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È possibile realizzare un arbitraggio se, mettendo assieme varie operazioni, otteniamo l’operazione complessiva che presenta solo entrate, ovvero per ogni è l’insieme degli strumenti, degli intermediari, dei mercati e delle relative regole, attraverso cui si realizza la movimentazione monetaria e il trasferimento del rischio tra diversi agenti. La principale funzione è quella di consentire il flusso di denaro dalle unità in surplus , ovvero che dispongono più di quanto riescono a spendere, a quelle in deficit , ovvero che spendono più di quanto dispongono. Tali trasferimenti possono avvenire tramite varie tipologie di strumenti, tra cui la stipula di contratti e la compravendita di titoli. I contratti finanziari sono accordi tramite i quali due o più controparti si impegnano a scambiarsi una serie di importi a una serie di date convenute. I contratti finanziari contingenti sono quelli nei quali sia gli importi che le date sono specificate nel contratto o sono fissati i criteri in base ai quali importi e tempi saranno determinati da eventi futuri. Il titolo finanziario è un contratto che prevede la possibilità di cambiare possessore nel tempo: generalmente per la controparte che, dopo un pagamento iniziale, si configura come creditrice nei confronti dell’altra. Un titolo finanziario, dunque, conferisce al suo possessore il diritto, negoziabile in appositi mercati, a ricevere introiti futuri (es. un’azione equivale al possesso di una quota societaria, mentre un’obbligazione dà diritto a ottenere introiti fissi legati ai tassi di interessi futuri). Le unità in surplus possono posticipare la disponibilità di denaro tramite operazioni di investimento , in cui a una o più uscite seguono una o più entrate. Viceversa, le unità in deficit possono anticipare tale disponibilità attraverso operazioni di finanziamento , in cui a una o più entrate seguono una o più uscite. vettore o scadenzario che indica le scadenze in cui gli importi saranno scambiati La matematica finanziaria è lo studio delle operazioni finanziarie , condotto con metodi matematici, sia in ambito deterministico che aleatorio. Lo scopo principale della matematica finanziaria è dare risposte sensate ai 3 problemi fondamentali. sono flussi di importi in entrata e in uscita, ognuno associato a una certa scadenza. Esempio : vettore che descrive gli importi , espressi in valuta di riferimento: i segni positivi corrispondono agli introiti , quelli negativi agli esborsi in un’operazione di investimento le uscite precedono all’entrate in un’operazione di finanziamento le entrate precedono le uscite un’ operazione a pronti (o spot ) si ha quando il primo importo viene scambiato in data odierna, ovvero se un’ operazione a termine (o forward ) si ha quando in data odierna vengono fissati gli importi dell’operazione, ma il primo scambio avviene in data futura, ovvero se
MATEMATICA FINANZIARIA
I REGIM FINANZIARI
CONTRATTI ,^ TITOLI^ E OPERAZIONI FINANZIARIE
Il (^) Sistema FINANZIARIO INVESTIMENTI (^) e FINANZIAMENTI Le (^) Operazioni FINANZIARIE x /t =^ (1. (^000) ,^ - (^400) ,^ - (^400) ,^ -^ 400)/(0, (^1) , (^2) ,^ 3)
- 000 - (^400) I -^400 -^400
! 1 2 I
x = (Xo (^) , X1, ..., Xu) += (^) (to (^) , tr, (^) ..., tul x -^ (- ....,^ - +..... +
x -^ (^ +,..., +, - ....,
to = 0 to O Xu) M
Esempio : e unendo l’operazione di finanziamento con l’operazione di investimento si ha arbitraggio le operazioni certe hanno importi e scadenze determinati le operazioni aleatorie hanno una componente di aleatorietà legata agli importi e/o alle scadenze Le operazioni finanziarie elementari prevedono un solo introito e un solo esborso. operazione di investimento elementare a pronti esborso iniziale introito alla scadenza T scadenza Secondo il postulato del rendimento del denaro , in condizioni di certezza, il capitale rimborsato è maggiore del capitale iniziale ( ). operazione di finanziamento elementare a pronti (^) introito al tempo 0 esborso alla scadenza T scadenza capitale iniziale , che nel corso del tempo cresce e diventa montante interesse fattore di capitalizzazione (o fattore montante ) misura il montante di ogni Euro investito capitale finale (o valore nominale ), che riportata indietro al tempo 0 e diventa valore attuale sconto fattore di attualizzazione misura il valore attuale di ogni Euro alla scadenza perché lo sconto coincide con l’interesse ( D = I ) Definizioni sono: dato il capitale iniziale, qual è il corretto montante in T? dato il capitale finale, qual è il corretto valore attuale in 0? date due o più operazioni di investimento o di finanziamento quale è preferibile?
