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APPUNTI CRITICAL THINKING | MODULO 1 (prof. Ciuni)
LEZIONE n.1 (23/02/2022)
Critical thinking=pensiero critico. Anni 70 Italia si afferma la corrente filosofia politica chiamata “pensiero critico” -> corrente non di natura marxista, ma legata ai filosofi seguaci di Marx. Il termine “critical thinking” denota 2 cose:
- Produrre buoni argomenti e valutare e capire se un argomento è buono o meno;
- L’insieme delle attività che possiamo mettere in atto per esercitare questa abilità. Viviamo nella società della comunicazione e dell’informazione, che ad oggi sono universali e globali, anche grazie ai mezzi di comunicazione di massa, dove scambiano informazioni con milioni di persone. Prima dei mezzi di informazione, c’era chi la produceva e chi la riceveva, non c’era lo scambio anche dall’altra parte. I social network hanno creato un sistema di informazioni, vere o false che siano, fondate o infondate, hanno creato una rete sociale rapida e dove ci si scambia informazioni continuamente, ma non dove non si ha razionalità. Bisogna ragionare per avere un giusto ruolo all’interno della società, perché il nostro ruolo è quello di produttori di informazioni, o ripetitori e quindi dobbiamo sapere cosa diciamo e riceviamo, dobbiamo ragionarci.
CHE COS’È UN ARGOMENTO?
L’argomento è l’elemento fondamentale dell’attività dell’argomentazione, che impieghiamo nei contesti quotidiani, anche detti “dialettici”. Argomentiamo quando parliamo con qualcun altro cercando di convincerlo che una tesi è plausibile, probabile o verosimile, o al contrario. L’argomentazione ha sempre un fine. L’argomento è l’entità che sta al centro dell’argomentazione, se non abbiamo ragionamenti non abbiamo una vera argomentazione. Un argomento è una sequenza di enunciati dei quali alcuni detti “premesse”, forniscono ragioni a sostegno, supporto di un altro enunciato detto “conclusione”. Si possono anche avere altri enunciati in mezzo. In un argomento possiamo avere 1 o più premesse, e nei casi concreti abbiamo 2 o più premesse, ma potremmo averne anche solo 1. In logica formale possiamo arrivare anche al caso in cui abbiamo 0 premesse (appr. nella L8), quando quello che andiamo a concludere è un assioma della logica, quindi in realtà è come se fosse già dimostrato. Ci sono anche forme di ragionamento in logica in cui si hanno 1 o più conclusioni, queste forme si chiamano “a conclusione multipla” e le disgiunzioni di queste conclusioni fa la stessa cosa delle varie conclusioni (vengono raggruppate) (-non ce ne occupiamo). In ogni caso abbiamo un numero finito di premesse e un numero finito di conclusioni. Come facciamo a trovare premesse e conclusioni? Nei casi ideali ci sono parole che sono indicatori o di premessa o di conclusione:
- Indicatori di premessa, tutte parole che ci fanno capire che stiamo dando delle ragioni —> dal momento che, poiché, assumendo che, visto che, infatti, siccome, perché, in quanto, ecc. ́
- Indicatori di conclusione, segnalano la presenza della conclusione —> quindi, pertanto, dunque, così, perciò, di conseguenza, per questo motivo, ne segue che, ecc. [esercizio 1 risposta n.2] [esercizio 2 premesse 2: “questo perché” – “le banche europee” ; conclusione “il settore dei servizi finanziari”]
LA STRUTTURA DI UN ARGOMENTO
Premesse e conclusioni sono componenti concrete dell’argomento, ma c’è anche la struttura, che è una componente astratta che fa da collante tra premesse e conclusione. La struttura consente, o non riesce a consentire, alle premesse di giustificare la conclusione, ovvero di dare ragioni a sostegno di essa. Casi non ideali, dove non compaiono gli indicatori di premessa o conclusione e dove non è facile individuare la struttura dell’argomento:
- Quando la conclusione è formulata prima delle premesse; succede perché si vuole subito convincere, invece che rischiare che l’ascoltatore sia stanco, e che cali l’attenzione ascoltando tutte le premesse prima di arrivare alla conclusione (incisivo sulla conclusione).
- Quando alcune premesse vengono lasciate implicite; quando riteniamo abbia torto o ragione che chi sta ricevendo il nostro argomento creda già nella nostra premessa, perché crediamo che quella credenza sia conoscenza comune tra me e lui o tra me e il pubblico, a livello pragmatico sarebbe una perdita di tempo (dire cose che già si sanno).
- Quando manca la conclusione; succede quando vogliamo che ci arrivi l’interlocutore, perché questo crea maggiore coinvolgimento anche nella ricezione. Queste cose accadono ma hanno motivi pragmatici, non hanno a che fare con la logica dell’argomento. [esercizio 3 risposta n.1: conclusione all’inizio; n.2: manca una delle premesse; n.3: manca la conclusione] Rappresentazione schematica dell’argomento (schema d’argomento completo): costruiamo uno schema che può potenzialmente rappresentare tutti gli argomenti. Ci sono una serie di premesse e una conclusione, ma potremmo avere anche dei passaggi intermedi (nel caso non cambia la rappresentazione dell’argomento): è completo perché verranno presentati solo argomenti completi, maggiormente (non sempre) nella rappresentazione schematica ci sono sempre delle premesse che fanno arrivare alla conclusione (no problemi elencati prima). Es. Banche con nuove possibilità d’acquisto rimangono competitive (P1). Il modello Amazon prevede nuove possibilità d’acquisto (P2). Le banche che adottano tale modello rimangono competitive (C).
ARGOMENTI SEMPLICI E COMPLESSI
Argomenti semplici: una o più premesse forniscono ragioni a sostegno di una conclusione. Argomenti complessi: sono composti da 2 o più argomenti semplici concatenati tra loro. Ne esistono 2 tipi:
- Due o più argomenti indipendenti che forniscono ragioni a sostegno della medesima conclusione (giustapposizione di argomenti); es. Le nuove piattaforme online rendono più competitivi i servizi finanziari poiché consentono di rispondere in modo più efficace alle esigenze specifiche del cliente e offrono inoltre un livello maggiore di trasparenza e comparabilità dei prodotti finanziari. Primo argomento: (P1) Tutto ciò che consente [... ] rende i servizi finanziari più competitivi. (P2) Le nuove piattaforme online consentono di rispondere alle esigenze specifiche del cliente. (C) Le nuove piattaforme online rendono i servizi finanziari più competitivi. Secondo argomento: (P1) Un maggiore livello di trasparenza [... ] rende i servizi finanziari più competitivi. (P2) Le nuove piattaforme [... ] garantiscono maggior trasparenza [... ] dei prodotti finanziari. (C) Le nuove piattaforme online rendono i servizi finanziari più competitivi.
