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B
A B
A ∪ B
A ∩ B
CAPITOLO 1
Insiemi, nozione di base: È una collezione di oggetti. Da un punto di vista matematico l’insieme si possono
rappresentare in tre differenti modi.
Elencazione degli oggetti: A={ a , b , c }
Proprietà che li caratterizza: A={ prime tre lettere dell ' alfabeto }
Diagramma di Venn: A
L’insieme costituito da nessun oggetto viene chiamato insieme vuoto rappresentato da ∅.
A={ a , b , c }
A={ a , b , c }, volendo dire che l’elemento a appartiene all’insieme A , si deve scrivere in questo modoa ∈ A, se
vogliamo dire che la lettera d non appartiene all’insieme A , si deve scrivere in questo modo d ∉ A.
Operazioni tra insiemi: Tra insiemi è possibile definire alcune operazioni. In particolare:
Dati due insiemi A e B, la loro unione è l’insieme, indicato con A ∪ B, costituito da tutti gli elementi che
appartengono ad A o a B (o ad entrambi), cioè: A ∪ B={ x : x ∈ A oppure x ∈ B } (dove il simbolo : si legge
“ tale che ”) e graficamente:
La loro intersezione è l’insieme, indicato con A ∩ B, costituito da tutti gli elementi che appartengono sia
ad A sia a B , cioè: A ∩ B={ x : x ∈ A e x ∈ B }, e graficamente:
Se due insiemi hanno intersezione vuota (cioè A ∩ B= ∅ ) si dicono disgiunti , e graficamente:
Dato un insieme U (detto “ insieme universo ”) e un sottoinsieme A di U , poi il complementare di A rispetto
ad U , indicato con A
U
c
(oppure
A
c
o con A) è l’insieme formato dagli elementi di U che non appartengono
ad A , cioè: A
c
={ x : x ∈ U e x ∉ A}, e graficamente:
Dati due insiemi A e B l’insieme differenza di A e B ¸ indicato con
A/ B
, è l’insieme costituito dagli elementi
che appartengono ad A , ma non a B , cioè:
A/ B={ x : x ∈ A e x ∉ B}
, e graficamente:
Si ha allora che il complementare di A rispetto ad U può anche essere visto come differenza tra U ed A , cioè:
A
A
A
c
← U
A/ B →
A
A
U
c
=U / A
Definizione di sottoinsieme: A è sottoinsieme di B , se ogni elemento di A è anche elemento di B. A ⊆ B ∀ x ∈ A,
si legge in questo modo: A è contenuto in B per ogni x preso appartenente ad A segue che x appartiene a B ;
A ⊆ B → A è contenuto di B → A=B ; A ⊂ B → A è contenuto di B strettamente. L’insieme vuoto è sottoinsieme
proprio di un qualsiasi altro insieme diverso dall’insieme vuoto ∅ ⊆ qualsiasi insieme.
Prodotto cartesiano: Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti), si chiama coppia ordinata un
insieme ( a, b ) costituito prendendo un elemento a ∈ A e un elemento b ∈ B nell’ordine indicato. L’insieme di
tutte queste coppie ordinate si chiama poi prodotto cartesiano di A e B e si indica con
A × B
(che si legge “ A
cartesiano B ), cioè: A × B= {
( a , b) :a ∈ A e b ∈ B }
e se A × B ≠ B × A, mentre se A=A si scrive A × A= A
2
.
Insieme delle parti: Sia U insieme, definiamo insieme delle parti U che denoteremo in questo modo
P ( U )={tutti i sottoinsiemi di U }, In un insieme di n elementi, l’insieme delle parti P ( U )ha
n
elementi.
Insieme di numeri reali: Insieme di particolare importanza sono quelli numerici, più precisamente:
N
Numeri interi naturali:
Z Numeri interi relativi: { ± 1 , ± 2 ,± 3 , … , ± 100 }
Q Numeri razionali:
{
m
n
: m, n=z , n ≠ 0
}
Gli insiemi N e Z sono detti discreti , in quanto non sempre tra due elementi di N (o di Z) è compreso un altro
elemento di
N
(o di
Z
). L’insieme
Q
invece è denso. È ancora discontinuo , cioè tra due razionali può trovarsi un
numero non razionale. A questo proposito si considera innanzitutto la seguente costruzione geometrica:
Non esiste alcun numero razionale
m
n
il cui quadrato è uguale a 2. Graficamente:
Il punto D’ sulla retta corrisponde al numero √ 2 ∉ Q
.
L’insieme
Q
lascia sulla retta dei “buchi”. Per “riempire” tali buchi occorre introdurre un ulteriore insieme
numerico, l’insieme dei numeri reali R. L’insieme viene indicato attraverso la differenza insiemistica R/Q.
Gli insiemi numerici considerati stanno tra di loro nella seguente relazione: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, dove ciascun insieme
è sottoinsieme proprio di quello successivo.
Insiemi di numeri reali, gli intervalli: Un rilievo particolare spetta ad alcuni sottoinsiemi di R, che vengono detti
intervalli. A questo proposito, dati due numeri reali a , b con a< b si introducono i seguenti insiemi:
Intervallo chiuso e limitato di estremi a e b ( include ): [ a , b ]={ x ∈ R :a ≤ x ≤ b };
Intervallo aperto e limitato di estremi a e b ( esclusi ): ( a , b )={ x ∈ R :a<x <b };
Intervallo semichiuso o semiaperto e limitato di estremi a e b : ¿;
Intervallo semichiuso o semiaperto e limitato di estremi a e b : (
a , b ] ={ x ∈ R : a<x ≤ b }.
