Scarica La Risoluzione delle Equazioni di Terzo Grado secondo G.Gorni e più Appunti in PDF di Matematica solo su Docsity!
G.Gorni 1989/
L’Equazione di Terzo Grado
Circa quattro millenni fa i babilonesi sapevano risolvere a modo loro l’equazione di secondo grado generale. In notazione moderna l’idea che porta alla soluzione e semplicissima: bisogna aggiungere e togliere un termine in modo da “completare un quadrato”, cioe (se a 6 = 0, naturalmente)
ax^2 + bx + c = 0 ⇐⇒ x^2 + b a
x = − c a
⇐⇒ x^2 + 2 b 2 a
x +
( (^) b 2 a
( (^) b 2 a
c a
x +
b 2 a
b^2 − 4 ac (2a)^2
⇐⇒ x +
b 2 a
b^2 − 4 ac 2 a
⇐⇒ x =
−b ±
b^2 − 4 ac 2 a
dove vanno rettamente intesi la radice e il doppio segno. Sembra che gli antichi amassero riportare le loro equazioni di secondo grado al “problema modello” di trovare due numeri di cui siano noti la somma e il prodotto. `E facile dimostrare che tali numeri sono esattamente le due soluzioni dell’equazione di secondo grado z^2 − somma · z + prodotto = 0. Con simboli moderni:
x, y verificano
{ (^) x + y = α xy = β ⇐⇒^ {x, y}^ =^ {z^ :^ z
(^2) − αz + β = 0}.
Teniamo a mente questo fatto elementare perch´e ci servira nel seguito. Quando nell’Antichita e nel Medio Evo si incontravano equazioni di grado superiore al secondo, venivano risolte con metodi approssimati (lo si fa tuttora). Per quanto ne sappiamo per`o nessuno sapeva risolvere le equazioni generali di grado > 2 in maniera esatta con formule che ricordassero quelle risolutive dell’equazione di secondo grado, ossia che contenessero un numero finito di +, −, ·, ÷ ed estrazioni di radice n
Nel 1545 colpo di scena. Gerolamo Cardano (1501–1576) pubblica nella sua opera Ars Magna il metodo risolutivo per le equazioni di terzo e di quarto grado. Cardano racconta che l’idea per il terzo grado gli era stata data da Nicolo Fontana, detto Tartaglia (∼1500–1557), omettendo pero che Cardano si era impegnato a non divulgarla. Per il quarto grado, la soluzione era stata trovata da Ludovico Ferrari (1522–1565), collaboratore di Cardano. In quanto a Tartaglia, lo sprone a studiare il problema sembra fosse stata la notizia che un certo Antonio Maria Fior (?–?) conosceva la soluzione, per averla avuta a sua volta dal suo maestro Scipione Del Ferro (∼1465–1526), nessuno dei quali l’aveva resa pubblica. Ci fu una disfida matematica fra Tartaglia e Fior, ognuno dei quali propose all’altro dieci equazioni da risolvere entro un giorno fissato. Il punteggio finale fu dieci a zero in favore di Tartaglia. Chi vuole saperne di piu, puo consultare una Storia della Matematica, ad esempio quella di Carl B. Boyer, negli Oscar Studio Mondadori, n. 76. Pare che Fior mancasse del trucchetto per ridurre l’equazione generale (il coefficiente di x^3 si pu`o sempre supporre 1)
x^3 + ax^2 + bx + c = 0
al tipo che lui sapeva (pi`u o meno) risolvere: y^3 + py + q = 0. Basta il cambio di variabile x = y − a 3 :
x^3 + ax^2 + bx + c = 0 ⇐⇒ y^3 + py + q = 0, dove y = x +
a 3
e
p = −
a^2 3
q = 2 a^3 27
ab 3
(sostituire per credere). La formula x = y − a 3 e meno misteriosa di quanto puo sembrare. Data un’equazione di grado n e primo coefficiente 1, xn^ + axn−^1 + · · · = 0, il coefficiente a di xn−^1 e l’opposto della somma delle radici. Poich´e le radici sono tre, a/3e il baricentro delle radici. Il cambio di coordinate x = y − a 3 e una traslazione che porta l’origine a coincidere con tale baricentro. Il nuovo coefficiente sara la nuova somma delle radici, che deve essere zero, perch´e il nuovo baricentro `e l’origine.