x(t =^ (1. 000 ,^ -^600 ,^ -^ 600/(0, 1 ,^ 2)^ yls =^ (^ -^1. 000 ,^700 ,^ 700)/(0^ , 1 ,^ 2)
x(ty/s =^ (0^ ,^100 ,^ 100)/(0^ ,^1 ,^ 2)^ =^ (100^ ,^ 100)/(1, 2)
OPERAZIONI (^) FINANZIARIE ELEMENTARi Co > 0 =
x(t =^ (^ - C , ()/(0 ,^ T)^ - Go CT^ CT^ =
g I^ T =
C Co Co = x(t = (^ Co^ -^ CT
,^ -^ C+)/(0^ ,^ T) b I CT^ =
T = Co =^ M^ =^ C + = I = = M - (^) Co > 0 M = =^1 C+ =^ V =^ Co = D =^ =^ C+ -^ Vo V =^ =^ CTV^21 v =^1 u
I problemi fondamentali
- (^) CAPITALIZZAZIONE Co^? G T
- ATTUALIZZAZIONE (^)? (^) C+ G T
- SCELTA
Il fattore di attualizzazione è dato da ed è una funzione strettamente decrescente per dunque (^) se Il valore attuale di disponibile al tempo t è dato da Esempio : Il tasso di interesse è espresso implicitamente su base annua , per equivalere temporalmente i tassi di interesse si fa: dove k = frazione di anno considerata (es. = 2 se calcoliamo il semestre, = 4 se calcoliamo il quadrimestre, = 12 se calcoliamo il mese) Esempio : Un’operazione finanziaria è descritta da una coppia x/d dove x è il vettore degli importi e d è il vettore delle date. Ogni data , cui è associato l’importo , può essere descritta in formato giorno-mese-anno. Passare da una rappresentazione in termini di date ( x/d ) a una in termini di tempi ( x/t ) permette di poter applicare le leggi finanziarie per calcolare in modo preciso l’interesse, il montante o il valore attuale, oppure per determinare il rendimento dell’operazione. Le convenzioni per il calcolo dei giorni permettono di quantificare la distanza temporale tra due date: dove g = numero di giorni fra le due date G = numero di giorni totali nell’anno (= Act per Actual = effettivo) o convenzione dell’anno civile g = numero di giorni effettivi fra le due date (contando l’ultimo ma non il primo) g = numero di giorni effettivi fra le due date, calcolato come se tutti i mesi avessero 30 giorni g = numero di giorni effettivi fra le due date g = numero di giorni effettivi fra le due date Se le date appartengono a più anni diversi, si scompone il periodo in blocchi appartenenti allo stesso anno. La (^) legge di (^) Attualizzazione v(+)^ =^1 t = 0 1 + (^) jt m(+) - + c (^) V(+) -> 0 t - (^) + c C+ V^ = 1 +^ C + jt D = (^) C + IT 1 + (^) jT
j =^8 %^ V^ =^?^ C^ +=^300 +^ =^1 anno^ e^2 mesi
V =^ C^ +^ =^300 =^274 , 39 1 + (^) jt 1 +^0. 08. 1214 I tassi (^) su altre Basi Temporali
j(k) =^ c K
j =^9 %^ j(12)^ =^0 , 1209 =^0.^0075 %
Le (^) convenzioni per il^ calcolo^ dei^ GIORNI du (^) Xu A+ (dr (^) , dz) =^ g^ tu =^ At^ (doggi (^) , du)
- (^) CONVENZIONE Act/Act At = g (^365) a 366
- CONVENZIONE^ 30/360 At =^ & 360 (^3). CONVENZIONE Act/360 (^) At = & 360
- CONVENZIONE^ Act/365^ At^ =^365 &
Nel regime di interesse anticipato si conviene che lo sconto associato a ogni euro a scadenza sia proporzionale al tempo trascorso, ovvero che il fattore di attualizzazione, al variare di t , sia dato da Essendo 1 - v(1) = 1 - (1 - d) = d , la costante d > 0 coincide con il tasso di sconto effettivo della legge. L’ interesse anticipato fa riferimento al fattore che la somma dt è decurtata dal capitale iniziale: dt corrisponde agli interessi prodotti dalla somma iniziale 1 - dt. Il valore attuale di , disponibile al tempo t , è dato da è proporzionale al tempo e al capitale finale Questa legge può essere utilizzato solo se v(t) > 0 , ovvero solo per t < 1/d Il fattore di capitalizzazione è una funzione strettamente crescente per Il montante al tempo t di è dato da Il regime di interesse anticipato è utilizzato solo per scadenze non troppo lunghe. Quando il prestito arriva alla scadenza, gli interessi maturati dal creditore possono essere:
- liquidati