- La conclusione di un argomento costituisce la premessa di un altro argomento (combinazione strutturale di argomenti). es. Tutte le aziende di servizi che si sono trasformate in one-stop shops capaci di rispondere alle esigenze specifiche del cliente hanno oggi successo sul mercato. Infatti, queste aziende aggregano i loro prodotti alle innovazioni messe a disposizione da terze parti. I servizi bancari statunitensi operano oggi come one-stop shop e hanno dunque successo sul mercato. Argomento principale: (P1) Le aziende di servizi che si sono trasformate in one-stop shops hanno successo. (P2) I servizi bancari statunitensi si sono trasformati in one-stop shops. (C) I servizi bancari statunitensi hanno successo sul mercato. Argomento subordinato a sostegno di P1: (P1) Le aziende che operano come one-stop shop, [... ] rispondono alle esigenze del cliente.
Il ragionamento deduttivo è basato su regole di inferenza:
- Sono fatte per farci arrivare a conclusioni vere se partiamo da premesse vere, cioè le regole di inferenza del ragionamento deduttivo sono fatte per preservare la verità nel passaggio dalle premesse alle conclusioni.
- Ciò avviene nella catena inferenziale, se le premesse di partenza sono vere, applicando le regole gli enunciati intermedi e la conclusione saranno anch’essi veri. La catena può anche andare direttamente dalle premesse alla conclusione.
- Questo perché il ragionamento deduttivo mira a fornire ragioni conclusive per le sue conclusioni. Sapendo che si hanno premesse vere usate seguendo le regole, si ha la certezza che la conclusione è vera. Derivabilità = quando è possibile concludere B(enunciato, conclusione) da un ragionamento deduttivo che parte da A1… An(sequenza di enunciati, premesse), diremo che B è derivabile da A1…An. Caso particolare della derivabilità è la Dimostrabilità = se B è un assioma di un nostro sistema logico, oppure se B è derivabile da A1…An e questi ultimi sono assiomi, diremo che B è dimostrabile nel sistema. Nella logica: dimostriamo a partire da assiomi (=enunciati che vengono dati per dimostrati) si tratta di quel ragionamento che noi performiamo derivando una conclusione; oppure dimostriamo a partire da ipotesi, sulla verità di queste ipotesi noi magari non ci impegniamo. Quando qualcosa è dimostrabile da una serie di assiomi è anche derivabile da quegli assiomi.
In entrambi i casi scriveremo così: A1,...An ⊢ B si legge: B è derivabile da A1,…An, oppure dati A1,..An inferiscine
legittimamente B, oppure dati A1,…An puoi legittimamente concluderne B, oppure dimostrati/derivati A1,…An concludi legittimamente B.
VALIDITÀ, VERITÀ E CORRETTEZZA
Un argomento è deduttivamente valido se e solo se: la verità delle sue premesse garantisce la verità della sua conclusione. Definizioni alternative di validità di un argomento:
- Un argomento è deduttivamente valido se e solo se non si può dare il caso che le premesse siano tutte vere e la conclusione falsa;
- Un argomento è deduttivamente valido se e solo se non c’è nessuno scenario logicamente possibile in cui le premesse siano tutte vere e la conclusione falsa;
- Un argomento è deduttivamente valido se solo se la conclusione segue necessariamente dalle premesse;
- Un argomento è deduttivamente valido se e solo se la conclusione è una conseguenza logica delle premesse. Quando parliamo di ‘seguire necessariamente’, parliamo di una necessità logica. Un modo di rendere quest’idea è dire che un argomento è deduttivamente valido se è incoerente affermarne le premesse e negarne la conclusione. I primi due ci danno un metodo concreto. (nozione conseguenza logica lez.8 – scenario logicamente possibile lez.6). Argomento non valido: se la verità delle premesse di un argomento non garantiscono la verità della conclusione, allora esso non è valido. Definizione alternativa di non validità di un argomento:
- Un argomento è non valido se si può dare il caso che le premesse siano tutte vere e la conclusione falsa;
- Un argomento è non valido se c’è almeno uno scenario logicamente possibile in cui le premesse sono tutte vere e la conclusione falsa;
- Un argomento è non valido se a conclusione non segue necessariamente dalle premesse;
- Un argomento è non valido se la conclusione non è una conseguenza logica delle premesse. [esercizio 5 domanda 1: i due argomenti sono deduttivamente validi perché non possiamo costruire scenari logicamente possibili in cui per ciascuno argomento le sue premesse sono vere e la conclusione è falsa; domanda 2: no; 3: ; 4] Argomento corretto: i logici usano questo termine in maniera diversa da come lo usiamo noi nella realtà. In logica un argomento è corretto se e solo se è deduttivamente valido e ha tutte e sole premesse vere. Un argomento non può essere vero o falso, gli enunciati sono veri o falsi. Un argomento può essere valido o non valido, buono o cattivo, corretto o non corretto ma non può esser vero o falso. Nel nostro linguaggio tendiamo a dire che un argomento (ragionamento, inferenza) è corretto/a quando è valido/a.
