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MATEMATICHE COMPLEMENTARI
“Noi onoriamo l’antica Grecia come la culla della scienza occidentale. Là, per la prima volta, è stato creato un sistema logico, meraviglia del pensiero, i cui enunciati si deducono così chiaramente gli uni dagli altri che ciascuna delle proposizioni dimostrate non solleva il minimo dubbio: si tratta della geometria di Euclide. Quest’opera ammirevole della ragione ha dato al cervello umano la più grande fiducia nei suoi sforzi ulteriori. Colui che nella sua prima giovinezza non ha provato entusiasmo davanti a quest’opera non è nato per fare lo scienziato teorico.” Albert Einstein, “La questione del metodo”, 1954. Il concetto di geometria è molto antico e risale all’Antico Egitto. Il termine “geometria” deriva dal greco “γεωμετρία”, composto dal prefisso γή, geo = “terra” e μετρία, metria = “misura”, tradotto letteralmente come “misurazione della terra”. Nasce per questioni pratiche, infatti, in seguito allo straripamento del Nilo, i cosiddetti “tenditori di corda” avevano il compito di riperimetrizzare i territori. La matematica nasce in Grecia, in particolare con Talet e , che ha separato la matematica dalla filosofia e le ha dato un proprio statuto. Siamo nel VI secolo a. C. Un’altra figura importante è Pitagora , il quale sosteneva che “tutto è numero”. Pitagora non è importante solo per il suo famoso teorema, ma è stato alla base d teorie del tipo dei “numeri gemelli”, dei “numeri maschi e numeri femmine” o della relazione tra matematica e musica.
LA GEOMETRIA EUCLIDEA
1 Gli “ Elementi ” di Euclide e la geometria euclidea
Il libro più famoso di Euclide è “ Elementi ”. Esso rappresenta uno dei testi più importanti e influenti della storia delle Matematiche e ha costituito la base per l’insegnamento della geometria nel mondo occidentale per oltre 2000 anni. Possediamo poche informazioni sulla vita di Euclide. Secondo Proclo, egli fu uno degli ultimi allievi della scuola platonica e visse ad Alessandria d’Egitto, tra il IV e il III secolo a. C., fulcro del massimo sviluppo teorico greco-ellenistico. Già nell’antichità, l’opera euclidea ebbe tanto successo da soppiantare tutti gli altri testi di geometria precedenti. I libri – che oggi identificheremmo come capitoli– che formano gli “ Elementi ” sono 131 e contengono in totale 467 teoremi. L’opera pervenutaci non è, naturalmente, il manoscritto originale, ma è stato recuperato durante l’Umanesimo ed è stata datata al II secolo a. C. Gli “ Elementi ” è un’opera di tipo ipotetico-deduttivo , nonché di tipo consequenziale , ciò vuol dire che Euclide parte da alcune ipotesi e premesse per poi svilupparle attraverso dei ragionamenti di tipo logico. Come già detto, l’opera è divisa in 13 libri, di cui i primi 6 riguardanti la geometria piana, i successivi 4 i rapporti tra grandezze e gli ultimi 3 la geometria solida: I Il Libro I è il più importante, in quanto getta le basi a tutta la geometria euclidea. Vi sono contenute 23 definizioni – che trattano i concetti di punto, linea e superfice –, 5 postulati^2 e 5 assiomi^3 (o “nozioni comuni”). II Il Libro II rappresenta un primo tentativo di unificare l’algebra e la geometria. III Il Libro III è dedicato interamente al cerchio e alla circonferenza: questa figura è stata per molto tempo considerata “magica”, perché legata al π^4. IV Il Libro IV è dedicato ai poligoni inscrittibili al cerchio. V Il Libro V tratta la teoria delle proporzioni. VI Il Libro VI tratta la teoria delle similitudini. I Libri VII , VIII e IX sono i cosiddetti “ Libri aritmetici ”, e trattano la teoria dei numeri interi e razionali (notevole è la IX, 20 che dimostra l’infinità dei numeri primi). X. Il Libro X è il cosiddetto “Libro delle preposizioni”, ne vengono esposte ben 115 e tratta delle irrazionalità che noi esprimiamo con radicali quadratici: rette irrazionali, teoria dei radicali, (^1) Alcune edizioni contengono 15 capitoli, ma è stato appurato che il libro XIV si deve a Ipsicle (circa 150 d. C.) e il libro XV è datato nel VI secolo d.C. (^2) Principio indimostrato la cui validità si ammette a priori per evidenza o convenzione allo scopo di fornire la spiegazione di determinati fatti o di costruire una teoria. (^3) Principio evidente per sé, e che perciò non ha bisogno di esser dimostrato, posto a fondamento di una teoria deduttiva. (^4) Il π è un numero irrazionale aperiodico.
