Analisi di funzioni: calcolo di minimi, massimi e punti di svolgimento - Prof. Mariano, Appunti di Matematica Generale

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ORARI RIGEMOMENTO

:

15 ufficio

via Necchi

9 (

°

Piano) x recevimento

studenti

& Marzia

de Donna)

MATERIALE

=

Shole su

Blackboard

, Trovo

teoria e esercizi

Escrizione su

Blackboard

e

libri

consigliatiy

Peccati-Salsa-Squellati

Esempio (lezione)

: Siamo

produttori

smartwatch

costo produzione

i X

Si

rivende

a 300 E l'uno

=>

D

: 300X

• X2 = 300 -

2X

=

0

ricavo

: 300X

X

= 150

progetto

:

Ricaro-Cost

= 300X

• X

(mio

metodo

Quanti

venderne

x

profito

massimo

?

MAX

(X

:

Y)

calcoo vertice XV

=

=

150 max

profiti

o

ear

is

I

·

f(x)

= 300X

• x

I. e

ate

questo

valore poi

valdo in

percenta

·

Costl

Ricavi

Stesso

esempio

ma

con NDOL = la capacita produttiva

i di 100 smartwatch

al

max

questa parte

non

la considera

perche

la

produzione

maricio

Studiare in 2

gg

.

E

poi

spingere

con

gli

es

: Una

simulazione al

gg

.

INTORNO

= l'intorno di Maggio r

e centro a

(aER

,

rol

e l'intervallo aperto

(a-r ;

a tr)

a-r a

• R

O ⑳

O

a

Intervallo simmetrico rispetto

al centro

e

contiene

tutti i

punti

che distano

da

a

meno

di r

distanza

tra due

panti

a ,

beR

|

a

• b |

dove

X se

XI

(x)

=

E

X

se

XcO

(a - M ;

atr)

=

GxeR

:

an

< X < a

ry

=

(xeR

:

(x-al

<

n}

ESERCIZIO

:

l'intorno di C

= 1 e M

=

(

,

= (

• 1

,

Risolvi la

disequazione

IX-2/L

X

• 1

. 220x

X

f(x)

=

E

x +

270X10X)

• 2

• 1x

FUNZIONI

Dati due insemi

I e

J ,

una

funzione

f

:

I-J

e una

regola

che ad

ogni

elemento

di 1 associa

uno

e un soo

elemento

di

J

Sotto Insiem

se

,

J R

,

diciamo

cha

y

i

una

funzione

reale

di

variable reale

Xe

I

y

=

f(x)

-J

X

gli

elementi

insieme

elementi insieme arrive

Partenza

d

Input

OUTPUT

variable

indipendente

variable dipendente

Esempi

y

immagine

di

x

tramite

·

Ad

ogni

no pari

si associa

O

e ad

ogni

no

dispari si associa 1

I

=

N (Insieme

I = numeri Naturali)

f(20)

= 0

modi

di

esprimere

questo

f((25)

= 1

2 =

42

,

338(2)

=

• 200

9(2)

=

=

S

f(x)

= 2x

• 3

= = R

f(0)

=

3

f)

• 1. =
  - zV+ 3

L'insieme

di

partenza

i

il

dominio

che

i

l'insieme di tutti

gli

XER

per

cui

la

funzione

e

definita

Come

si

identifica

?

· Dominio gia assegnato

: es

:

XeR

·

Dominio plu

grande

sotansieme

sul quale

la

funzione

ha senso

,

pho essere

Dominio matematico

:

XEN

·

• Dominio Economico :

Per

i

profitti

non posso

audare in Perdita

se xe

la variable

profitto

alloza X > 0

Esempi

f(x)

=

30x

x

25 X

2

D = R

f(x)

=

D :

xTaliche X

• P = 0 x

1 2

D

=

R

15

• 2

;

23

D

= (

• 0

.

2)U(

• 2,

+ 2)U(

• 2 ;

-)

② ·

7

• 2 # 2

R

f(x

=

J B

D

:

X 2

3 D

:

[Bi

o [

.

f(x)

= 0

xD

= R

CONTROLLO DOMINIO

②

Denominatore

argamento

radice pari

X

Esempio

uso

funzioni

definita

a tratte = somo

funzioni

definite

con espressioni

algebrache

su

diversi

insiemi (nom

soptar)

E

f(

=

• 4

Perche-

• ( - 0

:

2]

->

f(N

= 2

x

er

:

f(x)

2x

52(2)9(3)

=

2(x

f(1)

=

1(2)

=

2 -

f(x)

= 2x

f(x)

= (x)

f(x)

XCO

E

x 20

1. Se

meddito

aliquota 20 %

Identifica

insiemi

:

1.. [0:

40000]

0

,

20x

=> se

meddito

aliquota 20 %

• >

(

: +

W

=> 0 ,

2

.