Nel caso degli avvocati nel caso di Brancusi possono essere entrambi corretti gli argomenti? No perché altrimenti dovrebbero essere vere entrambe le conclusioni, invece c’è una contraddizione tra le due conclusioni, perciò uno degli argomenti parte da almeno una premessa falsa. Tutti gli argomenti validi non sono buoni argomenti perché l’argomento valido potrebbe avere premesse false, e se ha premesse false non è un buon argomento. Esempio Tutte le balene sono pesci (P1). Tutti i pesci hanno le branchie (P2). Tutte le balene hanno le branchie (C). => è deduttivamente valido, ma una premessa è falsa perché le balene sono mammiferi. Tutti gli argomenti corretti in linea di massima sono buoni argomenti ma ci sono tipologie di argomenti che anche se sono deduttivamente validi e con premesse vere, non riescono a produrre sistematicamente buoni argomenti, per esempio Tutti i delfini sono mammiferi (P1). Tutti i delfini sono mammiferi (C). => è un ragionamento circolare deduttivamente valido, perché se la premessa è vera anche la conclusione è vera; le premesse devono fornire ragioni a supporto della conclusione per essere un buon argomento, ma ripetere lo stesso enunciato come premessa e come conclusione, è certamente un ragionamento che però non dà premesse a sostegno della conclusione, perciò non è un buon argomento. Validità e verità sono indipendenti. Tutti gli argomenti con premesse vere non sono per forza validi, per esempio Ogni opera che imita un oggetto naturale o rappresenta idee astratte è una scultura (P1). Bird in Space non mi piace (P2). Bird in Space non è una scultura (C). => ammettiamo che le premesse siano vere, ma la conclusione non è necessariamente vera…le due premesse possono essere vere nella conclusione che lui ha raggiunto falsa. [esercizi n1: falso; n.2: falso; n.3: vero; n.4: falso; n.5: falso]
RAGIONAMENTO NON-DEDUTTIVO
Non tutti i buoni argomenti sono deduttivamente validi. Ci sono buoni argomenti che non sono argomenti deduttivamente validi. Ci sono forme di ragionamento non deduttivo, i quali non preservano le verità delle premesse alla conclusione. Il ragionamento non deduttivo dà delle regole di inferenza, o schemi di tipo particolare, che mirano a rendere più plausibile, probabile, verosimile la conclusione nel caso che le premesse siano vere. Caratteristiche del ragionamento non-deduttivo:
- Negli argomenti non deduttivi che sono buoni, le premesse forniscono ragioni non conclusive per la conclusione;
- Più in generale, un argomento di tipo non deduttivo non fornisce mai ragioni conclusive per la propria conclusione;
- Le premesse di un argomento di tipo non deduttivo forniscono ragioni per credere che la conclusione sia vera, ma comunque insufficienti ad escludere che la conclusione sia falsa (anche nel caso che le premesse siano vere);
- Un argomento non deduttivo è migliore o peggiore, forte o debole, a seconda del grado di garanzia che la eventuale verità delle premesse fornisce alla verità della conclusione. Le procedure non-deduttive d’inferenza non sono fatte per preservare la verità. Possiamo quindi avere argomenti non- deduttivi che sono buoni - cioè che hanno premesse vere e forniscono ragioni per la conclusione - e però hanno una conclusione falsa. Leggeremo la stringa di simboli —> A1,...,An S B come: ‘B è inferibile da A1 ,... , An attraverso regole non-deduttive di ragionamento’; oppure Dati A1,...,An, inferisci legittimamente B; o Dati A1,...,An, puoi concludere legittimamente B. Il ragionamento non-deduttivo è fallibile (defeasible); quel che fa un buon argomento di tipo non-deduttivo è darci una conclusione plausibile (dalla verità delle premesse alla plausibilità della conclusione). Possiamo idealmente mettere su una scala le garanzie che le premesse di un ragionamento non-deduttivo forniscono per la (plausibilità) della conclusione: ai due estremi della scala avremo argomenti che sono troppo deboli per essere buoni, e argomenti che sono forti abbastanza da essere riconosciuti da tutti come buoni (se sappiamo che le loro premesse sono vere). Nel caso di Brancusi: (P1) Brancusi è uno sculture di fama perché ha realizzato in passato sculture molto apprezzate. (P2) Brancusi afferma che Bird in space è una scultura. (C) Bird in space è una scultura. L’argomento è buono se accettiamo l’assunzione di default: “un artista di chiara fama non mente sullo statuto artistico di ciò che fa”. Assumerlo è ragionevole, poiché un artista famoso non si giocherebbe la reputazione presso la comunità
MODI DI REAGIRE AL DISACCORDO
Piramide del disaccordo di Paul Graham: prevede 6 livelli di disaccordo. Nei forum e nei blog si discuteva, così Paul Graham registrava le reazioni-tipo degli altri utenti dei forum. Alla base ci sono i modi meno razionali di reagire al disaccordo; in punta troviamo i modi più razionali di reagire al disaccordo. Per modo razionale si intende quando: più una modalità di reazione contribuisce a svolgere la discussione verso quei binari, più è razionale (i binari portano a maggiori conclusioni e quindi ad arrivare alla verità più giusta); la finalità dell'essere razionale è appurare se qualcosa è vero o falso. LIVELLO 0 INSULTO Es. commento post Facebook “voi omosessuali dovreste essere rinchiusi”.
- L’insulto (come anche la minaccia, in modo più forte) dissuade dall’espressione delle opinioni, e quindi non favorisce l’esercizio di una delle nostre libertà individuali.
- È una pessima reazione anche dal punto di vista del contributo che dà alla discussione, l'insulto infatti non fornisce una valutazione dell'argomento; come in questo caso il commento offensivo non tocca neanche l'argomento principale.
- Possiamo parlare di argomentum ad baculum (= argomento del bastone): anche se non è un argomento, non c'è la proposta di premesse o conclusioni. LIVELLO 1 ATTACCHI PERSONALI Es. commento post Facebook “sei un membro della lobby degli omosessuali”.
- È una reazione più sottile, che attacca comunque la persona cercando di sminuirla e screditarla, per far sì che non venga ritenuto credibile chi propone l’argomento.
- Dal punto di vista dialettico, non contribuisce alla valutazione dell’argomento; in questo caso il commento non ha toccato minimamente le premesse del post iniziale né la sua conclusione.
- Parliamo di Argomentum ad personam (=argomento contro la persona): non è un argomento; può essere anche più sottile come nel seguente caso > Carlo: “… Quindi i vaccini causano l’autismo” / Giulio: “Ma che volete che ne sappia di medicina Carlo che non si è nemmeno diplomato!”. Anche se la conclusione di Carlo è falsa, la reazione è sbagliata perché non è razionale, per esserlo dovrebbero essere attaccate le premesse o la struttura logica dell’argomento. LIVELLO 2 REPLICA AL TONO Es. commento post Facebook “Non posso credere che una cosa del genere venga detta con tanta leggerezza”.
- Nella replica al tono si ha una reazione meno violenta ma comunque negativa e irrazionale, in cui si contesta una presunta irresponsabilità nel modo in cui un problema viene affrontato.
