Scarica Matematica pt.3 derivate e più Appunti in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!
DERIVATE
Funzione del costo totale^ CT(a) = 592 +^59 +^2000
Y
un D (^) costo variabile costo fisso 8000- y
= 5x2 + 5x + 2000
pendent e e so
S2 (^) la (^) costo
=M^ I
-e
D
Ago peri
priti
C
O (^) in (^) zo (^36) X =^30 f(x)^ = 6650 a 4650 è (^) la variazione assoluta f(x) -^ f(d)^ = 160
30 -^0
f(30)
f(20) = 155 - D^ m /pendenza) metta PQ : S
f(23) -^ f(20)^ =^230 -^ m^ mette^ QS^ =^52
f(21) - f(20) (^) = 210 es^ i metta QT = Sa 21 -^20
- > (^) Se (^) Aa-O m metta tangente alla^ curva^ in^ Q.
Derivate in un (^) punto YA
f(xoth)-^ ·^ Q^ y
= f(x) (^) Cominua in A
, f(x))
f(x) -^ · P Q(xo +h
, f(x+^ h)
o to forn
Px f(xo^
Variazione assoluta f(xo +^ h)^ - f(x) (^) = y
yp (^) = m(retaPQ) (o +^ h) -^ Xo^ Xa - xa S Rapporto
h)-FIXSvale Incrementale ↓
punto
qualsiasi La^ Variazione^ media YA
f(xoth)-^ ·^ Q
%
Q^ -^ P
f(xo +^ h)^ -^ ·^ Q
a(Xo+^ ht^ , f(xo^ +^ nz) f(x) - & & Rapporto^
incrementale
O ai^ I to (^) + m P #oth Xoth' Q-pPemoth-f(o)Argente Seh-DOQ-DP della^ retta P
Definizione (^) di derivata (^) in un (^) punto di ascissa Xo Datauna funzione yf(x) diamiamo derivata^ di^ f(x) in X^ = e #^ >^ derivate^ prima eim h-+
f(xo +
n)
- f(x) = (^) f(x) ↓ Valore della derivata nel (^) punto
Es. y =^ x 2 f(z) =^2 f'(0) = 0
x (^) >0f(x) > 0 Lp (^) X0 f(x) < (^0)
- > (^) La derivata è^ un limite a (^) tutti (^) gli effetti -^ deve (^) essere un (^) eimiteinito [No!^ +^ ,^ - c)
- > (^) la derivata destra (^) deve essere (^) uguale alla^ derivata (^) sinistra eim f(xo +^ 2) - f(x) = (^) f'(X0) h - DO- (^) h SX lim (^) o+
f(x0 +
y = (^) x3 - x2 A = R f(- 1) =^? f(-1) =ein^ - stas (^) ↓f(1) ein (^) (1 +^ 2)" - (-1 +^ 2) - (-^2 - 1) h (^) - h lim (^) (-1^ +^ 2)3 -^ (-^1 +^ 2) +^2 I^5 h-^ DO^ ↓ h (^) derivata Derivate (^) delle funzioni (^) elementari y = (^) K - D^ la derivata (^) di una (^) costante è (^0) y =^0 O^ I In
y=^ X
y = (^) x - y = (^1) % & (^) * y = (^) ex - D^ la derivata è uguale ~
eex
al valore^ della funzione^ stessa^ &D y' = ex 1 y = (^) av - by = (^) at. Ma se a =^ e^ -^ Dafna-exene^ =^ ex ↑ x as^ O^
se no (^) una^1 a +^1
la converto in
esponentee -D
- = x. (nx calcolo la (^) derivata con (^) questa formula
Derivata (^) sulle (^) operazioni tra funzioni (^) elementari y = (^) f(x) y = g(x) SOMMA (^) ALGEBRICA y = (^) f(x) = y(x) (^) y' = f'(x) = y'(x) y = (^) ex - (^) X - p (^) y =^ ex - (^1) PRODOTTO y = (^) f(x) - g(x) y = f'(x)g(x) +^ f(x)y'(x) y = (^) anx· (^) cosX -T y = (^) cosx - cosx + (^) senx · (senx) I COSEX-Sen2x Se (^) una delle due funzioni è (^) una (^) costante :
f(x) = ky=^ k-^ g(x) y=^0 - g(x) +^ k^ - y /^ (x) ( f(x) =^ k^ - y
(x)
koy'(x) Se (^) f(x) =^ X neN f(x) =^ xi =^ x. X f(x) =^1. x +^ x 1 = 2x f'(x) = nx n-^1
Es.
