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Integrali
Integrazione indefinita
Cantiderivata)
Univoco -d 1 sola derivata
-D y = (^) f(x) - Dy = f'(x)
y
= x3 - 2x - xy = 3x2 - 4x y = f(x)a-
y
= f(x) y = (^) x3 -^ 2x b- y = (^) 3x2 - 4x O funzioni^ ↓ Ya
y=^ 2x^
Trovo infinite funzioni di (^) partenza U perche (^) posso (^) aggiungere costanti
Infinite ed ottenere laslessa^ derivata
perché la^ costante^ ha^ derivata^0 y=^ x2 y =^ x^2 - by = 2x U (^) > y = (^) 2x - by = (^) x 0
y
= (^) x " (^1) X y =^ x
Co
-. Qualsiasi (^) punto di ascissa (^) uguale considero (^) (2xdx =^ x2 + c sulle varie (^) funzioni,trovo mette tangenti parallele perché hanno^ la stessa derivata^ -^ m Primitiva (^) di (^) una funzione Data (^) una funzione y = (^) f(x) (^) definita in (^) un dato intervallo (^) chiamiamo primitiva
di f(x) la funzione F(x) la cui derivate xEI ef(x).
= =^ (x)^ -^ DF'(x)^ =^ f(x)^ simbologia^ +^ ma stesso^ concetto G y^
y = (^) f(x) -
D f(x)
= f(x) 3
y
= f(x) =^ x
y
= F(x) =
X
- 4 - D è la (^) primitiva di xz
L'insieme delle primitive di
y
= f(x) si chiama
integrale dif(x)^ in^ dx. F(x) = Sf(x)dx
Teorema :^ se ho una funzione
y
= f(x) continua in un dato intervallo, essa
è sempre integrabile.
y = (^) f(x) continua e (^) esistono le (^) primitive F(x) = Sf(x)ax ↑ (^) (x) è una (^) funzione derivabile e (^) quindi continua
Li
Se una funzione è derivabile è (^) sempre continua
invece non vale viceversa, ci
Sono (^) f(x) continue non derivabili Es (^). f(x)
- (^) sex <^0 Esistono (^) le (^) sue (^) primitive? Set- 1 sex 20 - > (^) Verifico se f(x)^ è^ continua Dominio -^ R^ · ExER-503 f(x) è (^) continua Le (^) devo (^) però studiare (^) come si ↓ comporta la^ f(x)^ al^ cambio^ verifico^ come^ si^ comporta di (^) funzione (^) quindi in 0 la^ funzione ↓ in x =^0!
lin x2 = 0
X - -
eim ex^ -^1 =^0 X -0+ f(0) =^ e^
↑(x) e (^) continua anche (^) in x = (^0) d
E funzioni^ primitive
Integrali dementari f(x) f(x)
- y = (^) k -re Derivata y = xa (^) Dxd= (^) 2xx
- 1 (GER)
Posso verificare l'integrale
Da
-^ (n+^ 1)^ xd^ =^ xx x +^1 2 + 1
Sxtdx =^ x^
S
Derivata
Dax =^ at. (^) Ina
Esercizi
3
- Data^ la^ funzione^ y=^ nX-2^ ,^ vedere^ se è^ applicabile il^ teorema di^ Lagrange nell'intervallo (^) [6 (^) , 2] (^) , in (^) caso aff. applicare il (^) teorema.
Ipotesi :^ f(x)^ continua^ in^ [-6 , 2]
f(x) (^) è (^) derivabile in (6, 2) -a^ nell'intervallo (^) aperto! A (^) R (^) (N (^) posso avere qualsiasi valore +^ e -( f(x) è (^) continua in R (^) Cron cisono (^) punti di (^) discontinuità I
y
= (^) r - y = x - (^25) y' = 5(x
funzioneM^
=(x
- 5 ! 1 5 (xra- 2) G derivata f(x) e^ derivabile (^) in (^) (-6, 2) a^ Nuovo^ dominio Ay' = R - [
- > (^) Il (^) teorema è
applicabile
Tesi ·^ 5 c^ +(- 6 , 2) / f(c) = +(2) - +( b)
f'()
2 - ( - 6) 5 4 =^31 C- 2 =^ ↓ (^8)
v=
0 - (2) (c-^ 2)^ C
c - 2)
3N
/
= (-^ 2)^ G^
(C-2)"
= 2-
-^2 =
c =-^35
c - 2 =^ =^64 2 +^8
N 27 - 355
- > (^) Stabilime i max^ e min (^) globali della^ funzione^ nell'intervallo I= %0, 2) O (^2) -
I
- -^ N L I · I
- > (^) Per (^) il teorema (^) di Weierstrass dato che f(x) è (^) continua in (^20) , 2)^ essa ammette max^ e^ min (^) globali.