Nei quali la specificazione “ chiuso ” e “ aperto ” deriva dal fatto che gli estremi, rispettivamente, appartengono o
non appartengono all’insieme in esame, mentre la specificazione “ limitato ” deriva dal fatto che gli estremi
costituiscono un confine inferiore e superiore degli elementi dell’insieme stesso.
Si possono introdurre anche gli intervalli illimitati (la cui immagine geometrica è una semiretta ), che sono
insiemi definiti nel seguente modo:
Intervallo chiuso e illimitato a destra: [ a ,+∞ ) ={ x ∈ R : x ≥ a}
Intervallo chiuso e illimitato a sinistra: ( −∞ , b] ={ x ∈ R : x ≤ b }
Intervallo aperto e illimitato a destra:
( a ,+ ∞)={ x ∈ R : x>a}
Intervallo aperto e illimitato a sinistra: (−∞, b) ={ x ∈ R : x <a }
Cioè un quadrato di lato unitario, e applicando il Teorema di Pitagora:
d= √
c
2
+c
2
, d
2
=c
1
+c
2
→d =√ 2
0
d
D 1
1 1 D
d
0 1 D’
**-
-** Se q= 1 → ∑
k= 0
n − 1
q
k
=n; Se q ≠ 1 → ∑
k= 0
n− 1
q
k
q
n
q− 1
CAPITOLO 2
Concetto di funzione: Un concetto di fondamentale importanza è quello di funzione. Dati due insiemi (non vuoti)
X e Y , si chiama funzione (o applicazione o corrispondenza) di X in Y una legge che ad ogni elemento x ∈ X associa
(al più) un unico elemento y ∈ Y.
E non è possibile che ad uno stesso
x ∈ X siano associati due o più elementi
y ∈ Y ,
non ci si trova in presenza di una funzione.
L’insieme di partenza X prende il nome di dominio , mentre il sottoinsieme A ⊆ X costituito dagli elementi x ai
quali sono associati elementi y ∈ Y viene detto insieme di esistenza (o campo di definizione ). L’insieme di arrivo
Y prende il nome di codominio , mentre il sottoinsieme f (X ) costituito dagli elementi y ∈ Y che corrispondono a
qualche elemento x ∈ X viene detto insiemi delle immagini. La corrispondenza (funzione) tra X e Y viene
indicato con
f , per cui si ha:
f : X → Y ,
f : A ⊆ X →Y oppure y=f (x ), si dice che y costituisce l’immagine, tramite
la funzione f , di x :
Funzione iniettiva: Una nozione di rilievo è quella di funzione iniettiva. Una funzione
f : A ⊆ X →Y si dice
iniettiva quando elementi distinti del dominio hanno immagini distinte cioè:
∀ x
1
, x
2
∈ A , x
1
≠ x
2
⇒ f ( x
1
) ≠ f ( x
2
.
Per quanto riguarda la definizione di funzione iniettiva, dal punto di vista grafico una funzione è iniettiva quando
ogni retta orizzontale di equazione y=k (con k costante) interseca il grafico di f al più in un punto; in caso
contrario, f non è una funzione. Si ha utilizzando il cosiddetto “ criterio della retta orizzontale ”.
Una funzione è quindi caratterizzata da una
situazione di questo tipo.
È invece possibile che a diversi elementi x ∈ X sia
associato uno stesso elemento y ∈ Y.
f
f
La variabile x , inoltre, viene detta variabile indipendente , mentre
la variabile y viene detta variabile dipendente.
f
Per quanto riguarda la definizione di funzione, dato che una funzione è una corrispondenza univoca che ad ogni
x ∈ A associa (al più) un unico y ∈ Y , dal punto di vista grafico ciò significa che ogni retta verticale di equazione
x=k (con k costante) interseca il grafico di f al più in un punto; in caso contrario, f non è una funzione. Si ha
utilizzando il cosiddetto “ criterio della retta verticale ”.
Funzione suriettiva: Una funzione
f : A ⊆ X →Y si dice suriettiva se l’insieme delle
immagini coincide con il codominio.
Funzione biunivoca/biiettiva: Una funzione da A a B è biiettiva o biunivoca , quando è sia iniettiva sia suriettiva.
Una funzione biunivoca viene anche chiamata corrispondenza biunivoca fra A e B. In simboli: f : A ↔ B.
Funzione monotona: Una classificazione importante riguarda la monotonia di una funzione. Vale a questo
proposito la seguente definizione:
Una funzione f : A ⊆ R→ R si dice crescente quando: ∀ x
1
, x
2
∈ A con x
1
<x
2
⇒ f ( x¿ ¿ 1 )≤ f (x ¿¿ 2 ) ¿ ¿.
- Crescente in senso stretto quando:
∀ x
1
, x
2
∈ A con x
1
< x
2
⇒ f (x¿ ¿ 1 )< f (x¿ ¿ 2 )¿ ¿ .
Decrescente quando: ∀ x
1
, x
2
∈ A con x
1
<x
2
⇒ f ( x¿ ¿ 1 ) ≥ f ( x ¿¿ 2 )¿ ¿.
- Decrescente in senso stretto quando:
∀ x
1
, x
2
∈ A con x
1
< x
2
⇒ f (x¿ ¿ 1 )> f (x¿ ¿ 2 ) ¿ ¿ .
Funzione limitata: Sia f : A → R , A ≤ R, si dice:
Se il grafico di una funzione f definito in un dominio A sia tutto sotto una retta parallela all’asse delle
ascisse la funzione si dice superiormente limitata : ∃ k ∈ R : ∀ x ∈ A ⇒ f ( x ) ≤ k ,k ≥ f ( x).