Esercizio. Applicare il ragionamento all’equazione di secondo grado. Poi provare con quella di quarto: ricondurre x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 a y^4 + py^2 + qy + r = 0.
Ci siamo riportati ad una equazione senza il termine quadratico:
y^3 + py + q = 0.
Per motivi imperscrutabili, decidiamo di cercare la soluzione y come somma di due numeri u e v:
y = u + v.
Sostituendo:
0 = y^3 +py+q = (u+v)^3 +p(u+v)+q = u^3 +3u^2 v+3uv^2 +v^3 +p(u+v)+q = (u^3 + v^3 + q ︸ ︷︷ ︸
)+(u+v)(3uv + p ︸ ︷︷ ︸
Questa e una equazione in due variabili. Fissato per esempio u,e di terzo grado in v, ed equivale in difficolta al problema di partenza (anzi, il termine quadraticoe resuscitato). Il miracolo e che c’e una particolare combinazione di u, v che si pu`o calcolare con mezzi elementari. La si trova imponendo che u e v annullino i termini compresi nelle graffe: u^3 + v^3 + q = 0 e 3uv + p = 0, ossia
{ u^3 + v^3 = −q uv = − p 3
Vedremo fra poco come si risolve questo sistema. Soffermiamoci solo a verificare l’equivalenza fra la nostra equazione ed il sistema:
y^3 + py + q = 0 ⇐⇒ ∃u, v tali che
u + v = y u^3 + v^3 = −q uv = −
p 3
La freccia ⇐ e immediata per l’identita y^3 + py + q = (u^3 + v^3 + q) + (u + v)(3uv + p). Viceversa, sia y tale che y^3 + py + q = 0. Allora possiamo trovare u, v tali che u + v = y, uv = −p/3 (rimembrare l’antico problema della somma-prodotto di due numeri) e ricavare da 0 = y^3 + py + q = (u^3 + v^3 + q) + (u + v)(3uv + p) che anche u^3 + v^3 + q = 0 `e verificata, come desiderato. Procediamo ora alla soluzione del sistema in u, v. Eleviamo al cubo la seconda equazione: { u^3 + v^3 = −q uv = − p 3
u^3 + v^3 = −q
u^3 v^3 = −
p^3 27
(Achtung: vale solo la freccia “⇒”). Dunque di u^3 e v^3 conosciamo la somma e il prodotto. Ne traiamo che
{u^3 , v^3 } =
z : z^2 + qz −
p^3 27
L’equazione in z `e presto risolta:
z = −
q 2
q^2 4
p^3 27
di slancio scriviamo
u^3 = −
q 2
q^2 4
p^3 27
, v^3 = −
q 2
q^2 4
p^3 27
da cui, estraendo le radici cubiche e ricordando che y = u + v, si ha
y =
3
q 2
q^2 4
p^3 27
3
q 2
q^2 4
p^3 27
e questa `e la celebre Formula Risolutiva delle equazioni di terzo grado.
v 1 v 2 v 3 u 1 sı no no u 2 no no sı u 3 no s`ı no
Se u 1 6 = 0 e v 1 6 = 0, invece di verificare uv = −p/3, fortuna vuole che ci basti trovare quando uv ∈ R. Infatti questo succede esattamente in tre casi. Nella tabella qui accanto, “sı” e “no” sono le risposte alla domanda “uv ∈ R?”. La conclusionee che per avere le due soluzioni complesse coniugate bisogna e basta scegliere segni opposti per u e v nelle parti immaginarie. Nel caso speciale in cui u 1 o v 1 e nullo, loe anche p e pertanto la relazione uv = −p/3 `e soddisfatta da tutte le combinazioni. Lasciamo i dettagli alle studiose.