0

,

3 (X-40000)

f(x)

=

0 ,20X

O

Applicazioni funzioni

lineari

f(x)

= mx + bm

,

bER

b =

f(0)

>

[intercetta

(B

, b)]

m

= quanto

varia la

funzione

quando x

aumenta

di una quantita

Funzione

di

costo

eineare

Tariffa

di un Taxi

costo

x chamata

3-

• EX km 0. 50

C(X) =

• 0 ,

50X

F n

costo

cost

marginale

• costo

aggiuntivo

x

ogni

umita

in

pic

fissor

MONOTONDAA

& DEBOLMENTE Crescente se

x

ogni

Xe ,

Xz

EDLE

x1(X2 =>

f(x1)tf(x2)

SE DEBOLMENTE

DECRESCENTE

Nu

X

Xz

=

f(x2)

f(x2)

My

Ni

z

↓

&

e

Strettamente

CRESCENTE se

x

Ogni

X

: X

E D(f)

X2(Xz

=

f(x1)

<

f(x2)

My

SE

STRETTAMENTE

DECRESCENTE

M

x

> x 2

e f(x1)

>

f(x2)

AU

>

X

DEF

INFERIORMENTE

Un

funzioNE 8

detta

inferiormente

limitata se

esiste

LIMITATA

KER Tale che

g(x)

K

per

ogni

X->

D(f)

DEF MINORANTE

>

K

detto minorante

My

Il

k

Ri

significativo

• • • X

i

quello

viuno alla

funzione

ESTREMO INFERLORE

Se

esiste un minozante

,

me

↓

pk

so

il minimo

esistomo co

:

Scelgo

grande

(

viumo

f)

valore di

O

grande

Tra

i Minorati

= ESTREMO INFERIORE

denotato con

inf

f(x)

xED(g)

N.

B

se

la

funzione Mon

INFERORMENTE

LIMITATA

:

inff(x)

=-

a si

scrive

cosi

Xe(f)

N

f(x)

=

x2 N

f(x)

=

2

z z

D(f)

=

R D(f)

= R/

40]

inff(x)

= 0 inff(x)

=

0

MINIO

GLOBALE

Def

:

Data

f

e Xo E

D(f)

si

dice

che

Xo

i

Un

PUNTO

di

MINIMO

GLOBALE

Assoluto

per

f

se

:

f(x0) 1

f(x)

per

ogni

XED

In altre

parde , se

f

i

inferiormente

limitata e

se

esiste

XofD(f)

in

sui

f(xd)

=

inf f(x)

allora

l'estremo

inferiore

un minimo

globale

per

f

e

possiamo

scrivere

f(xd)

= min

f(x)

X

D(f)

Epigrafico

: insieme

di tutti i

pti

del

piano

al di

sopra

del

orafico

4

1

/I

z

N

X

X

GONVESSA

f

I CONVESSA Se

il suo

epigrafico

e convesso ,

coe X

ogni

Coppia

(X ;

Gi)

e (xzi

G2)

E

epigrafico ,

le

segmento

che

li

commente appartiene

all'epigra

fil

ny

Convessa

ny

Colcava

·

· ·

7

7

X

X

una

f

CONVESSA

se x

Ogni

X1 ; X2 E

D(f)

il

segmento

che

unisce

(X1 ;

f(x1)

e

(X

:

f(x2)

i

sempre ol di sopra

del

grafico

della

funzione

ny

&

Convessa

·

>

X

NoB

Se

segmento

che unisce

Pr acaso

del

grafico

e

N

O

Sopra

:

sempre

convessa

7

· ·

ONEAAN

f

CONCAVA

se per

ogni

X

; X2 E

D(f) ,

il

segmento

collega

(x1 :

f(x1)

e (X2 ;

8(x2)

i

sempre al

di

setto del

grafico

della

f

8

concava se

-f

e

convessa

D

in

queste

nella velocita di Crescita

e

decrescita

tende ad

aumentare

N

·

Coucana N Convessa

>

·

a > P

a

Convessa parcia

in su

X

aLO ad

concava

parcia

in

giu

X

FUNZIONN Es

: R(x)

=

300X e se

X dipende da

t

OMPOSTE

x(t)

= 200

• 50t

se

= 1

x(H)

=

100 +

R

=

300

• 150

se

= 2 x(t)

=

200 &

=

300

. 200

E

generico

R

= 300 (100+50t

Data

f

:

Df

• R

chiamiamo Codominio

o

immagine

di

f

l'insieme

di

tutti i

valori assunti da

f

Co(f)

=

Gf(x)

: x = Df

3

se

8

:

DE-R

Tale che

CofE

si

definisce

la FUNZIONE COMPOSTA

g

of

come

ea

f

: I

Dg-

R

Co(f)