y = (^) x3 - (^) x - by = (^) 3x2- 2x y'( 1)^ = 3) 1)2^ -^ 2)- 1) = 5 dy = (^) x CER y = dyd
Ya Es. y = 1 1 -^ ⑧
O ' * x
& --^1 sex0 f'(x) 0
sexf'(x) 0
t =R - [0} f'(x) y = x
(^1)
y) =^ - 1x 2 = (^) - 1
X
RAPPORTO y = (^) f(x) y = (^) f(x) (^) -g(x) - f(x) - y'(x) f(x) g2(x) y = +g y (^) = y' = (^) cosx · cosx-senx · (-senx) Cos2 (^) X
derivate
[Drenx = cost ↓^ cos + senx = (^1) Dcosx = -senx cos2X cos2X NB!^ cos2X + sen2x =^1
Esercizi :
1) y =^ x3^ +^1
2x + 3x^ + 1 2x^ +^ 3x^ +^1
I ba
↑^ 4) A=^ R^ - 5 - 1 .
23
- > (^) Stabilime i (^) valori di A per cui^ f(x)^ ècontinua: I (^) punti esclusi del dominio (^) sono i punti
di discontinuità"
in X = -1 VX =^ - 1 édiscontinua
NB!^ in x = x0 f(x)e- continua (^) se eim f(x) = f(x) X (^) +Xo
- > (^) Calcolare (^) I limiti nei punti di^ discontinuità: forma (^) indet y = x3 +^1 X = - (^1) lim = x3-1 (^) = (8) 2x + 3x^ + 1 X^ +^ -^ 12x2+^ 3x^ +^1 uso metodo a+b = (^) (a (^) + (^) b)(a - ab (^) + b) scomposizione a3 (^) -
- b3 = (a - b)(a2 + ab + (^) bz) eim = (x + (^) 1)(x - x (^) + 1) ax (^) + bx (^) + c = a(x - x)(x - xz)
X - P^ - 1
2(+^ 1)(x^
- > (^) Calcolare (^) I limiti (^) nei punti di^ discontinuità: forma (^) indet y = x3 + (^1) X = - (^1) eim (^) = - (^) + (^1) = (8) 2x +^ 3x^ + 1 uso metodo a+b = (^) (a + (^) b)(a - (^) ab (^) + b) scomposizione a3 (^) -
- b3 = (a - b)(a2 + ab + (^) bz) eim = (x + (^) 1)(x - x + (^) 1) X - P^ - (^1) 2(x + (^) 1)(x + E) ax (^) + bx + c = a(x - x)(x - xz)
per poter scomporre devo avere
- > (^0) y = x3 + (^1) -D i 2x + 3x^ -^1 (+^ 1)(2x^ t + (^) 1) 2x + 1 ↓ Ho (^) già calcolato il
dominio quindi posso
usare questa funzione
line x^ - x +^1 = 2 +^1 +^1 "Semplificata" (^) per Xx - E2x + (^1)
O
fare (^) le valutazioni
line x - x +^1 = 2 +^1 +^1 X^
E X- (^) E 2012 o ↓ asintoto
7 ⑤ verticale
x(2x2 +^ x^ +^130 2x +^ x + 1 =^0 D =^1 - 810 ↓ #xER - +^ 2x2 + x + (^1) > (^0) A-^ = R
- Co (^) ↑ CS 6 &^ ED lim 2x^
- 1 +x + (^1) = []
- Il^ risultato^ è^ sicuramente^ D X- + c
↓ metodo del confronto^ : 3 Rapporto dei^ coefficienti^ di INegrado maggiore
= (^) + E = =^ E lim +- Metodo^ del confronte la (^) funzione ha :
- > (^1) asintoto orizzonta N (^) Y Rapporto dei^ coefficienti^ di grado maggio in (^) y =^ N
- (^) I (^) asintoto oritzont^ = . SX^2 iny = (^) - (^) N
