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Esercizi relativi all'analisi matematica, in particolare sui integrali indeterminati e determinati. La soluzione per ognuno di essi, inclusi integrali di funzioni elementari e complesse. Inoltre, sono incluse domande relative alla derivata e all'approssimazione numerica di integrali. Utile per gli studenti universitari di matematica per studiare e capire meglio i concetti di integrali.
Tipologia: Esercizi
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Week #7 - Integrals
(a)
dx √ (^3) x 2
(b)
ln^2 x x dx
(c)
x 1 − x^2 dx
(d)
3 x^2 − x − 1 2 x^3 − x^2 − 2 x + 4 dx
(e)
x^3 + 4x^2 − 3 x + 1 x^2 dx
(f)
x + 3 x + 1 dx
(g)
x^3 + 4x^2 − 3 x + 1 √ x
dx
(h)
x
x^2 + 4 dx
(i)
ln^2 x x dx
(j)
dx sin x tan x
(k)
e (^1) x x^2 dx
(l)
dx ex^ + 1
(m)
e3 cos 2x^ sin 2x dx
(n)
dx 4 x^2 + 9 (o)
x x^4 + 3 dx
(p)
dx ex^ + e−x (q)
√x^ + 3 1 − x^2
dx
(r)
dx √ 28 − 12 x − x^2 (s)
dx 9 − x^2 (t)
dx √ x^2 + 1
(u)
e^2 x^ − 1 e^2 x^ + 3 dx
(v)
dx x
4 − 9 ln^2 x (w)
x sin x dx
(x)
xex^ dx
(y)
x^2 ln x dx
(a)
∫ (^) x
0
f (θ)dθ. Find the equation of the line tangent to the graph of F 0 (x) in the given point x 0. (a) f (x) = x^3 + 1; x 0 = 3
∫ (^) b
a
f (x)dx and compare to previous results
(a) f (x) = (1 + x) x
(b) f (x) = −x^2 − 6 x; I = [− 3 , −1]
(c) f (x) = cos(2πx); I = [−
(d) f (x) = log(|x| + 1); I = [1 − e, e − 1]
(w) −x cos x − sin x + C (x) ex(x − 1) + C
(y)
x^3 ln(x) − x^3 9
0
|x − 1 |dx =
(b)
0
√ (^3) (x − 1) 2 dx = 9
(c)
0
x 1 +
x dx = 2ln 3
(d)
∫ (^) π 2
0
sen
xdx = 2π
(e)
1
(ex^ − 1)−^ (^12) dx = 2(arc tan(e^2 − 1) (^12) − arc tan(e − 1) (^12)
(a) y − 28 x + 60.75 = 0
; I = [1, 5], f(x) > 0 because the numerator and denominator are >0 in [1,5]
(b) f (x) = −x^2 − 6 x; I = [− 3 , −1], => f (x) = (−x)(x + 6) > 0 f or|x| > 3
(c) f (x) = cos(2πx); I = [−
], cos(x) = cos(−x); |x| ≤
<=> 2 π|x| = π 2 => cos 2 πx ≥= 0
(d) f (x) = log(|x| + 1); I = [1 − e, e − 1], f (x) > 0 => 1 + |x| ≥ 1 => log(|x| + 1) ≥ 0
LRS =
∫ (^) b
a
f (x)dx = 4 + ln 5 ' 5. 609
LRS =
∫ (^) b
a
f (x)dx =
LRS =
∫ (^) b
a
f (x)dx =
π
LRS ' 1. 4436 ∫ U RS^ '^3.^7715 b a
f (x)dx = 2
These are the solutions for some chosen partitions.