=

(f(x)

: x ED

ESETPIO L

f(x)

= x

• 1

Df

= R

g(y)

=

By

Colf)

=

[

:

Dg

=

[0,

1. (olf)

=

Dq

y

=

f(x)

=

x2+ 1 =

3g(y)

=

(x+

Y

g(f(x)

ESEMPIO

2

f(x)

= 3x

1 Df(x)=

R

g(y)

=

y

2

1

Dg

=

R quindi

le

Cof(x)

e contenuto

g(f(x)

=

[f(x))

• 1 = (3x

• 1

f(g(y))

=

3[g(y))

=

1

EIosTe

R / 40]

=

D

·EMPIO

f(x)

• >

siquo

calcolare

g(f(x)

IO STEP

g(y)

=

tu)

Dg

=

R /

g(f(x)

=

g

• 1

=

1

= x

• 1

• 1 = X

FUNZUOMN

f(x)

=

bY

ca

b> e

b +

DH)

=

ReCo(7) = (0 ;

EEPONENZIAR

-Kisse

①

variable

ma

C

exponente

N

O

FISSO

variabile

alla

base

b = e il

rapporto

tra

a valori consecutivi

della

funzione

b

=

-(2)

=

>

f(x

=

b(f(x)

= >

variazione di tipo multiplication

MBI

④ f(x)

= 5 x b

f(x)

= 3

b

=

13

f(x)

= 23

x

b

= 8

X

N

b b

> 1

RATIO 1

. 2

. streitamente

crescente

SUPf

=

• W e

inff

=

O

1 = interceTTa

Convessa

·

7

BLO

N

b

= x

2

. strertamente

decrescente

2. SUPf

=

• W e

inff

=

O

1

: Intercetta

1. Convessa

·

EBEMPIO 1

E co tasso 500

f(0)

= 2

f(2)

= 1

85

. 1 = 1 .

05

G

f(2)

=

1

.

0 ,

05

. 2

,

=

(

,

f(x

=

(2.

"

b = 2. 05

,

x

= anni

Quarti

anni

douro aspettare perch

((N

(

.

"

X

=

l'esponente

a cui

elevare

Log

=

X

=

logp os

=

y

= b

X

x

=

logbY

per

attenere y

Dato

che la

funzione

espomenziale

e bunivoca

,

ammette l'inversa

.

-BEMP

20gg

=

3/

=

= 8

2010

E

= - 2 (

> 2

=

100

logg

= 0 ( => 5 = 2

ROGARITMO

logbX

=

8(x)

DIF)

=

[

N]

80(f)

=

R

RAFEO

ny

I

1. Supf(x)

Inf P(N)

=

• x

simettamente rescente

1. concava

-I x

My

·

Lb/

1. Supf(x)

Inf P(N)

=

• x

sirettamente

decrescente

i

. concava

PROPRITAA

logp

X

=

logbX

logb

logb

=

CagbX-logp

logbX

=

Lagay

(cambiobas

is

legpb"

= X

↓

208bX

= x

EGUREDS

SAL

(

y

Costante

na 3 n

molto

grand

e

numero

Nepero

(e)

No

B

x

heb

RIGORDA

bX

=

e

↑

la f

e continua solo a dx

E

• I

XLO

⑳

Y

--

③

f(x)

X

?

O

z

>

liber

f(x)

=

• 1

X

> 8

=

Le limite

non esiste

Ciel

x

• 0

f(N

=

1

--

DEFUMIZIONE sia

f

uma

funzione

definita

in un intorno

di

un punto

C

,

ma

non necessariamente

INTORN

in 2.

Niciamo

chef-L

se

x

tende

a c

einer

f(x)

=

L

X

=> C

(epsilon)

se x

ogni

E

> 0

,

esiste

670/X

>

(c

6

,

=

f(N-(L

8

,

L+ El

In altre

parde ,

se x

si avvicina

sempre

di

pu

al

valore

c ,

la

7 si

avvicin

sempre

di

pui

al

valore

OSSERVAZION c non

deve

necessariamente e ID

di f

il

limite esiste

se

lim line

concidono

il limeste se

esiste e

unico

Se

CED(f) mon

detto che

en

f(x)

i

= a

(k)

DINONE

Se

f

definita

in un intorno CER

,

f

e

continua in C se

SONTINUITAA

e

in

f(x)

=

E

e

continua

se

lo

i

in

tutti i

punti

del

Dominio

FBEMPN

f(x)

=

x

+ 2 lin

((N

= 3

=

f(1)

= 3

8

e continua

X

• > 1

f(x)

&

X

• O

in

f(x)

= 0

f(0)

= 1

f

mon

e

continuee

I

x

= 0

- 1XL

fiel

f(x)

non

esiste

perche

liet e

un sono

f(x)

