Funzioni: Parte 2 - Lineari, Composte, Inversa, Max, Min, Sup e Inf, Dispense di Matematica Generale

Scarica Funzioni: Parte 2 - Lineari, Composte, Inversa, Max, Min, Sup e Inf e più Dispense in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!

Le funzioni

October 15, 2009

Sommario

(^1) Funzioni: seconda parte Funzioni lineari e funzioni costanti Funzioni composte Funzione inversa Max, Min, Sup ed Inf di funzioni Funzioni monotone Successioni

Funzioni lineari e funzioni costanti

Definizione La funzione f : R → R f (x) = mx + q, è detta lineare affine. Se q = 0 si dice lineare omogenea.

La funzione f (x) = mx + q ha come grafico la retta y = mx + q.

Definizione Sia f : A → B una funzione. Se esiste y ∈ B tale che f (x) = y ∀x ∈ A allora f si dice costante.

Se f : R → R é costante il suo grafico è una retta orizzontale.

Grafico della funzione costante f (x) = 2 ∀x ∈ R.

Funzioni lineari e funzioni costanti

Definizione La funzione f : R → R f (x) = mx + q, è detta lineare affine. Se q = 0 si dice lineare omogenea.

La funzione f (x) = mx + q ha come grafico la retta y = mx + q.

Definizione Sia f : A → B una funzione. Se esiste y ∈ B tale che f (x) = y ∀x ∈ A allora f si dice costante.

Se f : R → R é costante il suo grafico è una retta orizzontale.

Grafico della funzione costante f (x) = 2 ∀x ∈ R.

Funzioni composte

Definizione Sia f : A → B e g : C → D. Se B ⊂ C allora possiamo considerare la funzione composta g ◦ f : A → D che ad ogni x ∈ A associa g(f (x)).

Funzione composta g ◦ f.

Funzioni composte

Si osservi che al fine della componibilità di f e g non è necessario che B ⊂ C, basta infatti che Imf ⊂ C per fare sì che g(f (x)) sia definito per ogni x ∈ A.

Esempio Siano f , g : R → R definite da

f (x) = x^3 + 5 , g(x) = x^2 − 2 x,

allora

g ◦ f : R → R , g ◦ f (x) = (x^3 + 5 )^2 − 2 (x^3 + 5 ) = x^6 + 8 x^3 + 15

f ◦g : R → R , f ◦g(x) = (x^2 − 2 x)^3 + 5 = x^6 − 6 x^5 + 12 x^4 − 8 x^3 + 5.

Funzioni composte

Si osservi che al fine della componibilità di f e g non è necessario che B ⊂ C, basta infatti che Imf ⊂ C per fare sì che g(f (x)) sia definito per ogni x ∈ A.

Esempio Siano f , g : R → R definite da

f (x) = x^3 + 5 , g(x) = x^2 − 2 x,

allora

g ◦ f : R → R , g ◦ f (x) = (x^3 + 5 )^2 − 2 (x^3 + 5 ) = x^6 + 8 x^3 + 15

f ◦g : R → R , f ◦g(x) = (x^2 − 2 x)^3 + 5 = x^6 − 6 x^5 + 12 x^4 − 8 x^3 + 5.

Funzioni composte

Esempi

Esempio Esempio 2 Sia: f : R + → R definita da f (x) =

x e g : R → R definita da g(x) = 2 − x. Allora

g ◦ f : R + → R , g ◦ f (x) = 2 −

x

f ◦ g non è definita.

Esempio Esempio 3 Sia: f : R → R definita da f (x) = 2 (funzione costante) e g : R \ {− 1 } → R definita da g(x) = (^) x+^51. Allora

g ◦ f : R → R , g ◦ f (x) =

f ◦ g : R \ {− 1 } → R , f ◦ g(x) = 2.

Funzioni composte

Esempi

Esempio Esempio 2 Sia: f : R + → R definita da f (x) =

x e g : R → R definita da g(x) = 2 − x. Allora

g ◦ f : R + → R , g ◦ f (x) = 2 −

x

f ◦ g non è definita.

Esempio Esempio 3 Sia: f : R → R definita da f (x) = 2 (funzione costante) e g : R \ {− 1 } → R definita da g(x) = (^) x+^51. Allora

g ◦ f : R → R , g ◦ f (x) =

f ◦ g : R \ {− 1 } → R , f ◦ g(x) = 2.

Funzioni composte

Esempio 4

Esempio

Sia: f : R → R definita da f (x) =

x + 1 se x ≥ 0 3 x − 1 se x < 0 ; e g : R → R definita da g(x) = 2 x + 3. Allora

g ◦ f : R → R , g ◦ f (x) =

2 x + 5 se x ≥ 0 6 x + 1 se x < 0

f ◦ g : R → R , f ◦ g(x) =

2 x + 4 se x ≥ − (^32) 6 x + 8 se x < − (^32)

Funzioni composte

Esempio 4

Esempio

Sia: f : R → R definita da f (x) =

x + 1 se x ≥ 0 3 x − 1 se x < 0 ; e g : R → R definita da g(x) = 2 x + 3. Allora

g ◦ f : R → R , g ◦ f (x) =

2 x + 5 se x ≥ 0 6 x + 1 se x < 0

f ◦ g : R → R , f ◦ g(x) =

2 x + 4 se x ≥ − (^32) 6 x + 8 se x < − (^32)

Funzione inversa

Funzione inversa

Definizione Una funzione iniettiva si dice anche invertibile.

Definizione Sia f : A → B una funzione invertibile, allora è definita la funzione f −^1 : f (A) → A che associa ad y ∈ f (A) l’unico elemento x di A tale che f (x) = y. f −^1 si dice la funzione inversa di f.

Funzione inversa

Funzione inversa: notazioni

Una funzione f : A → B associa ad x ∈ A l’elemento y = f (x) ∈ B.

Si possono anche usare solo i simboli x ed y denotando la funzione con y = y(x). x si dice la variabile indipendente mentre y si dice la variabile dipendente.

La funzione inversa di y = y(x) viene denotata con x = x(y) e questo simbolo ci ricorda che l’inversa inverte il ruolo delle due variabili, la variabile indipendente diventa quella dipendente e viceversa.

Funzione inversa

Funzione inversa: notazioni

Una funzione f : A → B associa ad x ∈ A l’elemento y = f (x) ∈ B.

Si possono anche usare solo i simboli x ed y denotando la funzione con y = y(x). x si dice la variabile indipendente mentre y si dice la variabile dipendente.

La funzione inversa di y = y(x) viene denotata con x = x(y) e questo simbolo ci ricorda che l’inversa inverte il ruolo delle due variabili, la variabile indipendente diventa quella dipendente e viceversa.