Definizioni euclidee
XI. Dicesi ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto; XII. Dicesi acuto l’angolo minore di un retto; XIII. Dicesi termine ciò che è estremo di qualcosa; XIV. Dicesi figura ciò che compreso tra due o più termini; XV. Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un’unica linea tale che tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo punto fra quelli interni alla figura sono uguali tra loro; XVI. Quel punto si chiama centro del cerchio; XVII. Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti della circonferenza del cerchio; XVIII. Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza da esso tagliata, e centro del semicerchio è quello stesso che è anche del cerchio; XIX. Dicesi rettilinee le figure delimitate da rette, vale a dire: figure trilatere quelle comprese da tre rette, quelle quadrilatere comprese da quattro rette e multilatere quelle comprese da più di quattro rette; XX. Dicesi triangolo equilatero la figura trilatera che ha tre lati uguali, isoscele quella che ha due lati uguali e scaleno quello che ha i tre angoli disuguali; XXI. Dicesi triangolo rettangolo la figura che ha un angolo retto, triangolo ottusangolo quella che ha un angolo ottuso e acutangolo quello che ha i tre angoli acuti; XXII. Dicesi quadrato la figura quadrilatera che ha i lati uguali e gli angoli retti; XXIII. Si dicono parallele rette giacenti nello stesso piano che, prolungate illimitatamente in entrambe le direzioni, non si incontrano fra loro da nessuna delle due parti.^6
I Proposizioni costruttive
I, 1: Su una retta terminata data costruire un triangolo equilatero. Dato un segmento AB, costruire una circonferenza con centro in A e una seconda circonferenza con centro in B: AB rappresenterà il raggio di entrambi i cerchi. Segnare il punto di intersezione C. Il triangolo ABC risulta un triangolo equilatero in quanto formato con i raggi AB, BC e AC. (^6) In realtà la geometria non euclidea definisce che le parallele si incontrano all’infinito.
I, 4-8-26: Criteri di congruenza. I. Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l’ angolo compreso rispettivamente congruenti ( LAL : Lato – Angolo – Lato); II. Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e due angoli a esso adiacenti rispettivamente congruenti ( ALA : Angolo – Lato – Angolo); III. Due triangoli sono congruenti se hanno tutti i lati ordinatamente congruenti ( LLL : Lato – Lato – Lato). I, 5 Teorema del Pons Asinorum : Gli angoli sulla base dei triangoli isosceli sono uguali tra loro, e, prolungate avanti le rette uguali, gli angoli sotto la base saranno uguali tra loro. Sia ABC un triangolo isoscele che ha il lato AB uguale al lato AC, si prolunghino AB e AC di due segmenti uguali BD e CE e si uniscano i punti DC e EB. Si considerino, a questo punto, i triangoli ACD e ABE.
Dimostrazione
I triangoli ACD e ABE sono congruenti secondo il I criterio in quanto: possiedono l’angolo BAC in comune, i lati AB e AC sono congruenti per ipotesi e AD e AE sono congruenti per dimostrazione (in quanto a due segmenti congruenti sono sommati due segmenti congruenti). I triangoli ACD e ABE sono congruenti per il II criterio in quanto: i lati AD e AE, gli angoli ABE e ACD e gli angoli ADC e AEB sono congruenti. I triangoli BCD e CBE sono congruenti secondo il III criterio in quanto: possiedono il lato BC in comune, i lati BD e CE sono congruenti per costruzione e i lati DC e EB sono congruenti per previa dimostrazione. Seguendo i criteri di congruenza si ottiene che gli angoli ABE = ACD, CBE = BCD, per sottrazione, quindi, si ottiene che ABC = ACB. I,15: Se due rette si tagliano fra loro, formano gli angoli opposti al vertice tra loro uguali. Dimostrazione Siano α e β due angoli opposti al vertice e chiamiamo δ uno a piacere tra gli angoli individuati dalle rette incidenti che li definiscono. Osserviamo che gli angoli α e δ sono angoli adiacenti e, quindi, supplementari: α + δ = 180°
interni ; Le coppie a-g, b-h sono coniugati esterni. Se a + b = 180° e b + d = 180°, si avrà che: 180° – b = a e 180° – b = d, allora a = d.