Analogamente, f si dice inferiormente limitata , se il suo grafico non ha punti sotto una retta d’equazione
cioè, se: ∃ k ∈ R : ∀ x ∈ A ⇒ f ( x ) ≥ k , k ≤ f (x).
Una funzione limitata sia superiormente sia inferiormente, si dice limitata.
f è iniettiva f non è iniettiva
f (x) è biunivoca f ( x) non è biunivoca
Funzione crescente Strettamente crescente
Funzione decrescente Strettamente decrescente
stesso bene (che dipende dal suo prezzo secondo una relazione crescente): S ( p )=−c+ d∗p con c > 0 , d > 0. In
questo caso il punto in cui:
D ( p )=S( p) rappresenta il punto di equilibrio del mercato, che quindi è dato da:
p
¿
a+ c
b+d
→ prezzo diequilibrio ; q
¿
=D ( p
¿
)=S ( p
¿
) → quantità di equilibrio
.
Funzioni quadratiche: Un secondo insieme di funzioni elementari è quello delle
funzioni quadratiche , che sono del tipo: f
x
=ax
2
con a ∈ R , a≠ 0 e graficamente
sono rappresentate da una parabola con vertice nell’origine, asse di simmetria
costituito dall’asse y (quindi sono funzioni pari) e concavità rivolta verso l’alto se
a> 0 e verso il basso se a< 0 (sono funzioni concave).
Più in generale, le funzioni quadratiche sono del tipo:
f
x
=ax
2
con
a , b , c ∈ R , a ≠ 0
e graficamente sono
rappresentate da una parabola con vertice nel punto:
V =
(
−b
2 a
b
2
− 4 ac
4 a
)
, asse di simmetria parallelo all’asse y (è la retta
di equazione
x=
−b
2 a
) è concavità rivolta verso l’alto a> 0 , verso il
basso se a< 0.
Proporzionalità inversa: Due variabili non nulle x e y sono
inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante. La legge
di proporzionalità inversa è, dunque: x∗y =a con a ≠ 0 , che può
anche essere scritto nella forma
y=
a
x
. Le funzioni
f : R ¿ { 0 ¿}→ R
definite da
f ( x )=
a
x
con a ≠ 0 hanno come grafico un’ iperbole che
ha come asintoti gli assi cartesiani.
Funzione domanda: Sia p il prezzo di vendita d’una merce e sia q (p) la
quantità che viene domandata detta usualmente funzione di domanda.
Se il venditore aumenta il prezzo, la quantità domandata diminuisce. Nel
caso di funzione di domanda del tipo “proporzionalità inversa”, ossia
q ( p) =a/ p con( a> 0 )
, l’effetto sul fatturato rimane invariato, infatti:
pq ( p )=
p∗a
p
=a
. Il grafico di questa funzione è detta in economia
“ curva di domanda anelastica ”.
Funzione composta: Comporre le funzioni f : A → B e g : B →C significa considerare la funzione composta , g ∘ f ,
che associa a ogni elemento di A un elemento di C nel seguente modo:
All’elemento x ∈ Acorrisponde mediante f , l’elemento f ( x) ∈ B;
All’elemento f ( x) ∈ B corrisponde, mediante g , l’elemento g ( f ( x)) ∈ C;
Quindi ( g ∘ f ) ( x ) =g (
f ( x ) )
∀ x ∈ A. ( g ∘ f ) si legge “ g composto f ”; g (
f ( x ) )
si legge
“ g di f di x ”. Se C= A , possiamo considerare sia g ∘ f sia f ∘ g, ma in generale:
g ∘ f ≠ f ∘ g, ossia la composizione delle funzioni non è commutativa.
Funzione inversa: Una funzione f : A ⊆ R→ R si dice invertibile se e solo se è una corrispondenza biunivoca tra
A e f ( A). La funzione che ad ogni y ∈ f ( A) associa l’unico elemento x tale che f ( x )= y si chiama funzione
inversa di f e s’indica con il simbolo f
− 1
. Componendo nei due modi possibili la coppia f , f
− 1
si trovano le due
relazioni seguenti, che ben caratterizzano il legame tra una funzione e la sua inversa: f
− 1
[ f ( x )]=x
; f [ f
− 1
y
]= y
.
( f
− 1
∘ f
) :
y
=f
− 1
[ f (x)]=f
y
=x ;
( f ∘ f
− 1
) =f [ f
− 1
y
]=f
x
= y
Una funzione f : A ⊆ R→ R, strettamente monotona in A , è invertibile. Questo ci permette di vedere se una
funzione è invertibile.
Funzione potenza (esponente naturale): Definiamo la potenza n-esima di un numero reale, dato x ∈ R e n ∈ R,
definiamo
x
n
=x∗x∗x∗…∗x ← n−volte
:
x
a
; x
n
∗x
m
=x
n +m
;
x
n
x
m
=x
n−m
; (x ¿¿ n)
m
=x
n∗m
La funzione è pari, simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, convessa, strettamente crescente in
[ 0 ;+∞¿
, strettamente decrescente
¿
, non è invertibile in tutto il suo dominio. Insieme delle immagini
→ [ 0 ;+ ∞ ¿
, estremo inferiore
¿ 0
; estremo superiore
¿+ ∞
.
La funzione è dispari, simmetrica rispetto all’origine, strettamente crescente nel suo dominio, biunivoca
cioè invertibile. Insieme delle immagini → R, estremo inferiore¿−∞; estremo superiore¿+ ∞.
Funzione potenza (esponente reale): x
n
=x∗x∗x∗…∗x ← n−volte
;
x
°
= 1 ; x
n
x
n
.