Esercizio. Completare con i segni giusti la tabella delle soluzioni per ∆ ≥ 0, dove tutti i radicali vanno intesi reali:
∆ :=
q^2 4
p^3 27
u 1 := 3
q 2
v 1 := 3
q 2
y 1 = u 1 v 1 ,
y 2 =
y 1 i
( u 1 v 1 ) ,
y 3 =
y 1 i
( u 1 v 1 ).
Se non ci sono sbagli, le due radici non reali devono essere coniugate fra loro, e il baricentro delle tre radici deve essere... Che ne `e del caso ∆ = 0?
Secondo caso: ∆ < 0.
Il discriminante negativo e il caso piu rognoso. Per cominciare, i radicandi cubici
q 2
± i
sono complessi coniugati, aventi come modulo R il valore
R :=
∣−^
q 2
± i
q 2
−∆)^2 =
q^2 4
q^2 4
p^3 27
p^3 27
(notare che se ∆ < 0 allora necessariamente p < 0, cosicch´e quest’ultimo radicale e reale) e come argomento un angolo ±θ di cui per esempio la tangentee
tan θ =
q 2
se q 6 = 0.
E opportuno qui indicare i numeri complessi come coppie modulo-argomento. I valori di` u^3 e v^3 sono
u^3 = (R, θ), v^3 = (R, −θ)
per cui le radici cubiche sono
u 1 =
R,
θ 3
, u 2 =
R,
θ + 2π 3
, u 3 =
R,
θ + 4π 3
v 1 =
√ (^3) R, −θ 3
, v 2 =
√ (^3) R, −θ + 2π 3
, v 3 =
√ (^3) R, −θ + 4π 3
Come sempre bisogna scegliere le combinazioni {u, v} che soddisfano uv = −p/3. In particolare, bisogna che il prodotto sia reale, ossia che gli argomenti abbiano somma nulla (o multipla di 2π). La tabella `e identica a quella del caso ∆ ≥ 0 e non la riscriviamo. Vanno bene le tre coppie {u 1 , v 1 }, {u 2 , v 3 }, {u 3 , v 2 }, in ciascuna delle quali conviene osservare che u e v sono fra loro coniugati.
Le tre coppie forniscono tre soluzioni y = u + v tutte reali, perch´e la somma (oltre che il prodotto) di due numeri complessi coniugati e reale (piu precisamente z + ¯z = 2<z, dove <z indica la parte reale di z). La parte reale di un complesso `e il modulo volte il coseno dell’argomento. Ricordando che 3
R =
−p/3, possiamo scrivere una tavola con le soluzioni espresse in termini reali:
y 1 = u 1 + v 1 = 2<u 1 = 2<v 1 = 2
p 3
cos
θ 3
y 2 = u 2 + v 3 = 2<u 2 = 2<v 3 = 2
p 3
cos θ + 2π 3
y 3 = u 3 + v 2 = 2<u 3 = 2<v 2 = 2
p 3
cos
θ + 4π 3
Si lascia per esercizio di verificare che θ non e un multiplo di π e di dedurne che le tre radici sono distinte. Conclusione: se il discriminantee negativo, per trovare le tre radici (che sono reali e distinte) bisogna dapprima calcolare l’angolo θ, e poi applicare le formule. In quanto a θ, una volta che ne e nota la tangente, basta sapere in che quadrantee per determinarlo completamente:
a) se −q/ 2 > 0 allora siamo nel I–IV quadrante, e θ = arctan(− 2
−∆/q); b) se −q/ 2 < 0 allora siamo nel II–III quadrante, e θ = π + arctan(− 2
−∆/q).