Somma degli angoli interni di un triangolo
Disegnato il triangolo ABC, e disegnata la parallela (g) di AB, è possibile dimostrare, attraverso un ragionamento logico, che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180°. Secondo la proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale, possiamo affermare che:
- Gli angoli a1 e a sono alterni interni rispetto l’intersezione con la retta “i”, pertanto sono equivalenti;
- Gli angoli b1 e b sono alterni interni rispetto l’intersezione con le reta “h”, pertanto sono equivalenti;
- La somma di a1 + c + b1 = 180°. Per la proprietà transitiva, quindi, possiamo affermare che la somma di a + b + c = 180° [Il passaggio chiave dell’operazione è il tracciare la parallela del lato AB].
Somma degli angoli interni di un poligono
La somma degli angoli interni ( x ) di un poligono è pari al prodotto del numero di lati ( N ) meno 2 per l’angolo piatto: x = 180° * ( N – 2) Nel caso di una figura convessa la dimostrazione è semplicissima, basti notare che, preso un punto P all’interno della figura e congiungendolo ai vertici, si formano N triangoli.
Proprietà dei triangoli isosceli
Il triangolo isoscele ha almeno due lati congruenti; l’eventuale lato non congruente si chiama base , i due lati congruenti si dicono obliqui. Il triangolo equilatero è un caso particolare di triangolo isoscele: si dice che il triangolo equilatero sia isoscele rispetto a qualsiasi lato preso come base. Teorema diretto dei triangoli isosceli
In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti. Dimostrazione Ipotesi : AC = BC Tesi : BAC = ABC Tracciamo la bisettrice CK dell’angolo in C. I triangoli ACK e BCK sono congruenti per il I criterio di congruenza, infatti: AC = BC (per ipotesi); CK è il lato in comune; ACK = BCK (per costruzione: CK è la bisettrice dell’angolo in C). Pertanto, essendo congruenti, hanno tutti elementi congruenti, quindi anche gli angoli in A e in B sono congruenti. Questo teorema è l’ inverso del teorema del Pons Asinorum. Proprietà del Triangolo isoscele: In ogni triangolo isoscele, la mediana relativa alla base è anche l’altezza e la bisettrice.
Corollari
Un triangolo equilatero è anche equiangolo; Viceversa, se un triangolo è equiangolo, allora è equilatero; Un triangolo scaleno non ha angoli congruenti; Viceversa, se un triangolo non ha angoli congruenti, allora è scaleno. 2 Punti notevoli dei triangoli
Mediana e baricentro
Consideriamo un triangolo ABC e individuiamo il punto medio di ciascun lato. Ogni punto medio così ottenuto può essere collegato con un segmento al vertice opposto. Definizione Si chiama mediana relativa a un lato di un triangolo il segmento ottenuto collegando il punto medio del lato considerato con il vertice opposto al lato.
Tra le proprietà del circocentro troviamo: È il centro della circonferenza circoscritta al triangolo; È equidistante dai vertici del triangolo (segue dalla proprietà precedente). Come accade per l’ortocentro, la sua posizione determina le caratteristiche degli angoli del triangolo: Il circocentro è un punto interno al triangolo se e solo se il triangolo è acutangolo ; Il circocentro è un punto esterno al triangolo se e solo se il triangolo è ottusangolo ; Il circocentro è il punto medio di uno dei lati se e solo se il triangolo è rettangolo (e in questo caso, il lato in questione è l’ipotenusa del triangolo).
Teorema di Eulero
Il circocentro (Ci), il baricentro (Ba) e l’ortocentro (O) di un triangolo equilatero sono coincidenti. Se il triangolo non è equilatero, tuttavia, questi tre punti hanno un’interessante proprietà: essi sono sempre allineati, ovvero giacciono sulla stessa retta. Questa retta viene chiamata retta di Eulero.
Bisettrici e incentro
Nel triangolo ABC, consideriamo le tre bisettrici degli angoli BAC, ABC, BCA. È possibile dimostrare che esse si incontrano in un solo punto detto incentro. Le proprietà dell’incentro sono: È sempre un punto interno al triangolo; È il centro della circonferenza inscritta nel triangolo. Come conseguenza della proprietà precedente: La distanza dell’incentro da un lato del triangolo è la stessa, indipendentemente dal lato scelto; Ogni bisettrice divide il triangolo in due triangoli più piccoli; consideriamo un triangolo BPC (con P punto di intersezione tra la bisettrice passante per A e il lato AB) e prendiamo il lato costituito dalla bisettrice. L’incentro divide questo lato in due segmenti; la proporzione tra questi due segmenti è la stessa che c’è tra gli altri due lati del triangolo considerato (BI : IP = BC : CP).