Se l’esponente è un numero razionale:
x
m
n
(
x
n
)
m
=(
n
√
x )
m
Se l’esponente è un numero reale: x
α
con α ∈ R
.
α < 0
- f : ( 0 ;+∞ ) →( 0 ;+∞); D= 0 ;+∞. Strettamente decrescente, strettamente convessa, estremo
inferiore¿ 0 ; estremo superiore¿+ ∞. Insieme delle immagini ( 0 ;+ ∞);
0 ≤ α< 1
- f ( x )=x
α
Strettamente concava;
α > 1
- f : [ 0 ;+ ∞¿ → [ 0 ; +∞ ¿ ; D=[ 0 ;+∞ ¿. Strettamente crescente, strettamente convessa, estremo
inferiore
; estremo superiore
. Insieme delle immagini [ 0 ;+ ∞¿.
Funzione radice n-esima : Sia x ∈ R e n ∈ N ,
n
√
x=?
. Dobbiamo distinguere due casi:
Se n è pari, la radice n-esima di x ,
x ≥ 0 è quel numero positivo,
y ≥ 0 tale che y
n
=x
;
Se n è dispari, la radice n-esima di x è quel numero reale
y ∈ R tale che y
n
=x
.
f ( x )=
n
√x
;
Dominio=[ 0 ;+ ∞ ¿
;
f : [ 0 ;+ ∞¿ →
[
Se n è pari, x ≥ 0. Strettamente crescente nel suo dominio, biunivoca, strettamente concava,
inferiore¿ 0 ; estremo superiore¿−∞
Questa funzione nasce come funzione inversa della restrizione della funzione potenza nell’intervallo [ 0 ; +∞ ).
(
n
√
x
)
n
=x ∀ x ∈ [
0 ; + ∞ ) ; ∀ x ∈ R
(
n
√
x
)
n
=|x|←
è valore assoluto di x.
x
{
x , x ≥ 0
−x , x ≤ 0
√
x
2
x
√
x
2
=x ∀ x ∈ R → sbagliato
f ( x )=
n
√
x
; Dominio=R
; f : R → R
;
(
n
√
x
)
n
=x ∀ x ∈ R
Strettamente crescente, estremo inferiore¿−∞; estremo superiore¿+ ∞.
Funzione valore assoluto: Sia x ∈ R,
x
{
x , x ≥ 0
−x , x < 0
Pari, simmetrica rispetto all’asse y , strettamente decrescente ¿, strettamente
crescente [ 0 ;+ ∞¿, estremo inferiore¿ 0 ; estremo superiore¿+ ∞.
- Sia a> 1 ; b ∈ R - log
a
x
=b ⇔ x=a
b
; log
a
x
b ⇔ x>a
b
; log
a
x
< b ⇔ x >a
b
- Sia 0 < a< 1 ; b ∈ R - log
a
x
=b ⇔ x=a
b
; log
a
x
b ⇔ x>a
b
; log
a
x
< b ⇔ x <a
b
Funzione goniometrica: Un ultimo insieme di funzione elementari è costituito dalle
funzione goniometriche. Per introdurle si considera una circonferenza con centri in (0;0)
e raggio 1.
^
EB assumendo
x > 0 se ci si muove da E verso B in senso antiorario,
x < 0 se ci si
muove in senso orario. A questo punto si definisce radiante , l’unità di misura degli angoli:
∝ rad=x /r.
Funzione seno e coseno: Definiamo coseno e seno dell’angolo
α , e indichiamo con
cosα e sinα , le funzioni che ad
α associano, rispettivamente, il valore dell’ascissa e quello dell’ordinata del punto B :
cosα=x
b
; sinα = y
b
.
Variazione delle funzioni seno e coseno: Seno e coseno di
un angolo
α sono funzioni che hanno come dominio
R
,
perché per ogni valore dell’angolo α ∈ R esiste uno e un solo
punto B sulla circonferenza goniometrica. Qualunque sia la
posizione di B sulla circonferenza, la sua ordinata e la sua
ascissa assumono sempre valori compresi fra − 1 e 1 , quindi:
− 1 ≤ sinα ≤ 1 e− 1 ≤cosα ≤ 1. Il codominio delle funzioni seno
e coseno è quindi [− 1 ; 1 ]. Poichè cosα=cos(−α ), allora il
coseno è una funzione pari , mentre, essendo sinα=sin(−α ),
il seno è una funzione dispari.
Prima relazione fondamentale: sen
2
α +cos
2
α = 1
. Da questa relazione è possibile ricavare sinα conoscendo
cosα e viceversa. Infatti, se è noto
cosα , si ha sinα=± √
1 −cos
2
α
. Viceversa, se si conosce
sinα , si ha
cosα=± √
1 −sin
2
α
.
Sinusoide e cosinusoide: Il grafico completo della funzione seno
si chiama sinusoide , quella della funzione coseno cosinusoide. Le
funzioni sono periodiche di periodo 2 π , quindi i grafici si
ottengono ripetendo ogni 2 π i grafici relativi all’intervallo [ 0 ; 2 π ].
Funzione periodica: Sappiamo che, in generale, una funzione y=f (x )
è detta periodica di periodo p(con p> 0 )
se per ogni x e per qualsiasi numero k intero si ha f ( x )=f ( x +kp).
Funzione tangente: Definiamo tangente di α la funzione che ad α associa il rapporto, quando esiste, fra
l’ordinata e l’ascissa dal punto B :
tanα=
y
b
x
b
. La tangente esiste solo se:
α ≠
π
+kπ con k ∈ Z .
