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LE MATRICI
Def :
iv. n^ E^ IN^ la^ matrice^ a^ coefficienti in^ IR^ è^ un'^ insieme
di un (^) xn numeri reali
, disposti^
su
⑨ ⑧ in^ righe e^ n^ colonne
(^3) righe (^) ⑨ ⑨ (in =3) ⑨ ⑥^ > posizione di (^3) ×2=6 numeri 2 colonne ( (^) n - -2) es :^2 3 diremo che^ A^ è^ una 1- = (% fa )
matrice di tipo 2 × 3
Def
: IR
""
{tutte^ le^ matrici^ di^ tipo uexn^ a^ coefficienti in^ IR} es:^1 A^ c-^ IR " " -1=(0-235) v1 (^) niga , 4 colonne in^ generale IR " " è l'insieme delle MATRICI RIGA con (^2) B E (^) IR "" > (^) MATRICE COLONNA (^) n colonne (^) (cioè (^) vi entrate) (^3) BER " B :(i;) 4 MATRICE^ NULLA^ 0m e IR "" " 0m (^) E più^ 0m= (§^ §^ §)^ → (^) MATRICE QUADRATA 0m e IR " oui. ( ??^?^ )
5 MATRICE QUADRATA ( e IR
"" " > (^) stesso (^) umero di
righe
e colonne (^6) MATRICE DIAGONALE [quella ?> è (^) diagonale] es. (^3) × 3 (È^ %^?^ )^ > (^) diagonale PRINCIPALE hanno cévert . NON (^) solo sulla (^) diagonale principale 1- = ( 2 3 5 6 78 )^ (^3) è l'elemento (^) di posto 1, A- (^) (aij) i^ =^ RIGA
j
= COLONNA
OPPOSTA DI UNA^ MATRICE
Def : data (^) 1- =/aij )^ e^ IR "" , definisco opposta di^ A (^) la matrice - A (^) =/- aij
es : A-^ L'? (^) )
- A- I:?) DUE (^) MATRICI SONO UGUALI QUANDO.. (^). Def
: ~ A. B E IR
""
stessa
forma
~ (^) 1- (^) =/ aij )^ B-
bij )^ aij =^ bij^ tutti^ gli elementi^ sono
uguali ,^
stessi numeri in stessi (^) posti OPERAZIONI TRA^ MATRICI
1 Trasposizione
1- = (^) (
aij
) c- IR
"" → À^ (trasposta di (^) A) E IR "" 1122.3 (^) μ un> K£^2 ( ' le (^) righe diventano =/^ ) àij
v colonne dove (^) a-ij = (^) aji es (^). 1- = ( (^2 ) o -1^ - ) -7/22,3 )
- i /azz ) t at. / {^ %) "°^ = &""
- 7- (a-s.sn ) - ilàaa) 3 × 2 → PROPRIETÀ (^) DELLA TRASPOSIZIONE 1 (ÀÌ^
= A
2 1- AI^ =^
- ( At^ ) (^2) Somma di matrici
A :(
aij
) B. =^ (bij )^ e^ IR
"" stessa
forma
1-+13 >^ (^ =/ laijtbij ) ) sanno^ elemento × elemento |!^ !)^ % Ì)
es (^).^ 2+3^ -1+
A
:( È (^)? (^) ) 13=1!^! (^) ) ; a- B-- ( 4 o^ -3 4+ 0+0 (^) + (^) + a) =/ÌÌ) 3 × 2 3 ×^2
3 Prodotto^ tra^ matrici
Passo i R -^ - (re
, (^) μ )^ e (^) IR " ? (^) (matrice
riga
( =^ (^ cin
..^ ) (^) e IRÌ ' / matrice^ colonna) ✗ ✗ definisco
R - C (e IR
" "
) così^ :
④ (^) ④.^.^. ⑨)^
= (^) Mi • Cit t (^) Mia .cz, t (^). (^).. (^) trip ' Cp, E IR (^) f- IR " " )
es. ( i 2 -3^ °)^ •
[ È (^) )
1 × 4 =^ i.^ io^ +2.5+1-3)^.^ /-^ 1)^ +0-3=
4 × 1
PASSO 11 A =^ (ailn )^ e IR^
"" in (^) xp B = (
bnj )^ e^
IRP
'^ " pxn
A. B^ =^ (cij) e IR
"" *xp . pxnc.is . si trova^ moltiplicando la^ riga i^ - esima di^ A^ con la colonna^ j - esima di^ B ° -^ I^ 4)^ D= | } ° -^ '^2 es (^). 1.^ A = ( 2 3 1 si è^?^ ) 2 × 3 4 ×^3 2 × (^3 3) × 4 → AB (^2) × 4 = ( 16 4 -3^5 17 3 9
