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CLASSI DI MODELLI DI PL
GENERALITÀ SUI MODELLI DI PL
Caratteristiche che un problema reale deve avere per essere formulato come un problema di PL sono:
- Proporzionalità = il contributo di una variabile di decisione alla funzione obbiettivo e ai vincoli è
proporzionale secondo una costante moltiplicativa alla quantità rappresentata dalla variabile stessa;
- Additività = il contributo delle variabili di decisione alla funzione obbiettivo e ai vincoli è dato dalla
somma dei contributi di ogni singola variabile;
- Continuità = ogni variabile di decisione può assumere tutti i valori reali nell’intervallo di ammissibilità, e
quindi le variabili possono assumere valori frazionari
Nel caso in cui le ipotesi non siano soddisfatte, esistono casi che noi chiameremo con Modelli di
Programmazione Non Lineare. Dalla PL derivano grandi vantaggi e si possono sintetizzare in:
- GENERALITÀ E FLESSIBILITÀ = I modelli di PL hanno un carattere di universalità e di adattabilità alle
diverse realtà applicative e anche quando le ipotesi di linearità non sono soddisfatte, il modello lineare
costituisce una buona base di partenza per successive generalizzazioni;
- SEMPLICITÀ = I modelli di PL sono espressi attraverso il linguaggio di algebra lineare e quindi sono
facilmente comprensibili anche in assenza di conoscenze matematiche più elevate;
- EFFICIENZA DEGLI ALGORITMI RISOLUTIVI = I modelli reali hanno dimensioni molto elevate ed è
quindi indispensabile l’uso del calcolatore che con opportuni programmi di calcolo possa fornire una
risoluzione numerica. Per quanto riguarda i modelli di PL esistono programmi molto efficienti che sono
in grado di risolvere rapidamente problemi con migliaia di vincoli e molte variabili;
- POSSIBILITÀ DI ANALISI QUALITATIVE = I modelli di PL permettono di ottenere, oltre alla soluzione
numerica, anche ulteriori informazioni relative alla dipendenza della soluzione da eventuali parametri
presenti, che possono avere significative interpretazioni economiche
Imodelli di
programmazione
lineare che
esamineremo
durante il corso
si
dividono in :
MODELLI DI ALLOCAZIONE 01T / MA DI RISORSE
MODELLI DI
MISCELAZIONE
MODELLI DI TRASPORTO
MODELLI DI ALLOCAZIONE OTTIMA DI RISORSE
Si tratta di modelli che considerano il problema di come dividere (allocare) risorse
limitate tra varie esigenze in competizione tra loro. Con risorse si possono intendere
disponibilità di macchinari, mano d’opera, energia, tempi macchina, capitali,ecc…
ESEMPIO
Un
colorificio
produce
tipi
di coloranti Cs e Cz utilizzando 3
preparati
base in
polvere
Ps
,
Pap
}
che
vengono
scelti in
acqua
.
La differente concentrazione dei
preparati
base da
'
origine
ai 2
diversi
tipi
di coloranti .
Le
quantita
'
( in
ettogrammi
) di
preparati
base necessarie
per produrre
un
litro di
colorate
di ciascuno dei 2
tipi
e
'
riportato
nella
seguente
tabella
Ogni
giorno
la
quantita
'
di ciascuno dei
preparati
base ( in etto
grammi
della
quale
il colorificio
può
disporre
e
'
la
seguente
=
Il
prezzo
di vendita del colorante e
'
di 7- euro al
litro
,
mentre il colorante C2 viene venduto a so Euro al litro .
Determinare la
strategia
ottimale di
produzione giornaliera
in modo da
MASSIMIZZARE
I
RICAVI ottenuti DALLA VENDITA
dei
2 coloranti
.
Max
s -110× 2
=D
CTX
c.
= (E)
s
2
E
750 =D
AÌX Ebs dove as
= (
%)
bs =
s -12× 2
E
Joao
=D ai✗ E bz
dove az
= (
)
bz
= scao
✗2<-4 co =D AÌX c-
b
} dove
=
(
) b
= 400
s
IO
=D AI ✗ E b.