3 Cerchio Primogenita di Belo, re di Tiro. La sua successione al trono fu contrastata dal fratello, Pigmalione, che ne uccise segretamente il marito Sicheo e prese il potere. Probabilmente con lo scopo di evitare la guerra civile, Didone lasciò Tiro con un largo seguito e cominciò una lunga peregrinazione, le cui tappe principali furono Cipro e Malta. Approdata infine sulle coste libiche, Didone ottenne dal re Iarba il permesso di stabilirsi li, prendendo tanto terreno “quanto ne poteva contenere una pelle di bue”. L’antico soprannome di Cartagine, infatti, era “Birsa”, che in greco significa “pelle di bue” e in fenicio “rocca”. Didone scelse una penisola, tagliò astutamente la pelle di toro in tante striscioline e le mise in fila, in modo da delimitare quello che sarebbe stato il futuro territorio della città di Cartagine e riuscì a occupare un terreno di circa ventidue stadi quadrati (uno stadio equivale a circa 185,27 m). Da questa leggenda è nato il cosiddetto problema di Didone. Consideriamo un punto O. Tutti i punti del piano che hanno la medesima distanza da O formano una figura geometrica, che chiamiamo circonferenza. Il punto O viene detto centro della circonferenza. La distanza assegnata che determina la circonferenza si chiama raggio. Ogni segmento che collega due punti sulla circonferenza è detto corda. Una corda che passa per il centro si chiama diametro , e corrisponde al doppio del raggio. La circonferenza è una linea chiusa che suddivide il piano in punti interni e punti esterni alla circonferenza. La figura costituita dai punti interni alla circonferenza è detta cerchio.^7 Consideriamo una circonferenza e due punti A e B su di essa. Si chiamano arco di circonferenza di estremi A e B una delle due parti di circonferenza delimitate da A e B. se colleghiamo A e B, otteniamo una corda , e diremo che la corda AB è sottesa da ciascuno dei due archi formati da A e B. Un arco che sottende un diametro è chiamato semicirconferenza. La parte di piano racchiusa da un arco di circonferenza e dai raggi che passano per i suoi estremi si chiama settore circolare. Un settore circolare determinato da due raggi perpendicolari viene detto quadrante circolare. Un settore circolare in cui un raggio è il prolungamento dell’altro è detto semicerchio. (^7) Un errore molto comune è quello di confondere il cerchio e la circonferenza. La circonferenza è una linea , che si misura in lunghezza ( 2πr ), mentre il cerchio è una superficie , che si misura con l’ area ( πr^2 ).
Sostituendo, ora, h con r e la somma delle basi con la circonferenza 2πr , otteniamo
r
∗ 2 πr ; semplificando si ottiene πr^2
Angolo al centro e alla circonferenza
Si definisce “ angolo al centro ” un angolo il cui vertice è posto nel centro, mentre “ anglo alla circonferenza ” un angolo il cui vertice è posto sulla circonferenza. I lati dell’angolo al centro intersecano la circonferenza in due punti A e B e consideriamo l’arco AB che abbia tutti i punti compresi nell’angolo al centro. Diremo che questo arco corrisponde all’angolo al centro, e che l’angolo al centro sottende l’arco considerato. L’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza. Dimostrazione Il triangolo ACD è isoscele in quanto i lati AC e AD sono due raggi. Analogamente il triangolo ABD è isoscele, in quanto AD e AB sono raggi. Quindi gli angoli CDA e ACD sono uguali nel triangolo ACD, e gli angoli ADB e DBA sono uguali nel triangolo ABD. Vogliamo dimostrare che l’angolo CAB è il doppio dell’angolo CDB. L’angolo CAB è composto dalla somma degli angoli CAE e EAB. CAE = CDA + ACD CAE = 2CDA EAB = ADB + DBA EAB = 2ADB Se l’angolo CAB è uguale alla somma degli angoli CAE e EAB. In definitiva abbiamo dimostrato che l’angolo costruito sul centro è il doppio dell’angolo costruito sul vertice. Questa dimostrazione rende banale la definizione che qualsiasi triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo. Dimostrazione del “Teorema di Talete” L’angolo CAB è 180°, in quanto l’angolo del diametro. Dato che abbiamo dimostrato che l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza, allora l’angolo D costruito sulla circonferenza è di 90°.