Periodo della funzione tangente: La tangente è una funzione periodica π,
cioè, qualunque sia l’angolo α del dominio è: tanα=tan ¿. Il grafico completo
della tangente si chiama tangentoide. Ha asintoti infiniti verticali: le rette di
equazioni
x=
π
Seconda relazione fondamentale:
tanα=
sinα
cosα
con α ≠
π
+kπ , k ∈ Z
. La tangente di un angolo è data dal
rapporto, quando esiste, fra il seno e il coseno dello stesso angolo.
In sintesi: La funzione y=sinx ha per dominio R e per codominio l’intervallo [− 1 ; 1 ], ossia: sinx :R → [− 1 ; 1 ].
Pertanto |sinx|≤ 1. È una funzione dispari, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine.
La funzione y=cosx ha per dominio R e per codominio l’intervallo [− 1 ; 1 ], ossia: cosx : R → [− 1 ; 1 ]. Pertanto
|cosx|≤ 1. È una funzione pari, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y.
La funzione y=tanx ha per dominio
R−
{
π
+kπ , k ∈ Z
}
e codominio R, ossia:
R−
{
π
}
→ R
. Ha
infiniti asintoti verticali di equazione
x=
π
. È una funzione dispari, quindi è simmetrica rispetto
all’origine.
Limiti finiti: Sia f : A ⊆ R→ R e sia
x
0
un punto di accumulazione di A.
lim
x→ x
0
f ( x ) =l se ∀ V ( l) , ∃ U
(
x
0
)
: ∀ x ∈ U ( x
0
)∩ A ¿ {x
0
} ⇒ f ( x ) ∈ U (l)
;
lim
x→ x
0
f ( x ) =l se ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ U : 0 <
|
x−x
0
|
<δ ⇒ |f ( x ) −l|<ε
;
lim
x→+∞
∀ V (l) , ∃ U ( +∞) : ∀ x ∈ U (+∞)∩ A ⇒ f ( x) ∈ V (l)
;
lim
x→+∞
f ( x )=l se ∀ ε > 0 , ∃ M > 0 : ∀ x ∈ A : x >M ⇒ |f ( x )−l|< ε ;
lim
x→−∞
f ( x ) =l se ∀ ε> 0 , ∃ M > 0 : ∀ x ∈ A : x ← M ⇒ |f ( x )−l|< ε.
Limiti infiniti:
lim
x→ x
0
f ( x ) =+ ∞
se ∀ V ( +∞) ∃ U
(
x
0
)
: ∀ x ∈ ¿
lim
x→ x
0
f ( x ) =+ ∞
se ∀ M > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ A : 0 <
|
x−x
0
|
<δ =f ( x ) >M;
lim
x→ x
0
f ( x ) =−∞
se ∀ M < 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ A : 0 <
|
x−x
0
|
< δ =f ( x ) ← M;
lim
x→+∞
f ( x )=+ ∞
se
∀ M > 0 ∃ k> 0 : ∀ x ∈ A : x >k ⇒ f ( x )=M
;
lim
x→+∞
f ( x )=−∞
se
∀ M > 0 ∃ k> 0 : ∀ x ∈ A : x >k ⇒ f ( x ) ← M
;
lim
x→−∞
f ( x ) =+∞
se ∀ M > 0 ∃ k> 0 : ∀ x ∈ A : x ←k ⇒ f ( x )> M
;
lim
x→−∞
f ( x ) =−∞
se ∀ M > 0 ∃ k> 0 : ∀ x ∈ A : x ←k ⇒ f ( x )← M
lim
n →+∞
(
n
)
n
limite notevole.
Limite destro:
lim
x→ 0
+¿
f (x )=l se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ A : x ∈ (
x
0
−δ , x
0
)
⇒ |
f (x )−l |
<ε ;¿
Limite sinistro:
lim
x→ 0
−¿
f ( x)=l se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ A : x ∈ ( x
0
, x
0
−δ) ⇒ |f ( x)−l|> ε .¿
Esistenza del limite: Sia
f : A ⊆ R→ R con x
0
un punto di accumulazione per A. Il limite f ( x) per x che tende a
x
0
:
lim
x→ x
0
f ( x ) =l
esiste se e solo se, per ogni successione di punti {
x
0
}
appartenenti ad A e tendenti a x
0
(con x
n
=x
0
), la
successione delle immagini ¿
tende sempre allo stessi valore l.
Nel caso di f ( x )=sinx per mostrare che:
lim
x→+∞
sinx= ∄
.
Teorema sui limiti:
Teorema di unicità del limite: Se la funzione f ammette limite per
x → x
0
, questo limite è unico;
Teorema del confronto (o dei “due carabinieri”): Date tre funzioni f , g , h con
x
0
punto di accumulazione
per i rispettivi insiemi di definizione, se:
- Esiste un intorno di
x
0
:
U
(
x
0
)
: ∀ x ∈ U ( x
0
) ⇒ g(x )≤ f (x) ≤ h(x) ;
- I limiti per
x → x
0
di g ( x ) e dih ( x) esistono finiti e uguali:
lim
x→ x 0
g ( x )= lim
x→ x 0
h ( x )=l
.
Allora anche f ( x ) ammette l per
x → x
0
: lim
x→ x
0
f ( x )=l
.
Teorema della permanenza del segno: Se per
x → x
0
la funzione f ammette limite l ≠ 0 , allora esiste un
intorno di
x
0
(con x
n
≠ x
0
in cui f ha lo stesso segno di l. Il viceversa in generale non è reale.
Se una funzione f è ¿ 0 (¿ 0 ) in un intorno di
x
0
,
lim
x→ x 0
f ( x ) ≥ 0 (≤ 0 )
.
