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MATEMATICA FINANZIARIA

Contratto di prestito Capitale o Montante di 100 dopo t anni Ct = 110 Capitale iniziale o Capitale investito dalla banca C0 =

• Interesse = Montante - Capitale

Rappresenta il guadagno per il creditore

• Fattore di montante o Fattore di capitalizzazione

Per ogni euro che la banca presta, dopo t periodi riceve f Operazione di Capitalizzazione - a C0 è applicato il tasso di interesse triennale, relativamente ad un finanziamento di 1000€ nel nostro caso 1,8 —> 80%

• Fattore di Sconto o Fattore di Attualizzazione Serve per rendere attuale i 1800 dell’epoca 3

La banca riconosce per i 1800, esigibili all’epoca 3, per ogni euro, 0, A differenza delle operazioni di capitalizzazione, partiamo dal Montante e scontiamo —> 1000 è il valore attuale del montante 1800 Riportiamo indietro le somme di denaro Se il punto iniziale é il Montante, il compenso non si chiama ‘Interesse’ ma ‘Sconto’ rappresenta sconto per ogni euro di montante Esempio Se voglio costruire contratto finanziario per cui, a me, banca mi chiedono di anticipare una somma devo essere sempre in grado di determinare Montante —> funzione, 2 parametri REGIME FINANZIARIO Se é fissato LEGGE FINANZIARIA

• fattore montante in funzione del tempo, misura il montante di 1€ dopo t periodi - se presto 1€ dopo t periodi mi restituiscono

Se prendiamo 2 prestiti a parità di tutto il resto, cambia solo t —> funzione crescente - fattore di montante crescente Condizioni della legge finanziaria

3. derivabile

Nella prassi, non si usano tantissime leggi finanziarie ma 3 fattori montanti - 3 leggi appartenenti o 3 regimi

Ho una cambiale e voglio scontare una cambiale La banca mi anticipa dei soldi che tra ‘t’ anni riceverò (la banca mi attualizza una certa somma ‘C0’ minore del valore della cambiale (‘Ct’) Il compenso della banca è lo sconto (‘D’) = valore della cambiale (Ct) - C L’operazione non aggiunge un compenso a C0 ma lo sottrae a Ct per avere C0 (quello che mi corrisponde la banca —> tasso di sconto relativo a valore nominale e scadenza pari a 1) d —> tassi di sconto, di un euro scadente tra un anno (applicato per contrarre il valore) Può anche essere interpretata come operazione di capitalizzazione —> versamento di C0 che dopo un periodo diventerà Ct (che la banca ottiene dopo t periodi) Il fattore di montante è il reciproco del fattore di sconto

REGIME DELL’INTERESSE ANTICIPATO O SCONTO ANTICIPATO

Questa tipologia di regime, può essere applicata anche nel caso in cui la banca conceda un prestito e chieda interesse anticipato La banca ti anticipa una certa somma ma tu gli riconosci gli interessi Quando t=0 deve essere crescente rappresentata da un’iperbole equilatera d e t non possono essere qualsiasi cosa perché il Capitale C0 deve essere positivo Dato Ct positivo, il valore attuale deve essere positivo In un prestito l’ammontare finanziario deve essere positivo Condizioni necessarie per realizzare questo regime Quando d si avvicina a t, se la scadenza vicino a il fattore di montante tende Se d è molto piccolo, quindi apparentemente si paga un compenso piccolo in realtà se la durata è sufficiente te lunga si può avere sufficientemente enorme Il fattore di sconto, quando t=0 é 1 quando t= é 0 la parte negativa non ci interessa, è un assurdità (Condizioni) —> 0 < dominio < Si applica al valore nominale a scadenza Quindi, abbiamo 3 regimi e 3 tassi contrattuali, del prestito che servono per calcolare Ct, Co, I o D

**_1. Semplice

2. Anticipato
3. Composto_** Ora vediamo due nozioni generali, si tratta di un tasso non stipulato ma implicito (intrinseco all’operazione) **_1. Tasso di interesse effettivo
4. Tasso di sconto effettivo_** che permettono di capire in qualsiasi regime qual è la crescita del capitale o viceversa la decrescita, in un periodo Fattore di Montante e di Sconto sono reciproci

TASSO EFFETTIVO DI INTERESSE

É per definizione un rapporto tra l’interesse generato in un generico periodo e il capitale impiegato all’inizio del periodo, mi dice qual è l’interesse per ogni euro impiegato all’inizio del generico periodo Fa crescere Ct-