- Non è toccato l'argomento principale, e si sta comunque screditando chi parla in modo sottile, di conseguenza non contribuisce alla razionalità della discussione.
- Allo stesso livello di razionalità troviamo L’Uomo di Paglia (straw man): viene creato un argomento fantoccio, che al pubblico è venduto come legato a quello principale proposto dall’interlocutore (es. post Facebook “dicendo questo sul matrimonio omosessuale tu vuoi distruggere l’istituzione della stessa famiglia, e questo è sbagliato”) viene presupposto qualcosa che non viene detto. LIVELLO 3 MERO CONTRADDIRE Es. commento post Facebook “Non è inaccettabile proibire il matrimonio fra lo stesso sesso”.
- Ci si limita a negare la conclusione ad affermare qualcosa che implichi negare la conclusione finale, senza però dare ragioni o premesse.
- È un livello migliore dei primi tre, perché almeno ci si concentra su uno dei costituenti dell'argomento proposto (la sua conclusione), ma non viene data nessuna ragione a sostegno della negazione della conclusione, quindi è comunque un livello insoddisfacente dal punto di vista della razionalità.
- Allo stesso livello troviamo la falsa dicotomia (=dividere due parti opposte): è molto frequente, apparentemente innocua e razionale, verbalmente strutturata, funziona quando crea allarme; la falsa dicotomia propone due tesi che sono conciliabili come inconciliabili (es. post Facebook “O si vieta il matrimonio fra persone dello stesso
sesso, o si accetta la distruzione dell'istituzione del matrimonio” -> bisogna argomentare per arrivare a questa conclusione). LIVELLO 4 ARGOMENTO A FAVORE DELLA TESI CONTRARIA Es. commento post Facebook “il matrimonio fra persone dello stesso sesso è inaccettabile perché la famiglia è composta da un uomo e da una donna”.
- Viene proposto un argomento a favore della tesi contraria.
- È accettabile, razionale ma non ottimale, non è un buon argomento perché: non ci dà modo di valutare l’argomento iniziale (presuppone solo che la sua conclusione sia falsa); ciò crea solo più fatica dialettica, più sforzo cognitivo perché dal dover valutare 1 argomento si passa a doverne valutare 2. LIVELLO 5 ATTACCO RAZIONALE ALL’ARGOMENTO INIZIALE Es. commento post Facebook “se garantiamo alle coppie omosessuali le stesse tutele riservate alle coppie eterosessuali, allora non vi è discriminazione. È possibile garantire lo stesso trattamento a entrambi i tipi di coppie anche senza estendere le istituzioni del matrimonio alle coppie omosessuali. Quindi, è possibile non estendere il matrimonio alle coppie omosessuali senza al tempo senso discriminarle”.
- Si tenta di mostrare che l’argomento iniziale non è buono e si può fare in due modi:
- Attaccando la verità (o la giustificazione) delle premesse: in questo caso forniamo un argomento che dà ragioni per la verità della negazione di una o più premesse dell'argomento iniziale (è razionale perché dà un argomento per le falsità di quelle premesse);
- Attaccando la struttura dell'argomento iniziale: in questo caso argomentiamo che l'argomento iniziale non riesce in realtà a fornire ragioni per la conclusione (non si tratta più della verità delle premesse).
STRATEGIE RAZIONALI
Esistono più strategie razionali di replica ad un argomento che appartengono a 2 grandi famiglie: l’attacco alla struttura dell’argomento e l’attacco alla verità (o la giustificazione) delle premesse. Queste due strategie possono essere combinate.
ATTACCO ALLA STRUTTURA DELLL’ARGOMENTO
Attaccare la struttura dell’argomento significa attaccare la sua pretesa di fornire ragioni alla sua conclusione. Nel caso degli argomenti deduttivi, questo equivale a dimostrare che l’argomento non è valido. Nel caso di argomenti non deduttivi, questo equivale a dimostrare che l’argomento è debole, cioè che le premesse danno un sostegno nullo o limitato alla conclusione. Gli argomenti non deduttivi possono essere idealmente ordinabili da buoni a cattivi in base al grado di sostegno che danno alla conclusione (es. corvi lez1). Queste forme d’attacco, essendo di tipo logico, possono essere condotte analizzando solo la struttura dell’argomento, indipendentemente dalla verifica delle premesse, cioè tralasciamo se le premesse siano vere o false, ma osserviamo che non danno ragioni a sostegno alla conclusione. Strategia con la quale possiamo attaccare la struttura di argomento di tipo deduttivo > si parte dagli errori logici, che producono argomenti le cui premesse non forniscono ragioni a sostegno della conclusione > alcuni di questi errori logici sono molti diffusi e vengono chiamate fallacie logiche. Parlando di fallacie logiche, una delle più grandi è il Non Sequitur: esempio se il Grana Padano è un prodotto di qualità pari al Parmigiano Reggiano “Il latte con cui si produce il Grana Padano proviene da animali alimentati con insilati (P1). Il latte con cui si produce il Grana Padano è di bassa qualità (C)”. Qui non c’è connessione logica tra i due enunciati, non c’è legame deduttivo, la conclusione non segue dalla premessa. Dal punto di vista della struttura logica è un non sequitur, ma in un contesto dialettico possiamo chiedere di spiegarsi meglio, per questo può essere espressa la P2 (che prima era stata lasciata implicita) “Il latte con cui si produce il Grana Padano proviene da animali alimentati con insilati (P1). Un’alimentazione che include insilati rende il latte di bassa qualità (P2). Il latte con cui si produce il Grana Padano è di bassa qualità (C)” -> in questo modo è un argomento deduttivamente valido. Tipo di fallacia del ragionamento induttivo: la Generalizzazione Indebita = parte da premesse che offrono una differenza quantitativa sistematicamente insufficiente rispetto alla conclusione.
Si tratta cioè di fare un’assunzione, dalla quale ne deriva una contraddizione, allora rifiuto l’assunzione iniziale, accettando invece la sua negazione. In altre parole la reductio trasforma la derivazione di Ʇda A in una dimostrazione della negazione di A. La reductio è la procedura con cui refutiamo o confutiamo degli argomenti, cioè dimostrare la negazione della conclusione (refutare), perché se la conclusione dell’argomento a cui ci opponiamo implica una contraddizione, per ciò stesso abbiamo dimostrato che è falsa. La reductio consente di attaccare la verità di un enunciato su basi logiche, perché un enunciato che implica una contraddizione può solo essere falso. Dal punto di vista logico è il modo migliore per attaccare la verità di un enunciato, della conclusione o di una delle sue premesse.