Definizione di continuità: Sia
f : A ⊆ R→ R con x
0
∈ A
, punto di accumulazione per A. Si dice che f è continua in
x
0
, se:
lim
x→ x
0
f ( x ) =f (
x
0
)
Limiti delle funzioni elementari:
Esponenziali: y=a
x
lim
x→ x 0
a
x
=a
x 0
; lim
x →+∞
{
+∞ , a> 1
0 , 0 < a< 1
; Se 0 < a< 1 :
lim
x→−∞
{
0 , a> 1
+∞ , 0 <a< 1
.
Logaritmico:
y=log
a
x
- Se
a> 1 :
lim
x→ x 0
log
a
x=log
a
x
0
lim
x → 0
+¿
log a
x=−∞ ; lim
x→+ ∞
log a
x=+∞ ¿
;
- Se 0 < a< 1 :
lim
x→ 0
+¿
log a
x=+∞ ; lim
x→+ ∞
log a
x=−∞ ¿
.
Potenza: y=x
n
; y=x
a
- Se n è pari :
lim
x→ ±∞
x
n
;
lim
x→−∞
x
n
; Se n è dispari:
lim
x→+∞
x
n
=+∞ ; lim
x →−∞
x
n
.
Potenza:
y=x
a
lim
x→ 0
+¿
x
a
=+∞ ; lim
x→+ ∞
x
a
= 0 ; ¿
Se a> 0 :
lim
x → 0
x
a
= 0 ; lim
x →+∞
x
a
Limiti delle funzioni trigonometriche:
Seno:
lim
x→ x
0
sen
x
=sen
x
; lim
x →± ∞
sen
x
Coseno:
lim
x→ x
0
cos
x
=cos
x
; lim
x→ ±∞
cos
x
Tangente:
lim
x→
π
2
tg x
¿−∞ ; lim
x→
π
2
−¿
tg x
¿+ ∞ ;
lim
x→ x
0
tg x
=tg x
0
con x≠
π
2
+kπ ¿¿
.
Algebra estesa dei limiti: Le regole dell’algebra dei limiti di seguito presentate si applicano esclusivamente al
calcolo dei limiti e non nell’ambito dell’algebra classica. Ricordiamo che nell’algebra classica si ha: a
0
con
a ≠ 1 ;
a
= 0 con a ≠ 0. Nell’algebra dei limiti valgono le regole sotto riportate dove
a ∈ R e n ∈ N .
Rapporti tra numeri ed infiniti:
a
=± ∞ con a ≠ 0 ;
a
a
Somme, prodotti e rapporti tra numeri ed infiniti: + ∞ ± a=+ ∞;−∞ ± a=−∞; ± ∞∗a=± ∞;
a
Somme e prodotti tra infiniti: +∞+ ∞=+∞ ;−∞−∞=−∞; ( ± ∞ )∗( ± ∞) =± ∞¿ ;
Potenze con infiniti:
+∞
−∞
+∞
−∞
a
=+∞ con a> 0
;
a
= 0 con a< 0 ; (−∞ )
n
=+∞ con n pari;(−∞)
n
=−∞ con n dispari.
Limite della somma e del prodotto: Se
lim
x→ a
f ( x )=l e lim
x→ a
g ( x )=m
dove l , m ∈ R, allora:
lim
x→ a
[ f ( x )+ g ( x)]=lim
x → a
f ( x ) +lim
x→ a
g ( x )=l+ m
;
lim
x→ a
[ f ( x )∗g( x )]=lim
x→ a
f ( x )∗lim
x →a
g ( x )=l∗m
;
Limite del quoziente: Se
lim
x→ a
f ( x )=l e lim
x→ a
g ( x )=m
dove
l , m ∈ R e
m≠ 0 , allora:
lim
x → a
f ( x)
g (x)
lim
x → a
f ( x)
lim
x→ a
g ( x)
l
m
.
Forme indeterminate:
f non è continua f è continua
Di seconda specie: Se vale
lim
x→ x 0
−¿
f ( x )≠ lim
x→ x 0
+¿
f ( x)
¿ ¿¿
entrambi finiti, ma diversi.
Teorema di Weierstrass: Una funzione f : A ⊆ R→ R continua su di un intervallo chiuso e
limitato [ a , b ] assume sempre su tale intervallo valore minimo m e valore massimo M , cioè esistono
almeno due punti
x
1
, x
2
∈ [ a , b] tali che:
f (x ¿¿ 1 )=me f (
x
2
)
=M ¿
con m ≤ f ( x ) ≤ M ∀ x ∈ [ a , b]. Se
alcune ipotesi del teorema non sono verificate, il risultato non è più vero.
f discontinua, esiste il m , ma non esiste il M ;
f definita su di un intervallo non chiuso, non esiste il m , ma esiste il M ;
f definita su di un intervallo non limitato, esiste il m , ma non esiste il M ;
f definita su di un intervallo aperto, esiste il m , ma non esiste il M.
Teorema di Darboux : Una funzione f : A ⊆ R→ R continua su di un intervallo chiuso e limitato
[ a , b ] assume in tale intervallo, almeno una volta, tutti i valori compresi tra il minimo m e il massimo
M. ∀ y
0
∈ [ m , M ] ∃ x
0
∈ [ a , b] tale che f (x ¿¿ 0 )= y
0
Teorema di Bolzano: Se f : A ⊆ R→ R continua su di un intervallo chiuso e limitato [ a , b ] con
f ( a)∗f (b)
(cioè f assume nei due estremi valori di segno opposto), allora esiste almeno un punto
c ∈ ( a ,b )
tale che
f ( c) = 0
.
