Metodi di Ottimizzazione Prove d'esame svolte e tracce, Esercizi di Modelli E Metodi Numerici

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Metodi di Ottimizzazione Esercizio 1 Un’azienda sta valutando la possibilità di avviare la produzione di 3 nuovi prodotti. Per tutti i prodotti, il processo produttivo è realizzato in un impianto dedicato e i tempi necessari per produrre un’unità di ciascun prodotto sono riportati in tabella dove viene anche indicato il profitto unitario e il consumo di materiale grezzo per unità di prodotto Prodotto Tempo in impianto [h] Materiale grezzo [unità] Profitto unitario [euro] 1 2 2 500 2 3 1 400 3 1 4 600 Per l’impianto è stata individuata la capacità giornaliera pari al numero di ore giornaliere in cui esso può essere utilizzato. Tale capacità è di 18 ore al giorno. La disponibilità giornaliera di materiale grezzo è pari a 150 unità. Dopo un’analisi di mercato, l’azienda ha deciso che al massimo 2 dei 3 prodotti saranno messi in produzione. Formulare il problema di ottimizzazione lineare intera per la massimizzazione del profitto giornaliero. Esercizio 2 Trovare per via grafica la soluzione di x* del seguente problema di PL nel caso in cui a=2. Stabilire quale è il massimo valore di a per il quale la soluzione x* trovata resta ottima e discutere in particolare il caso in cui a assume esattamente tale valore limite. Max Z=1X₁+aX₂ X₁+X₂ ≥ 1 -3X₁+ 5X₂ ≤ 10 7X₁+ 5₂ ≤ 35 X₁ ≥ 0 X₂ ≥ 0 Domanda 1 Spiegare in quali casi un nodo dell’albero di ricerca generato dell’algoritmo di Branch&Bound per la PL può essere “chiuso” (fathomed). Domanda 2 Descrivere la regola di Bland per l’algoritmo del simplesso per la PL motivando il suo impiego.

Metodi di Ottimizzazione Esercizio 1 Per il seguente problema di PL stabilire se alla scelta delle colonne di indici {1,2} , {1,3} , {1,4} sono associate delle soluzioni di base e specificare se esse sono ammissibili e degeneri. Max Z= 2X₁+X₂-X₃ X₁+2X₂+X₃-X₄= X₂+X₃= X₁ ≥ 0 X₂ ≥ 0 X₃ ≥ 0 X₄ ≥ 0 Esercizio 2 Scrivere le condizioni di complementarietà per il seguente problema di PL Max Z=X₁+2X₂ -3X₁+ 5X₂ ≤ 10 7X₁+ 5₂ ≤ 35 X₁ ≥ 0 X₂ ≥ 0 Domanda 1 Spiegare cosa si intende per variabili di slack e surplus nella programmazione lineare. Domanda 2 Spiegare il funzionamento del “metodo dei piani di taglio” per la PLI.

Metodi di Ottimizzazione Esercizio 1 Riformulare come PL il seguente problema di ottimizzazione, motivando la risposta Min Z=|X₁|+|X₂|+10|X₃| X₂+4X₃= -2X₁+X₂-6X₃= X₁ ≥ 0 X₂ ≥ 0 X₃ ≥ 0 Esercizio 2 Risolvere il seguente problema di PL applicando il metodo del simplesso a due fasi e fornire, se esiste, la soluzione ottima Min Z=X₁+X₂+10X₃ X₂+4X₃= -2X₁+X₂-6X₃= X₁ ≥ 0 X₂ ≥ 0 X₃ ≥ 0 Domanda 1 Spiegare cosa si intende per soluzione di base degenere per un problema di programmazione lineare. Domanda 2 Scrivere la regola di Bland per l’algoritmo del simplesso primale per la PL, motivando il suo impiego.

Metodi di Ottimizzazione Esercizio 1 Formulare e risolvere il duale del seguente problema di PL(primale) applicando, se possibile, il metodo grafico. Ricavare quindi la soluzione ottima del primale sfruttando la teoria della dualità Min Z= X₁+ X₂+10X₃ X₂+4X₃= -2X₁+X₂-6X₃= X₁ ≥ 0 X₂ ≥ 0 X₃ ≥ 0 Esercizio 2 Risolvere il seguente problema di PLI applicando il metodo Branch&bound risolvendo i rilassamenti lineari per via grafica Min Z=X₁-2X₂ -4X₁+6X₂ ≤ 9 X₁+X₂ ≤ 4 X₁ ≥ 0, intero X₂ ≥ 0, intero Discutere la possibilità di migliorare la formulazione di PLI introducendo i vincoli aggiuntivi: -3X₁+5X₂ ≤ 7 X₂ ≤ 2 Domanda 1 Spiegare le condizioni di ottimalità per l’algoritmo del simplesso duale per un problema di PL. Domanda 2 Descrivere la regola di Bland per l’algoritmo del simplesso primale per la PL motivando il suo impiego.