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MATRICI E APPLICAZIONI LINEARI
Matrici e notazioni matriciali per i vettori, le basi e le applicazioni lineari.
M (n x m) ={tabelle di nm numeri (reali o complessi) ordinati in n righe e in colonne} = {matrici a n righe ed m colonne}.
Se A,B ∈ M(n x m) si può fare A+B = C ∈ M(n x m) sommando gli elementi nello
stesso posto: c (^) ij =a (^) ij + b (^) ij e λA ∈ M(n x m) (λA) (^) ij = λa (^) ij
Se A ∈ M(n x m) e B ∈ M (m x q) si definisce
A * B = C ∈ M(n x q) col prodotto righe x colonne:
m q q
n * m = n
Cij = Σ a (^) imb (^) mj es. (2 x 2) i=righe, m=colonne m
a b e f ae+bg af+bh c d g h = ce+dg cf+dh
Osservazione importante: se si possono fare sia A B che B A (ad esempio per le matrici quadrate ) 0 0 in generale si ha che A B ≠ BA e A B=0 dove 0 = 0 0
non implica che A o B siano zero:
Matrice trasposta : At^ è ottenuta da A scambiando le righe con le colonne:
a b t^ = a c
c d b d
proprietà immediate: (A + B) t^ = A t^ + B t (A B) t^ = B t^ A t
Consideriamo matrici quadrate (per ora 2 x 2)
la matrice I = 1 0 ha le stesse proprietà del numero 1: A I = I A = A 0 1
per n x m I = 1 0 0 0.. 0 0 1 0 1 0 1
. 1 0 1
Cosa è l’analogo di aa -1^ = 1 se a ∈ R e a ≠0? qui NON basta che A≠0 per poter
definire una A -1^ tale che A A -1^ = A-1^ A = I !!
Serve la nozione di determinante della matrice A (detA)
Caso (2 x 2)
a b Det = ad-bc
c d
Si vede subito che det (A B)=detA detB. Se det A≠0 si può definire A-1^ :
2 det A = Σ (-1) p+1^ a (^) 1p det A1p P=
Si ha: A 11 = a (^22) A 12 = a (^21)
Per cui:
detA = (-1) 2 a 11 A 11 + (-1) 3 a 12 A 12 =
= a 11 a 22 - a 12 a 21 (OK!)
* ESEMPIO *
(3 x 3) A= a 11 a 12 a (^13) a 21 a 22 a (^23) a 31 a 32 a (^33)
si ha: A 11 = a 22 a 23 A12 = a 21 a 23 A13 = a 21 a (^22) a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a (^32)
detA = a 11 detA 11 - a 12 detA 12 + a 13 detA 13
Formula generale per l’inversa:
Sia Apq la sottomatrice ottenuta eliminando da A la p-esima riga e la q-esima colonna. Si definisce “complemento dell’elemento aij” di A ã (^) ij =(-1) i+j^ det (Aij )
allora 1
(A-1^ ) ij = ---------- ã ji (notare lo scambio! ji NON ij )
det A 1 applicazione al caso (2 x 2) la formula sopra si riscrive (A -1^ ) = ------- (ã) t detA
allora se A = a b c d
si ha: ã 11 =d ã 22 =a ã 12 =-c ã 21 =-b
1 A-1^ = -------- d -b ã = d -c detA -c a -b a
(matrice dei complementi)
NOTA ã (^) ij serve anche per calcolare il determinante usando la riga che è più comoda (quella con più zeri).
detA= Σ a (^) ij ã (^) ij i è scelto da noi! j
Rango di una matrice
Sia A matrice n x m si chiama “minore di A” una sottomatrice quadrata contenuta in A.
Esempio 1 0 2 3 1 0 0 0 0 i minori sono
di “ordine”1: 1, 0, 2, 3
di “ordine”2: 10 , 12 , 02 31 30 10
31 10 30 00 , 00 , 00
10 , 02 , 12 00 00 00
Teorema importante
Sia AB=C allora,
se A è invertibile r (AB) = r (B) quindi,
se A e B sono invertibili
r (AB)= r (A) =r (B)
Proprietà dell’inversa
(AB)-1^ = B-1^ A-
(A-1^ ) –1^ = A
(At^ ) –1^ = (A-1^ ) t 1 det (A-1^ ) = -------- detA
Notazioni matriciali dei vettori e delle basi
Una matrice può anche essere costituita da oggetti più generali dei numeri reali, basta che sugli oggetti siano definite operazioni che danno senso a prodotti e somme; ad esempio considereremo matrici di numeri complessi e anche di vettori.
v 1 → → →. e = (e 1 , e 2, ……. e n) v =. vn → (^) n →
allora v = Σ v (^) i e (^) i si può scrivere 1
→ v = ev
ed anche:
→ → w v * w = v t^ w = (v 1 …..v (^) n ).