Altro modo di scrivere lo schema della reductio: A ⊢⊥ ⇒⊢ ¬ A
si legge: se c’è una derivazione da A ad una contraddizione allora hai dimostrato non-A (cioè la sua negazione). Ci sono dei contesti in cui non usiamo la procedura della reductio, che è fin troppo rigorosa, ma ne usiamo una simile che consiste nel contestare un argomento sulla base della inaccettabilità o impossibilità della sua conclusione. -> non diciamo che non è logico, perché potrebbe essere logico siccome non implica contraddizioni, ma si intende che sul piano materiale siano argomenti assurdi.
LEZIONE n.3 (02/03/2022)
DAGLI ARGOMENTI AI CONNETTIVI
Parole logiche negli argomenti -> es. “Si va a elezioni anticipate se e solo se Mario Draghi passa al Quirinale. Mario Draghi non passa al Quirinale. Non si va alle elezioni anticipate.”: è intuitiva la validità di questo argomento, perché le parole sottolineate sono messe dove devono essere, col ruolo che giocano nell’argomento, affinché sia valido. Due protagonisti:
- Connettivi: parole (simboli) che si applicano a uno o più enunciati per formare altri enunciati; chiamati anche “operatori enunciativi”, sono come delle operazioni ovvero deli operatori che si agganciano ad altri enunciati per darcene altri; sono un tipo d parole logiche (=serie di simboli che danno complessità logica agli enunciati in cui occorrono);
- Regole d’inferenza regolo che ci consentono di passare da un enunciato a un altro in un ragionamento o in una dimostrazione; sono regole di trasformazione perché in un enunciato inferendone un altro vuol dire che quello prima viene trasformato nell’enunciato che si è appena inferito>ci dicono come procedere; sono regole di manipolazione degli enunciati perché mi consentono di ricavare enunciati da altri enunciati.
OPERATORI BOOLEANI
I connettivi più semplici sono detti operatori booleani, e devono il loro nome a George Boole, matematico britannico (prima metà 800) che studiando le strutture algebriche trovò che alcune operazioni di base in algebra rispecchiano all’uso che si fa delle parole logiche. È stato il primo a trattare la formalizzazione delle parole logiche.
Il bicondizionale “se e solo se” (simbolo: ↔ )in realtà può essere definito in base alla
congiunzione e al condizionale “se allora”: A ↔ B := (A -> B) ^ (B -> A).
CONGIUNZIONE
In logica usiamo il simbolo: ∧ per la congiunzione (parola logica) “e”.
Dati due enunciati qualsivoglia A e B, diciamo che A ∧ B è la loro congiunzione, e che A e B sono i suoi congiunti. Esempio inferenza valida: Michele sta parlando al cellulare e sta aprendo il frigo. Michele sta parlando al cellulare. Questa inferenza è intuitivamente valida perché se le premesse sono vere lo è anche la conclusione, ciò grazie ad “e”. Per contrasto niente di ciò che dice “Michele sta parlando al cellulare” e di “Michele sta aprendo il frigo” ha un ruolo nella validità di quell’inferenza. Per rendercene conto, sostituiamo “Michele sta parlando al cellulare” e “Michele sta
aprendo il frigo” con gli enunciati: “La massa di Marte è minore di quella di Giove e il cielo è particolarmente luminoso questa sera”. Anche questa inferenza è valida, per il ruolo che quella congiunzione gioca nell’inferenza. Sono quindi valide tutte le inferenze che risultano dalle due precedenti sostituendo in maniera uniforme i due enunciati che vi compaiono con qualsivoglia altra coppia di enunciati, ma lasciando invariata la parola “e”. In altre parole: sono valide tutte le inferenze che hanno la stessa forma logica delle due precedenti. Possiamo quindi intuire che a giustificare la validità delle inferenze che abbiamo già visto è il significato stesso della parola “e”, perché permette di asserire quell’enunciato e perciò diamo la asserzione per buona (perciò sia primo che secondo congiunto), se invece al posto di “e” avrei messo “o” non potrei concludere che Michele sta parlando al cellulare, perché la disgiunzione “o” non mi dà la verità. Quello appena detto vale a un livello più generale. Infatti: la validità di un’inferenza dipende dal significato delle parole logiche che ne determinano la forma logica. Nel parlato quotidiano abbiamo anche un uso non booleano della congiunzione, cioè a volte codifica un ordine temporale e quindi non è usata in maniera commutativa (=anche cambiando l’ordine degli enunciati il risultato non cambia); per esempio “Lui uscì sbattendo la porta e lei scoppiò a piangere” cambia totalmente da “Lei scoppiò a piangere e lui uscì sbattendo la porta”.
INFERENZE E SCHEMI D’INFERENZA
La forma logica può essere messa in evidenza astraendo dal contenuto degli enunciati coinvolti e rappresentandoli con lettere schematiche (A,B.C…). Idealmente le lettere schematiche sono simboli che possono stare per qualsivoglia enunciato. Per esempio, possiamo rappresentare la forma logica delle due inferenze precedenti, così: da A e B inferiscine legittimamente A. oppure L’uso delle lettere schematiche A,B,C… indica anche che non stiamo parlando di un’inferenza particolare fra quelle che hanno la data forma logica, ma di uno schema d’inferenza. Idealmente, uno schema d’inferenza può stare per qualunque delle inferenze che hanno una data forma logica – una rappresentazione schematica della forma logica. Per esempio, quello di prima è la rappresentazione di una famiglia di inferenze che hanno la stessa forma logica, ed è uno schema di inferenze.
