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Matematica Finanziaria AA 2013-
Rischio di tasso, indicatori di rischio e immunizzazione
Sara Biagini
13 dicembre 2013
1 Il rischio di tasso e gli indicatori per obbligazioni
Nella scelta di un investimento, un importante fattore da tenere in considerazione è il rischio di tasso (interest rate risk). Questo rischio consiste nella variabilità del rendimento dell'investimento a seguito dei cambiamenti futuri della struttura per scadenza (SPS). Più precisamente, è la possibilità che i rendimenti di ne periodo (rendimenti ex-post) siano diversi da quelli previsti inizialmente (TRES calcolati ex-ante). Non tutti gli investimenti sono sensibili allo stesso modo alle variazioni dei tassi. La sensibilità dipende dall'intera struttura dell'operazione di investimento, ovvero dagli importi e dal loro scadenzario. Si intende che un investimento è meno rischioso di un altro se, a fronte di una data variazione dei tassi, presenta una minore variazione del prezzo in termini percentuali. Tralasciando il rischio di credito, ovvero il rischio che l'emittente non sia in grado di far fronte in toto o in parte ai pagamenti previsti dal contratto, le obbligazioni presentano due tipi di rischi principali:
- Rischio di prezzo. I prezzi dei titoli obbligazionari si muovono in direzione opposta ai tassi: rialzi dei tassi provocano una diminuzione dei prezzi, e ribassi dei tassi aumenti dei prezzi. In uno scenario al rialzo dei tassi, in caso di vendita del titolo prima della scadenza possiamo registrare perdite in conto capitale. Questo rischio si riduce all'avvicinarsi della scadenza del titolo, dal momento che a ridosso di tale maturità il prezzo di mercato tende all'ultimo pagamento del titolo che è comprensivo del nominale.
- Rischio di reinvestimento. Se i tassi di mercato scendono, il reinvestimento delle cedole avviene a un tasso inferiore al previsto. Pertanto, il rendimento complessivo ex-post dell'investimento (che considera anche gli interessi sulle cedole, ovvero gli interessi sugli interessi) è anch'esso inferiore al previsto.
I principali indicatori di rischio per investimenti obbligazionari sono la duration e la convexity. In quel che segue, si ipotizza: 1) che la struttura dei tassi spot sia piatta, e 2) che le sue variazioni avvengano solo per cosiddetti `shift paralleli', ovvero che l'unico cambiamento possibile sia il passaggio da un tasso piatto i a un tasso piatto i + ∆i. In questo modo, un investimento generico, che garantisce i seguenti introiti futuri (tutti strettamente positivi):
(C 1 ,... , CN )/(T 1 ,... TN ),
ha un valore attuale che è una funzione del livello i del tasso:
V (i) =
C 1
(1 + i)T^1 +^...^ +^
CN
(1 + i)TN
Questo valore, sotto le nostre ipotesi di struttura piatta, è anche il prezzo di mercato del titolo.
1.1 La Duration
Calcolando la derivata del valore V rispetto a i, si ottiene
V ′(i) = −T 1
C 1
(1 + i)T^1 +^
−... − TN
CN
(1 + i)TN^ +
raccogliendo − (^) 1+^1 i al secondo membro, abbiamo:
V ′(i) = −
1 + i
[
T 1
C 1
(1 + i)T^1
+... + TN
CN
(1 + i)TN
]
1 + i
∑^ N
n=
Cn (1 + i)Tn^
Tn
Osservare che la derivata è negativa: il prezzo infatti è una funzione decrescente dei tassi. Questo è un fatto generale, che avviene anche nella realtà con SPS non piatta e cambiamenti generali nei tassi. La derivata prima già di per sè esprime la velocità di risposta della funzione V rispetto ai cambiamenti della variabile indipendente i. Però in questo contesto è più signi cativo considerare variazioni percentuali sul prezzo, e quindi dividiamo ambo i membri per V (i):
V ′(i) V (i)
1 + i
∑N
n=
Cn (1+i)Tn^ Tn V (i)
= − D
1 + i
dove D è la duration (di Macaulay), ovvero:
D =
∑N
n=
Cn (1+i)Tn^ Tn V (i)
Anche D è una funzione di i: D = D(i), ma useremo la notazione D(i) solo quando sarà necessario e altrimenti abbreviamo con D. Poiché V ′(i) = lim∆i→ 0 V^ (i+∆∆i)i− V^ (i) se ∆i è una piccola variazione dei tassi il rapporto incrementale sarà vicino alla derivata V ′(i) = − (^) 1+Di V (i):
V (i + ∆i) − V (i) ∆i
D
1 + i
V (i)
ovvero moltiplicando ambo i membri per (^) V∆ (ii)
∆V V (i)
D
1 + i
∆i
Questa approssimazione per V è detta al primo ordine, perché coinvolge la derivata prima. Stiamo infatti approssimando la funzione valore V con la sua retta tangente nel punto i:
V (i + ∆i) ≈ V (i)(1 −
D
1 + i
∆i)
e l'approssimazione è tanto migliore quanto più ∆i è piccolo. Un titolo pertanto avrà maggiore o minore sensibilità rispetto a (piccoli) scostamenti del tasso dal livello i (nel senso che la variazione percentuale del prezzo sarà maggiore o minore) a seconda del valore di D(i). Per esempio, consideriamo due obbligazioni, A e B, con DA^ = 3 mentre DB^ = 0, 5 al tasso i = 0, 10 = 10%. Se il tasso aumenta di un punto base, ∆i = +0, 0001 , possiamo utilizzare l'approssimazione al primo ordine per concludere che le variazioni percentuali dei prezzi sono, rispettivamente:
∆V A V A^
∆V B
V B^
La duration di A è 6 volte la duration di B e quindi il primo titolo è molto più esposto al rischio di tasso.
