.1 = t * log1.

t = log1. log1.17 = 0.61 anni

Si ricordi di specificare sempre il tempo.

Esercizio: Si calcoli iA per cui un capitale raddoppi in due anni:

2C = C(1 + i)^2

2 = (1 + i)^2

√2 = 1 + i

i = (^) √2 – 1

TASSI EQUIVALENTI NEL REGIME DEGLI INTERESSI COMPOSTI

Si passi da un tasso espresso in un determinato tempo, ad esempio in anni, al tasso equivalente in mesi, trovandoci nel regime degli interessi composti:

1 ANNO = 12 MESI

iM = (1 + iA)

1 (^12) - 1

Se si passa quindi da un tempo più grande a un tempo più piccolo (ad esempio, anni – bimestri) allora bisogna elevare la somma dell’interesse espresso nell’unità di tempo più grande e di un’unità all’esponente dato da 1 fratto il numero di tempi più piccoli presenti in quello più grande.

Se si fosse voluto passare da tasso annuale a trimestrale si sarebbe proceduto in questo modo.

In un anno esistono 4 trimestri quindi:

iTrimestrale = (1 + iA)

1 (^4) - 1

Se si volesse passare dal tasso d’interesse espresso nell’unità più piccola a quella maggiore, ad esempio dal tasso bimestrale a quello annuale, si ragiona al contrario. Per fare un anno sono necessari 6 bimestri quindi:

e0.2(t−s)

Ragioniamo dunque su questo valore e verifichiamo le condizioni

1. Necessariamente questa funzione è maggiore di 0, in quanto è una funzione esponenziale e di per sé sempre positiva (è lo stesso anche per la radice qualora dovesse uscire ad un compito).
2. Verifichiamo la decrescenza rispetto alla scadenza:

v( 𝐬𝟏 ,t) > v( 𝐬𝟐 ,t)

e0.2(t−s^1 )^ > e0.2(t−s^2 )

Visto che le potenze hanno la stessa base possono essere tralasciate e si ragiona sugli esponenti:

0.2(t, s 1 ) > 0.2(t- s 2 )

t - s 1 > t - s 2

s 1 < s 2

La proprietà è verificata

3. e0.2(t−t)^ = e^0 = 1

Poiché sono verificate le tre condizioni, si può dire che questa è una legge finanziaria, e solo per questo motivo posso andare a verificare le proprietà di uniformità e scindibilità:

Uniformità:

e0.2(t−s)^ = e0.2[(t+Δ)−(s+Δ)]

e0.2(t−s)^ = e0.2(t−s)

La legge è uniforme

Scindibilità:

e0.2(T−s)^ ∙ e0.2(t−T)

Stessa base, si sommano gli esponenti.

e0.2(T−s+t−T)^ = e0.2(t−s)

La legge è quindi scindibile.

TITOLI A CEDOLA NULLA E TITOLI A CEDOLA FISSA

Presentiamo ora due delle operazioni finanziarie più note, i titoli a cedola nulla (TCN) e i titoli a cedola fissa (TCF).

Vengono detti titoli a cedola nulla quei titoli che garantiscono, dopo il giusto corrispettivo, il pagamento di una somma futura fissata (C) detta valore nominale.

È naturale che in questo caso il prezzo deve essere necessariamente minore del valore nominale, altrimenti nessuno avrebbe interesse ad acquistarlo.

Vengono detti titolo a cedola fissa quei titoli che a fronte di un pagamento iniziale, ad intervalli regolari staccano un pagamento detto cedola, e alla scadenza versano il capitale prestato in partenza più l’ultima cedola.

-P I I I + C

I titoli a cedola fissa possono essere emessi alla pari (caso in cui prezzo e valore nominale sono uguali), sotto la pari (prezzo minore del valore nominale) o sopra la pari (prezzo superiore del valore nominale).

In merito ai titoli a cedola fissa bisogna introdurre i concetti di tasso nominale e tasso cedolare. Questo tipo di tassi, non hanno niente a che fare con i tassi d’interesse che vedremo nelle operazioni finanziarie, ma vengono presi in considerazione semplicemente per calcolare l’ammontare della cedola staccata dal titolo.