Teorema di De l’Hôpital: Date due funzioni f (x) e g(x ) definite nell’intorno I di un punto
x
0
, se:
f (x)
e g( x )
sono continue in
x
0
e f
(
x
0
)
=g (x ¿¿ 0 )= 0 ¿ ; f ( x)
e g( x )
sono derivabili in I eccetto al più
x
0
;
g
'
x
≠ 0 ∈I −{ x
0
}
Allora esiste
lim
x→ x
0
f (x )
g( x)
e risulta : lim
x → x
0
f (x)
g( x)
=¿ lim
x → x
0
f '( x )
g ' (x)
.
CAPITOLO 4
Calcolo differenziale: Sia A ⊆ R, un punto
x
0
∈ R
si dice interno ad A se appartiene ad A e se esiste almeno un
intorno interamente contenuto in A.
Sia f : A ⊆ R→ R e sia
c
0
un punto interno ad A. Sia h un incremento sufficientemente
piccola della variabile indipendente tale che
c
0
+h deve essere un interno ad A.
Derivata di una funzione: Data una funzione f : A ⊆ R→ R e dato un punto
c
0
interno ad
A , si definisce derivata di f in
c
0
il limite (purché esista finito) per h → 0 del rapporto
incrementale di f :
f ' (c ¿¿ 0 )=
lim
h → 0
f
(
c
0
+h
)
−f ( c
0
h
.
Derivata sinistra: :
f '
−¿(c¿¿ 0 )= lim
h → 0
−¿ f (c 0 + h)−f ( c 0 )
h
; ¿
¿ ¿
Derivata destra:
f '
+¿(c¿¿ 0 )= lim
h → 0
+¿ f ( c 0 +h )−f (c 0 )
h
¿
¿ ¿
.
Deve essere:
f ' (c ¿¿ 0 )=f '
−¿(c¿¿ 0 )=f ' +¿( c¿¿ 0 )¿
¿¿
. Se nel punto
c
0
esistono la derivata sinistra e quella destra, ma non
sono uguali (oppure non sono finite), si dice che in
c
0
la funzione f presenta un punto di:
Angoloso:
f '
−¿(c¿¿ 0 )≠ f '
¿¿
, ma entrambi sono finiti;
Cuspide:
f '
−¿(c¿¿ 0 )e f '
¿ ¿
, sono infiniti con segno differente (uno +∞ e l’altro −∞);
Rapporto incrementale
Variazione della variabile indipendente
Variazione della variabile dipendente
∆ y
∆ x
f
(
c
0
+h
)
−f (c
0
c
0
+h−c
0
f
(
c
0
)
−f (c
0
h
Flesso a tangente verticale:
f '
−¿(c¿¿ 0 )e f '
¿ ¿
sono infiniti con lo stesso segno (entrambi +∞ oppure −∞
).
Operazioni con le derivate: Se
f e g sono due funzioni derivabili in un generico punto
x , allora sono derivabili in
x anche la loro somma, il loro prodotto e il loro quoziente (quest’ultimo se g(x )≠ 0
) e valgono le seguenti (dove
con D si indica la derivata di una funzione):
[
f ( x ) ± g ( x ) ]
'
=f ' ( x)± g ' ( x)
;
[ f ( x )∗g ( x ) ]
'
=f ( x )
'
∗g ( x ) +f ( x )∗g ( x ) ;
Se c’è una costante si ha [ c∗f ( x ) ]
'
=c∗[ f (x)]
;
[
f (x)
g(x )
[ f ( x ) ]
'
∗g ( x )−f ( x )∗[ g ( x ) ] '
[
g ( x) ]
2
]
con g
x
.
Interpretazione economica: Considerando la teoria dei costi, in cui:
C
q
=funzione di costo totale , la quale
dipende dalla quantità prodotta q di un certo bene. In questo caso la derivata in un punto
q
0
è data da:
C '
(
q
0
)
=lim
h → 0
C
(
q
0
+h )
−C '
(q 0
)
h
che viene detta funzione di costo marginale , e rappresenta la variazione del costo
totale in seguito ad una variazione marginale (cioè infinitesima) della quantità prodotta.
Teorema di Fermat: Se una funzione f : A ⊆ R→ R derivabile ha un massimo oppure un
minimo relativo in un punto
x
0
, interno ad A , allora si haf ' (x ¿¿ 0 )= 0 ¿ cioè in tale punto la
derivata prima si annulla (il coefficiente angolare della retta tangente a f in
x
0
ha inclinazione
nulla, cioè tale retta è orizzontale, parallela all’asse delle ascisse).
Teorema di Rolle: Se una funzione f : A ⊆ R→ R soddisfa le seguenti
ipotesi:
È continua nell’intervallo [ a , b ];
È derivabile nell’intervallo
( a , b ) ;
f ( a)=f (b)
.
Allora esiste almeno un punto c ∈ ( a ,b ) tale che: f
'
c
cioè un punto in corrispondenza del quale la retta
tangente a f è orizzontale.
Teorema di Lagrange: Se una funzione f : A ⊆ R→ R soddisfa le seguenti ipotesi:
È continua nell’intervallo [ a , b ];
È derivabile nell’intervallo ( a , b ).
Allora esiste almeno un punto c ∈ ( a ,b ) tale che: f
'
c
f ( b)−f (a)
b−a
.
Vi sono due importanti Corollari del Teorema di Lagrange:
Le funzioni continue su di un intervallo [ a , b ]e che hanno derivata nulla su di un intervallo ( a , b )sono tutte
e solo quelle costanti, cioè: f
'
x
= 0 ⇔ f
x
=c
.
