MATEMATICA STATISTICA ECONOMIA, Appunti di Economia

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Statistica

A.A. 2019/

CdL Scienze Economiche

Prof. Massimiliano Ferrara

Dott. Bruno Antonio Pansera

Lezione n.

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità: Note Storiche

Le origini del Calcolo delle Probabilità tradizionalmente risalgono alla corrispondenza tra Pascal e Fermat su un problema di gioco d’azzardo (1654): un noto giocatore dell’epoca riscontrava che le sue deduzioni probabilistiche non si accordavano con le sue fortune, o meglio sfortune, di gioco e si rivolse a Pascal chiedendo lumi al riguardo.

• G. Cardano: ”De ludo aleae” (1525, pubblicato nel 1663)
• G. Galilei: ”Sopra le scoperte dei dadi” (1630)

Nato come teoria matematica dei giochi , il Calcolo delle Probabilità crebbe progressivamente di importanza tanto che già Laplace , agli inizi del XIX secolo, poteva affermare “ è notevole il fatto che una scienza, iniziata con l’analisi dei giochi d’azzardo dovesse essere elevata al rango dei più importanti oggetti della conoscenza umana ”. La teoria conobbe un grande sviluppo nel XX secolo, quando Kolmogorov nel 1933 introdusse l’approccio assiomatico.

Calcolo delle Probabilità: Note Storiche

• J. Bernoulli: ”Ars conjectandi” (1713)
• P.S. Laplace: ”Theorie analytique des probabilites” (1812)
• J.C. Maxwell: la probabilità comincia ad entrare nel campo scientifico

trovando applicazioni in fisica (metà del XIX secolo)

• B. De Finetti: definizione soggettiva di probabilità (1931)
• A. Kolmogorov: ”Foundation of the theory of probability” (1933)

Teoria degli Insiemi

Teoria degli Insiemi

Teoria degli Insiemi

Teoria degli Insiemi

Teoria degli Insiemi

Teoria degli Insiemi

La costruzione di un Modello Probabilistico

Occorre innanzitutto individuare quali sono gli eventi in gioco, cioè le diverse situazioni che si possono presentare quando si considera un certo fenomeno, in particolare gli eventi elementari o esiti. Consideriamo il lancio simultaneo di due dadi di diverso colore: gli esiti, o eventi elementari, possono essere individuati dalle coppie ordinate di interi da 1 a 6. A partire dagli eventi elementari si possono costruire eventi “complessi”, quali l’evento “uscita di un 7 (come somma)”, che possiamo descrivere come la collezione di esiti :

E ={(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

L’insieme dei possibili esiti, nel nostro esempio le 36 coppie ordinate di interi da 1 a 6, è detto spazio campionario ( S ).

La costruzione di un Modello Probabilistico

La costruzione di un Modello Probabilistico

Come abbiamo già ricordato, il modello probabilistico è un’astrazione della realtà che ne cattura alcuni aspetti. Non sorprenderà quindi l’osservazione che lo spazio campionario è una costruzione matematica non necessariamente unica , che dipende da ciò che pensiamo sia importante.

È evidente che possiamo descrivere gli “oggetti” sopra introdotti in termini insiemistici : lo spazio campionario può essere visto come un insieme del quale gli esiti costituiscono gli elementi o “punti”. Gli eventi sono allora sottoinsiemi dell’insieme S.

La costruzione di un Modello Probabilistico