Tasso cedolare: (^) 𝐂𝐈

Tasso nominale: 𝐧𝐈 𝐂 (con n si intende il numero di cedole staccate in un anno. Se ad esempio le cedole sono trimestrali e si dispone del tasso nominale annuo, n = 4)

• P C

Rendita posticipata:

R R

Quindi come vediamo per ogni periodo, ad esempio 0,1 la rata si manifesta alla fine del periodo stesso.

Rendita anticipata:

R R

Qui invece avviene esattamente l’opposto. Per ogni periodo la rata si manifesta all’inizio dello stesso.

Non si faccia confusione tra rendita posticipata e rendita differita. Infatti questi due aggettivi spiegano due caratteristiche diverse della rendita cui si riferiscono. La prima indica se la rata viene riscossa all’inizio o alla fine DEL PERIODO! Mentre la seconda indica che dal momento della stipula del contratto all’inizio dei pagamenti passa un certo tempo t.

Sono due caratteristiche che non sono uguali tra loro. Tanto è vero che una rendita può essere posticipata differita. Vorrebbe dire che questa rendita nasce in t = 0 e prima che incomincino i pagamenti passerà un tempo t, ad esempio 1 anno. Se le rate sono mensili, ad esempio, poiché è posticipata, le rate saranno riscosse alla fine del mese.

VALORE ATTUALE

Le rendite sono naturalmente legate al concetto di valore attuale.

Per valore attuale si intende il valore oggi di una serie di pagamenti che avvengono in futuro.

Ad esempio, so che fra a decorrere dall’anno prossimo un contratto di locazione mi farà avere 1000 euro ogni mese per tre anni. Sarà per me di grande interesse e importanza, per programmare determinate decisioni sapere qual è il valore oggi di questa serie di pagamenti.

Questo valore non è affatto dato dalla somma dei pagamenti previsti dal contratto, poiché sono pagamenti futuri. Per passare dal futuro al presente sarà necessari scontarli per un dovuto tasso d’interesse.

Per calcolare il valore attuale di una rendita è necessario che si conoscano le sue caratteristiche, se è immediata o differita, se è posticipata o immediata, il numero di rate che la compongono, e il tasso d’interesse applicato.

A seconda delle diverse caratteristiche esistono rispettive formule. Andiamo ad elencarle.

RENDITA IMMEDIATA POSTICIPATA

R R R R

0 1 2 …. m -1 m

Come abbiamo detto calcolare il valore attuale consiste nello scontare tutti gli importi per il periodo che li separa dal t = 0 che consideriamo il presente, solitamente.

Una volta scontati tutti gli importi, nel caso preciso di una rendita immediata posticipata, si arriva alla formula

VA = R

v(1−vn) 1−v

Con R intendiamo la rata, con v il fattore di sconto che ricordiamo è dato, avendo il tasso

d’interesse, da 1−v v , e con n il numero di rate.

scontare tutti gli importi per i tempi che li separano dal t = 0 e quindi anche per il periodo 0 - t.

Anche qui per calcolare il montante ad una determinata epoca basti moltiplicare il valore attuale per il fattore di capitalizzazione relativo al periodo interessato.

M = VA * (1 + i)t−s+n

Si è aggiunto N rispetto alla formula precedente, in quanto devo considerare anche il tempo di differimento presente nella rendita. Se ad esempio, abbiamo una rendita differita di un anno con rate mensili posticipate, se volessi calcolare il montante al secondo mese devo capitalizzare per un periodo di 1 anno e due mesi, ovvero per un periodo che comprende il differimento e il numero della rata che mi interessa.

RENDITA IMMEDIATA ANTICIPATA

VA =

1 v R

RENDITA IMMEDIATA/POSTICIPATA PERPETUA

In questo caso la rendita ha infinite rate quindi n = ∞

In questo particolare caso il valore attuale si calcoli nel seguente modo:

VA = R

1 i

In questo caso il montante finale non può essere calcolato per ovvie ragioni, in quanto non c’è una fine. Ma può essere calcolato per determinati periodi definiti.

M = VA * (1 + i)t−s

Esercizio: Calcolare VA e M a 7 anni di una rendita immediata posticipata con rate semestrali di 1200€ di durata 15 anni con iA = 12%

n = 30 rate

Siccome le rate sono espresse semestralmente bisogna passare il tasso d’interesse annuale al tasso semestrale. Poiché in un anno ci sono 2 semestri avremo:

isemestrale = (1 + 0.12)

1 (^2) – 1 =

Quando una potenza ha all’esponente una frazione, il denominatore esprime il tipo di radice. Qui, avendo ½ si deve fare la radice quadrata. Se fosse stato 1/3 la radice cubica, ¼ la radice quarta e così via.

isemestrale = √1.012 -1 = 5.8%

Calcoliamo ora l’a-figurato 30 (le rate) al tasso d’interesse del 5.8%

a¬n;i = R 1−(1+i)−n i

a¬30;0.058 = 1−(1+0.058)− 0.058 = 14.