4
dove 94
=
(E)
✗ 2>- =D
ÒÌ ✗
E b
5 dove
a 5
= (
FORMULAZIONE GENERALE DI UN PROBLEMA DI
ALLOCAZIONE OTTIMA DI RISORSE
RISORSE CONCORRENTI
Si
assuma di
disporre
di m risorse
RS
,
R2 -
..
Rm e
di voler fabbricare m diversi
prodotti
Ps
,
Pz
Pm
.
Le risorse
possono
essere sia umane sia materiali .
Il
problema
della
pianificazione
delle risorse
consiste nel
determinare
le
quantita
'
da
fabbricare di ciascun
prodotto
Ps
..
Pm in modo
da massimizzare
il
profitto rispettando
i vincoli sulle
risorse
disponibili
o sui livelli di
produzione
richiesti
.
Si indichi ai
]
dove i
= S
. ..
m
]
= ]
...
m la
quantita
' della risorsa
Ri
necessaria
per
fabbricare
una
unita
' del
prodotto
B.
Supponiamo
che ciascuna risorsa
Ri
non
possa
superare
un valore
prefissato
bi
,
dove i
= s
...
m e che nella vendita di ciascuna unita
'
di
prodotto Py
si
ricavi un
profitto
netto
C
]
,
dove
]
=
s. ..
M
Devono valere in
generale
le
ipotesi
per
la costruzione di modelli di
PL :
PROPORZIONALITÀ
,
ADDITIVITÀ e CONTINUITÀ
.
Ci troviamo nella situazione in cui
il bene fabbricato
per
essere
finito e pronto
per
la vendita
deve
utilizzare
tutte le risorse
,
anche se in misura diversa .
VARIABILI DI DECISIONE
= variabili ✗ s ,
✗
,
_..
Xm
rappresentanti
la
quantità
di ciascun
prodotto
Ps
,
Pz _..
Pm .
Introducendo come
spazio
delle
variabili lo
spazio
delle m
uple
reati Rfi
può
considerare ✗C-
"
=
✗ s ,
_.. ✗
MÌ
m
FUNZIONE obbiettivo
= 2-
= Csxs +
.. . + Cmzn
=
§
z
]
dove c e
IRI (
Cs
,
Cn
T
=D 2-
=
Ex
VINCOLI
=
Si devono introdurre vari vincoli :
assist. _ _
by
i. :
:
I
VINCOLI
DI CAPACITA
'
produttiva
=D
limitazione delle risorse
si hanno i
seguenti
m vincoli
am ,
✗
g-
t
....
E
bm
2
VINCOLI di NCN NEGATIVITÀ
=D Le
variabili devono essere non
negative
in
quanto
esse
rappresentano
livelli di
produzione
e
quindi
si
hanno i vincoli
= ✗ i = o con
i
= ]
.. -
n
VINCOLI di DOMANDA
=D
°
Limitazioni
inferiori sulle variabili
✗ i
= ✗ i
= li
i
= S.. - n
Limitazioni
superiori
sulle variabili ✗
i = ✗i Eui i= S
Se l
=
es
...
ln
Ìe
u
=
ns
... un
Ì
questi
vincoli
possono
essere
scritti nella forma l E ✗ su con ✗
C- Rm
VINCOLI DI INTEREZZA
=D
Se non si
può
considerare
i
prodotti
come quantita
'
divisibili allora si deve
definire un modello
di
programmazione
a numeri
interi
.
Quindi nel caso in cui non si
possa supporre
che
i livelli
di attivita
'
( variabili
di decisione
siano
frazionati
,
allora
si deve
aggiungere
il vincolo che
le
quantita
'
✗ i siano
intere
RISORSE ALTERNATIVE
Ci troviamo nella
situazione
in cui
il
bene
fabbricato
per
essere
finito
e
pronto per
la
vendita
necessita
esclusivamente di una risorsa
.
Puo
'
,
quindi ,
accadere che la lavorazione di
un
prodotto
in una azienda
avviene esclusivamente
in uno
dei
reparti disponibili
.