f(x) = lim
f(xota-f(x
h Relazione (^) tra continuità e derivabilità in (^) un (^) punto Se (^) una funzione y = f(x) è (^) derivabile in X-X., allora in (^) quel (^) punto è anche continua. NB!^ Il (^) contrario è (^) falso - a (^) se una funzione è (^) continua non è (^) detto che Sia derivabile Ipotesi :^ 7f'(xd Tesi :^ in (^) X = X (^). f(x) è^ continua Leimf(x) =
f(x) a Principio Di CONNU
eim f(xo +^ h) =^ f(x)^ & Posso (^) riscrivere Il (^) principio anche così e nel modo seguente eim f(xo +^ h) - f(x) = 0 d h-O ↓
tende a 0
him f(xoth)^
- fl h+ 0 ↓ lim f(xo +^ h) -^ f(x)^ ho h
Ya ~ D X
j
Calcolo il limite della^ derivata^ per vedere come (^) si (^) comporta la funzione (^) nicino alla derivata 1 lim 3 = 1 =^ G+^ c^
- (^) In O diventa (^) una tangente X DO^ suX^ Ot^ verticale Cambia (^) la concavità perché è^ l'unico^ mode
che ha per continuare ad
essere crescente.
funzione definita^ a^ tratti ES (^). -x + (^) 3x x1a A =^ R -x + 4x - 1x y = E (^6) . Può (^) essere discontinua
nei valori^ esclusi^ dal
Dominio,oppure nel
valore in cui^ cambia
la (^) legge.
ExeR-[1] f(x)^ è^ continua
Calcolo il Sim^ (-x +^ 3x)^ =^2 lim(
Limite per - X+1-
Vedere (^) se In 1 esiste (^) f(z) =^2 e (^) come si (^) comporta f(x) ) (^) in x =^1 la (^) funzione è continua Derivabilità : Dxx =^ 2xx-
- 2x + 3 x y = E (^) - 2x +^ 4x) La (^) solo maggiore non (^7) perché la derivata è un (^) limite in (^) x =^1? -p (^) E' (^) derivabile? lim - 2x + 3 =^1 3
X -
- In (^) X =^1 la^ funzione (^) non è derivabile Zim
X-1+
- 2x (^) + 1 = 2 limax e (^) lim non^ cancidono
Teorema di Lagrange
Data una funzione y-f(x) se questa è continua in [a,b] e derivabile in (a, b)
allora esiste^ almeno^ un (^) punto C E (^) (a (^) , b) tale^ per cui vale la (^) seguente uguaglianza : f'(c) = f(b) - (^) f(a) D -^2 Ipotesi : f(x) (^) continua in [a (^) , b] f(x) (^) derivabile in (a, b) resi · (^5) c (^) - (^) (a , b)^ (^ f' (^) (c) = f(b) - f(a) - (^) definisce (^) la (^) pendenza
b - 2 della^ retta^ secante
mal S di una retto Ya^ B A (^) (a (^) , f(a)) (^) tangente
B(b (^) , f(b) in (^) un (^) punto A! O cx
y=^ s(+La A In^ tempo Spazio s^ = S(t) m2 (^) s(tz) - s(+ (^) 2) =^ Velocita & a S' (^) (to
media · C tim (^) s(t + (^) 2) - s(f) h- DO
h
D ts to te X
