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FORMULARIO DI MATEMATICA PER LE SCIENZE SOCIALI
1. Derivate delle funzioni elementari
d
dx
( c )= 0
d
dx
( x
n
)= n ∗ x
n − 1
d
dx
( e
x
)= e
x
d
dx
(
a
x
)
= a
x
ln ( a )
d
dx
(
log
a
( x )
)
x ln ( a )
d
dx
( ln ( x ) )=
x
d
dx
( sin ( x ) )=cos ( x )
d
dx
( cos
x
)=−sin
x
d
dx
(
tan ( x )
)
= sec
2
( x )
d
dx
(
cotan ( x )
)
=− csc
2
( x )
d
dx
( sec ( x ) )= sec ( x ) tan ( x )
d
dx
( csc ( x ) )=− csc ( x ) cotan ( x )
2. Regole di derivazione
Somma e differenza
d
dx
[ f ( x ) ± g ( x )]= f ' ( x ) ± g ' ( x )
Prodotto
d
dx
[ f ( x ) ⋅ g ( x )]= f ' ( x ) g ( x )+ f ( x ) g ' ( x )
Quoziente
d
dx
[
f ( x )
g ( x )
]
f
'
( x ) g ( x )− f ( x ) g
'
( x )
[
g ( x )
]
2
Composizione di funzioni (Regola della catena)
d
dx
[ f ( g ( x ))]= f ' ( g ( x )) ⋅ g ' ( x )
3. Derivate delle funzioni inverse
d
dx
( arcsin( x ))=
√
1 − x
2
d
dx
( arccos ( x ) )=
√
1 − x
2
d
dx
( arctan
x
)=
1 + x
2
d
dx
( ¿( x ))=
1 + x
2
d
dx
( ¿( x ))=
| x |√ x
2
d
dx
( ¿ ( x ) )=
| x | √
x
2
4. Derivate delle funzioni iperboliche
d
dx
(sinh( x ))=cosh( x )
d
dx
( cosh ( x ) )=sinh ( x )
d
dx
( tanh ( x ))= sech
2
( x )
d
dx
( coth ( x ))=− csch
2
( x )
d
dx
( sech ( x ))=− sech ( x )tanh ( x )
d
dx
( csch ( x ))=− csch ( x )coth ( x )
Campi di esistenza
Polinomi : definiti su tutto
R
Frazioni : il denominatore deve essere diverso da zero: g ( x ) ≠ 0.
Radici pari : l'argomento sotto radice deve essere
≥ 0 : f ( x ) ≥ 0
Logaritmi : l'argomento deve essere positivo
: f ( x )> 0
Funzioni trigonometriche : attenzione ai valori per cui sono indefinite, ad esempio:
Derivata della funzione composta (Regola della catena):
h ' ( x )= f ' ( g ( x )) ⋅ g ' ( x )
Funzioni pari, dispari, limitate e illimitate
Funzioni pari
Definizione:
f (− x )= f ( x ) ,
per ogni x nel dominio.
Esempi:
f ( x )= x
2
, f ( x )=cos( x ).
Funzioni dispari
Definizione: f (− x )=− f ( x )per ogni x nel dominio.
Esempi:
f ( x )= x 3 , f ( x )=sin( x
Funzioni limitate
Una funzione è limitata superiormente se esiste
M > 0
tale che f ( x ) ≤ M.
Una funzione è limitata inferiormente se esiste mm tale che f ( x ) ≥ m.
Una funzione è limitata se esiste un intervallo
[ m , M ]
tale che
m ≤ f ( x ) ≤ M
Funzioni illimitate
Una funzione è illimitata se non esistono
M
o
m
finiti che limitano la funzione.
Ordine di infinito e infinitesimo
Una funzione
f ( x )
tende all'infinito quando
x → x 0
se
f ( x ) → + ∞
o
f ( x ) → − ∞.
Una funzione f ( x ) è un infinitesimo quando
x → x 0
se f ( x ) → 0.
Ordine di un infinito :
f ( x ) ∼ g ( x )
significa che lim
n → ∞
f ( x )
g ( x )
= 1, ossia
f ( x )
e
g ( x )
crescono allo
stesso ritmo.
Ordine di un infinitesimo :
f ( x )= o ( g ( x ))
significa che lim
n → ∞
f ( x )
g ( x )
= 0 , ossia
f ( x )
tende a zero più
velocemente di
g ( x ).
Calcolo dei limiti
Limiti fondamentali:
- lim
x → 0
sin ( x )
x
- lim
x → ∞
(
x
)
x
= e
lim
x → 0
+¿
x
x
= 1 ¿
Regole di calcolo:
Somma e differenza :
lim
x → x
0
[ f ( x ) ± g ( x ) ]=¿ lim
x → x
0
f ( x ) ± lim
x → x
0
g ( x )¿
Prodotto :
lim
x → x
0
[ f ( x )∗ g ( x ) ]= lim
x → x
0
f ( x )∗ lim
x → x
0
g ( x )
Quoziente : lim
x → x
0
f ( x )
g ( x )
lim
x → x
0
f ( x )
lim
x → x
0
g ( x )
, con
lim
x → x
0
g ( x ) ≠ 0
Composizione :
lim
x → x
0
f ( g ( x ) )= f ( lim
x → x
0
g ( x ) )
se
f
è continua.