VARIABILI di decisione
=D Variabili ✗
i
] rappresentanti
la
quantità
di
prodotto Pg
da fabbricare
utilizzando la risorsa
Ri
con i = ]
... m
e
J
m m
FUNZIONE
obbiettivo
=D In maniera
compatti
si scrive
=
E
]
= s
€
,
✗ i
]
VINCOLI
=D Ci sono 2
tipi
di vincoli
:
assxss
asnxsm E bs
i
i :
S
I
VINCOLI DI CAPACITA
'
Produttiva solo
nella
forma =
ams
✗ ms
amm
✗ mm
E
bm
&
I
VINCOLI DI NON NEGATIVITA
'
delle variabili cioè
✗ i
]
= o con i
= S... m
e
]
= S
n
ESEMPIO
Un'
impresa può
usare 3
procedimenti
differenti Ps
,
Pz
,
B
per
la
produzione
di m bere
.
Per la
produzione
di vincita
'
di
bere
e
'
necessario
l'
impiego
di 3 macchine
per
Tempi
che dipendono
dal
procedimento
usato
.
Ogni
macchina e
'
disponibile
per
50 ore .
Il
profitto
netto
per
la vendita di un' unità di
prodotto
dipende
dal
procedimento
usato ed
è
riportato
nella
seguente
tabella
:
Formulare un
problema
di PL
che
permetta
di massimizzare
il
profitto
:
]
Supponendo
che vi unita
'
di
bene
deve essere
processata
in
sequenza
sulle macchine
a
,
B. C
&
Supponendo
che ai
miti di bere
può
essere
prodotta
indifferentemente su
a
,
B
,
C con 3
procedimenti
diversi su ciascuna
macchina
1 2
Ma✗ 15 ×1+18× 2 -110× 3 Max 15
✗ sa
XSB
Sc ) -
✗ 2A
✗ est
3
B)
so
✗ 3A
-1 ✗ 3 B+
3C
)
s -1×2+3× 3
E 50 2 ✗
sa
2A
3A
E
50
4 ✗
] -12×2+3×3<-
SB
Xzbt 3 ✗
sb
E
50
X ]-14×2+2×3<-
Xsct
zc
-12 ✗
3C
E 50
i 70 i
=
3
✗ i
]
= O con
i= S
A
,
B.
C
VINCOLI
=3 non
negatività
12 VINCOLI
=
9 di non
negatività
e 3 di
capacita
'
produttiva
capacità produttiva
CASO
RISORSE
ALTERNATIVE
CASO
RISORSE CONCORRENTI
MODELLI MULTIPERIODO
OSSERVAZIONE
Nel caso
(a)
,
ottimizzando la
produzione
dell'
impianto
1 e
quella
dell'
impianto
2
,
si ottiene un
guadagno
complessivo
di 225 €
=
.
Nel caso
(b ) si ottiene in
guadagno
di 404
,
.
Nel
caso
(b) si richiede
al Modello
di
ripartire
i
120kg
di materiale
grezzo piuttosto
che effettuare ui allocazione
arbitraria a
priori
(e
quindi
non necessariamente ottima)
si
tratta
di
problemi
di allocazione ottima di risorse limitate dove la
pianificazione
è effettuata su in orizzonte
temporale
composto
da
più
pericoli
elementari .
Ad
esempio,
si richiede di estendere la
programmazione
mensile
della
produzione
di cui azienda in modo
da
ottenere un
piano
di
produzione
semestrale con
possibilita
' di
giacenze
al
termine di ciascun mese
.
ESEMPIO
si considera l' industria manifatturiera dello scorso esempio
in
cui abbia
il
primo impianto
di
produzione
.
Si deve
programmare
la
produzione
dei 2
prodotti
Ps e
P
nelle 2 successive settimane
sapendo
che nella
prima
settimana si
potranno
vendere al
piu
'
prodotti
Ps
e 4 prodotti
Pa
,
mentre della seconda settimana si
potranno
vendere al
più
prodotti
Ps
e 12
prodotti
Pz
.
Inoltre nella
prima
settimana c'
è
la
possibilita
' di
produrre
più
prodotti rispetto
a
quelli
che si
possono
vendere
,
immagazzinando
i
prodotti
in eccesso
prevedendo
in loro utilizzo nella settimana successiva. Costruire
un
modello
lineare che
permetta
di massimizzare
il
profitto
complessivo attento dalla vendita dei
prodotti
nelle
2 Settimane
sapendo
che
settimanalmente l'
industria
dispone
di
75kg
di
materiale
grezzo
e che
il costo
di
immagazzinamento
di
un
prodotto
( sia
Ps
che
Pz ) e
'
di
.