- reinvestiti in un prestito analogo al precedente, quindi vengono capitalizzati (= diventano parte del capitale) Se oggi investiamo 1 euro in regime di interesse semplice con tasso semplice j e dopo 1 anno avviene una capitalizzazione, il montante dopo 2 anni sarà : Al momento della capitalizzazione il capitale su cui calcolare gli interessi futuri diventa m(1) = 1 + j e il computo dei tempi viene azzerato, ovvero T = 1 è il nuovo istante iniziale. Per effetto della capitalizzazione intermedia, il montante ottenuto è maggiore rispetto a quello che si avrebbe in regime di interesse semplice: è dovuto agli interessi sugli interessi, ovvero agli interessi composti Se la capitalizzazione avviene alla fine di ogni anno si ha: con la crescita del montante è esponenziale La disuguaglianza di Bernoulli , infatti, afferma che con (^2). REGIME (^) diINTERESSE (^) ANTICIPATOCo REGIMEdi SCONTO COMMERCIALE La (^) legge di (^) Attualizzazione v(t) = 1 -^ dt Ct V((t^ ,^ t)^ =^ C^ + (1 -^ dt)^ v(T) D = C+ d+ (^1)
- d T La (^) legge diCapitalizzazione m(+) = 1 0 = + =^1 1 - dt d Co M = Co 1 -^ dt I = Co dT 1 - dT I (^) tassi su altre Basi Temporali d'k) (^) =^ d La (^) Capitalizzazione (^) degliINTERESSi La (^) Capitalizzazione ANNUALE
m(z) =^ (1 + j). (1 +^ j) =^ (1 + j)
(1 + j)2 = j2 + 2j + 1)^1 +^ 2j j> o
m(u) = (1 +^ j)r T=^ M
(1 +j)u > 1 + uj u = 2
Il montante limite , risultato di una capitalizzazione continua, è funzione esponenziale di T : definisce il regime esponenziale (o regime dell’interesse composto continuamente ). Il fattore montante nel regime esponenziale è dato da: dove tasso logaritmico (o tasso di interesse nominale convertibile infinite volte o tasso istantaneo o intensità istantanea di interesse ) Il montante al tempo t del capitale iniziale è dato da: Dato che il tasso di interesse effettivo è e si ha il fattore montante può esser espresso anche in termini del tasso i (a patto che e siano legati dalla relazione sopra): dove i = tasso composto (o tasso di interesse effettivo ) Essendo , per ogni , il tasso composto è sempre maggiore del tasso logaritmico Quindi solo se Esempio : regime esponenziale Invece con e si ha Il fattore di attualizzazione nel regime esponenziale è dato da: m è una funzione esponenziale crescente , mentre v è una funzione esponenziale decrescente : mentre Il valore attuale di , disponibile al tempo t , è dato da Esempio : regime esponenziale Il tasso logaritmico espresso sulla base temporale si ottiene da da cui Se si ha Il tasso composto espresso sulla base temporale deve valere se Esempio : Esempio : Esempio : La legge di^ Capitalizzazione m( + ) =^ edt^ S = Ca M (Co (^) , +) =^ Coedt
i = ed - 1 d = log(1+ i) edt = etlog(1+^ i)^ = elog[(1+i)+^ )^ = (1+ i) +
i S m(+)^ =^ (1^ + i) + ex > 1 + X * + 0 is S m(+ ) =^ ebt^ =^ (1 + i)+^ edt^ =^ (1 + i) t 8 =^10 % M =^? +^ =^ 18 m Co =^1. 000 M = Co.^ edt^ =^1. 000.^29 =^1. (^161) , 83
i = ed - 1 = e- 1 = 10 , 517 % M = Co. (1 + i)+^ = 1. 000. (1 + 0 , 10517) = 1. 161 , 23
i =^10 %
f = log(1+ i) = log(1 + 0 ,^ 1)^ =^9 , 531 % M^ =^1. 000. (1 + 0 ,^ 1)^ =^1. 000 ·^2009531 =^1. 153 , 59
La legge di (^) Attualizzazione v ( + ) = e-^ dt^ =^ (1 +^ i)^7 Cimm(t)-ho^ fin t (^) ->^ Gv(t)^ =>^0 Ct V =^ C+ e^ -^ bt^ =^ (+ (1 +^ i)-t 8 = 10 % (^) (+ = 400 t = (^) zus V= (^400) e!^ = (^374) , 20
i = ea - 1 = 10 , 517 % V = 400(1 + 0. 1051712 = 374 , 20
Tassi (^) su altre basi Temporali (^61) T edt = (^) ed'E S' = (^) S[ T = 1 f(k) = 6 R il I (^) (1 + i) = (1 + i' (^) ( + i)+^ E^ = (+ i i = (1 + (^) i) T - 1 i(k) = (^) (1+ i) - (^1) T = 1 R S = (^) a% k = 12 ↓ (12)^ =^ S^9 %^ =^0. 75 % R = 12
k = 12 i =^9 -. i (12)^ =^ (1 + i) k^ - 1 = 1 , 09 - 1 = 0. 072 = 0. 72 %
i(2) = (^5) , 50 % i = (^) (1 + (^) i(2)(k - 1 = (^) (1 + (^0) , 055) 2 - 1 = (^0) , 11302 = (^11) , 30 %
Nella pratica, il regime esponenziale è il più utilizzato, sia per capitalizzare che per attualizzare, su scadenze medio-lunghe (superiori a 1 anno). I motivi sono:
- le leggi esponenziali sono le uniche a possedere la proprietà di scindibilità , quindi adatte a capitalizzare o attualizzare su più scadenze