in x =
1 ho (^) un (^) max
globale
globale sta^ negli estremi^ o^ in^0 o^ in^2 :
calcolo la f(x) in quei punti
f(0)
f(2) = e
- P
20 O (^) -D in X =^0 ho il (^) min (^) geobate
- Stabilime (^) gli intervalli (^) in cu la^ funzione è^ concava econvessa e (^) gli eventuali flessi y = (^) e - x(- 2x + (^) 1) y" = (^) e
- (^) x (^)? (z)( 2x+^ 1)^ + e
-^ (E) = (^) - 2x e-^ +^.
( -^ 2x^ +^1 +^ 2)
-Exe-th. (-2x +
- > (^) Poniamo (^) la D2: 0
- 2xe-^ x^. (- 2x2 + (^) 3) = u sempre
-^ +^ - 2x702x0XXO ⑧ 2 " + +
2x2 (^) + 3 = 0 X= X = (^) I (^) I -^ o r I
- =^ = N f(x) e^ convessa (^) sex-[-e,^ 0] r^ [E+^ c) f(x) e^ concava^ sexe (-0.^ - To, in (^) x = INS vx =^0 ho 3 flessi - Dea f(x) e (^) derivabile (^2) ma cambia concavità perché (^) appartengono al dominio
- > (^) Il prezzo ha^ aunto^ tassi^ di^ crescita^ crescenti^ o^ decrescenti^? L calcolo la^ derivata (^2) p'(t) OI -^20 I^ +^60
- > - p'(t) =^0. 3 -^0 ,^32
- (^0) .^ 1t
P
p"(t) =^
. 32
(-^0 , 1) M
.
032-0.^
17
-^ - - · O (^) t (^) + + + (^) t 60 -
I
I I D I
~ D 2b do t
- > (^) ho tassi di (^) crescita sempre crescenti
- Data^ la funzione y = e2 -x^ + 1x
- 2x - 13
- (^) e(3 - x) trovare (^) il (^) polinomio di
Taylor dal^1
o al 2 o ordine (^) in X-2 (^) e rappresentare (^) graficamente le^2 leggi. Pr(x) = f(x) +^ f'(xd)(x - xo) S ~ parabolaty P2(x) = Pu(x) + f(x)
. (x - Xo) f(2) = 20 +^2 +^4 - 1
- > x = (^2) - (^) f(z) = 1 f(x) = 22
- x . ( 1) + (^) x + 2 + z
- (1) - (^) derivata 1. (^1) - (^) e + + x + 2 -^1 3 - x f'(2) =^ -^ e+^2 +^2 -^1 =^2 - f'(z)
I f"(x) =^ -^ e
- X . ( 1) + 1 - 1 -^ derivata 2° (3 - x) I e+^1 -
= 1 -^ f"(z) = 1 Pr(x) = E +^ 2(x - 2) =^ 2x^ - E
- (^) P(x) = 2x - 1 P2(x) =^ 2x^ -
- (^) E(x - 2) 2 =^ 2x^ - E
+ 1x-^ *x + +
= (^) 2x - E +
Esercitazioni ricevimento
- E'^ applicabile il^ teorema di E e- 1x (^) x 10 Lagrange
y
- x + (^) xxxx 0 I= E 1 ,^ 1] A=^ R^1 Ipotesi^ :^ f(x)^ è continua^ in^ I= [-1, 1] in (^) x = (^0) lim e- 1 = lim - x (^) + x = f(0) X - DO -^ X^ - p+ ↓ ↓ ↓ D = O -^ O (^) -f(x)e continua in X =^0
- (^) Ipotesi :^ f(x) (^) derivabile (^) in (^) (- ,^ 1) I E SNB ! In^ una^ derivata^ non^ si^ usa y = esA
so
X!^ Si^ usa^ solo^7.
La (^) perché la^ derivata^ èun^ limite f(x) e (^) derivabile (^) in (^) R-[0] Lim SX^ lin^ dx lim e^ =^ eim - 2x +^1
+ -0- X - Dot
↓ ↓
anche (^) in x =^0 f(x)^ è derivabile!