I ∧, E∧1, E∧
I casi particolari di un dato schema d’inferenza generale sono invece istanze dello schema d’inferenza. Per esempio: Fuori c’è il sole ∧ in casa fa freddo. Fuori c’è il sole. Lo schema di prima ha un gemello, ovvero: oppure Questi due schemi sono noti come regole di eliminazione della congiunzione. Perché avevamo una congiunzione che abbiamo usato per inferire qualcosa che può non essere una congiunzione. Essi ci fanno capire che nel corso del nostro ragionamento abbiamo dimostrato, derivato, introdotto, assunto una congiunzione, e possiamo inferire una qualsivoglia dei suoi congiunti. Per distinguere e nominare questi due schemi di inferenza i logici ricorrono a questa rappresentazione simbolica: la regola d’eliminazione della congiunzione. E∧1 e E∧2 è comune porli al lato del “quindi”(=linea orizzontale) e ci dicono che: o stiamo specificando il nome dell’inferenza, oppure, nel corso di un ragionamento formalizzato stiamo passando da un pnto all’altro di esso usando l’applicazione di quell’inferenza. Letture delle due regole:
- Data una congiunzione, inferisci legittimamente uno qualunque dei congiunti;
- Data una congiunzione, puoi concluderne legittimamente uno qualunque dei suoi congiunti (ma non la negazione di alcuno di loro);
- Se hai dimostrato/derivato una cogniunzione nel corso del tuo ragionamento, hai per ciò stesso dimostrato/derivato uno qualunque dei suoi congiunti.
NEGAZIONE
In logica usiamo il simbolo: “ ¬ ” per la negazione (parola logica) “non”/ “non si dà il caso che”.
Dato un enunciato qualsivoglia A, diciamo che ¬ A è la sua negazione, e che A è l’enunciato negato.
Come ogni operatore enunciativo che incontreremo, ¬ può essere annidata o iterata all’interno di uno stesso enunciato.
Per esempio, in: ¬¬ A diciamo che la negazione ( ¬ ) è annidata. Per annidata si intende un numero finito in una
sequenza di negazioni; le negazioni annidate non hanno una lettura naturale in italiano. Per leggerle useremo una combinazione delle locuzioni “non” e “non si dà il caso che”.
Per esempio: ¬¬ A lo leggeremo “non si dà il caso che non-A; ¬ ( A ˄¬ B ) lo leggeremo “non si dà il caso che (A e non-
B)”, qui la negazione esterna si applica all’intera congiunzione.
I ¬ , E ¬
Come inferire (=introdurre) la negazione nel corso di un ragionamento? Per capire la regola è importante anche qui il ragionamento deduttivo ipotetico (o derivazione). Prima di tornare all’introduzione della negazione, dobbiamo ricordare come leggere un altro simbolo: Ʇ, che sta per una
qualsiasi contraddizione – intuitivamente, una contraddizione è un qualsiasi enunciato della forma A ˄ ¬ A.
Schema della regola dell’introduzione della negazione: o Se dall’assunzione di A derivi una contraddizione allora puoi legittimamente concludere non-A ;
o Inferisci legittimamente ¬ A se hai dimostrato che A è inconsistente;
o Puoi concludere la negazione di A se dimostri che A è inconsistente; o Se hai dimostrato che un enunciato è inconsistente, ne hai per ciò stesso dimostrato la negazione. Essa è un modo di illustrare lo schema della Reductio ad Absurdum.
Ancora una volta I ¬ serve soloa sottolineare che lo schema è una regola d’introduzione (della negazione), ciò vuol dire
che non è parte della regola, è il suo nome. Le parentesi quadre in [A] indicano che stiamo assumendo A, ovvero non lo abbiamo dimostrato. Lo assumiamo per vedere che ne segue. I puntini verticali inidcano che abbiamo svolto una derivazione che ci porta da A a una sua conseguenza. E Ʇ posto dopo i puntini ci dice che quel che deriva da A è una contraddizione. Lo schema si può idealmente dividere in 2 parti:
- La parte che rappresenta schematicamente la derivabilità di Ʇ da A. Derivare una contraddizione da un enunciato equivale a dimostrare che l’enunciato è inconsistente.
2. La parte che rappresenta il passaggio dalla derivazione di Ʇ da A alla conclusione di ¬^ A^.
In logica, una contraddizione non può mai essere vera. Ora supponiamo di avere (correttamente) derivato una contraddizione da un enunciato A. Questo vuol dire che il ragionamento che ci ha portato da A alla contraddizione è deduttivamente valido… e quindi se A è vero, deve esserlo anche Ʇ. Ma Ʇ non può essere vero, quindi non può esserlo
neanche A. E se A non è vero, ¬ A è vero.
Come inferire un enunciato da una negazione nel corso del ragionamento? Cioè come eliminare una negazione a favore di un altro enunciato. Lo schema della regola d’eliminazione della negazione o anche Ex Absurdo Quodlibet: Da una assurdità (contraddizione) segue qualsiasi cosa. Letture della regola:
- Inferisci legittimamente una qualsiasi contraddizione se nel corso del tuo ragionamento sei arrivato tanto a un enunciato quanto alla sua negazione;
- Dati come veri/dimostrati tanto un enunciato quanto la sua negazione, puoi concludere legittimamente qualsiasi contraddizione;
- Se hai dimostrato/derivato tanto un enunciato quanto la sua negazione nel corso del tuo ragionamento, hai per ciò stesso dimostrato/derivato una qualsiasi contraddizione. La regola quindi dice: non puoi dimostrare tanto un enunciato quanto la sua negazione, poiché altrimenti dimostreresti anche una contraddizione, che però non può in nessun caso essere vera.
ELIMINAZIONE DELLA DOPPIA NEGAZIONE
Letture: Inferisci legittimamente un enunciato se hai dimostrato la negazione della sua negazione;
- Data la negazione di una negazione, puoi concluderne legittimamente l’enunciato negato;
- Se hai dimostrato/derivato la negazione di una negazione nel corso del tuo ragionamento, hai per ciò stesso dimostrato/derivato l’enunciato negato.
DIMOSTRAZIONE DI ¬ A Ⱶ Ʇ => ⱵA
Vogliamo dimostrare che: ovvero che, se dimostriamo che Ʇ è derivabile da ¬ A , allora dimostriamo A.
Abbiamo dimostrato lo schema che desideravamo applicando prima l’introduzione della negazione e poi l’eliminazione della negazione. Questo ci assicura che possiamo usare la regola d’inferenza come regola valida. Di una regola che abbiamo ricavato applicando correttamente dalle nostre regole di partenza diciamo che è una regola derivata.
Un modo alternativo di rappresentare i passaggi con cui dimostriamo ¬ A Ⱶ Ʇ => ⱵA (ovvero: se hai derivato Ʇ da ¬ A
hai dimostrato A):
1. ¬ A Assunzione
2. Ʇ da 1, per ¬ A Ⱶ Ʇ
3. ¬¬ A da 1,2 per I ¬
4. A da 3 per E ¬¬
In logica classica lo schema della Reductio Ad Absurdum è espressa dai due schemi:
- A Ⱶ Ʇ => Ⱶ ¬ A (introduzione della negazione)
- ¬ A Ⱶ Ʇ => Ⱶ A In altre logiche la Reductio Ad Absurdum coincide invece con l’introduzione della negazione.