Schema riassuntivo delle proprietà della duration:
2 L'immunizzazione classica dei portafogli nanziari
L'immunizzazione dei portafogli nanziari complessi, in cui siano presenti sia operazioni di investimento (gli attivi, A) sia operazioni di nanziamento (i passivi, L), è stata discussa per la prima volta da Redington nel 1952. Le variabili sono dunque il usso degli attivi e quello dei passivi, con relativo scadenzario, e la SPS dei tassi. Noi qui ci occupiamo solo dell'immunizzazione `classica', e cioè del caso in cui i ussi futuri (importi e scadenzario) siano noti con certezza, e in cui la SPS è piatta al tasso i e può variare solo per shift paralleli. Tuttavia, alcune delle considerazioni seguenti sono del tutto generali. Un obiettivo da tenere sempre presente è la solvibilità del portafoglio. Un portafoglio (o meglio, il suo possessore...) è solvibile al tempo t se il valore attuale degli attivi supera od uguaglia il valore attuale dei passivi: V (^) tA (i) ≥ V (^) tL (i)
Nel calcolo del valore dei passivi, qusti vengono pensati positivi (liabilities), e quindi la solvibilità di portafoglio P consiste nell'avere valore totale (netting) non negativo:
V (^) tP (i) = V (^) tA (i) − V (^) tL (i) ≥ 0
Se inizialmente, in t = 0, un portafoglio è costruito in modo da essere solvibile, col passare del tempo può non esserlo più. I motivi sono vari: alcuni importi possono andare a scadenza, oppure i tassi possono variare. Se analizziamo la situazione prima della più piccola tra le scadenze coinvolte, T 1 , nessun importo va a scadenza: in tal caso, la solvibilità può essere alterata solo da un cambiamento dei tassi. L'immunizzazione, intesa in senso ampio, è una tecnica che consente di rendere la distribuzione temporale di attivi e passivi simile, in modo che i due ussi siano ugualmente sensibili alle variazioni dei tassi. In questo modo, le variazioni del valore del usso di attivi compensano quelle dei passivi e si conserva la solvibilità no alla prima scadenza T 1. Dopo la prima scadenza, bisognerà invece riconsiderare gli importi in essere e quelli eventualmente aperti a seguito del reinvestimento degli importi scaduti o del ri nanziamento del passivo. Un caso particolarmente semplice da trattare è quello in cui è presente un solo passivo, L, esigibile unicamente alla data T , e che viene utilizzato per nanziare interamente gli attivi. Ovvero, in t = 0 si ha il vincolo di bilancio: V 0 A (i) = V 0 L (i) = L(1 + i)−T
Qual è signi cato nanziario della presenza di un unico passivo? Per considerare un caso reale, una banca può emettere ZCB o orire depositi vincolati alla maturità T per nanziarsi e poi investire tutto il ricavato dalla raccolta in alcune attività. Se un desk della banca si occupa della gestione di questo portafoglio complesso `stand-alone', abbiamo proprio un unico passivo L pari alla somma dei nominali degli ZCB venduti. Più spesso, L è un passivo virtuale che rappresenta un target ideale di reddito per il usso degli attivi sull'orizzonte T. Matematicamente, si dice che il portafoglio di attivi e passivo è immunizzato all'istante t se, per ogni variazione del tasso, da i a i + ∆i che avvenga in t 1 si ha:
V (^) tA (i + ∆i) ≥ V (^) tL (i + ∆i)
Ad esempio, supponiamo che t = 0. Se abbiamo appena costruito un portafoglio solvibile che è anche immunizzato, e il tasso piatto i passa istantaneamente a i + ∆i, il portafoglio resta solvibile; ci sono addirittura margini di guadagno, in caso di disuguaglianza stretta. Siamo perciò protetti dalle variazioni del tasso.