Due funzioni f e g continue su [ a , b ]e derivabili su ( a , b ) con uguale derivata, sono tutte e solo quelle che
differiscono tra di loro per una costante additivi, cioè: f
'
( x )=g
'
( x) ⇔ f ( x )=g ( x )+ c.
Monotonia: Sia f una funzione derivabile in ( a , b ):
f è crescente in ( a , b ) se e solo se f
'
(
x
0
)
≥ 0 ∀ x ∈ (a , b);
f è decrescente in ( a , b ) se e solo sef
'
(
x
0
)
≤ 0 ∀ x ∈ (a , b).
Questo teorema è chiamata condizione sufficiente. Sia f una funzione derivabile in ( a , b ):
f è strettamente crescente in ( a , b ) se e solo se f
'
( x
0
) > 0 ∀ x ∈ (a , b);
f è strettamente decrescente in ( a , b ) se e solo sef
'
(
x
0
)
< 0 ∀ x ∈ (a , b).
Massimi e minimi: Data una funzione f : A ⊆ R→ R, un punto
x
0
∈ A
si dice punto di massimo (o di minimo )
assoluto o globale per f se:
f
(
x
0
)
≥ f ( x ) (oppure f
(
x
0
)
≤ f ( x )) ∀ x ∈ A , mentre si dice massimo (o di minimo )
assoluto o globale stretto (o forte ) per f se:
f (
x
0
)
f ( x ) (oppure
f (x
0
)<f ( x)¿ ∀ x ∈ A , x ≠ x
0
Data una funzione
f : A ⊆ R→ R , un punto
x
0
∈ A
si dice massimo (o di minimo ) relativo o locale per f se esiste
un intorno
U
(
x
0
)
tale che: f (
x
0
)
≥ f
x
(
oppure f (
x
0
)
≤ f
x
)
∀ Ux
0
∩ A, mentre si dice massimo (o di minimo )
relativo o locale stretto (o forte ) per f se esiste un intorno
U
(
x
0
) tale che:
f (
x
0
)
f ( x ) (oppure
f
(
x
0
)
< f (x )¿ ∀ Ux
0
∩ A , x ≠ x
0
.
Primo test di riconoscimento dei punti stazionari o critici: Sia f derivabile nell’intervallo ( a , b )e sia x
0
∈ (a , b)
un punto stazionario, tale chef ' ( x ¿¿ 0 )= 0 ¿. Se in un intorno sinistro di
x
0
è f ' (x)≥ 0 e in un intorno destro di
x
0
è
Coefficiente angolare di a e b
Coefficiente angolare di c
f ' ( x) ≤ 0 , allora
x
0
è di massimo locale. Se in un intorno sinistro di
x
0
è f ' ( x) ≤ 0 e in un intorno destro di
x
0
è
f ' (x) ≥ 0 , allora
x
0
è di minimo locale
Secondo test di riconoscimento dei punti stazionari o critici: Sia f definita in un intervallo I e due volte
derivabili in
x
0
∈ I
(punto interno) e sia f ' (x ¿¿ 0 )= 0 ¿.
f ' ' (x ¿¿ 0 )= 0 :¿
il test è inutilizzabile; f ' ' (x ¿¿ 0 )> 0 ¿
:
x
0
è un punto di minimo per la funzione;
f ' ' ( x ¿¿ 0 )< 0 :¿
x
0
è un punto di massimo per la funzione.
Concavità e convessità: Sia f una funzione derivabile in I , si dimostra che:
f è convessa in I ⇔ f’ è crescente in I ; f è concava in I ⇔ f’ è decrescente in I.
Sia f una funzione derivabile due volte in I , si dimostra che:
f è convessa in I ⇔ f
''
x
≥ 0 ∀ x ∈ I
; f è concava in I ⇔ f
' '
x
≤ 0 ∀ x ∈ I
.
Risulta inoltre che:
f
' '
x
0 ∀ x ∈ I ⇒ f è strettamente convessa∈I ; f
' '
x
< 0 ∀ x ∈ I ⇒ f è strettamente concava ∈I ;
Punto di flesso: Sia f una funzione derivabile due volte in un intervallo I e sia
x
0
∈ I
(punto interno ad I ),
x
0
è un punto di flesso se in un intorno sinistro f è convessa (o
concava) e in un interno destro f è concava (o convessa). Un punto di flesso è
caratterizzato dal fatto che f ' ' (x ¿¿ 0 )= 0 ¿.
Ottimizzazione su un intervallo chiuso e limitato: Per il teorema di Weierstrass , se una funzione è continua in
un intervallo chiuso e limitato [ a , b ], allora essa assume, in tale intervallo, il massimo e il minimo assoluto.
Differenziabilità di una funzione: Una funzione f : A ⊆ R→ R e si dice differenziabile in un punto
x
0
∈ A
,
interno ad A , se esiste un numero
m ∈ R , tale che:
f ( x )−f (
x
0
)
=m (
x−x
0
)
+E(x −x
0
. Il termine lineare
m (
x−x
0
)
si chiama differenziale della funzione in
x
0
.
Una funzione f : A ⊆ R→ R è differenziabile in un punto
x
0
∈ A
, interno ad A , se e solo se è derivabile in
x
0
.
In questo caso:
f ( x )−f
(
x
0
)
=f ( x ¿¿ 0 )∗
(
x −x
0
)
+E ( x−x
0
) per x → x
0
.
Per funzioni ad una variabile la differenziabilità coincide con la derivabilità.
df (
x
0
)
=f ' (x ¿¿ 0 )∗ (
x−x
0
)
→ df ( x )=f ' ( x)∗d (x ); ¿
dy =f '( x )∗dx ;∆ x=
(
x−x
0
)
,dx =
(
x−x
0
)
per x → x
0
.
