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Capitolo 3 Algoritmo del Simplesso Vengono considerati alcuni fondamentali aspetti geometrici ed algoritmici della program- mazione lineare. 3.1 Geometria della Programmazione Lineare L’insieme delle soluzioni ammissibili di un problema di PL è individuato da disugua- glianze lineari, ognuna delle quali individua una regione dello spazio RX". Definizione 3.1.1 Gli insiemi {x € R°_ : aTx < ao} e {x EN : aTx = ao} si dicono, rispettivamente, semispazio affine ed iperpiano indotti da (a, a). Definizione 3.1.2 Si dice poliedro (convesso) l'intersezione di un numero finito di se- mispazi affini e di iperpiani. Gli insiemi delle soluzioni ammissibili di un problema di PL sono quindi poliedri. Definizione 3.1.3 Si dice politopo un poliedro P limitato (esiste cioè M > 0 tale che IxIl < M per ogni x € P). Definizione 3.1.4 Un punto x di un poliedro P si dice punto di estremo 0 vertice di P se non può essere espresso come combinazione convessa stretta di altri due punti del poliedro, cioè se non esistono y,z € P,y#%, € A € (0,1) tali chex = Ay+(1-A)2. nito di vertici. Nel caso di poliedri limitati è possibile A È | Ogni polictro Ha qitnamero noto come feorema di Minkowski- inoltre dimostrare il seguente risultato fondamentale, Wegl: 21 CAPITOLO 3. ALGORITMO DEL SIMPLESg) Figura 3.1: Politopi e vertici Teorema 3.1.1 Ogni punto di un politopo si può ottenere come combinazione convessa dei suoi vertici. Una importante conseguenza è costituita dal seguente: Teorema 3.1.2 Se l'insieme P delle soluzioni ammissibili del problema di programma- zione lineare minfeTx : x € P} è limitato, allora esiste almeno un vertice di P ottimo. Dim: Siano x!,...,x% i vertici di Pe 2° minfeTx! : i = 1,...,4}. Dato un qualunque y € P, occorre dimostrare che eTy > 2°. Infatti y € P implica l’esistenza di moltiplicatori A1,...,A4 > 0, Di: A = 1y tali che y= If AixÉ. Si ha allora & 4 & ey = e) ha = DOM) > Das = e is il isl 3.1.1 Vertici e soluzioni base Il fatto che la soluzione ottima di un i PL limi i i I ei arouone olim di ua problema di PL limitato corrisponda ad un vertice quindi ci si sposta iterativamente su vertici (localmente e quindi globalmente) ottimo. “algebrica” dei vertici di P. soluzione: sì parte con un vertice qualunque, 1 “vicini” migliori fino ad arrivare ad un vertice Il procedimento richiede una caratterizzazione Si consideri l’esempio (1.5), riscritto în forma standard: min -21 29 621 +4r2 +r3 = 24 8.1 3 229 +24 = 6 (81) uo Za tg, 2x4 Iv © 