Fisher e Weil hanno dimostrato nel 1971 il seguente teorema: in caso di passivo L unico esigibile in T , se al tasso i abbiamo V 0 A (i) = V 0 L (i), il portafoglio è immunizzato in t = 0 se e solo se la duration degli attivi DA 0 (i) è uguale alla duration T del passivo.
(^1) Sarebbe meglio scrivere: per ogni variazione che avvenga in t+... ma ci intendiamo!
Altrimenti detto, se gli attivi sono nanziati dall'unico passivo, allora in i c'è un minimo assoluto del valore totale del portafoglio
V 0 P (i + ∆i) = V 0 A (i + ∆i) − V 0 L (i + ∆i) ≥ V 0 P (i) = V 0 A (i) − V 0 L (i) = 0 per ogni ∆i
se e solo se D 0 A (i) = T. Osserviamo che, dato il vincolo di bilancio, è presente solo la condizione di uguaglianza delle duration, che è una condizione legata alle derivate prime e dunque del primo ordine. A nché una condizione del primo ordine sia necessaria e su ciente per l'ottimalità, ci dev'essere sotto qualche argomento di conves- sità: infatti la dimostrazione del teorema, che gli interessati trovano sul libro di testo a pag 252, si basa sulla costruzione di una opportuna funzione convessa.
Dunque, la ricetta base per costruire un usso di attivi che immunizzi il debito è imporre il vincolo di bilancio e quello di duration. Questo assicura l'immunizzazione in 0. E per quanto riguarda gli istanti futuri? La situazione è più semplice del previsto. Si possono presentare infatti solo i due casi seguenti.
- Il tasso i non cambia no alla prima scadenza T 1. Buone notizie: non bisogna fare nulla no a T 1! Infatti, il valore attuale del passivo L al tempo t, con 0 < t < T 1 , veri ca:
V (^) tL (i) = L (1 + i)T^ −t^
= (1 + i)t^ L (1 + i)T^
= (1 + i)t^ V 0 L (i)
ovvero si capitalizza al tasso piatto i. La stessa cosa accade per il usso degli attivi: V (^) tA (i) = (1 + i)t^ V 0 A (i)
quindi abbiamo ancora soddisfatto il vincolo di bilancio al tempo t:
V (^) tA (i) − V (^) tL (i) = 0 Cosa accade alle duration? siccome non è scaduto ancora nessun importo, e lo scadenzario si è accorciato di t, la duration degli attivi diventa DAt (i) = DA 0 (i) − t e la duration del passivo è T − t. Quindi continua a valere anche il vincolo di duration:
DtA (i) = T − t
Il teorema di Fisher e Weil si applica anche in t, che va pensato come nuova origine del tempo. Quindi il portafoglio è immunizzato.
- Il tasso i cambia all'istante 0 ≤ t < T 1 , passando a i + ∆i. Se invece, ad esempio dopo t un mese, il tasso passa da i a i+∆i. Il portafoglio, per quanto abbiamo visto sopra è immunizzato e in t si può applicare il Teorema di Fisher e Weil. Per cui, dopo il salto del tasso, abbiamo ancora la solvibilità
V (^) tA (i + ∆i) ≥ V (^) tL (i + ∆i) Tuttavia il portafoglio non veri ca più, in generale, le condizioni del teorema di Fisher e Weil per la solvibilità in caso di ulteriori cambiamenti del tasso! Il valore attuale degli attivi può infatti essere strettamente maggiore di quella del passivo e la duration dei passivi diversa da T − t. Dunque, il portafoglio non è più immunizzato in generale. L'operazione da compiersi è la seguente: cambiare la posizione nei titoli scelti inizialmente come attività in modo da soddisfare di nuovo il vincolo di bilancio e quello di duration. Siccome il vincolo di bilancio per il nuovo usso A∗^ è: V A
∗ t (i^ + ∆i) =^ V^
L t (i^ + ∆i) e il valore della vecchia posizione V (^) tA (i + ∆i) (quanto noi abbiamo a disposizione) è maggiore del necessario, ho denaro su ciente per eettuare la nuova immunizzazione. Si ottiene anche un guadagno in caso di netting strettamente positivo, ovvero la quantità
G = V (^) tA (i + ∆i) − V (^) tL (i + ∆i)
e pertanto B 1 ′ = 24245, 74 , B′ 2 = 8081, 91. Prendendo t = 122 come origine dei tempi, il portafoglio P ′ immunizzato appena costruito ha ussi e scadenzario dati da:
(24439. 08 , − 35000 , 8960 .99)/(1m, 10 m, 13 m)
Bibliogra a di approfondimento
M. De Felice e F. Moriconi: La teoria dell'immunizzazione nanziaria, ed. il Mulino, 1991.