Continuità
Una funzione f ( x ) è continua in
x
0
se:
lim
x → x
0
f ( x )= f ( x
0
Tipi di discontinuità:
1. Eliminabile : il limite esiste, ma f ( x
0
) è diverso o non definito.
- Di salto : i limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi.
- Infinita : la funzione tende a +∞ o −∞.
4. Oscillante : la funzione oscilla indefinitamente vicino a x
0
Risultati sui limiti e continuità
Teorema di permanenza del segno:
Se
f ( x )
è continua in x
0
e f ( x
0
)> 0 ( f ( x
0
)< 0 , allora esiste un intorno di x
0
in cui
f ( x )> 0 f ( x )< 0 ).
Teorema del confronto:
Se
g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x )
in un intorno di x
0
e
lim
x → x 0
g ( x )
lim
x → x 0
h ( x )= L
allora
lim
x → x 0
f
x
= L
Teorema degli zeri:
Se
f ( x )
è continua in un intervallo [ a , b ] e
f ( a )∗ f ( b )< 0
, allora esiste almeno un
c ϵ ( a , b )
tale che
f ( c )= 0
Teorema di Weierstrass:
Se f ( x ) è continua in un intervallo chiuso e limitato [ a , b ] , allora f ( x ) assume un
massimo e un minimo.
Teorema dei valori intermedi:
Se
f ( x )
è continua in
[ a , b ]
e
k
è compreso tra
f ( a )
e
f ( b ) ,
allora esiste almeno
un c ∈ [ a , b ] tale che f ( c )= k.
Asintoti
f ( x ) ≈ f ( x
o
)+ f ' ( x
o
)( x − x
o
f
' '
(
x
o
)
( x − x
o
2
Risultati sulle funzioni derivabili
Derivabilità e continuità
Se f(x) è derivabile in x0x0, allora è anche continua in x0x0.
Il contrario non è necessariamente vero (esempio: funzione con cuspide).
Teoremi principali
- Teorema di Fermat :
Se x
o
è un punto di massimo o minimo locale e f ( x )
è derivabile in x
o
, allora
f ' ( x
o
- Teorema di Rolle :
Se
f ( x )
è continua in
[ a , b ] ,
derivabile in ( a , b ) , e f ( a )= f ( b ) , allora
esiste c ∈ ( a , b ) tale che
f ' ( c )= 0
- Teorema di Lagrange (o del valor medio) :
Se
f ( x )
è continua in
[ a , b ]
e derivabile in ( a , b ) , esiste c ∈ ( a , b ) tale che:
f ' ( c )=
f ( b )− f ( a )
b − a
Applicazioni economiche
Tasso di crescita
Il tasso di crescita istantaneo di una funzione f ( t ) rispetto al tempo t è dato dalla derivata:
Tasso di crescita =
f ' ( t )
f ( t )
Elasticità puntuale
L'elasticità puntuale di f ( x ) rispetto a
x
è:
E ( x )=
f ' ( x )
f ( x )
∗ x
Interpretazione :
∣E(x)∣>1∣: funzione elastica (variazione percentuale di f(x) maggiore di x).
∣E(x)∣<1∣: funzione anelastica (variazione percentuale di f(x) minore di x).
Integrali indefiniti
L'integrale indefinito di una funzione f(x) è l'insieme di tutte le sue primitive, cioè tutte le funzioni
F(x) tali che:
F
'
( x )= f ( x )
Si indica con:
∫
f ( x ) dx = F ( x )+ C
dove C è una costante arbitraria (costante di integrazione).
Proprietà degli integrali indefiniti
- Linearità:
∫ [
af ( x ) + bg ( x )
]
dx = a
∫
f ( x ) dx + b
∫
g ( x ) dx
- Integrazione di funzioni elementari:
∫
x
n
dx =
x
n + 1
n + 1
+ C
con (
n ≠ − 1
∫
x
dx =ln| x |+ C
∫
e
x
dx =¿ e
x
+ C ¿
∫
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
con
( a > 0 , a ≠ 1 )
∫
sin ( x ) dx =−cos ( x ) + C
∫ cos
x
dx =sin
x
+ C
∫
sec
2
( x ) dx = ta n ( x ) + C
∫
csc
2
( x ) dx =− cotan ( x ) + C
∫
√ 1 − x
2
dx =arcsin ( x )+ C
∫
√
1 + x
2
dx = arc tan ( x )+ C
Integrali definiti
L'integrale definito calcola l'area sottesa dalla funzione f(x) nell'intervallo [a, b]. Si indica con:
∫
a
b
f ( x ) dx
Calcolo degli integrali definiti
Si calcola una primitiva F(x) di f(x), quindi:
∫
a
b
f ( x ) dx = F ( b )− F ( a )
Proprietà degli integrali definiti
- Linearità:
∫
a
b
[
af ( x ) + bg ( x )
]
dx = a
∫
a
b
f ( x ) dx + b
∫
a
b
g ( x ) dx
Usato per integrare funzioni contenenti radici quadrate, ad esempio:
x =sin ( t ) , x =tan ( t ) , ecc.