1. Tasso effettivo in regime di interesse semplice Il tasso di interesse semplice non è un tasso di interesse effettivo, Il tasso di interesse effettivo nel regime di interesse semplice è una funzione (no costante, cambia a seconda del periodo) L’interesse generato in un periodo può essere ottenuto sia con l’applicazione del tasso contrattuale al capitale iniziale Sia con l’applicazione del tasso effettivo al capitale di inizio periodo
2. Tasso effettivo in regime di interesse anticipato é il tasso effettivo nel regime di interesse anticipato Il tasso effettivo non coincide con il tasso ,ma del resto é un tasso di sconto (non di interesse) che si applica ad un valore nominale Il fattore di montante, essendo reciproco del fattore di sconto diventa Se voglio sapere qual è il tasso effettivo di sconto, incremento relativo in un generico periodo, del capitale impiegato all’inizio del periodo devo considerare il tasso effettivo di interesse che è dato da Ci dice la crescita del capitale, in quel regime, per questo periodo
3. Tasso effettivo in regime di interesse composto Il tasso effettivo di interesse in un contratto stipulato con un regime di interesse composto é proprio il tasso di interesse Il tasso effettivo è costante, perché se è uguale al tasso contrattuale che è costante, al contrario dei casi precedenti TASSO EFFETTIVO DI SCONTO Indica la riduzione del capitale, qual è la decrescita da Ct a Ct- Definisco questo tasso di sconto effettivo come il rapporto tra il compenso (Sconto), generato in un generico periodo e Ct Fa decrescere Ct Qualunque sia il regime possiamo calcolare il tasso effettivo di sconto in questo modo TASSO EFFETTIVO DI INTERESSE E TASSO EFFETTIVO DI SCONTO SONO TRA LORO SIMMETRICI uno il reciproco dell’altro

I tassi di interesse possono riferirsi a intervalli di tempo differenti, qualsiasi unità di tempo Devo essere in grado di esprimere la stessa cosa con unità differenti A seconda del tipo di implicazione in cui sono coinvolto può essere più conveniente l’una o l’altra, enunciati diversi ma informazione é la stessa Se parto da un tasso di interesse annuo, devo poter esprimere il tasso di interesse anche con altre unità di tempo —> serie di tassi equivalenti che esprimono la stessa informazione CONVERSIONE TASSI DI INTERESSE CON UNITÀ DI TEMPO DIFFERENTI Regime dell’interesse semplice Supponiamo di effettuare la stessa operazione ma il tempo lo misuriamo in semestre e non più in anni Quanti semestri sono t anni? Uguaglianza dei montanti a parità di tassi e di durata Converto ‘i’ in tasso semestrale equivalente —> Equivalenza finanziaria dello stesso regime Se tasso annuo è 10% so che equivale ad un tasso semestrale del 5% Se tasso semestrale è 2% so che equivale ad un tasso annuo del 4% Posso dividere l’anno nel numero di periodi che voglio Passo da uno all’altro senza passare da quello annuo Regime dell’interesse semplice

Regime di interesse anticipato Regime di interesse composto -TASSO DI INTERESSE NOMINALE La capitalizzazione trimestrale del 3,5% equivale alla capitalizzazione mensile del 0,8637% Quando siamo nel regime di interesse composto e vogliamo convertire, i tassi di interesse. Il prodotto tra il tasso di interesse periodale (tipo il semestre) per ‘numero di periodi’ NON OTTENIAMO IL TASSO ANNUO EFFETTIVO EQUIVALENTE AL SEMESTRE ma è un tasso, detto TASSO ANNUO NOMINALE CONVERTIBILE 2 volte (nell’anno). Il tasso NOMINALE é sempre più piccolo del TASSO EFFETTIVO Tasso annuo effettivo Tasso periodale, relativo a 1/m di anno periodali relativi a diverse frequenze di^ Formula per passare tra i tassi (Da trimestre a semestre per esempio)^ capitalizzazione

Cosa succede se aumento la frequenza della capitalizzazione degli interessi? Se aumenta intervallo di capitalizzazione —> ‘m’ diventa sempre più grande, tende all’infinito tende a 0 Fattore di montante annuo con durata t anni L’intensità istantanea di interesse ci permette di calcolare a quale tasso sta crescendo un determinato montante cumulato in un istante preciso di tempo. Per tutti i regimi finanziari si calcola come il rapporto tra la derivata prima del fattore di montante e il fattore di montante stesso Al crescere di m, aumentando il numero delle rate corrisposte in un anno si abbrevia l’intervallo fra una rata e l’altra, anticipando il pagamento delle rate, si paga nominalmente di meno Consideriamo il tasso nominale di interesse e facciamo tendere m all’infinito, in questo modo le rate di trasformano in un flusso continuo e uniforme durante tutto l’anno