- una legge esponenziale che prevede capitalizzazione continua approssima la legge , che prevede N capitalizzazioni in 1 anno (a condizione che il tasso di interesse effettivo sia lo stesso) Infatti, il tasso di interesse effettivo per questa è se consideriamo il montante nel regime esponenziale con tasso di interesse effettivo i (= tasso composto) si ottiene coincide agli istanti di capitalizzazione con Mentre negli istanti compresi tra due capitalizzazioni Le leggi esponenziali approssimano bene le leggi finanziarie in cui si assume una capitalizzazione periodica. Supponiamo di investire una somma in regime esponenziale al tasso composto i per il periodo da 0 a S : il montante è. Se si reinveste M(S) per un ulteriore periodo T (alle stesse condizioni), alla scadenza finale S + T il montante è che coincide con M che avremmo ottenuto investendo per tutto il periodo da 0 a S + T , perché l’assunto del regime esponenziale è che gli interessi siano capitalizzati continuamente. In regime di interesse semplice con tasso di interesse semplice j , eseguendo un’operazione intermedia M in S + T è l’operazione intermedia aumenta M(S + T) In regime di interesse anticipato, eseguendo un’operazione intermedia, M in S + T diminuisce Una legge finanziaria è scindibile se m(t) soddisfa m(S) m(T) = m(S + T) per ogni Una legge finanziaria è scindibile se v(t) soddisfa v(S) v(T) = v(S + T) per ogni Assumiamo che m descriva il fattore montante di prestiti in cui è possibile assumere il ruolo di creditore o di debitore. Se m(S) m(T) > m(S + T) possiamo:
- farci finanziare 1€ oggi e restituire m(S + T) alla scadenza S + T
- investire oggi 1€, ottenendo m(S) alla scadenza S - investire (a termine) m(S) € in S , ottenendo m(S) m(T) alla scadenza S + T Considerando (0, S, S + T) , l’operazione complessiva è Uso del regime (^) Esponenziale
m(t) =^1 + (1+^ jt)
i = (^1) +- 1 Nt m(t) =^ (1 +^ i)+^ =^1 +
m(t) =^1 + (1+^ jt) t^ =^ u^ m(t)^ =^ (+^ i)+^ =^1 +^ Int
N
m(t) =^1 + (1+ jt) > m(t) =^ (+^ i)+^ =^1 +^ NjNt
La proprietà di SCINDIBILITÀ Co M(S) = Co(1 +i)s M(s) (1+^ i)T = Co(1+ i) (1 + (^) i)T = (^) Co(1+ i)S+^ Co^ M(S)^ M(S+T) O S^ T
(1 +^ jS)(1+^ jT) =^1 +^ j(s+T) +^ j2sT (1 +^ j(s+T)
S (^) , T (^) = 0 S (^) , T (^) = 0 (1 (^) ,^0 ,^ -^ m(s++))0(-^1 , m(s) (^) , 0)(0,^ - m(s) (^) , m(s)m(T)) =^ (0 (^) ,^0 ,^ m(s)m(^ +)^ -^ m(S+T)
in regime di interesse semplice in regime di interesse anticipato in regime esponenziale Esempio: rendita annuale posticipata (^) R/t = (300, 500, 200) / (1, 2, 3) in regime di interesse semplice in regime esponenziale Il valore attuale di una rendita con rate costanti , per cui per ogni n , è dove è una rendita con rate unitarie Il valore attuale di una rendita annuale posticipata con N rate unitarie ( 1/t = (1, … , 1) / (1, … , N) ), in regime esponenziale è dove fattore di attualizzazione per la scadenza di 1 anno V è una somma parziale di una serie geometrica di base esprimiamo V in termini del tasso composto i , indicando il risultato con = “a figurato N al tasso i” : essendo si ottiene Dato che si ha esprime il valore attuale di una rendita annuale posticipata di N rate unitarie, utilizzando il regime esponenziale con tasso composto i In generale, se la rata costante è pari a R si ha: Esempio: è strettamente crescente in N e strettamente decrescente in i della rendita (^) con (es. semestrali, mensili) tasso su base annua tasso su base temporale valore attuale di una rendita posticipata di periodo con N rate unitarie V (^) = Ru V (^) = Bu (1 - (^) dtu) =Recen al = V (^) = Ru = (^300) + 50 -e = (^884) , 26 1 + (^0) ,^07.^11 +^0.^07.^2 1 + (^0). 07.^3 b) V^ = (^) ( + Ruiltu(1^ =^ +^3000
.07/1^ +(^50712
.^ 07/ = (^880). 35 Le (^) RENDITE (^) COM RATE COSTANTI Le (^) Rate Costanti e UNITARIE Ru =^ R^ V^ = Ru(tu) V(R(t) =^ R - v(1/t) 1/t =^ (1 (^) , ..., 1)/(te (^) , ..., +N) Le Rendite annuali^ posticipate = (^) se v^ M^ v^ =^ -(1)^ = 12 21 (^2) V (^) = 1 : V (^) = = -1 - 1 - v
2 ami
= = 1 +- 1 = T V^ =^ v^
- = (^1) - V =^ (1 +^ i) -^1 anti =^1 - (+^ i)^ -^ N ami O · ani =
iti
· =lu N
· (i. ami) +^1 = 1 V Co = 1
(+ in Ci, ...,^ i^ ,^ n^ +^ i)^ /(1^ ....,^ N) V=^ R - ax = R1 -^ (1^ +^ i)^ -^ N i R/t =^ (1 (^). (^000) , (^) ...,^1. 000)/(1 (^) , (^) ..., 20) i^ =^5 % N =^20 V (^) (R(t) = (^) R - am = R1 - (1 +^ i) -^ N = (^1). 000. 1 - (1 + (^0) , 03) -^20 = (^12). (^462) , 2 i (^0) , 05 Le RENDITE (^) NON ANNUALi
i = i(k) = * (1 + i) = 1 + i(k)
al T =^1 R^ R(t = (1 (^) , ..., (^) 1)/1 .... (^) kN v = (^) (1 + i) - m^ = 1 + i)]
M= 1 (1^ +^ i(k))-^ u^ =^ amick)