DALL’ELIMINAZIONE DELLA NEGAZIONE ALL’EX ABSURDO QUODLIBET
Vogliamo dimostrare che ovvero che dati A e ¬ A , possiamo inferire qualsiasi enunciato.
Partendo da A e non-A, abbiamo applicato l’eliminazione della negazione (con cui stacchiamo una qualsiasi contraddizione), la qualsiasi conyraddizione alla quale siamo giunti potrebbe essere B e non-B, e proseguo con l’eliminazione della congiunzione, da cui abbiamo staccato il primo congiunto.
in questa dimostrazione A, ¬ A Ⱶ B abbiamo usato Ʇ - rule, una regola relativa a Ʇ che è valida in logica classica. Ci dice:
Ʇ Ⱶ B ⋀ ¬ B , dove B ⋀ ¬ B è una qualsivoglia contraddizione, cioè dovuta a una qualsivoglia scelta di B. Avremmo
potuto usarne altri simili… Una volta che ho grazie all’eliminazione della congiunzione, dopo che ho 2 premesse mutuamente contraddittorie, posso derivare qualsiasi enunciato che però non possono essere tutti veri, perché derivo B ma anche non-B e siccome se è vero B deve essere falso non-B, allora non posso dimostrarli entrambi, ho di conseguenza dimostrato che c’è una contraddizione. Questo però è superfluo, perché la scelta di B è del tutto arbitraria, nella dimostrazione precedente eravamo liberi di
concludere ¬ B ¬¬ B e concludere ¬ B.
In questa dimostrazione di A, ¬ A ⊢ B abbiamo usato Ʇ - rule’, è una regola relativa a Ʇ che è valida in
logica classica. Ci dice: Ʇ ⊢ B , dove B è un enunciato qualsivoglia, arbitrariamente scelto.
Un modo alternativo di rappresentare i passaggi dell’ultima dimostrazione di A, ¬ A ⊢ B a partire dall’eliminazione della
negazione:
Abbiamo capito che le risposte F – I sono: congiuntamente esaustive (= almeno una deve essere vera) e mutuamente esclusive (= la verità di una implica la falsità delle altre). Non abbiamo però dimostrato che I è vera, ma abbiamo derivato I da A – E, cioè abbiamo dimostrato che se A – E sono vere, allora lo è anche I. In altre parole abbiamo dimostrato l’enunciato condizionale:
INTRODUZIONE DEL CONDIZIONALE
Letture: Se hai derivato B dall’assunzione di A, inferisci legittimamente A A → B.
Data una derivazione di B dall’assunzione di A, tutto quello che puoi concludere legittimamente è il
condizionale A → B.
Se nel corso del tuo ragionamento hai derivato B dall’assunzione di A, hai per ciò stesso dimostrato il condizionale
A → B.
Esempio: diamo per dimostrato che tutti i tedeschi sono europei. Vogliamo dimostrare che se Napoleone è tedesco allora Napoleone è europeo, quindi:
- Ipotizziamo (assumiamo quindi solo ai fini del ragionamento, senza imoegnarci sulla verità dell’enunciato) che Napoleone fosse tedesco.
- Aggiungiamo la premessa che tutti i tedeschi sono europei. Supponiamo di averla dedotta in un altro nostro ragionamento, e di poterci quindi impegnare sulla sua verità.
- Deriviamo che Napoleone è europeo e da questo concludiamo che se Napoleone è tedesco allora è europeo.
Siano: T^ (^ n^ )=¿^ Napoleone è tedesco.
E ( n ) =¿ Napoleone è europeo
∀ x ( T ( x ) → E ( x ) ) =¿ Tutti i tedeschi sono europei.
Con una piccola variazione, assumiamo (semplicemente) che tutti i tedeschi sono europei. Come possiamo derivare da questo che se Napoleone è tedesco allora Napoleone è europeo? E a quale condizionale possiamo dimostrare alla fine di questa derivazione?
- Ancora una volta ipotizziamo ( solo ai fini del ragionamento) che Napoleone fosse tedesco;
- Aggiungiamo l’assunzione che tutti i tedeschi sono europei, stavolta quindi non ci imoegnamo sulla sua verità;
- Deriviamo che Napoleone è europeo e perciò da questo deriviamo che se napoleone è tedesco allora è europeo;
- Da questo dimostriamo un condizionale di secondo grado: se tutti i tedeschi sono europei allora (se Napoleone è tedesco allora è europeo). Tornando al problema inziale di ragionamento, la seguente è una rappresentazione schematica del ragionamento che ci ha portato a escludere che fosse F a seguire dalle assunzioni A – E. Possiamo applicare questo schema anche
a G e H, e sarà identico sostituendo alla ¬ F le altre due lettere ( ¬G ;¬ H ).
In questi tre esempi abbiamo una combinazione di reductio ad absurdum e introduzione del condizionale. Non tutti i casi di ragionamento deduttivo per ipotesi sono anche casi in cui applichiamo la reductio, ovviamente (esempio di Napoleone). Più esattamente, il ragionamento che abbiamo esemplificato combina tipi di ragionamento diverso: (i) una derivazione
di ¬ F ¬G¬ H da A – E tramite Reductio; (ii) una derivazione di I da A – E; (iii) un ulteriore passaggio che ci ha
consentito di passare da quelle derivazioni alla dimostrazione di 4 condizionali diversi, ovvero:
1. (A ∧ B ∧ C ∧ D ∧ E) ⟶ I
2. (A ∧ B ∧ C ∧ D ∧ E) ⟶ ¬ F
3. (A ∧ B ∧ C ∧ D ∧ E) ⟶ ¬ G
4. (A ∧ B ∧ C ∧ D ∧ E) ⟶ ¬ H
Nel contesto di questa lezione è il punto (iii) l’unico che davvero ci interessa: la trasformazione di una derivazione nella dimostrazione di un condizionale.
CONDIZIONALE E NEGAZIONE
Schema di eliminazione della negazione del condizionale. Dato “se A allora contraddizione” inferiscine legittimamente “non-A”.
