Capitalizzazione in Mat. Finanziaria - Paolo Foschi (Univ. Bologna) - Sett.-Dic. 2014, Dispense di Analisi Matematica I

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Matematica Finanziaria

Paolo Foschi

Department of Statistics University of Bologna [email protected]

Sept-Dec 2014

Regimi di capitalizzazione

Table of Contents

1 Regimi di capitalizzazione

Introduzione

Capitalizzazione semplice

Capitalizzazione composta

Capitalizzazione continua

Sconto Commerciale

Conteggio dei giorni e tassi finanziariamente equivalenti

2 Titoli obbligazionari

3 Piani di ammortamento e di accumulazione

4 Struttura a termine dei tassi

5 Misure di rischio

Regimi di capitalizzazione Introduzione

Capitalizzazione/attualizzazione

K

−M

time

cash flow

I (^) A quanto deve ammontare il valore M perche si abbia una scambio equo tra le controparti? I (^) Quale ammontare minimo (M) dovr`a ricevere in T l’investitore per rendere conveniente l’investimento K in t? I (^) Capitalizzazione: determinare M (si porta K avanti nel tempo) I (^) Attualizzazione: determinare K (si porta M indietro nel tempo)

Regimi di capitalizzazione Introduzione

Equivalenza e preferenza temporale

I Capitalizzazione/attualizzazione: trovare M /K tale che

K in t ∼ M in T.

I Ipotesi di preferenza temporale (per T > t):

K in t  K in T

I Interesse:

Definition (Interesse)

Interesse:

I := M − K

Tasso di variazione del capitale:

M − K

K

I

K

Regimi di capitalizzazione Capitalizzazione semplice

Capitalizzazione Semplice

Idea: misurare la variazione per unit`a di tempo.

Definition (Tasso d’interesse semplice) Il tasso con capitalizzazione semplice e il tasso di variazione del capitale per unita di tempo:

Rs(t, T ) :=

M − K

K(T − t)

I (^) Non dipende da t o T ma dalla durata τ = T − t dell’operazione.

Capitalizzazione Semplice Nella legge di capitalizzazione semplice:

M = (1 + Rsτ )K, K = 1 1 + Rsτ

M, τ = 1 Rs

M − K

K

Regimi di capitalizzazione Capitalizzazione semplice

Fattore di sconto

Nota:

K =

1 + Rsτ

M

Definition (Fattore di sconto semplice)

Si definisce fattore di sconto (in capitalizzazione) semplice la q.t`a:

1 + Rsτ

Regimi di capitalizzazione Capitalizzazione semplice

Investo per 5 anni un campitale K = 100 presso la banca “XVY” che garantisce un tasso semplice annuo Rs = 5%. Al termine dei 5 anni possiedo un montante pari a:

M = K(1 + 0. 08 · 5) = 100 · 1 .25 = 125, al tempo T = 5.

Presso la stessa banca, con lo stesso tasso semplice, investo per un anno il capitale K = 100. Al termine del primo anno possiedo un montante

V 1 = 100 · 1 .05 = 105, al tempo T 1 = 1

che reinvesto per un altro anno, ottenendo

V 2 = 105 · 1 .05 = 110. 25 al tempo T 2 = 2

e poi di nuovo

V 3 = 110. 25 · 1 .05 = 115. 76 al tempo T 3 = 3 V 4 = 115. 76 · 1 .05 = 121. 55 al tempo T 3 = 4 V 5 = 121. 55 · 1 .05 = 127. 63 al tempo T 3 = 5

Regimi di capitalizzazione Capitalizzazione semplice

I Il valore di questa operazione dopo n anni `e pari a

Vn = K(1 + Rs)n.

I `E soluzione della eq. ricorsiva (per n = 1, 2 ,.. .):

Vn+1 = Vn(1 + Rs) V 0 = K.

Regimi di capitalizzazione Capitalizzazione composta

Capitalizzazione Composta

Definition (Legge capitalizzazione composta) Nella legge di capitalizzazione composta:

M = K(1 + R)τ^ ,

dove R `e detto tasso di interesse in capitalizzazione composta, o tasso composto.

Relazioni inverse

Il fattore di sconto `e pari a (^) (1+^1 R)τ : K = 1 (1 + R)τ^

M.

Il tasso composto `e: R =

( M

K

) (^) τ (^1) − 1

La durata `e: τ = log(M/K) log(1 + R)

Regimi di capitalizzazione Capitalizzazione composta

Exercise

A quale tasso composto R un capitale di 123 456.00 euro raddoppia in dieci anni?

K = 123456. 00 , M = 2K, τ = 10.

R = 2^1 /^10 − 1 = .0712 = 7.12%

Exercise

In regime di capitalizzazione composta con un tasso su base annua R = 8%

quanto tempo impiega un capitale a raddoppiare di valore?

M/K = 2, R =. 08 ,

log(2)

log(1.08)

= 9. 0064 anni.

Regimi di capitalizzazione Capitalizzazione continua

I (^) Supponiamo di poter investire, al tasso semplice r, secondo lo schema:

V 0 = K, Vt+δ = Vt(1 + rδ), t = 0, δ, 2 δ,... , T.

1 2 3 4 5

K t

Vt

δ = 1

I (^) La variazione di capitale `e: Vt+δ − Vt = δrVt.

I (^) La variazione per unit`a di tempo: Vt+δ^ −^ Vt δ

= rVt. e per δ → 0 :

dVt dt

= rVt.

Regimi di capitalizzazione Capitalizzazione continua

I (^) Supponiamo di poter investire, al tasso semplice r, secondo lo schema:

V 0 = K, Vt+δ = Vt(1 + rδ), t = 0, δ, 2 δ,... , T.

1 2 3 4 5

K t

Vt

δ =. 5

I (^) La variazione di capitale `e: Vt+δ − Vt = δrVt.

I (^) La variazione per unit`a di tempo: Vt+δ^ −^ Vt δ

= rVt. e per δ → 0 :

dVt dt

= rVt.

Regimi di capitalizzazione Capitalizzazione continua

I La strategia:

V 0 = K, Vt+δ = Vt(1 + rδ), t = 0, δ, 2 δ,... , T.

quando δ → 0 diventa

V 0 = K,

dVt

dt

= rVt, t ∈ [0, T ].

I Quest’ultima eq. differenziale ha soluzione

Vt = Kert.

1 2 3 4 5

K t

Kert

Regimi di capitalizzazione Capitalizzazione continua

Capitalizzazione Continua

Definition (Legge capitalizzazione continua) Nella legge di capitalizzazione continua:

M = Kerτ

dove r `e detto tasso di interesse in capitalizzazione continua, o tasso continuo.

Relazioni inverse Il fattore di sconto `e pari a e−rτ^ : K = e−rτ^ M.

Il tasso continuo `e: r = log(M^ )^ −^ log(K) τ

La durata `e: τ = (^1) r log(M/K).

I (^) Si passa dalla capitalizzazione all’attualizzazione con un cambio di segno (cambia la direzione del tempo).