Il valore attuale di una rendita posticipata di periodo con N rate di importo R è Il valore attuale di una rendita anticipata è Il valore attuale di una rendita differita di p periodi (= del tempo ) è Esempio: Rendita annuale anticipata di N rate unitarie: 1 / t = (1, … , 1) / (0, … , N - 1) Si può considerare come l’unione di una rata unitaria disponibile oggi (quindi V = 1 ) e una rendita annuale posticipata di N - 1 rate: quindi il valore attuale di una rendita annuale anticipata di N rate costanti pari a R è Esempio: Il valore attuale di una rendita anticipata è il montante, su un anno, del valore attuale della corrispondente rendita posticipata (solo in regime esponenziale). Quindi, effettuata la valutazione in uno dei due casi, ci si riporta all’altro capitalizzando o attualizzando il risultato sul periodo (1 anno) di differenza. rendita annuale di N rate unitarie, differita di p anni: 1 / t = (1, … , 1) / (p + 1, … , p + N) Per determinare il valore attuale si attualizza su p anni il valore attuale della corrispondente rendita posticipata (per cui p = 0 ): Il valore attuale di una rendita annuale differita di p periodi, con N rate costanti pari a R è: Esempio : (^1) V= Rayi(k) R b) V = (^) R(1+ (^) i(k) (^) ami(k)
C pl =^ pK^ V^ =^ R(1+^ i(k)) - Pani(k)
i = (^5) % = (^0) , 05 R/t = (^) (1. (^000) , ..., 1 .000)/(1m (^) , ..., 24m) N = (^24)
i(12) + 1 = (1 + 0 , 05) i (12)^ = 1 , 004072 - 1 = 0. 0041
V = R. (^) &10004 = R1 - (1 + i(k)) - = (^1). 000.^1 - (1 + 0 , 0041)^ -^24 = (^1). 000. (^22) , 82035 = (^22). (^820) , 35 i(k) (^0) , 0041 b) R/t =^ (1. (^000) , ..., 1 .000)/(7m (^) , ..., 30 m) (^) p =^ G m N^ =^24 R =^1. 000 i^ (12)^ =^0 , 004072
V = R(1+ i(k)) - Pani(k) = 1. 000 (1 + 0004072)-^ %.^1 - (1 + 0 , 004072)^ - 241. 000 - 0. 975913. 22 , 82035 = 22. 270 , 66
(^0) , 004072 LeRendite ANNUALi (^) ANTICIPATE
V =^1 +^ dati = 1 + 1 - (1 + i(1 - N^ =^ (1^ +^ i)^ -^ (+i)(+^ i) -^ N = G + i) ai
i V = (^) R(1 + i) (^) ani i =^5 % RIt =^11. (^000) , ..., 1. 000)/10, (^) ..., 19) N^ =^20 V(R(t) = R1 +^1 - (1 +^ i(1^ N^ =^1. 000[ + 1 - (1700)-19 = 1000
i = (^1). 000.^13 ,^0886 =^13. (^088) , 6 LeRendite ANNUALi (^) Differite V (^) = (+ i) (P+^ m)^ =^ (1 + (^) i) (+^ i) =^ (+ i) (^) ai V = R(1 + i) - ami i = (^5) % R/t = (^) (1. (^000) , ..., 1 .000)/(5, (^) ..., 24) N = (^20) p = (^4) V(R(t) =^ R^. (1 + i) -^01 -^ (1^ +^ i)^ -^ V^ =^1. 000. (1 + (^0) , 05)-^41 -^ (1^ +^0 ,05)-^20 =^1. 000.^1 (^1) , 2155 -^ 20 - (^0).^1327 = i (^0). 05 = (^822) , 7067. (^12) , 4642 = (^10). (^254) , 38
la serie geometrica diverge a , essendo : le rate della rendita crescono troppo velocemente e Il modello di Gordon valuta il prezzo corretto di un’azione (il valore fondamentale ) come il valore attuale del flusso (infinito) dei dividendi futuri, interpretati come rate di una rendita. Viene assunto:
- di importo certo e crescente secondo una progressione geometrica di ragione q = 1 + g dove g > 0 = tasso di crescita
- il tasso di interesse composto i > g costante Il valore fondamentale dell’azione è (^) dove valore atteso del primo dividendo dato che dividendo che possiamo osservare oggi si ha rendita della quale si deve calcolare il montante alla scadenza Se m (t, T) è il montante il T di 1€ investito in t , il montante al tempo T è Esempio : in regime esponenziale con tasso composto i , costante su tutte le scadenze si ha Il montante in T di una rendita si può calcolare come il montante da 0 a T del valore attuale in 0 della rendita: Consideriamo una rendita annuale posticipata con N rate unitarie. Il montante alla scadenza in cui viene pagata l’ultima rata è Il montante finale , ovvero T = N , di una rendita annuale posticipata con N rate costanti è Esempio : rendita semestrale si ottiene capitalizzando da 0 a T
2)921 +^ i^ +^ c^ qu =^1 V^ =^ co
Cu So = 1 + i - Eng) = i (^) E
(= ((1 + g) So = Co 1 +^9
i - g Co =^5 =) (^) per azione (^) g = 1 % i^ =^4 % So =^ (^1 +^ g^ =^51 +^0 ,^0 5. (^33) , 67 =^168 , 33 i - g 0 ,04-0 (^) , 01 MONTANTE (^) di (^) una RENDITA
Espressione generale del^ montante