Ci,^ =^1 " riga
" colonna =^ 2-^ I^ + 3.3 +^ I^ -5^ =^16 Cia = 1 " riga
- 2 " colonna = 2.0+3.1+1-1= Ci} = 1 " riga . (^3) " colonna =^ 2-^ 1- 1) +^3 /- 1) +1-2=-
Cile =^ lariga
. 4 " colonna =^ 2-2+3.0+1^ -^ I^ =^5 Ca, =^2 " riga
" colonna =^0 -^ it^ fi) - 3+4.5=
Caz : 2°^
riga
. (^2) " colonna = o_O + (^) (-1^ ).^ /^ +4.1 =
Cz}
: (^2) " riga
. (^3) " colonna -. o.fi) +^ (-111-1)+4.1= Cali.^2 "
riga
" colonna = 0-2+1-1 ). 0+4-1=
2- (^) A- B = ( f^.^ ;)^ . |?^ f) = (g^ g) →
non vale^ la^ legge
di annullamento del prodotto B- A = (&^ ! (^) ) . (?^ G)^ = (:^ %) ma non^
vale la proprietà
commutativa
A = ( i 2 3 0 -1^ o^ )^ E /R ?^3 5 I^0 g , o^ )^ e /più
1- +13^ =
¢ ??^ ) +^ | -2 0
- = B = ( -2 0 2 = ( 1-2 (^) 21-0 (^) 31- 0+5 -1+1 0+^ ) = [ ' (^2 ) 5 O^0 ) o.io/-H:%EA.BNO-N si (^) può (^) fare 2A^ -313=^ / ' 2 > 2 ×03,20' × 3
= ( 2 4 6 0 -2^ o^ )
- ( -6 0 6 15 3 o )^ = E- (§ ) e pia^ ' = ( 8 4 0 -15 -5^0 ) A. C^ e /^ R ? ' 2 × 3 3 ×^1 a. (^ = ( i 23 ) ( § (^) ) = (2+0-3)= ;) o -^ I^0 o +0+ D= ({^ Fg)^ e μ » A.DE/R2. 2 × (^3 3) × 2
A. D=^
( 23 o -^ io )^ |! !)
- l'→ %) D- A (^) € /^ R 3, 3 × 22 × 3 D. A^ = ({^ %) /^ ' a^ } °.^.^ ! !!^!^ :|
4- B-- (%^ j^?^ ) e /^ più
13?^
( [^ § , )^ e /^ per B.BE/jj ? ) ( È }/ = ( III) è^ simmetrica 3- 1)^ = ( 5 5 - Bt. D= (%^. } (^) ) ( L ' 2 510 -^ i
- i g)^ è SIMMETRICA 5- MATRICI (^) ANTI SIMMETRICHE sono matrici^ quadrate AEIR "" [ Proprietà :^
- (^) At (^) - quindi Atta - - (^) On es (^). A :( I (^) Ó (^) % ) è (^) ANTI (^) SIMMETRICA -2 (^4) O segni opposti 6-^ -^ I^3
/§^!^ !)^ è :(È^ : -3 ) Mt Mt^ = ( & , ¥ È^ )
è SIMMETRICA
μ -^ mt^ =^ O^6 (%^ I (^) )
è ANTISIMMETRICA
055 :^ →^ se sanno una matrice^ con la
trasposta
il risultato^ sarà una MATRICE SIMMETRICA
→ se faccio la
differenza
il risultato sarà
una MATRICE^ ANTI^ SIMMETRICA
→ (^) PROPRIETÀDELPRODOITOTRAMATRICI ( tutti i^ prodotti ) scritti esistono (^1) (A.^ B) •^ C^ =^ 1-^ (B^
vale la
proprietà associativa 2 ¥^ A^ nxn A. (^) In =^ In -^ A^ =^ A esiste (^) un elemento (^) neutro per AEIR " " ,
cioè
In è^ la^ matrice^ diagonale con tutti^ aii^ =^1
i In = identica di (^) ordine n ( ? (^)? (^) % %) matrice diagonale nxn con tutti (^1) sulla diagonale (^) princi es (^). ( b^ :)^119 ) = ( b^?^ ) (^3) (1- +B) C =^ A- ( + B.cc/AtB)--CAtCB
vale la
proprietà distributiva 4 ✗^ EIR^ ✗^ (A-^ B)^ = (✗A)B^ =^ AHB) (^5) (A. (^) B) t = (^) bt.at AB AB (^) (ABF Mxp (^) pxn in^ ✗^ n^ min at.^ È^ in questo ordine pxm nxp^ Non^ si^ può (^) fare es. A 3 × 2 E 1 × 5
B
2 × 2 ☐ 5 × 2
5 × 3 catena di prodotti
A. E^ . D. C
Tema d' (^) esame 09. Verifica se^ 13=1!