TASSO ISTANTANEO

Per qualunque valore del tempo, rappresenta il valore in t di un euro investito all’istante 0 Qualunque legge di capitalizzazione agisce istantaneamente come una legge di capitalizzazione semplice che fa maturare interessi semplici sul capitale (rappresentato dal montante fino a quel momento accumulato) e con tasso di interesse proprio l’intensità istantanea Intensità istantanea di interesse in funzione del tasso annuo Tasso annuo in funzione dell’intensità istantanea di interesse Per il regime di interesse composto Il regime composto è un regime a capitalizzazione continua quindi è sempre sul montante che si calcolano gli interessi, non dipende dal tempo Questo fatto può essere descritto anche dicendo che un qualunque processo di capitalizzazione può essere pensato come se fosse di capitalizzazione continua: gli interessi semplici prodotti istante per istante sono immediatamente reinvestiti ad iniziano a produrre a loro volta altri interessi

TASSO ISTANTANEO DI INTERESSE

Otteniamo una legge di capitalizzazione continua o istantanea

SCINDIBILITÀ DI UNA LEGGE FINANZIARIA

Intervallo diviso in due —> x e y Strategia rolling over costituita da due investimenti Strategia buy and hold Se sono uguali la legge finanziaria si dice scindibile Una legge finanziaria si dice scindibile se Regime di interesse semplice Il membro di sinistra non è uguale a quello di destra quindi se una legge appartiene al regime di interesse semplice non è scindibile Le leggi finanziarie semplice non sono scindibili, anche se le condizioni contrattuali sono le stesse Spezzare l’investimento ad una certa epoca intermedia equivale a capitalizzare che si sono generati dopo quindi non è scindibile Regime di interesse anticipato Membro di sinistra diverso da membro di destra Le leggi finanziarie appartenenti al regime di interesse anticipato non sono scindibili Anche se conosco le condizioni contrattuali, non posso determinare montante senza sapere se l’investimento avviene in un unico periodo o separato Regime di interesse composto Qualunque valore di x e y rende vera uguaglianza Le leggi finanziarie appartenenti al regime di interesse composto sono scindibili Assenza di ambiguità nella valutazione finanziaria Ci consente di viaggiare nel tempo Non presenta nessuna ambiguità di rappresentazione Posso spezzare l’investimento come voglio, una volta che ho stabilito le condizioni di contratto non devo sapere niente altro Vale sia per la capitalizzazione che per lo sconto, perché fattore di sconto reciproco di montante L’interruzione dell’impiego non ha alcun effetto sull’ammontare del montante

Operazioni con più flussi di cassa Abbiamo visto operazioni di capitalizzazione, di sconto —> due soli flussi di cassa (Capitale e Montante sono i valori assoluti di questi due flussi di cassa) Nella realtà operazioni caratterizzate da una sequenza di flussi di cassa

• Prestito chiesto alla banca restituito in somme di denaro divise in più periodi (per esempio 3 rate) Abbiamo 3 flussi di cassa Questa sequenza di flussi di cassa (scadenti in epoche diverse) dello stesso segno si chiama Rendita I flussi di cassa sono i termini della rendita o le rate della rendita Rendita costituita da 3 rate
• Un investitore investe simultaneamente in un portafoglio di investimenti Se guardiamo complessivamente A + B + C, la sequenza che viene realizzata è una rendita di 3 termini Somma che l’investitore deve impiegare per ottenere una rendita dopo 1,2,3 periodo 300 —> valore attuale della rendita Somma dei valori investiti nelle tre operazioni Valore attuale rendita = somma dei valori attuali delle rete costituenti la rendita Se abbiamo n epoche e f1, f2… (rate) calcoliamo il valore attuale di ogni f e sommiamo Abbiamo necessita di calcolare il valore attuale di una rendita se per esempio quando investiamo in titolo finanziario obbligazionario che ci da possibilità di ricevere 110, 121, 133,1 (flussi di cassa che scadono in vari periodi —> rendita) Noi siamo creditori e il nostro tasso di interesse è il 10% composto Date queste condizioni qual è il prezzo di questo titolo? (Valore attuale di una rendita) Esempio Immaginiamo di essere in presenza di voler acquistare in azienda ed effettuiamo delle stime sui flussi di cassa che azienda può realizzare nei vari anni e poi stimiamo che il tasso di remunerazione dell’azienda sia il 5% composto. Qual è il capitale da investire per acquistare azienda? Necessita di calcolare montante di una rendita Depositando delle somma di denaro voglio costruire dopo un certo numero di anni, una certa somma di denaro (200). Data una certa legge finanziaria con un tasso voglio un montante finale (somma finale comprensiva degli interessi) di 200 —> gli ottengo sommando tutti i montanti di questo periodo