FORMULAZIONE :
VARIABILI
=D ✗ se ✗ 2
associate alla
quantita
'
di
prodotti
Ps
e Pz Fabbricati nella
prima
settimana
,
✗
3
e ✗ u
quantita
'
di
prodotti
Pse E fabbricati nella seconda
settimana
e
ys
e
yz prodotti
immagazzinati
prodotti
nella
prima
settimana)
FUNZIONE obbiettivo
=D
Nella
prima
settimana saranno vendute
le
quantità
✗
s
ys
) di
Ps e (✗
2-
yz
) di
Pz
,
nella seconda
le
quantita
'
×
}
ys
) di Ps e (
✗
utyz
)
di Pa
=D
Max sa (✗
s
✗ 2
4
)
ys
yz
Max JCXS + 15 × 2
-110×3+15× 4
ys
Xs +4× 2
E 75
XS +
2 × 2
E
2 × 9
+ 5 × 2 E
4
E 75
✗ 3
+2× 4
E 80
2 × 3
+5× 4
E 60
✗ s
ys
E 12
2
yz e
<
,
}
VINCOLI DI IMMAGAZZINAMENTO
E
}
NON DEVONO SUPERARE LE RICHIESTE DEL
MERCATO
< ,
I
]
yz E 12
s
✗
4
YSZO y
- D VINCOLI DI NON NEGATIVITA
'
MODELLI DI MISCELAZIONE
FORMULAZIONE GENERALE DI UN PROBLEMA DI
MISCELAZIONE
Nei
problemi
che
vengono
formulati come modelli di miscelazione si
dispone
di un insieme di Materie
prime
,
ovvero
"
ingredienti,
ciascuna
caratterizzata da
cu
contenuto noto di
determinati
"
componenti
!
L'
obbiettivo e
'
miscelare ( combinate
)
gli ingredienti
secondo
opportune proporzioni, per
ottenere un
prodotto
finito (
"
miscela
"
che
soddisfi determinati
requisiti
di
qualita
'
esprimibili
in termini di
contenuto
complessivo
dei
componenti
della miscela .
Un
esempio
classico
e
'
quello
del PROBLEMA DELLA
DIETA
Supponiamo
di avere m sostanze diverse Ss
,
_..
Sn ciascuna contenente una
certa
quantita
'
di m
componenti
CS
,
_. - Cm
. Supponiamo
che
ogni
sostanza
S
]
abbia costo unitario P ],
dove
]
= S... no
Sia ai
]
La
quantita
'
di
componente
Ci
presenta
nella sostanza
Sj
,
si vuole ottenere
la
miscela di
Ss
. _. Sn
più
economica
che soddisfi determinati
requisiti
qualitativi
,
ovvero
contenga
una
quantita
'
non inferiore a bi di
ciascun
Ci
.
VARIABILI
=D
Variabili di decisione Xs
,
Xz
.. _
n
rappresentati
la
quantita
'
di
ciascuna sostanza Ss
,
Sz
...
Sn da utilizzare nella miscela .
=
s...
MÌ
FUNZIONE obbiettiva =D C
=
Cs - -
.cn/t--z--Ctx
VINCOLI
= Si devono introdurre vari vincoli
:
I
VINCOLI DI QUALITA
'
=D La miscela deve contenere una
quantita
'
non
inferiore
a
bi di ciascun
componente
Ci si dovrà avere § ,
ai
]
Xgzbi
con
i
=
S
,
_.. m
VINCOLI DI NON NEGATIVITA
'
=D Sulle variabili ✗
j
20 con
]
= S - - - n
Vincoli di
LIMITAZIONE
=D
limitazioni
superiori
o
inferiori sulle variabili
XJZL
,
X
]
E M con
.. - m
VINCOLO
DI
RICHIESTA
=D
In alcuni casi e
'
richiesto
che
una miscela
contenga
una
quantita
'
non
superiore
ad
un valore di di ciascun
componente
Ci :
§
ai
]
×
]
E di
con i
= S .