- %;) è l'^ inversa^ di^ A-^ (i^ :) Devo controllare^ se A. B-- Ia 1131K¥;)^
% :/^ a- ' Tema d'esame 03.09. Verificare se A.^ (I^ }) è^ l'inversa di^ 13=(1%3) a. B-- ti :)^ / ' o :/^ =/ io^ ? ) a (^) # È Tema d'^ esame 11.02. g ; (^) y )^ verificare Date se po e-
a.
(§^?^?^ ) e B. | ' ° (^) "
l' inversa di A
a- a-
% ! (^) !/ 1!! (^) :/ (^) =/!! (^) :/ a- (^) a " es (^). A- | (^) :?) 13=^ : :) Calcolare (^) (1-+13) " e -12+21-13+132^ →^ risulteranno^2 matrici diverse → A-
- BÌ Passo i^ ) 1-+13=1!^ 9)^
|?^ ?)^
. _ ( Y^ ? (^) ) Passo "^ ) A-+B) ? IATB)^ /^ Atb)^ =/! ?) /!?^ )^ =/ ' ]? (^) )
→ 1-21-21-131-
O OSS. A- A-
' in (^) questo passo (^) i ) A2^ -^ _^ A.^ A^ :(I^ ?) / I ?)^
- _
- (^) caso Passo "^ ) (^) 132--13.13=1? ?) /?^ ?)^
- _ ( [^ %) Passoni (^) ) 2^-13=2 (^) /!? (^) ) (^) / 331=2/333 ) :({^ %) Passoni) (^) 1-721-13+132=110?^ /^
({^ G)
( [ (^) f) =/ %^ ' f)
=/ A-
+BÌ
CS (^).
- =L!^!^ :) dctlmt-o.dctfj.ly)
- (^) i det [{^ G)
- 3 detf}^ ' g) = = -^ I (^) (6-8)+3/-10 - 2) =^ 2- 36 = - es (^). μ ( Y
o io^ :) datiA)^ =/^ Al^ =^1. io -^
- (^2) } (^) - + o^ 3 ' o o = (^1) (2) -2^ (6) = 2-12= = (^) PROPRIETÀ
per sviluppare^ il calcolo^ di (^) un determinante
posso
usare qualunque riga o (^) qualunque colonna FARE (^) Attenzione A SEGNI es.^ ' a .. | }?^ ° o o -12^ )^
determinante usando
3° (^) riga
la /^ =^2
/ ' g ? (^) / =^ 2 / i - 6) = -^ lo CS (^).^ Il
=/ Ó?^ 5 o o 9 })^ determinante (^) usando la colonna / Al^ =^ i | ' 93 < o 3 /^
= I - 3=
MATRICE TRIANGOLARE
ti
- triangolare SUPERIORE →^ entrate sotto la^ diagonale principale^ che si annullano
triangolare INFERIORE^
→ entrate SOPRA la
diagonale principale^ che si annullano 2 il determinante^ per le^ matrici^ triangolari è^ il (^) prodotto degli elementi (^) sulla (^) diagonale
principale
es (^). a- |!^! , È (^) ) la (^) / = 7.^ l'^ 2=
3 dct (A.^ B) = detta. dct (B) TEOREMA DI BINET
ES (^).
A
:(§^?^ È ;) IAK 11.3=
detta? =/ Alla / =^ 3.3=
4 dct^ (^ KA) =^ K "
detta)
, con n che indica^ la^ dimensione di^ A es (^).^ det^ (2A) = 2 > detta)^ =^ 8.3=
5 dettati = detta)
esercizi : I - A. | ! &?^ I { (^9) : :| detta) =^ - I^2 ti dà / {^ &^? (^) / = { (^) q (^) ; = 110-11-2112- = - I - 20=- dati
A)
=/
" detta (^) ) = (^) 11-211=- " - at: :^ :) al!^!^! ) la / = -2 (^) IL = (^) - (2-8)= / B^ / =^ I^ {^ ' a /^ = (^) 4-2=
esercizio : a. %?^!^ /^ """ EH :-& ) è ! / È? (^)! / →
R
> →
Ra-Ra
> ( § } ?g (^) )
detta
' / =^ 1-1.1-21=-
detta)
. _ la detta ' / = { 1- 2) =^ - MATRICE INVERSA (solo per le quadrate) A è (^) invertibile (^) se esiste A- ' tale (^) che (^) A.A- ' = - " . A =^ In
Oss : dct^ /A. A-^
' / =^ detta)^.^ detta "
) =^ detta^ )^.^1
detta (^) / = ' i ✓ detta) inverso di^ detta) dott Int^ - -
Una matrice^ A è invertibile se e solo se detta) o
CALCOLO DELLA MATRICE INVERSA A =/;^ 7)
Passo 0 :^ calcolo il determinante se è =/ 0
allora vado avanti detta) =^ -1^ A e- (^) invertibile PASSO 1 :^ calcolo^ i cofattori di^ A (" =^1 Cia = I (^) Cat (^2) Casi 1
PASSO 1.2^ :^ imposto la^ MATRICE dei^ COFATTORI
tenendo conto della
posizione , quindi
aggiungo
i segni a- fai (^) )
Passo 2 :^ calcolo^ la^ matrice^ inversa con la
seguente formula :
A-
' = 1 detta (^) , Ct a- ' =
. :|.si:| : (^) - it:^ -71=1!^ :) PASSO (^) FINALE : verifica se^ A. A- ' = (^) A- '
a. a-^
' =/ i^ 7)^ li?^ / (^) =/ ' o ? (^) ) a
ÀA
- ti (^) -711 :?)