= cf (- 1
, 1)^ (f(x)^ = f(z) - f(- 1) 1 - ( - (^) 1) et- (^1) + 10 Trovare (^) f(1) =^ - 1 + 1 =^0 e (^) immagine = ( (^) -x (^) + xxo della^ f(x)^ Ef( 1) = e
in 1e^ -^1 y' = Sex xxo T f(x) = 0 - (e-^ 2
- (^) 1)
- 2x + (^) 1x) 2 A (^) questo (^) punto f'(c) = 1 1
posso mettere^ *^ perché^2
devo (^) capire cosa succede in O
e=^1 -^ e
ct (^) ( (^1) , 0] 2 c =^ en (1- a -2)
- 2 + 1 = 1 -^ e-1^ ct(0, 1)
C =^ - e
Studio (^) della (^) derivata (^) prima f(x) = 3x2(x2 - 4) - x3(2x) = I (x)^
= x[3(x2 - 4) - x - (2x)) = ( (^2) -
! x(3x -^12 -^ 2nt ↓ (x2 - 4) Studio (^) il (^) segno della derivato: X (^) (2-12) (^) [0 -^1 ,^ devo (^) capire dove (^) cresce (^) e
(x) - 4)
decresce e se ci sono
Derivata I (^) max e (^) min Prima X2 t^ +^ +^ (^0) + + t ⑳ x2 - 12 +^ t^
- 25s^ - + (^25) + + (^) x2 - 12 = 0 (^8) & I -
- (^) + O =^125 t (^) + - 1 - 7 + ab
- A^ ↑ in O^ ha^ una^ retta tangente
orizzontale
possiamo dire^ che^ c'è^ un Conclusione :^ flesso^ a^ to orizzontale f(x) e (^) crescente se (^) (- co^ ,^ - 215] v[2N3 (^) ,^ +^ o ! concavità u (^) (2 (^) , 253] (^2) cambi e f(x) e (^) decrescente se (^) [-21 ,^ - 2) v^ (- 2 (^) , 2)
Conclusione : f(x) e (^) crescente se (^) (- co^ ,^ - 215] v[2N3 ,^ +^ o f(x) e (^) decrescente se (^) [-21 , -2) v^ (-^2 , 2) v^ (2 (^) , 255] Ho un^ min locale in (^) x =^253 f(znz) =^313 Y ↓ f(255) = (28) = (^) (255)
- (^253) = = 35 (255)"
- (^4 12) - 4 Calcolo l'ordinata^ del (^) punto di^ min (^) locale Visto (^) che ho (^) una (^) f(x) dispari simmetrica (^) all'origine (^) posso dire che: Ho un max locale (^) in x =^ -213^ -D^ f)- 21) =^ -^353 Calcolo la derivata (^) seconda :^ -^ Mi^ serve (^) per capire se (^) una f(x) è concava, convessa e se ci^ sono flessi f(x) =^ x (^) (x) - 12) (^) = (x) - 4)2^ D Non^ sviluppo Il^ quadrato! f"(x) (^) ⑧ =
24x)()
- (x4 - 12x2). 2(x - 4). 2x (x2 - 4)
a) ((Px
- 2 Px)(x2 - 4) - (x+^ - (^12) x (^) 2). 4x] = (x2 - 4)*^3 I
= 4x5 - 213 -
1673 +^ 96x^
I (x^
= (^) ex(x2 +^ 12)^ - p derivata (^) Seconda
(x
Studio gli asintoti orizzontali eim to -[]^ INTE e = + c X D lin
-Co
asintoni orizzontali
Studio gli asintoti obliqui
a =^ tim x -^ + lin
G
N = (^2) l=^1 gD = 2 a = 1 La (^) coefficiente
angolare
D =^ lim (^) f(x)-ax
lin
- 1x X - p^ +^ c = (^) lim x3 - x(x2 - 4) y = (^) ax + b I X1+ a *- 4 (y = 1x +^0
y
= X
=ein^ t
[] gN = (^1) e= 0(b) gD = 2 b = 0
Grafico : Ya & a Convessa +a / ·- / asintoto obliquo (^) y =^ X Y "
- ⑧^ ⑧^23 (^2 8) X Cara /^ - Tesso " IIIII
⑧ (^) /Il --^353 B
concava %↓