Ottimizzazione libera (senza vincoli)
Punti stazionari
Un punto x
0
è stazionario se la derivata prima è nulla:
f
'
(
x
0 )
Minimi e massimi relativi interni
- Metodo della derivata seconda:
'
(
x
0
)
x
0
è un minimo relativo.
'
(
x
0 )
< 0 , x
0
è un massimo relativo.
'
(
x
0
)
= 0 , x
0
il test non fornisce informazioni (analisi più approfondita necessaria).
- Condizione necessaria e sufficiente:
è un punto stazionario e f(x) cambia segno attorno a x
0
f ' ( x )
passa da positivo a negativo: massimo relativo.
- f ' ( x ) passa da negativo a positivo: minimo relativo.
Ottimizzazione vincolata
Approccio diretto
Se la funzione f ( x ) è definita in un intervallo chiuso e limitato
[ a , b ]:
1. Calcolare f ' ( x )= 0 per trovare i punti stazionari interni.
- Valutare
f ( x )
agli estremi dell’intervallo (
x = a
e
x = b
- Confrontare i valori ottenuti: il massimo e il minimo assoluti si trovano tra questi punti.
Teorema di Weierstrass
Se
f ( x )
è continua in un intervallo chiuso e limitato
[ a , b ] ,
allora f ( x ) assume un massimo
assoluto e un minimo assoluto in [ a , b ].
Analisi completa
Per un'analisi completa di
f ( x ) ,
seguire questi passi:
- Dominio della funzione
Determinare il campo di esistenza di f ( x ) , cioè l'insieme di valori di
x
per cui f ( x ) è definita
- Punti stazionari
f ' ( x )= 0
per trovare i punti stazionari interni.
- Analizzare f ' ( x ) per determinare l’intervallo di monotonia (crescente/decrescente).
3. Punti di frontiera e comportamento per x → ± ∞
- Valutare il limite di f(x) agli estremi del dominio.
- Calcolare i limiti:
lim
x → + ∞
f ( x ) , lim
x → − ∞
f ( x )
- Concavità e convessità
- Analizzare la derivata seconda
f ' ' ( x ):
- f ' ' ( x )> 0 : f ( x ) è convessa (concava verso l’alto).
f ' ' ( x )< 0 : f ( x )
è concava (concava verso il basso).
f ' ' ( x )
indicano punti di flesso.
- Minimi e massimi assoluti
- Identificare i punti stazionari e di frontiera.
- Confrontare i valori di f ( x ) nei punti critici e agli estremi del dominio (se esistono).
Sintesi del procedimento
Per determinare i minimi e massimi di f ( x ):
1. Calcolare f ' ( x )= 0 (punti stazionari interni).
- Calcolare i limiti agli estremi del dominio (
x → ± ∞
o punti di frontiera).
3. Analizzare f ' ( x ) per monotonia (crescita/decrescita).
- Analizzare
f ' ' ( x )
per concavità/convessità e verificare eventuali flessi.
- Confrontare i valori di f ( x ) in tutti i punti critici trovati.
Spazi vettoriali e vettori
Definizione di spazio vettoriale
Un insieme V è uno spazio vettoriale su un campo
K
(ad esempio
R
o
C
) se:
1. Esiste un'operazione di somma (+) e un'operazione di moltiplicazione per scalare ( ∙ ) tali che:
u + v ∈ V
, per ogni
u , v ∈ V
c ∙ v ∈ V
, per ogni
v ∈ V
e
c ∈ K
Sono rispettate le proprietà algebriche: associatività, commutatività della somma, esistenza
dell'elemento neutro 0, esistenza degli opposti e distributività.
Operazioni sui vettori
Per
u =
(
u
1
, u
2
,… , u
n )
e v =
(
v
1
, v
2
,… , v
n ) in
R
n
- Somma:
u + v =
(
u
1
+ v
1
, u
2
+ v
2
,… , u
n
+ v
n
)
- Moltiplicazione per uno scalare:
Matrici particolari
1.Matrice quadrata:
Ha lo stesso numero di righe e colonne (m = n).
- Matrice diagonale:
Tutti gli elementi fuori dalla diagonale principale sono nulli:
A = diag ( a
11
, a
22
,… , a
nn
- Matrice identità:
Una matrice diagonale con tutti gli elementi della diagonale principale uguali a 1:
I =
[
]
- Matrice nulla:
O =
[
]
- Matrice simmetrica:
A è simmetrica se A =
A
T
.
- Matrice antisimmetrica:
A è antisimmetrica se A =
− A
T
.