E

I

x

>

O

X

• O

E

non continua

CONSIDERENZIONI

Una

f

definita

da un'unica

espressione

algebrica

(FUNZIONE CHNSA) i

sempre

BURLAA

GONTINUO

TAA

continua su

tutto le

suo

D

f(x)

=

x

**

D

:

R

quindi

e

continua

in

Tuiti

I PT

del D

Nelle

f

definite

a

tratt ci

possono

essere discontinuita

mei

in

in

m "cambia"

l'espressione

algebruca

che

definisce

la

f

X 0

f(

(ye

OLXLA

Potrebbero

esserci discontinuta in &

e

2x

X 1

calcdo

him

f(x)

B ·

x

• >

&

discontinue perche lim

↑

y

⑳

·

f(0)

=

= lim

=

f(0)

Continua a sx

2

level

(X

Continua

x

=

8

&

2

eliuf(x)

=

f(1)

= 2

f(x)

=

=

x D

=

R1Goy

PROPRIETA Se

fe

g

concidono in un

intorno

di

c

,

ma non

In C

quindi

line

S(X)

line

ok

e

FEMPI

line

9

=

forma

indeterminate

e

X

=> 3

un(x

3)(X-3)(a x

3

• > x+ 3

= G

X

> 3

(X

lie 1

=

nu

X

30 X

AASINT .

ORIZONT .

liver

• 2

X

>

G

RASINT. VERTBAKE .

lik

=

I

N

X

=>

e

AA

SINTO

TO

libel

IQ

Flet

en

f

= monesiee

O BRO

X

-> Ik

eve X

0e

en X

X

• > 0

X

• > 0

=>>

X = 0x

per x-

> 0

libl

=

linei X

• > 0

BONU

NOTENOLD

liv

=

1 e-2 ex somo

asimtatiche

x

Per

X

= ruol dire

che a o

sono

indistinguibili

Level

x

1. =

GERARGHD exponenziali

Potenze

logaritime

AA BOTOTA

liv S(X)

=

I

OBRIO

X

= N

fiel

m

=

x

• >

x(

=

m

0

q

=

linl

x-

0 [f(x)

mx]

= beR

BIN

n

=

f(x

f(x)

=

f(x2)

f(x1)

=> tasso di variazione

O

rapportio

2

X

medio incrementale

N

Y

in

X

la

variazione

e

negativa

in

X2 e X

e

positiva

coll

X >

X

i

·

·

Perche

XC e + leuta

·

7

XL

I X 3 X

"Xx

R

DTA

la

retta

To

al

grafico f(x)

im

Xp

e

una

retra che in

un piccolo

FUNEON

intorno

X

i

indistinguible

dalla curva

-E

ETESSA INGRINAZIONE

↑

F

posso

Misurare

rapidita

cu

coef

.

angolare

m

f

e

definita

in un

intorno di

Xo .

Si

derivata

di

f

nel punto

Xo

il

limite (se

existe

finito

per

X-

> Xo

del

rapporto

incrementale di

8

sull'intervalla

[Xo ; x]

ein

f(x) - f(X0)

=

f(xd)

X

• > Xo

X

• XO

j(xo)

i

il

coef

.

Angolare

della retta

Tg

,

quindi

f(x)

-f(xd)

=

f'(x0)(X

Xo)

con

il

cambro di variable

h

= X-Xo - =

X

=

xoth

en

8(X-8(X0)

-th

f(xd)

X

• >XO

X

• XO

h

TEMPI

f(x)

= x

liv f(x

h)

f(X)

=>

liv

(x-x

= lin

X2 + 2xh + 22

• x 2

x

h

• > 0

h

k

h

BERNM

= K

R

• =

f(N

=

=

**

• • 1(x

:

X

2

ex

= ex

830bX

= lub.

by

8

lex

=

⑱logbX

=

xub

ERONI

[f(x

g(x)

=

fix

g(

[S(

.

g(N)'

=

g(N

.

g(x)

f(x)

·

g(x)

&

[

.

g(*

= c

.

JN

⑭

[g(

g(x]'

=

glNgCN)

f(x)

y

DACOLO

g(X)

=

2x3 -

3e

nel

punto

Xo = 0

RETTA

·

m

=

8'(X0)

passante

(Xo

, f(xd)

f(xd)

=

f(d)

f'(x)

= 6X2 -

3 -

f(0)

=

3

e

g

=

y

. 2

= -

3(x

3 x+

2

FUN. GOMPOSTA h(x)

=

g(f(x)

• > W'(

=

g'(f(N

.

f'(x)

N

PONTO

MON

~

pio angoloso

>

DIFFERENZDABBNTAA

f(x)

=

(x) in ot

3

line

X

• > 0

=

less e

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