Teorema delle tangenti
Elenchiamo alcune proprietà delle rette tangenti a una circonferenza: Presa una tangente a una circonferenza, il raggio che ha come estremo il punto di tangenza è perpendicolare alla tangente considerata. Preso un punto esterno a una circonferenza C, esistono sempre due rette tangenti a C che passano per il punto considerato. Se il punto è interno, da esso non passa alcuna tangente a C. Se il punto appartiene alla circonferenza, invece, esiste un’unica tangente. Il teorema delle tangenti enuncia: Consideriamo un punto P esterno a una circonferenza C di centro O, e da P conduciamo le tangenti a C. Chiamiamo A e B i punti di tangenza. Allora: PA≅PB; Il segmento PO divide a metà l’angolo 𝐴𝑃𝐵 e anche l’angolo 𝐴𝑂𝐵.
Teorema delle secanti
Consideriamo una circonferenza C e due rette secanti r , s che hanno in comune un punto P esterno alla circonferenza. Detti A e B i punti di intersezione di r e C (con PA < PB), e detti D e E i punti di intersezione di s con C (con PD < PE) abbiamo la seguente proporzione: PA : PD = PE : PB.
Teorema della secante e della tangente
Consideriamo una circonferenza C, una retta secante r e una retta tangente s che hanno in comune un punto P esterno alla circonferenza. Detti A e B i punti di intersezione di r e C (con PA<PB), e detto D il punto di tangenza di s rispetto a C, abbiamo la seguente proporzione: PB : PD = PD : PA.
- Somme, o differenze, di superfici equivalenti, sono equivalenti.
Composizione e scomposizione delle figure
Due superfici equiscomponibili (ossia: scomponibili in parti rispettivamente uguali) sono equivalenti 1 – Due parallelogrammi aventi ugual base e uguale altezza sono equivalenti Ipotesi : ABCD, ABEF parallelogrammi con ugual base e uguale altezza; Tesi : ABCD = ABEF. Dimostrazione I due triangoli ADF, BCE sono uguali per il Primo Criterio perché hanno: AD = BC (lati opposti di un parallelogrammo); AF = BE (stesso motivo); 𝐷A𝐹 = 𝐶𝐵𝐸 (angoli coi lati paralleli e concordi). Quindi: ABED = ABED (ogni superficie è equivalente a sé stessa: assioma 2, proprietà riflessiva dell'equivalenza) ADF = BCE (due superfici uguali sono anche equivalenti: assioma 1) Per sottrazione, si ottiene ABEF = ABCD 2 – Un parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo avente ugual base e uguale altezza 3 – Un triangolo è equivalente a un parallelogrammo avente base uguale a metà base del triangolo, e per altezza la stessa altezza Ipotesi : ABC triangolo, ADEC parallelogrammo con 𝐴𝐷 = 1 / 2 𝐴𝐵, e stessa altezza di ABC Tesi : ABC = ADEC Dimostrazione I due triangoli DBF, EFC sono uguali per il Secondo Criterio (due parallele, alterni interni, DB = AD = CE). Possiamo allora scrivere la catena ABC = ADFC + DBF = ADFC + EFC = ADEC, che dimostra la tesi.