.. m
VINCOLI DI APPARTENENZA =D Si
richiede
chead
una
certa sostanza
appartenga
alla miscela
solo se
un'
altra
sostanza vi
appartiene.
Questi vincoli richiedono
l'
uso di variabili booleane .
ESEMPIO
L' acciaio e
'
uno
dei prodotti piu
'
facilmente riciclabili (
e
riciclati ) al
mondo .
E
'
sufficiente Perdere
qualsiasi
rottame
di
ferro
per
incenerire
tutti
gli
eventuali residui
plastici
o di vernice correnti
nel rottame
,
restando così
con solo Metallo
liquido
.
Il
problema
nasce in
quanto
e
'
difficile
separare
i diversi metalli
presenti
nel rottame
,
per
cui
,
insieme
al ferro
,
si ritrovano nel Metallo
liquido
anche rame
,
nichel
,
Ciano e
altri metalli
.
In diverse
produzioni
alcuni
metalli sono
desiderati
e
altri
no.
MODELLI DI INPUT-OUTPUT
Sono
modelli di miscelazione
più
generali
in cui
le
sostanze Sj
e
i
componenti
utili ci
sono
genericamente
definiti come
"
input
"
e
"
output
"
; per
ogni
input
]
si deve decidere la
quantita
'
Xg
da utilizzare incorrendo in
un
costo
×
]
e
creando ai
]
×
]
unita
' di
input
i .
Gli
input
sono
dati dalle sostanze che
devono essere
mescolate
, gli
output
sono dati dalle
qualita
'
della miscela risultante
.
Un
esempio
sono l' ASSEGNAZIONE DI PERSONALE A TURNI
,
dove in
questo
caso
gli
output possono
corrispondere
alle ore
lavorate in un certo
giorno
i e
, per
ogni
turno
lavorativo
] ,
ai
]
rappresenta
il numero di ore che una
persona
assegnata
al turno
]
lavorerà il
giorno
i
;
le
Cj
rappresentano
il salario di una
persona assegnata
al turno
]
e
Xy
il numero di
persone assegnate
a
quel
turno .
La funzione obbiettivo diventa il costo totale dei salari mensile
,
mentre i vincoli diventano
quelli
dovuti
al fatto che
ogni giorno
i
,
il numero
totale
di ore
lavorative deve
essere
pari
ad almeno un
valore
prefissato
bi
.
=D
n
giorni
e m
possibili
turni min Cs✗
s
.. _
cm ✗ m
assist - - -
a sm ✗m
=
bs
azs
è _ _ _
azn✗m Zbz
:
am s Xst_. _
ammXm
= bm
]
20 ]
=
ESEMPIO
Una catena di ristoranti
opera
giorni
alla settimana e richiede il
seguente
numero minimo di camerieri :
Ogni
cameriere
lavora
cinque
giorni
a
settimana
avendo
quindi
giorni
di
riposo ,
non recess .
consegni
. vi
.
Sono
possibili
al
piu
'
4
giorni conseguiti
i di lavoro
seguiti
da
uno di
riposo
e uno solo dei
due
giorni
del fine settimana deve
far
parte
del turno
di
lavoro
.
I turni
possibili
,
sono
quindi
:
Il
salario
settimanale di un
cameriere e
'
pari
a 250 euro se
assegnato
ad un
turno
che non comprende
la
domenica
,
mentre è
pari
a 270 euro
se il turno
comprende
anche
la
domenica .
Il
gestore
di
questa
catena
di
ristoranti
vuole Minimizzare
il
costo
che deve sostenere
per
retribuire
i camerieri in modo da
soddisfare le richieste
giornalieri
.
FORMULAZIONE : VARIABILI =D V. di decisione
×
]
numero di camerieri
assegnati
al turno
j
= ]
...