Curiosita. Ci si puo chiedere se esista una formula che fa passare dalle funzioni trigonometriche di θ a quelle di θ/3 senza passare attraverso il calcolo di θ, cosı come si puo fare per θ/2:
cos θ 2
1 + cos θ 2
La risposta e che none possibile farlo tramite una combinazione finita di +, −, ·, ÷ e di radicali reali. C’e di mezzo il classico problema della trisezione dell’angolo con riga e compasso, problema chee stato dimostrato (in generale) insolubile. Per trovare esattamente le tre soluzioni reali nel caso ∆ < 0 evitando i numeri complessi, ci tocca passare per le funzioni trigonometriche inverse. Si capira ora perch´e la formula di Cardano none adatta ad un corso elementare di algebra.
Cenno all’equazione di quarto grado
Data l’equazione y^4 + py^2 + qy + r = 0, cerchiamo la soluzione nella forma y = u + v + w e, sostituendo, ci riportiamo al sistema (^)
u^2 + v^2 + w^2 = −
p 2
u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2 =
p^2 16
r 4 uvw = −
q 8
Elevando al quadrato l’ultima equazione, si ottiene che u^2 , v^2 , w^2 sono le soluzioni dell’equazione di terzo grado
z^3 +
p 2
z^2 +
( (^) p 2 16
r 4
z −
q^2 64
Questo e conseguenza di un fatto generale: in una equazione xn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 = 0 (con coefficiente 1 per xn) si ha che an− 1e l’opposto della somma delle radici, an− 2 e la somma dei prodotti delle radici due a due, an− 3e l’opposto della somma dei prodotti delle radici tre a tre, eccetera. Ci si pu`o convincere sviluppando il prodotto (x − x 1 )(x − x 2 ) · · · (x − xn).
Equazioni di grado superiore. E stato dimostrato che` dal grado 5 in su non esistono formule risolutive per radicali.
Dunque +2 `e soluzione e non conviene per ora provare con ±4. Abbassiamo di grado invece:
x^3 − 2 x − 4 = (x − 2)(x^2 + 2x + 2).
Le altre due soluzioni si ottengono dall’equazione di secondo grado x^2 + 2x + 2 = 0, che d`a − 1 ± i (la pro- posizione applicata a quest’ultima equazione esclude che ±4 possano essere soluzioni, ed abbiamo risparmiato dei conti). Ora che conosciamo gli zeri di x^3 − 2 x − 4, vediamo che cosa ci dice la formula di Cardano:
p = − 2 , q = − 4 , ∆ = q^2 4
p^3 27
Il discriminante e positivo. Quindi c’e una soluzione reale e due non reali coniugate fra loro. Quella reale `e data dalla formula
x 1 = 3
q 2
q 2
Ma sappiamo gia che l’unica soluzione reale dell’equazionee 2. Ci dobbiamo arrendere alla logica e concludere che vale la sorprendente uguaglianza
3
3
Esercizio. Scrutinare anche le due soluzioni complesse ed arguire che
3
3
C’`e una maniera veloce ed elementare per dimostrare queste relazioni?
Esercizio. Risolvere x^3 + 9x − 26 = 0, x^3 − 12 x + 16 = 0, provando anche con la formula di Cardano, se vi va.
Esercizio. Dimostrare che 3
2 e irrazionale. Esercizio. Risolvere le equazioni x^3 − 6 x + 9 = 0, x^3 − 6 x + 4 = 0, x^3 + 3x^2 − 6 x + 4 = 0. Esercizio autogestito. Scegliere tre numeri x 1 , x 2 , x 3 , costruire l’equazione di terzo grado che ha quei numeri come soluzioni e poi provare a ritrovarli con la formula di Cardano. Chie a corto di fantasia provi con − 3 , 1 , 2.
Esercizio. Confrontare il numero di addizioni e moltiplicazioni che occorrono per calcolare un polinomio in un punto dato, usando (1) la sostituzione diretta e (2) la regola di Ruffini.