4 – Un trapezio è equivalente a un triangolo avente base uguale alla somma delle basi del trapezio, e per altezza la stessa altezza Ipotesi : ABCD trapezio; BE = DC, così che il triangolo AED abbia base uguale alla somma delle basi del trapezio, e per altezza la stessa altezza del trapezio Tesi : ABCD = AED Dimostrazione I due triangoli FCD e FBE sono uguali per il Secondo Criterio. Ne consegue ABCD = ABFD + FCD = ABFD + FBE = AED 5 Poligoni Poligono Area Triangolo (b * h) / 2 Quadrato l * l Rettangolo b * h Parallelogramma b * h Rombo (D * d) / 2 Trapezio (B + b) * h / 2 Cerchio 2πr 6 Teorema di Pitagora L’enunciato del teorema di Pitagora asserisce che “ il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati disegnati sui cateti ”
7 Teoremi di Euclide
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su di un cateto è equivalente al rettangolo, avente per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa. In forma aritmetica. In un triangolo rettangolo, il quadrato di un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa (ci si riferisce al prodotto delle misure, ovviamente): 𝐴𝐶^2 = 𝐴𝐵 * 𝐴𝐻 Dimostrazione La figura mostra: Un triangolo rettangolo ABC; Il quadrato ACDE costruito su di un cateto; E il rettangolo AHMN, il quale, poiché si è preso AN = AB, ha una dimensione uguale all’ipotenusa AB, e l’altra dimensione uguale alla proiezione AH del cateto AC prima considerato, sull’ipotenusa. Vogliamo dimostrare che le due superfici ACDE = q (AC) e AHMN = r (AB,AH) sono equivalenti. A tale scopo, prolunghiamo i tre segmenti NA, MC, ED, in modo da ottenere il parallelogrammo ACFG. Tale parallelogrammo farà da “figura-ponte”: faremo vedere che è equivalente sia al quadrato, che al rettangolo. E con ciò resterà dimostrato, per la proprietà transitiva dell’equivalenza, che il quadrato ACDE e il rettangolo AHMN sono equivalenti fra loro. Ora, che il parallelogramma ACFG e il quadrato ACDE siano equivalenti è immediato: se si prende AC come base sia per ACFG che per ACDE, si vede che il segmento CD fa da altezza per entrambi, quindi il parallelogramma e il quadrato sono equivalenti perché hanno stessa base e stessa altezza. Un po’ più impegnativo è dimostrare che sono equivalenti il rettangolo AHMN e il parallelogramma ACFG. AHMN e ACFG sono inscritti nella stessa striscia, avente per lati i due segmenti NG ed MF: quindi, se si prendono come rispettive basi AN e AG, hanno la stessa altezza (ad esempio, il segmento AH fa da altezza per entrambi). Si tratta allora di dimostrare che hanno anche ugual base, cioè che risulta AN = AG. Ma AN = AB, quindi se riusciamo a far vedere che AB = AG, la nostra dimostrazione sarà completata.
A tale scopo, confrontiamo i due triangoli ABC, AGE. In effetti tali due triangoli hanno:
- AC = AE perché lati di un quadrato;
- 𝐴𝐶𝐵 = 𝐴𝐸𝐺 = 90°
- 𝐶𝐴𝐵 = 𝐸𝐴𝐺 perché complementari dello stesso angolo 𝐺𝐴𝐶 (𝐶𝐴𝐵 = 𝐺𝐴𝐵 − 𝐺𝐴𝐶 = 90° − 𝐺𝐴𝐶 = 𝐶𝐴𝐸 − 𝐺𝐴𝐶 = 𝐸𝐴𝐺) È dunque ABC = AGE per il Secondo Criterio, come intendevamo provare. La tesi è perciò dimostrata.
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo avente per dimensioni le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa. In forma aritmetica: In un triangolo rettangolo, il quadrato dell’altezza relativa all’ipotenusa è uguale al prodotto delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa 𝐶𝐻^2 = 𝐴𝐻 * 𝐻𝐵
Dimostrazione
Nella figura compaiono: Un triangolo rettangolo ABC; Il quadrato ACDE costruito sul cateto AC; Il quadrato CHKF costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa (CH); Il rettangolo AHMN, che è una “vecchia conoscenza” proveniente dal Primo Teorema di Euclide. La dimensione AN è stata presa uguale all’ipotenusa AB. Poi sul segmento AN è stato preso un segmento AQ = AH e da Q è stata tracciata la parallela QP ad AH, così da ottenere il quadrato AHPQ ed il rettangolo NMPQ. Quest’ultimo rettangolo ha una dimensione uguale ad AH, mentre l’altra sua dimensione è NQ = AN−AQ = AB−AH = HB. NMPQ ha le due dimensioni uguali alle proiezioni AH, HB dei due cateti sull’ipotenusa, ed è dunque il rettangolo di cui parla la tesi. Si tratta, in definitiva, di dimostrare che il quadrato CHKF è equivalente al rettangolo NMPQ. E tale equivalenza si può provare con la seguente catena: 𝐶𝐻𝐾𝐹 = 𝐴𝐶𝐷𝐸 – 𝐴𝐻𝑃𝑄 = 𝐴𝐻𝑀𝑁 – 𝐴𝐻𝑃𝑄 = 𝑁𝑀𝑃𝑄