- l'o?^ ) - - Ia esercizio :^1. a. ( 3,22^ ) a. detta)^ =^ 6-2= b. C" =^2 Cia =^1 (21=2 (22= a- E (^) :) C. A- ' = '
detta)
= :-(?^ 3)^ = %:
- ÷ (^) ) verifica : A.^ a- ' =/ 7211 ¥, È:/^ =/^ ' o ? (^) ) (^2).
A.
% §^ } (^) ) a.^ detta!^ / LÌ (^) / = -2=1--10 3-^ A-^ ' b. 3 -2 (^) - e- là:^ :| c. (^) a :-|
.^ ?_?^ :|:p ! (^)! (^) :| 0 - I
MATRICE RIDOTTA per righe Def
: AEIR^
"" A =/
aij
) ,
A e- ridotta
per righe^ se^ : (^1). Ri ( i^ - esima riga
) contiene entrate non nulle
, allora^ esiste una sua^ entrata^ aijo.to , chiamata PIVOT , tale che
akjo
- -0 (^) tk> i 1, esempio : (= ( %?^073 os ! :') ii. (^) RK (K- esima riga
) è^ nulla^ allora^ anche
Rh è^ nulla^ lth^ >^ K
esempio
:
a-
là!^!^ :|^ a- % (^)!! (^) :) NON è^ ridotta NON^ è^ ridotta NON vale^11.^ NON^ vale^1. Vale 11. a- %!^!^!^ )^ ☐ =p ' (^) " o :b^ ;)
è ridotta^ è ridotta
scopo : costruire un
procedimento
algoritmico)^ che^ ci^ permetta di " ridurre "
una matrice
MEZZO :^
operazioni
elementari per riga
a. Ri <^ >^ Rj scambio righe
b. Ri t^ h -^ Ri^ con HEIR
, h (^) -1- c. (^) Ri t^ Ri + (^) KRJ con KEIR
TEOREMA
Data AEIR
""
si può ottenere^ una matrice^ ridotta^ A-
' applicando le operazioni elementari per riga : (^1). Se ci^ sono (^) righe nulle , uso^
lo scambio di righe e le
metto in fondo
es (^) ' a. ( Io % % (^)? ) Ra' → (^) Ra [ ' (^850) > : : : :) (^3) I 2 i (^11). per ogni^ riga^
diversa da 0
scelgo un^ PIVOT (^) e costruisco sotto di^ lui (^) una colonna di 0
partendo dalla^ prima riga
es' a :( ' { [ È (^) G) Ra > (^) Ra'- (
i 02517 1 ) = (^) - " 00 O 0 oppure ✓ ☐ % (^) { f)^ = (^) A " ridotta R (^) , > (^) p , [ ? " 2 ' Oss :^ la^ riduzione non^ è^ unica (^) ; partendo da^ A^ posso arrivare a^ diverse matrici^ che^ rappresentano le
ridotte di^ A
CS (^).^ |^. > §3 (^) ) R> →^ Root (^)! Ray / (^2) A :(§^
Raika-212^ ,
> [ ;)^ ridotta (^) con (^01) O 0 2 pivot ii. facili matrici già ridotte a. TRIANGOLARI^ SUPERIORI C.^ DIAGONALI
b. IDENTICHE d. NULLE (O pivot)
Oss :^ il^ numero dei^ pivot è^ maggiore o^ uguale al^ minimo
tra (^) il numero di^ righe e^ il (^) numero di colonne della matrice^ A es (^). " " ({^ }^ ?/
Bibi
? /f-&^ ?/
EH!^ ;) × RE! ! ( § (^) ]
- %) '}^ - "" % (Ój!^ !) - ' ridotta con 3
pivot
