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Abbiamo detto che la goniometria si occupa delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente e cotangente) e delle funzioni goniometriche inverse (arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente). funzioni goniometriche ad ogni angolo associano un numero reale y x
O
B
x y B B cos (a) = x sin (a) = y B B y O x
P
circonferenza goniometrica Circonferenza con raggio diverso da 1
P’
raggio H H’ a A A’
OH’
OP’
= OH
OP
così facendo troviamo il coseno ovvero cos (a) quindi OH poiché OP vale 1 P’H’ OP’ =^
PH
OP
così facendo troviamo il seno ovvero sin (a) quindi PH poiché OP vale 1 in questo caso troviamo PH e PH’ che sono uguali a OA e OA’ I due rapporti non dipendono dalla circonferenza che viene considerata ma dall’angolo a sin (a) e cos (a) sono numeri puri poiché privi di unità di misura ipotenusa cateto adiacente cateto opposto O
P
H
ipotenusa cateto opposto cateto adiacente sin (a) = cateto opposto ipotenusa trucchetto:
- il coseno corrisponde alla base del triangolo
- il seno corrisponde all’altezza del triangolo cos (a) = cateto adiacente ipotenusa seno e coseno di un angolo a hanno come dominio i numeri reali R. Perché per ogni valore dell’angolo a appartenente al l’insieme reale R esiste un solo punto P sulla circonferenza. coseno Seno
i
r • Il ✓
al ✓
TÈ
: ^ I.
.. . ✓ (^) v ✓
Come cambiano seno e coseno in base al punto P sulla circonferenza? x y o
B
x y B B I quadrante E
F
Se il punto B si trova nel primo quadrante sia la sua ascissa x Che la sua ordinata y Sono positive, di conseguenza anche il seno e il coseno. Mano a mano che il punto B si avvicina al punto F, l’ascissa x diminuisce mente l’ordinata y aumenta. Naturalmente se il punto B è più vicino al punto E, l’ascissa x aumenta e l’ordinata y diminuisce. B B x y o
B
x y B B E
F
G
Se il punto B si trova nel secondo quadrante, la sua ordinata y Sarà positiva mentre la sua ascissa x Sarà negativa. Mano a mano che il punto B si avvicina al punto G diminuisce sia la sua ordinata che la sua ascissa. B B x y o B x y B
B E
F
G
H
se il punto B si trova nel terzo quadrante, sia la sua ordinata y Che la sua ascissa X sono negative. Mano a mano che il punto B si avvicina al punto H, l’ascissa x aumenta mentre l’ordinata y diminuisce. B B x y o B x y B B
E
F
G
H se il punto B si trova nel quarto quadrante, la sua ordinata y sarà negativa mentre la sua ascissa x é positiva. Mano a mano che il punto B si avvicina al punto E, l’ascissa e l’ordinata aumentano. B B Qualunque sia la posizione del punto B sulla circonferenza, la sua ordinata e la sua ascissa assumono sempre valori compre tra 1 e - -1 < sin (a) < 1 e -1 < cos (a) < 1 di conseguenza il codominio è [-1 ; 1] IV quadrante ^ ^ : - ^. @ : @ \ \ \
✓
y x
π /2 π 3/2 π 2 π y= cos (x) punti presi: cos (0) = 1 cos ( π /2) = 0 cos ( π ) = - Cos (3/2 π ) = 0 Cos (2 π ) = 1 grafico funzione coseno cosinusoide
Le funzioni sinusoidi e cosinusoidi sono entrambe periodiche. Hanno un periodo 2 π quindi ogni 2 π il grafico si ripete.
I 2 grafici sono sovrapponibili, ma il grafico della cosinusoide per poter combaciare con il grafico della sinusoide, deve essere traslato sull’asse delle x di π /2, solo in questo modo potranno combaciare Prima relazione fondamentale y x
O
B
x y B B
coseno Seno coordinate: B [ cos (a) ; sin (a) ] Poiché le coordinate del punto B appartengono alla circonferenza goniometrica, soddisfano l’equazione della circonferenza ovvero: x + y = 1 La prima relazione fondamentale dice proprio questo cos (a) + sin (a) = 1 Questa relazione esprime il teorema di Pitagora solo applicato ad un triangolo rettangolo interno ad una circonferenza come faccio a calcolare il seno o il coseno di angoli negativi? 180 O 0 / 360 90 270 x y angoli negativi (Senso orario) angoli positivi (Senso antiorario) per calcolare il seno o il coseno di una angolo negativo per esempio il sin (- 15/2 π) devo fare dei passaggi per prima cosa troverò sicuramente sempre un termine noto (ovvero presente nella tabella) e nel nostro caso è π/2 che equivale a 90 gradi Automaticamente giro al contrario e conto 15 volte un angolo da 90 gradi. Dopo aver contato in senso orario, mi rendo conto che ricapito sull’angolo di 90 e di conseguenza so che il sin ( - 15/2 π) è uguale al sin (π/2) quindi 1 I . ^ r • Il^2 2 ✓
