Nozioni sugli insiemi: Appunti di Matematica Generale, Dispense di Matematica Generale

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Corso di Matematica Generale

M-Z -

Dipartimento di Economia

Universit´a degli Studi di Foggia

1) NOZIONI SUGLI INSIEMI

Giovanni Villani

Rappresentazione degli insiemi∗

1. Rappresentazione Tabulare: si elencano gli elementi all’interno di parantesi graffe.

A = {a, e, i, o, u}

2. Rappresentazione caratteristica: viene definita una propriet´a caratterista, che caratterizza tutti gli elementi dell’insieme.

A = {a| P (a) ´e vera}

3. Rappresentazione Grafica con diagram- mi di Eulero-Venn: gli elementi dell’insie- me vengono rappresentati come punti del piano delimitati da una curva chiusa.

∗Appunti Mat.Gen M-Z - Villani Giovanni 1

3. ∅ ⊆ A.

Insieme delle parti

A partire da un generico insieme U , si defini- sce come insieme delle parti l’insieme i cui elementi sono tutti i possibili sottoinsiemi di U.

P (U ) = {X | X ⊆ U }

Osservazione 1 U e ∅ sono elementi di P (U ).

OPERAZIONI TRA INSIEMI†

Complementare

Definizione 3 Sia A ⊆ U. Si definisce com- plementare si A rispetto a U , l’insieme degli elementi di U che non appartegono ad A.

CU A = {x ∈ U | x 6 ∈ A}. †Appunti Mat.Gen M-Z - Villani Giovanni

Proposizione 2 Risulta:

1. CU (CU A) = A propriet´a involutoria;

2. CU U = ∅;

3. CU ∅ = U.

Unione tra insiemi

Definizione 4 Siano A e B sottoinsiemi di U. Si definisce unione di A e B e si denota con A ∪ B, il sottoinsieme di U di tutti gli elementi che appartegono ad A oppure a B.

A ∪ B = {x ∈ U |x ∈ A oppure x ∈ B}.

Proposizione 3 Siano A, B e C insiemi.

con A ∩ B, il sottoinsieme di U di tutti gli ele- menti che appartengono contemporaneamente ad A e a B.

A ∩ B = {x ∈ U |x ∈ A e x ∈ B}

Due insiemi si dicono disgiunti se A ∩ B = ∅.

Proposizione 4 Siano A,B e C insiemi.

1. A ∩ B = B ∩ A propriet´a commutativa;
2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C propriet´a as- sociativa;
3. A ∩ A = A propriet´a dell’idempotenza;
4. A ∩ ∅ = ∅ propriet´a dell’elemento neutro;

5. A ∩ U = A p. dell’elemento assorbente;

6. A ∩ B = B ⇐⇒ B ⊆ A.

Differenza

Definizione 6 Siano A e B sottoinsiemi di U. Si definisce differenza di A e B e si denota con A − B, il sottoinsieme degli elementi di A che non appartegono a B.

A − B = {x| x ∈ A e x 6 ∈ B}.

Partizione di un insieme

Definizione 7 Sia A un insieme, e siano A 1 , A 2 · · · , An, n suoi sottoinsiemi. Si dice che essi formano una partizione di A se sono a due a due disgiunti e se la lora unione ´e A.

{A 1 , A 2 , · · · , An} ´e una partizione di A ⇐⇒