R/t =^ (Re (^) , ... , RN) / (tr, (^) , ... , kn) TI^ tu M(R(t (^) , T) =^ Ruu(tu (^) ,^ T u(t, T) =^ (1 + i)T-^ t M (^) = Pulit = +i tu (+ i)T - V(R(t)
L RENDITE PARTICOLARI tw =^ N
M =^ (1 + i) ax = (1 +i)*^1 -^ (1 + i)-^ N^ =^ (+^ i)^ -^1
i M = R(1+^ i) i^ -^1 N =^ L (^) p = (^0). 5 & /t =^1400 , (^400) , (^400) , 4001/(1 (^) , (^1). (^5) , (^2) , 2. 5) i =^8 % =^0 , 08
M(T =^ 2a^ +^ 9m)^ i()^ =^ (1^ +^ i)^ -^1 =^ (1^ +^0 ,^ 08)2^ -^1 =^1 ,^0392 -^1 =^0.^0392 =^3.^92 %
V =^ R(1 + i(z))-^ -1^ -^ (1^ +^ i(k))^ -^ N^ =^ 400(1 + (^0). 0392).^1 -^ (1^ +^0 .0392)^ -^4 =^400.^1 -^0. 8574 = i(k) (^0). (^0392 1) , (^0392 0). 0392 = (^384) , 9115.^00 , 1426 = (^384) , 9115. (^3) , 6378 = (^1). (^400) , 23
. 0392 M(T =^ 2a + 9m)
T = 2 + a =^2 , 75 M(T = 2 , 73) =^ (1 + i)T.^ V =^ (1 + 0. 08/275. 1. 400 , 23 = 1 , 2357.^1. 400 , 23 = 1. 730 , 27
Consideriamo uno scadenzario periodico annuale t = (1, … , N) , un piano di ammortamento R / t del debito iniziale e il tasso tecnico annuo i. La condizione di chiusura finanziaria con uno scadenzario è Al tempo t = 1 , prima del pagamento della prima rata, La rata si può scomporre in dove quota interesse quota capitale debito residuo dopo il pagamento della prima rata In generale, se è il debito residuo al tempo t = n - 1 (dopo il pagamento della rata), la rata pagata al tempo t = n si scompone in: quota interesse quota capitale Di solito di modo che e Capitalizzare significa determinare un flusso di importi futuri a partire da un certo capitale iniziale. Consideriamo un debito di importo contratto al tempo 0 , da ripagare tramite un piano di rate future: Fissata una legge finanziaria di attualizzazione v , il flusso R / t deve soddisfare la condizione di chiusura finanziaria : afferma che il valore attuale del flusso R / t coincide con il debito iniziale è l’ n -esima rata di ammortamento del piano di ammortamento del debito iniziale In regime esponenziale con tasso composto i , la condizione di chiusura è Il piano di ammortamento a tasso fisso indica un piano dove i = tasso tecnico rimane costante. Un piano di ammortamento banale si ottiene pagando un’unica rata pari a a una scadenza fissata , riducendo l’operazione a un prestito elementare. In seguito consideriamo solo il caso standard di scadenzari periodici, per i quali e il periodo è 1 anno o una frazione di anno. Il valore di una rendita R/t al tempo è se allora somma dei valori attuali se allora somma dei montanti se allora alcune rate sono capitalizzate, altre attualizzate Esempio : R/t = (1.000, 700, 200, 1.500) / (1, 2, 4, 7) Valore di (^) una Rendita (^) a Scadenze Generiche T20 (^) w(R/t (^) , T) =
Ru(1 + i)T^ +e u= 1 TEts W(T) = TItN W(T)^ = t 1 = Tet · (^) w(0) = v · w(T) = (1 + i) (^) w(0) t i = (^8) %
a)T=^3 W(R(t ,^ 3)^ =^ *Ru(1+^ i)T-^ +^ m^ =^1. 000 (1+i(3 -^1 + 700(1+ i(3-^2 + 200(1 + i(3-^4 + 1. 500(1 + i(3-^7 =
u= 1 = (^1). 000 (1 (^) , 0812 + (^) 700(1 (^) , 08) + 200(1 (^) , 08)" + (^1). 500(1 (^) , 08)-^4 = (^1). (^166) , 4 + (^756) + (^185) , 185 + (^1). (^102) , 545 = (^3). (^210) , 13 b)T=^5 w(R(t (^) , 5) =^ w(R(t (^) ,^ 3)^. (l + i) 2 =^3. (^210) , 13.^ (1^ , 08)2 =^3. (^744) , 3 I (^) Piani di (^) AMMORTAMENTO La (^) CHIUSURA FINANZIARIA Do R/t =^ (R1 (^) , (^) ..., RN) /(tn,... , tr)
Do = V (R/t) = Ruv (tu)
Ru Do Do (^) = Ru (1+^ i)^ +u R =^ Do(1 + i) +u^ tu tu=^ ut^ [
Quota interesse e Quota Capitale
Do t= (^) (T (^) ...., NT) (^) Da= (^) Ru Do = Do(1 + i) In =^ Doi = R1 Re^ =^ [1 + C C =^ Rn^ -^ In^ = D1 = Do(1 + i) - R1 = (^) Do - C = Du - 1 Ru Ru = In + Ju In^ =^ Du^ -^ 1i^ = Du =^ Du-1^ - Cu Cu =^ Ru-In = Ru = In Cu = 0 Du = Du-
Esempio : oppure con l’identità: Faremo riferimento ad ammortamenti a rate annuali ( t = (1, … , N ) ) con tasso tecnico su base annua i. Il piano di ammortamento a rate costanti (o ammortamento francese ) è il più utilizzato:
- la rata è sempre sufficiente a coprire gli interessi maturati (essendo le quote capitale sempre positive)
- la quota capitale è crescente
- la quota interesse è decrescente L’importo R delle N rate si ottiene dalla condizione di chiusura finanziaria: Da cui segue: cresce secondo una progressione geometrica di ragione 1 + i : La condizione di chiusura finanziaria al tempo n è Esempio : Nel piano di ammortamento a quote capitale costanti (o ammortamento italiano ):