Abbiamo pianificato di ottenere dei flussi di cassa per o prossimi 4 anni. Voglio reinvestirli e sul mercato finanziario il tasso di interesse (di remunerazione per chi investe) é 1,5%. Qual è la somma liquida che avrò in seguito a questi investimenti dopo 4 anni? (Qual è il montante di questa rendita?) Si calcolano i montanti dei 4 flussi di cassa e si sommano Possiamo definire il generico montante di qualsiasi rendita (^) come i montanti di tutti i flussi di cassa per il fattore di montante, la durata dell’impegno è n- VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA Abbiamo una pluralità di flussi di cassa (rendita) su cui possiamo chiederci qual è valore intermedio della rendita in un epoca t Dividiamo la rendita tra la parte che viene prima di t e dopo di t Per i flussi di cassa che scadono prima dobbiamo capitalizzare i flussi di cassa fino al nostro periodo intermedio t —> la somma mi da il valore di una parte della rendita (che scade prima) Per la parte successiva dobbiamo scontare i flussi di cassa —> somma La somma di entrambe le parti ci da il valore in t di questa rendita Esempio Obbligazione acquistata all’epoca 0 che paga dei flussi di cassa di valori differenti (rendita). Supponiamo che l’azienda sappia che tra 4 anni, avendo bisogno di liquidità vuole smobilizzare questa obbligazione. Fino all’epoca 4 non ha bisogno di fondi, riceve e reinveste immediatamente sul mercato finanziario ad un tasso di interesse del 3% (regime composto) All’epoca 4 smobilizza il titolo obbligazionario (vende la sequenza dei flussi di cassa) in cambio di un prezzo pagato per il titolo obbligazionario. Abbiamo due parti —> una di investimento dove azienda riceve e investe e una parte dove vende titolo obbligazionario. Quale sarà all’epoca 4 la somma che l’azienda avrà a disposizione? A questo punto vende Scontiamo Capitalizziamo Valore generale di una rendita in un epoca intermedia

Rendite a rata costante Valutate con regime di interesse composto, se in un esercizio non è specificato il regime si sottointende il composto Possiamo ottenere delle formulazioni compatte per qualsiasi epoca, qualsiasi tipo di rendita può essere valutata partendo da una sola formula —> valore attuale netto di una Rendita Immediata Posticipata Rendita immediata posticipata costante Somma parziale di una successione dove fattore di crescita e esponente cresce di uno Siamo in grado di trovare valore di ogni rendita, di qualsiasi tipo e di ogni epoca. Grazie alla scindibilitá unica formula Valore attuale di una rendita immediata posticipata Per calcolare montante, grazie alla scindibilità, prendi il valore attuale e lo capitalizzo di n periodi Non ho bisogno di flussi di cassa Se il regime fosse di interesse semplice questo non funziona Immaginiamo rendita differita di p periodi Otteniamo il valore della rendita ad un periodo precedente alla scadenza della prima rata Mi porta al valore della rendita all’epoca ‘p’ Valore attuale della rendita differita di p periodi posticipata Montante della rendita Rendita differita posticipata grazie alla scindibilità

Rendita immediata anticipata Rendita differita anticipata Se abbiamo valore di una certa rendita a una certa epoca ricaviamo il valore di quella rendita a ogni epoca Esempio Ultima data deve essere tale che intervallo tra ultima data e un periodo prima della scadenza della prima rata ci devono essere 30 periodi

Regime di interesse anticipato Esempio Sono interessato a investire una certa somma e voglio sapere il suo montante dopo 4 periodi (2,6) Se ho valore all’epoca 5 voglio sapere quello a epoca 3 Regime di interesse composto Qui è un prodotto quindi invece di usare simbolo della sommatoria usiamo questo Produttoria di fattori non di tassi Immaginiamo di investire una certa somma in una certa epoca e per una certa durata Esempio Rimane la proprietà della scindibilità anche per i tassi variabili Per la proprietà della scindibilità avrei potuto calcolare il montante anche in un altro modo

Rendita a tassi variabili Modo per calcolare più velocemente questi fattori di sconto Noto che il fattore di sconto da 2 a 0 lo posso scrivere anche così Noto che il fattore di sconto da 3 a 0 lo posso scrivere anche così Se siamo in regime di interesse composto, non conosco le rate conosco solo il valore all’epoca 3 —> posso comunque valore attuale Dimostrazione scindibilità