. wn
prodotto scalare
Applicazioni lineari
ϕ : Rn^ Rm^ è lineare se ∀ v, w ∈ Rn^ , ∀ a, b ∈ R (ometteremo le frecce sopra i vettori) ( Con le ovvie modificazioni si tratta il caso complesso)
ϕ (a v + b w ) = a ϕ ( v ) + b ϕ ( w )
Esempio in (2 x 2) (ma la cosa si generalizza subito) considereremo il caso in cui ϕ : R^2 R^2
La proprietà di linearità ci dice che per conoscere la ϕ basta sapere come opera sulla base. Infatti se v= ( v 1 e 1 + v 2 e 2 ) , allora
ϕ ( v ) = v 1 ϕ (e 1 ) + v 2 ϕ (e 2 )
quindi basta dare si suppone qui di usare la stessa base nei due R^2 , quello di partenza e quello di arrivo
ϕ (e 1 ) = a e 1 + b e (^2) ϕ (e 2 ) = c e 1 + d e (^2)
Allora ϕ ha una rappresentazione matriciale : v 1 ϕ ( v ) = ( e 1 , e 2 ) a c v (^1) = (a e 1 + b e 2 , c e 1 + e 2 d ) b d v 2 v 2
ovvero, in una base qualsiasi, e = ( e 1 , e 2 )
ϕ ( v ) = eAv dove
Gli isomorfismi danno i cambiamenti di base cioè trasformano vettori indipendenti in vettori indipendenti in modo biunivoco. Se abbiamo e1…..en indipendenti e in numero “giusto” cioè n, e (^) i ‘ = ϕ ( e (^) i ) sono ancora indipendenti ed in numero “giusto”. Allora se e’ = eB (con B isomorfismo)
Siccome v = ev=e’v’ (dobbiamo riprendere la notazione con le frecce per distinguere tra i vettori e la colonna delle loro componenti)
v’ = B-1^ v
E se ϕ ( v ) = e Av = e’A’v’
eAv =eBA’B -1^ v
Cioè cambiando base con una matrice B le componenti dei vettori trasformano con B-1^ mentre le matrici delle applicazioni lineari trasformano così: B -1^ AB
Allora ϕ ( v ) = e Av = e’A’v’ e ogni matrice dà un’applicazione lineare
Nota: detA’ = detA
perché detA’ = det B -1^ detA detB = detA
e rango (A’) = rango ( A) perché r (B -1^ AB)= r (AB) =r (A) perché B e B-1^ sono invertibili.
- Kerϕ è un sottospazio
infatti se v 1 , v 2 ∈ ker ϕ vuol dire che
ϕ (v 1 ) = 0 e ϕ (v 2 ) = 0 quindi
0 = ϕ ( v 1 ) + ϕ ( v 2 ) = ϕ ( v (^1) + v 2 ) cioè
v 1 + v 2 ∈ Ker ϕ
A’ = B
Altre proprietà delle applicazioni lineari
inoltre
ϕ ( λ v 1 ) = λϕ (v 1 ) = λ 0 = 0
cioè λ v 1 ∈ Ker ϕ
- Imϕ è un sottospazio
infatti se v 1 ∈ Imϕ e v 2 ∈ Imϕ
vuol dire che
v 1 = ϕ (w 1 ) e
v 2 = ϕ (w 2 )
allora v 1 + v 2 = ϕ (w 1 ) + ϕ (w 2 ) = ϕ (w 1 +w 2 )
cioè v 1 + v 2 ∈ Imϕ
inoltre λv (^) 1 = λϕ ( w 1 ) = ϕ (λw 1 )
cioè inoltre λv 1 ∈ Imϕ
- Teorema della dimensione : se ϕ : Rn^ → Rm
infatti la formula ha senso perché abbiamo visto che non dipende dalla base scelta per scrivere A. Inoltre, siccome r (A) è il numero delle colonne indipendenti e le colonne di A sono i trasformati dei vettori della base, vuole dire che Imϕ è generata da questi vettori. Si vede dalla prima formula che se n<m l’applicazione non può essere suriettiva e che se n>m l’applicazione non può essere iniettiva.
dim Kerϕ + dim Imϕ = n
dim Imϕ = r (A)
poi troviamo la base di Im ϕ
x’ + y’ = x x’ + z’ = y y’ - z’ = z
Allora vuol dire che x-y=z
x x Cioè y ∈ Imϕ se e solo se è del tipo y. Una base è z x - y
x 1 0 y = x 0 + y 1 x - y 1 -
allora
e dim Imϕ = r (A)
Si poteva vedere subito osservando che, dalla definizione di ϕ,
ϕ ( e 3 ) = ϕ ( e 1 ) - ϕ ( e 2 )
e quindi i vettori /,Pϕ sono del tipo ϕ ( w ) = a ϕ ( e 1 ) + b ϕ ( e 2 )
1 1 0 1 1 quindi ϕ ( e 1 ) = 1 0 1 0 = 1 e 0 1 -1 0 0
ϕ ( e 2 ) = 1 0 1 1 = 0 sono una base di Imϕ. 0 1 -1 0 1
dim Imϕ = 2