- la rata è sempre sufficiente a coprire gli interessi maturati
- il debito residuo decresce secondo una progressione aritmetica essendo
- le quote interesse e le rate decrescono secondo una progressione aritmetica e si ha e si ha e L’importo comune delle quote capitale si ottiene dalla condizione di chiusura elementare: i = 10 % (^) in = 5 % (^) VeNp alt= (^) 1(u= 1)
u tu Ru In Cr Du Un^ =^ k^2 = u^ + (1 + ix)kIk- u^ =^ (1Ez+ ix)2- 1 +^ (1^13 + i(k^ - m^ = (1+ 070 47
,^ 03/
(1+^0 ,03(3-^1 O 00 o 0 1. 000 =^66 ,^67 +^147 , 1025 66 , 67 +^42 , 63 =^109 ,^3 (^1) 1 400 100 300 700 NP (^) = Ck^ [ +(1 + (^) ix(k-^ u = (1 (^) , 0512-
- ( ,^ 03-^ = 230 + 425 2 2 300 70 230470 =^219 ,^03 +^426 ,^3 =^645 ,^33 33517474700 NP1^ =^ De^ -^ *^ Un^ =^700 - 005109300 -^54 , 65 = 645, ForME (^) Commi di AMMORTAMENTO Piano di (^) Ammortamento a Rate Costanti (Ammortamento Francese Ru>^ In Do (^) == =Rami R =^ Do ami G =^ R- iDo =^ R(1 - iami) =^ R1 -^ i 1^ -^ (1^ +^ i) -^ N^ =^ R(1 + i)^ N i (^3) Cu
- 1 =^ R^ -^ iDu^ =^ iDu-^1 +^ Cu^ -^ iDu^ =^ (n^ +^ i(Du-^1 -^ Du)^ =^ Cu^ +^ i(u^ =^ (u(1^ +^ i) (^3) Cu Cu = ((1 + i(4 - (^1) = (^) R(1 + i)- (N - (^) u+ 1) Du = [k =u^ + 1(1+ & = = Rati i)k-^ u Do = (^1). 000 N = 2 i = (^10) % R =^ Do^ = 1-()-^ N = (^1). 000.^0. 1 = (^1). 000 0. 1 - (^315) , 46 ami 1 - (1 + (^0) , 1) -^4 0 , 317 i In =^ Doi =^1. 000 -^0 , 1 =^100 C = R - 11 = (^315) , 46 - 100 = (^215). 46 De =^ Do^ -^ C1^ =^1. 000 - (^215) , 46 =^784 , 54 Piano di (^) Ammortamento a Quote Capitale Costanti CAMMORTAMENTO ITALIANO Du = Du- 1 - C Du = Do - uC =^ Do (^) Nu
In = i Du-1 = iDo N^ - M + 1 2u = C + In =^ Do1 +^ i(N^ -^ u^ +^ 1)
N c =^ Do N
Esempio : All’inizio il piano italiano paga rate più elevate rispetto a quello francese. La situazione si inverte nel corso dell’ammortamento alla scadenza n per cui questa scadenza è (^) : l’inversione avviene nella seconda metà dell’ammortamento. A ogni data diversa da quella iniziale o finale, il debito residuo secondo l’ammortamento italiano è minore rispetto al corrispondente debito residuo secondo l’ammortamento francese. Questo ha come conseguenza che le quote interesse sono minori nel piano italiano: qualunque sia il tasso di valutazione adottato, a ogni scadenza l’ usufrutto del piano italiano è minore rispetto all’usufrutto del piano francese. Nel piano italiano si pagano meno interessi, ma prevede rate più elevate all’inizio. Il piano di ammortamento a interessi anticipati (o ammortamento tedesco ) prevede che la quota capitale, opportunamente attualizzata, venga pagata con un periodo di anticipo. Esempio rate costanti : costruire una tabella di ammortamento francese si portano le quote interesse indietro di un periodo, dopo averle attualizzate (= / 1 + i ) il nuovo importo delle rate viene calcolato: quote capitale (rimaste invariate) + nuove quote interesse Esempio quote capitale costanti : costruire una tabella di ammortamento italiano si portano le quote interesse indietro di un periodo, dopo averle attualizzate (= / 1 + i ) il nuovo importo delle rate viene calcolato: quote capitale (rimaste invariate) + nuove quote interesse u tu^ Ru^ In^ Cr^ Du N =^4 Do = (^1). 000 i = 10 % 0 o o G 0 1. 000 C =^ Do^1.^000 =^250 N (^4 1 1 ) Re = C + In = 250 + 100 =^350 12 = 750. 0 100 250 750
. 1 =^75 (^22 ) In = Do.^ i^ =^1. 000. (^0) , 1 =^100 13 = 500. (^0). 1 =^50 (^3 3 300 50 250 ) 4427525250 O 1 + i(N - u + 1) =am = 1 -^ min
- N N 2 Piano di Ammortamento (^) a interessi Anticipati (AMMORTAMENTO (^) TEDESCO N = (^4) Do = (^1). 000 i = 10 %
N =^4 Do = (^1). 000 i =^10 %
