materiale per esame matematica finanziaria, Appunti di Matematica Finanziaria

Scarica materiale per esame matematica finanziaria e più Appunti in PDF di Matematica Finanziaria solo su Docsity!

La struttura a termine dei tassi

d’interesse

Benedetto Matarazzo

Struttura per scadenza

dei tassi di interesse

La struttura per scadenza dei tassi d’interesse Tassi forward Tassi spot Metodi di misurazione

Corso

di

Matematica Finanziaria

Generalità sul mercato dei capitali Relazione tra tassi spot e farward Prezzi dei titoli e tassi di interesse di mercato

Struttura “SPOT”

• Mercato dei capitali strutturato su m periodi t 0 , t 1 , t 2 , …, t m
• V(t 0 , t k ) : prezzo a pronti (in t 0 ) di uno zero – coupon bond unitario , con k = 1, 2, …, m. Mercato “completo” rispetto alla struttura dei tassi SPOT i(t 0 , t k ), ossia dei tassi ivi vigenti nel periodo [t 0 , t k ]. La struttura a termine o per scadenza dei tassi di interesse al tempo t rappresenta la relazione tra i prezzi (o i tassi di rendimento) dei titoli presenti su un dato mercato e le loro scadenze T o durate T-t

Struttura “SPOT”

( 0 , ) 1 ( 0 , ) V t r t   

t t

r t i t e  ( 0 , )  1  ( 0 , ) 

V(0,t): prezzo di uno zero – coupon bond unitario scadente al tempo t

e valutato al tempo 0 [tsc(t)]; N.B: V(0,s)>V(0,t) per s<t; V(0,0)=1=V(t,t).

0 t

• V(0,t) 1 r(0, t) V(0, t) r(0, t) = 1 Legge finanziaria ad una variabile Fattore di attualizzazione (decrescente con t): v(0, t) = r(0, t)-^1  V(0, t) = v(0, t). i(0, t): tasso periodale vigente in [0, t], valutato in 0. (0, t): tasso istantaneo vigente in [0, t], valutato in 0. 

(segue)

Struttura “SPOT” (segue)

Esempi di struttura a termine (prima dell’euro)

Informazioni statiche, dinamiche, spaziali:

Contratti a termine

V(t 0 , t 1 , t 2 ) : prezzo fissato in t 0 per esecuzione (consegna/pagamento) a termine di

uno zero – coupon bond unitario per il periodo tra due scadenze t 1 ,t 2 , (t 0 < t 1 < t 2 )

I tassi SPOT per i periodi (t 0 , t 1 ) e (t 0 , t 2 ) individuano il tasso in vigore tra il tempo t 0 della stipula ed esecuzione del contratto e la scadenza (rimborso del titolo) dello stesso (rispettivamente t 1 e t 2 ) Tassi FORWARD i(t 0 , t 1 , t 2 ): si riferiscono ad operazioni di acquisto di tsc con epoca della stipula (t 0 ) antecedente quella dell’esecuzione (t 1 ) e del rimborso (t 2 ), ossia, ad un “contratto a termine” (t 0 < t 1 < t 2 ), che più in generale è un accordo stipulato al tempo t 0 per lo scambio ad una data futura prefissata (scadenza del contratto forward) di un bene (detto sottostante) ad un prezzo prefissato in t 0 (detto prezzo a termine o forward) con consegna e pagamento al tempo t 1 ; Tali tassi sono perciò chiamati tassi forward di mercato. N.B. Al momento della stipula (t 0 ) il valore del contratto è, per definizione, nullo. Se il sottostante è un tsc, esso avrà una sua scadenza (data del rimborso unitario).

Il prezzo forward V(t 0 , t 1 , t 2 ) dipende allora dalla data di stipula ( t 0 ), dalla scadenza

del contratto ( t 1 ) e dalla scadenza del sottostante ( t 2 ).

Struttura implicita “FORWARD”

 0 , ,    0 , ,  1 ; 1

t  s i s t r s t ^ ^ ^ ^ ^    r s t t s s t log 0 , , 1  0 , , log  1  i ^0 , s , t  V ^0 , s , t ^1  i  0 , s , t  t  s  V  0 , s , t  e

^0 , s , t  t^^  s 

Tasso di interesse (di rendimento) forward o a termine effettivamente praticato sul mercato al tempo 0 per il periodo [s, t] (0 < s < t).

Vendite “allo scoperto” (short sales):

Equivalente ad un finanziamento (o all’emissione di un tsc) per il periodo [0, t] allo stesso tasso i(0, t) 0 t +V(0,t) (^) - 1   V  t 

r t

i  0 , t   ^ ^0 , ^ ^1  1 t

r t

 

1

t

V t

        t  s r 0 , s , t 1 i 0 , s , t  s t  t s  e  0 , ,   (segue)

Relazioni tra tassi spot e forward

Ipotesi:

• Condizione di scindibilità (capitalizzazione composta):
• Assenza di arbitraggio (assioma di coerenza):

non è possibile realizzare un profitto esente da rischio ed illimitato senza

impiegare capitale proprio, ossia semplicemente effettuando sul mercato

operazioni a pronti e a termine.

t r(0,s, t) 0 s r(0,s) r(0, t) NO: r(0, s) r(0, s, t) <[>] r(0, t) r  0 , s   r 0 , s , t   r  0 , t  ^1  i^ ^0 , s    1  s i  0 , s , t   t  s  1  i  0 , t  t Equivalente a: , ossia: Considerando tutti i periodi unitari [tk- 1 , tk] tra s e t: operazioni roll-over di disinvestimento ed investimento immediato ai tassi periodali i(t 0 , tk- 1 , tk).