MODELLI DI TRASPORTO
FORMULAZIONE GENERALE DI UN PROBLEMA DI
TRASPORTO
Funzione obbiettivo =D
250 ×9+270× 2 -1250×3+270× 4 -1250×5+270× 6
-1250×71-270× 8
Min 250 ×9+270× 2 -1250×3+270× 4 -1250×5+270× 6
-1250×7+270× 8
st
✗ 3
ut
✗ 5
6
7-
8>-
s
Xzt ✗ 4
5
✗ 7-
✗ 8
st ✗
z
3
✗ 5
6
Z 47
s
2
u
6
7
zt
✗ 3
✗ ut
✗ 5
6
7-
Z
st
✗
3
-1 ✗ 5
7
Z 40
2
✗ u
6
✗
f-
O con
]
= 9-.. _ 8
In
questi
tipi
di
problemi
si hanno un certo numero di localita
'
origini
) ciascuna delle
quali
ha
una
quantita
'
fissata di merce
disponibile
ed un
certo venero di clienti residenti in altre località (destinazioni
) i
quali
richiedono
quantitativi precisi
di merce .
Bisogna ,quindi,
pianificare
i
trasporti ,
cioe
' la
quantita
'
di merce che deve essere
trasportata
da
ciascuna localita
'
origine
a ciascuna località destinazione in modo da soddisfare
l'
ordine dei
clienti
minimizzando
il costo
complessivo
derivate dai
trasporti.
Sono definite M localita
'
"
origini
"
indicate
con
0s
...
0m
,
e in
localita
'
destinazioni indicate con Ds
...
Dn
Ogni
Oi
può
fornire
una certa
disponibilita
'
aizo
di merce
che deve essere
trasferita dalle
origini
alle
destinazioni
,
ad
ogni
Dg
e
'
richiesta una
quantita
'
by
= o di merce .
Il costo da minimizzare del
trasporto
di una unità di merce è
pari
a
ci
]
.
Quindi la
disponibilita
'
complessiva
uguaglia
la
richiesta
complessiva
:
ÉÌ
ai =
È
b
]
,
cioe
'
tutta la
merce
prodotta
in una
origine
deve essere trasportata
in
una delle destinazioni
,
la
quantita
'
totale che arriva in una destinazione
D
]
deve
uguagliare
la richiesta
b
]
.
VARIABILI
=D variabili di decisione ✗i
] rappresentanti
la
quantità
di merce
da
trasportare da
Oi a D
]
Funzione
obbiettiva
=D Minimizzare la
funzione costo
totale del
trasporto
= min
È §
,
ci
]
✗i
]
m
VINCOLI
= 3 tipi
di vincoli :
I
VINCOLI DI ORIGINE
=D
✗ i
]
= ai
, impongono
che tutta
la
merce
prodotta
in
una
su
origine
sia
trasportata
alle destinazioni
.
2
VINCOLI DI DESTINAZIONE =D
,
✗i
]
= b
]
,
impongono
che la
quantita
'
totale di
Merce che arriva a ciascuna destinazione
uguaglia
la richiesta
VINCOLI di non
NEGATIVITÀ = ✗
i
]
20
ESEMPIO
Un' industria dell' acciaio
dispone
di 2 miniere Mse Ma e di 3
impianti
di
produzione
PS
,
Pz
,
B
.
Il minerale estratto
deve essere
giornalmente
trasportato
agli
impianti
di
produzione
soddisfacendo
le
rispettive
richieste
.
Le miniere
MS
e Mz
producono giornalmente rispettivamente
130 e 200
tonnellate
di minerale
. Gli
impianti
richiedono
giornalmente
le
seguenti
quantita
' :
Il costo del
trasporto
da ciascuna miniera a ciascun
impianto
di
produzione
di unatonnellata di minerale e
'
:
Formulare un modello
che descriva
il
trasporto
delle
miniere
agli
impianti
di
produzione
in modo da minimizzare il costo
globale
del
trasporto
Min Jo✗
ss
szt 29 ×13+92× 2 ]
-120×22+14× 23
✗sst
szt
= 130
✗ 2 ]
22
23
= 200
ss
sz
22
= Joo
s}
Con ✗i
]
20 i=
]
,
OSSERVAZIONE
Se
nel
problema
dei
trasporti
le
ai
,
i =
S.
M e
le
bj
= S
... m sono
intere
e se
il
problema
ammette soluzione
ottima
,
allora ha una soluzione ottima intera
.
Quindi
possiamo
dire che
la
soluzione ammissibile del
teorema
,
ow inerente
,
non è
l'
unica
soluzione ammissibile del
problema
.