Negli ammortamenti a tasso variabile il tasso tecnico può cambiare, di periodo in periodo, seguendo i movimenti dei tassi di mercato. La condizione di chiusura elementare è , che è equivalente alla condizione di chiusura finanziaria Nell’ ammortamento classico a tasso variabile si determina l’importo della rata come se l’ammortamento fosse francese e il tasso tecnico si dovesse mantenere costante. Esempio : L’ ammortamento a rata costante prevede che la rata sia calcolata all’inizio e che rimanga costante per tutta la durata dell’ammortamento: è fissato l’importo della rata, ma non la durata del piano. Le variazioni del tasso tecnico si riflettono in minori o maggiori quote capitale e, quindi, in un aumento o diminuzione del numero di rate. Esempio : Non bastano le 5 rate, quindi è necessario continuare a pagarle. L’ultima rata agisce da conguaglio, e di solito è inferiore a R. AMMORTAMENTI a (^) TASSO VARIABILE Tasso variabile e condizioni diChiusura Do (^) = Cu Do^ R2^ Ro =Rin (^) C+ (^) il(+ (^) i2)^ +^.^ * +T.... (^) C + (^) iw) Ammortamento (^) CLASSICO Do = (^1). 000 N = 3 u1^2345 in 10 %^10 %^30 %^30 %^10 % Re = (^) &Do = 1.^000 = 1.^000 = 1. 000 = 1. (^000 263) , 8 min &2011 - (1 +^ i) -^ N1-^ (1 (^) , 1)^ -^3 3 ,^7908 i (^) & (^) , In = Do. i =^1. 000 - (^0) , 1 = 100 (1 = Rn - [1 =^263 , 8 -^100 =^163 , Dr =^ Do -^ (1^ =^1. 000 - (^163) , 78 =^863 , 22 Rz =^ D1^ =^ Re^ =^263 ,^8 R3^ =^ Da^ =^656 ,^02 =^656 ,^02361 ,^23 deliz &^53 i 3 1 -^ (1^ +^0 , 3)^ -^3 1 ,^8161 I2 = D1. iz = (^836) , 2. (^0). 1 =^83 , 62 0 , 3 (2 = Ra - [2 =^263 , 78 - (^83). 62 =^180 , 18 13 =^ D2^. i z =^656 , 02.^0. 3 =^196. 81 Da =^ Dr^ -^ Cz =^836 , 2 - (^180) , 18 =^656. 02 (3 =^ R2^ -^ [2^ =^361 , 23 - (^196) , 81 =^164 ,^42
AMMORTAMENTO A RATA COSTANTE
Do = (^1). 000 u1^234567 N =^5 in^10 %^10 %^30 %^30 %^10 %^20 %^10 % R = Do^ = (^1). 000.^ i^ = (^1). (^000) ·^ a^ , 1 = (^263) , 8 (^9510) ,^1 1 -^ (1^ +^ i)^ -^ N^1 -^ (1^ +^0 , 1)^ -^5
Consideriamo un’operazione di investimento elementare:. Fissato un regime finanziario, il rendimento (o tasso di rendimento ) è il valore del tasso di interesse che, utilizzato all’interno di un certo regime, fa in modo che sia il montante di. in regime di interesse semplice si esplicita j da e otteniamo il rendimento semplice in regime esponenziale si esplicita i da e otteniamo il rendimento composto da e otteniamo il rendimento logaritmico Dalla relazione segue è sempre maggiore di - 1 , che corrisponde a Esempio : Quando si analizzano investimenti, è molto importante considerare l’effettivo risultato in termini di possibilità di consumo finale. L’ inflazione è il fenomeno che consiste nella diminuzione della capacità di acquisto di una data somma (o aumento dei prezzi). In ogni paese, viene periodicamente calcolato un indice dei prezzi al consumo , ovvero una media pesata dei prezzi di un certo paniere di beni e servizi. Indichiamo con un indice calcolato al tempo t :
- un investimento in termini nominali è
- un investimento in termini reali è r = rendimento semplice in termini nominali = rendimento semplice reale se allora inflazione se allora se allora deflazione Il tasso di inflazione annuo è la variazione percentuale dell’indice H : Se l’investimento ha durata T pari a 1 anno e h è il tasso di inflazione annuo registrato alla scadenza dell’investimento, di modo che , il rendimento semplice reale è se allora se Esempio : Il tasso di inflazione e il rendimento reale sono noti solo ex post. Per permettere la copertura rispetto a questo tipo di rischi, sono stati introdotti dei prodotti finanziari (es. BTP indicizzati Euro - BTPi€ ). SCELTE tra (^) OPERAZIONI (^) CERTE RENDIMENTOper INVESTIMENTI ELEMENTARI RENDIMENTO SEMPLICE, COMPOSTO e LOGARITMICO I (^) (- Co (^) , C+ )/(0 (^) , T) C (^) + Co (+ =^ Co(1^ + (^) jT) &s = T^1 CTCo^ -^ Co C (^) + = Co(1 + i) T (^) &c = C+^1 - 1 Co SC = Coedt (^) r = 1 log (^) S
6 = log(1+ i) r = log(1+ rc)
2c C+ -^ >^0 Co = (^4). 000 C =^4. 400T=^ 1a + 3m = (^1) , 25 es =^1 1 4.^400 -^4.^000 0.^8. (^0).^1 =^0 , 08 =^8 %
. 25 4.^000 2 =^44.^.^40008000 -^1 = (1 (^) ,^ 1)8.^8 -^1 =^0.^0792 =^7.^92 %
21 =^0 , 8 log 1 ,^1 =^0. 8.^0 ,^0953 =^0. 0762 =^7 ,^62 %
Rendimenti e inflazione Hz (- ( (^) , (t)/(0 (^) , i)
- O^ ,^ T 2s =^ 1(tT -^ Co^ E = = Co es O^ H+^ >^ Ho^ =^22 Ho O HT = Ho (^) E = (^2) · H+ 2 Ho (^) > 2 H+ = H+^ -^ H^ + - 1 Ht- 1 H+ = Ho(1 +h) E = r^ -^ h (^1) + h Er h > 0 20 h^ > 2 2 =^7 %^ h^ =^2 % = = (^0). 07 -^0. 02 = (^0). 0490 = (^4). 9 % 1 + (^0) ,^2