Relazioni tra tassi spot e forward

(segue)

, 1 ,...,. ( 0 , ) ( 0 , ) ... ( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , ) 0 1 1 0 k n r t r t r t r t r t r t k k k    Siano 0=t 0 <t 1 <…<tn- 1 <tn=t e 0  th- 1  s <th  t. Per la condizione di coerenza, si ha: r^ ^0 ,^ tk  1   r^0 , tk  1 , tk ^  r ^0 , tk  ossia:

1 1 

k k k k

r t

r t

r t t

Per leggi a termine: ( 0 , , ) ( 0 , , ) ( 0 , , ) ( 0 , , )... ( 0 , , ). k h h h 1 h 1 h 2 k 1 k r s t r s t r t t r t t r t t      In termini di tassi periodali, per tk= tn = t : ( 0 , , )  1 ( 0 , , )  1 ( 0 , , )  1 ( 0 , , ). 1 1 1              h j j t s t t j j n j h t s h r s t i s t i s t i t t Pertanto, il tasso periodale (costante) i(0,s,t), s=0,1,…,tn- 1 è una particolare media funzionale dei tassi i(0,s,th)=i(t 0 ,s,th), i(0,th,th+1),…,i(0,tn- 1 ,tn)=i(0,tn- 1 ,t), ossia è una media dei tassi a termine nell’intervallo [s,t]; il primo di tali tassi sarebbe un tasso a pronti se fosse s=0. da cui ( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , , ) ( 0 , , )... ( 0 , , ). k 0 0 1 1 2 k 1 k r t r t r t t r t t r t t  

Relazioni tra tassi spot e forward

(segue)

Siano 0=t 0 <t 1 <…<tn- 1 <tn scadenze periodiche unitarie, ossia tk=k, k=0,1,…,n. Si considerino i tassi farward monoperiodali i(0,k,k+1), detti anche tassi short, valutati in t 0 =0, relativi al singolo periodo k,k+1, in funzione dei corrispondenti tassi spot i(0,k), i(0,k+1). Si ha:      . 1 ( 0 , ) 1 ( 0 , 1 ) 1 ( 0 , 1 ) 1 ( 0 , ) 1 ( 0 , 1 ) 1 ( 0 , , 1 ) 1 k k k i k i k i k i k i k i k k                      Allora, se i tassi spot monoperiodali sono crescenti, ossia i(0,k)<i(0,k+1), il corrispondente tasso farward (short) i(0,k,k+1) sarà maggiore di tali tassi, essendo i(0,k,k+1)>i(0,k+1)>i(0,k). Pertanto, la curva rappresentativa dei tassi farward monoperiodali (tassi short) giacerà al di sopra di quella dei tassi spot. Se, invece, i tassi spot decrescono, i corrispondenti tassi short saranno minori di essi e la curva rappresentativa dei tassi farward monoperiodali (tassi short) giacerà al di sotto di quella dei tassi spot. Di conseguenza, la curva dei tassi farward monoperiodali intersecherà quella dei tassi spot rispettivamente in corrispondenza dei punti di massimo o di minimo relativo. Pertanto, tra i tassi short ed i tassi spot valgono le stesse relazioni intercorrenti tra grandezze “marginali” (tassi short) e “medie” (tassi spot).

Le principali teorie e le possibili forme della struttura a termine

• Crescenti (incremento)
  • Decrescenti (ribasso)
  • Piatte (invarianza)
• Con la “gobba” (rialzo seguito da un ribasso)
• Con un “minimo” intermedio (ribasso seguito da un rialzo)
• statiche (osservazioni allo stesso tempo): forma della curva dei tassi per diverse scadenze
• dinamiche (osservazioni in tempi diversi): l’evoluzione della struttura a termine
• spaziali (osservazioni in mercati diversi): confronti tra diversi Paesi La differenza tra tassi a breve e tassi a lungo: risk premium e liquidity premium; giustificherebbe una curva dei tassi crescente Teoria delle aspettative: le diverse forme riflettono le attese del mercato circa l’andamento futuro dei tassi di interesse: tassi forward attuali i(0,1,k)  spot a 1 anno. Dinamica dei tassi spot fondata sulle aspettative. Teoria del premio per la liquidità: aspettative di maggior rendimento per titoli con scadenza più lunga, con minore liquidità e più sensibili a variazioni di tasso di mercato. Teoria della segmentazione dei mercati: chiare preferenze degli investitori per alcuni intervalli di scadenze (domanda ed offerta). Informazioni ottenibili:

La misurazione della struttura a termine

Osservazione dei prezzi degli zero – coupon bonds e di altri titoli obbligazionari con

opportune scadenze

• problemi di stima (bootstrapping: tsc + titoli con cedola)
• approssimazioni con T.I.R. e scadenze medie per i titoli

complessi

1. Misurazione come problema di algebra lineare (sistema lineare mn,

m titoli con cedola ed n scadenze dei flussi)

2. Modelli parametrici (adattamento di opportune funzioni: interpolazione

lineare, logaritmica (Bradley e Crane), metodi di McCulloch, Houglet,…);

stima dei parametri, spesso col metodo dei minimi quadrati

3. Stima come problema di programmazione lineare (ottimizzazione di

portafoglio)