VA = 1200*14.06 = 16872

Per trovare ore il montante a 7 anni è necessario moltiplicare il valore attuale per il fattore di capitalizzazione r per il tempo 0 semestri 14 semestri (bisogna portare tutti i tempi alla stessa unità, visto che le rate sono semestrali, tutto in semestri).

M = VA * r(0,14)

M = 16872 * (1 + 0.058)^14 = 37150

Esercizio: Versamenti mensili, posticipati e costanti al iA= 14%. In otto anni si vuole avere M = 15000

Determinare la rata.

Passare dal tasso d’interesse annuale a quello mensile

im = (1 + 0.14)

1 (^12) - 1 = 1.10%

M = VA * (1 + i)t−s

Poiché il tempo iniziale è 0 e si vuole sapere il montante a otto anni che corrisponde a 96 mesi, poiché la durata è data dall’istante finale meno quello finale avremo:

15000 = R 1−(1+0.011)^96 0.011 ∙^ (1 + 0.011)

96

R = 88,

Si faccia sempre attenzione a cambiare i tassi nell’unità espressa dalla rata.

VA = (1 + 0.009)−240500€ a¬240;0.9% * (1 + 0.009)^240

Poniamo ora l’uguaglianza tra il montante della prima parte della rendita e il valore attuale della seconda rendita di rata 500€ all’epoca 20 anni.

R * a¬240;0.9% * (1 + 0.009)^240 = 500€ a¬240;0.9%

R =

500 (1+0.009)^240

Esercizio: Un C = 8500 è depositato in un fondo che rende un tasso d’interesse iA = 10.5%. Si preleva da questo fondo 2000€€ al termine di ogni anno. Dopo quanto tempo si esaurisce il capitale di partenza?

Se deve ragionare sul valore attuale 8500€. Questo valore deve essere uguale al valore attuale di una rendita immediata posticipata di rata 200€ con durata incognita n.

8500 = 2000 * a¬n;10.5%

8500

2000 =^

1− (1+0.105)−n

0.5537 = (1.105)−n

Per trovare n dobbiamo usare i logaritmi:

log(0.5537) = -n * log(1.105)

-n =

log(0.5537) log(1.105)

n = 5.92 rate

Ora 5.92 non significa niente, non esiste un numero di rate con la virgola. È necessario che il numero delle rate sia sempre un numero intero positivo.

Non si può concludere l’esercizio in questo modo. Bisogna decidere se porre n=6 o n=5 e ricalcolare la rata dopo aver scelto n.

Se poniamo n=5 la rata sarà maggiore di 2000€

Se poniamo n=6 la rata sarà minore di 2000€

8500 = R a¬8;10.5% > 2000

8500 = R a¬6;10.5% < 2000

Esercizio: Per l’acquisto di un’auto che costa 21000 viene consegnato un modello precedente valutato 1750. In alternativa al pagamento della differenza in contanti, si procede al saldo mediante 18 rate bimestrali posticipate. A quanto ammonta la rata se iA = 21% ammesso che non si possono pagare rate superiori ai 1200 bimestrali?

Passiamo dal tasso annuale a quello bimestrale, ragionando suk fatto che in un anno ci sono 6 bimestri quindi:

iB = (1 + 0.21)

1

R * a¬18;0.0323 = 19250

R

1−(1+0.323)−

R * 13.49 = 19250

R = 1427€

La traccia ci dice che però non possiamo pagare più di 1200€ quindi poniamo R = 1200 e cerchiamo il numero di rate.

19250 = 1200 a¬n;3.23%

1−(1+0.032)−n

0.513 = 1 - (1 + 0.032)−n

Log(0.487) = -n * log(1.032)

N = 22.

Abbiamo però detto che il numero di rate deve essere sempre un numero intero. Poiché se ponessimo n=22 la rata aumenterebbe e l’individuo non può permettersi una rata maggiore, poniamo n=

19250 = R

1−(1+0.032)−

R = 1195.