Ogni volta che si ha “ A →⊥ ” può essere rimpiazzato da ¬ A.
Letture:
- Dato A →⊥ , inferiscine legittimamente ¬ A. E dato ¬ A , inferiscine legittimamente A →⊥.
- Se hai dimostrato/derivato A →⊥ , hai per ciò stesso dimostrato/derivato ¬ A. Se hai dimostrato/derivato ¬ A , hai
per ciò stesso dimostrato A →⊥.
Prendiamo questa versione specifica dell’eliminazione del condizionale/Modus Ponens:
A A →⊥ sostituiamo ¬ A :
Quindi in un certo senso possiamo considerare ¬ A come un “condizionale travestito”, e più in particolare, come il
condizionale che dice “se A è vera, lo è anche Ʇ. Intuitivamente, questo fila liscio: è facile vedere che “se A è vera, allora
lo è anche Ʇ” equivale a dire “A è falsa”, che è esattamente ciò che dice ¬ A.
Di conseguenza, possiamo considerare l’eliminazione della negazione come un caso particolare dell’eliminazione del
condizionale. Ovvero, il caso in cui il condizionale è A →⊥. Ecco perché l’inferenza da A e ¬ A a Ʇ conta come
un’eliminazione della negazione. Prendiamo in considerazione questa versione specifica dell’introduzione del condizionale:
A A →⊥ sostituiamo ¬ A :
Quindi l’introduzione del condizionale A →⊥ (un caso specifico di introduzione del condizionale) è un’introduzione
della negazione (e in un certo senso giustifica la regola I ¬ come suo caso particolare.
IL CONDIZIONALE MATERIALE
Per esempio: “La Seconda Guerra Mondiale non è finita nel 1943. Se la Seconda guerra mondiale è finita nel 1943, allora l’oro non è un metallo”; “2+2=4. Se abbassano le tasse, allora 2+2=4”. Entrambe sembrano e sono non valide, ma per la logicfa classica entrambe quelle inferenze sono valide.
In particolare, in logica classica abbiamo altri due modi validi per introdurre un condizionale A → B , oltre la regola già
vista dell’introduzione del condizionale. A FORTIORI Il seguente schema è valido in logica classica, ed è conosciuto come A Fortiori (2 schemi): Questo ci dà, di fatto, un modo d’introdurre il condizionale, perché specifica a quali condizioni posso
introdurre un enunciato della forma A → B ;
Letture:
- Se hai dimostrato ¬ A (ovvero che A è falsa), inferisci legittimamente A → B per qualsiasi enunciato B.
- Data una dimostrazione di ¬ A , puoi concludere legittimamente il condizionale A → B (ma non la sua negazione).
- Se nel corso del tuo ragionamento hai dimostrato/derivato ¬ A , hai per ciò stesso dimostrato un qualsiasi
condizionale A → B.
Letture:
- Se hai dimostrato B, inferisci legittimamente A → B per qualsiasi enunciato A.
- Data una dimostrazione di B, puoi concludere legittimamente qualsiasi condizionale che abbia B come suo conseguente (ma non puoi concludere la negazione di tale condizionale).
- Se nel corso del tuo ragionamento hai dimostrato/derivato B, hai per ciò stesso dimostrato un qualsiasi condizionale
A → B.
CONTRAPPOSIZIONE
In logica classica, il condizionale soddisfa anche un’altra regola d’inferenza, nota come contrapposizione: Letture:
Abbiamo invece una notazione specifica per i cosiddetti enunciati arbitrari, ovvero quelli di cui non è specificato se siano semplici o complessi (e in quest'ultimo caso, quale sia la loro complessità sintattica). Se ne occupa la logica classica (schemi di ragionamento valido indipendenti dai loro schemi). Per gli enunciati arbitrari usiamo le lettere schematiche “A, B, C,…” oppure ne usiamo versioni indicizzate “A1, A2,A3,…” perché quello che c’è nell’enunciato, il suo contenuto, non è specificato. Quindi se incontriamo una lettera schematica A, siamo davanti o a un enunciato complesso, o a un enunciato semplice. Se invece incontriamo lettere come p,q,r siamo sicuri di non essere davanti a un enunciato complesso. I connettivi si applicano a qualsiasi enunciato o coppia di enunciati (indipendentemente dal fatto che siano semplici o complessi) e a partire da essi ci danno ulteriori enunciati.
LA DEFINIZIONE RICORSIVA DI ENUNCIATO
Gli enunciati semplici sono gli enunciati più semplici del linguaggio proposizionale – dal punto di vista logico. Tutti gli altri enunciati possono essere costruiti a partire da essi attraverso l’applicazione di connettivi. A essere enunciati del linguaggio sono quelle costruzioni che si conformano alla definizione ricorsiva di enunciato (del linguaggio proposizionale) con enunciati semplici e connettivi posso dare vita a enunciati complessi. La definizione ricorsiva di un enunciato ci dà delle regole di costruzione degli enunciati (cosa si qualifica effettivamente come enunciato e cosa no). Base: “gli x sono p” lo fisso, lo pongo, passo per qualsiasi entità q, se q è p allora altre entità che posso costruire in base a q sono p. Chiusura della definizione: nient’altro è p Gli enunciati semplici “p, q, r,…” sono enunciati;
Se A è un enunciato, allora ¬ A è un enunciato;
Se A e B sono enunciati, allora A ∧ B è un enunciato;
Se A e B sono enunciati, allora A ∨ B è un enunciato;
Se A e B sono enunciati, allora A → B è un enunciato;
Niente altro è un enunciato. Ciò ci consente di definire tutti gli enunciati di complessità finita a partire dagli enunciati semplici. Ci sono altri tre simboli che usiamo come abbreviazioni:
1. A ↔ B (A se e solo se B) A ↔ B :=( A → B ) ∧ ( B → A )
Se è vero A deve essere vero anche B.
2. Ʇ (falsum) ⊥ := p ∧ ¬ p
Da una precisa contraddizione posso derivare qualsiasi contraddizione.
3. ꓔ (verum) ꓔ ≔ p ∨¬ p
È qualsiasi enunciato semplice che una volta preso costituisce verum. “p” è un dato enunciato semplice scelto arbitrariamente. := “lo definisco come”
Dato un insieme non vuoto P di enunciati semplici, il linguaggio della logica proposizionale classica ( LLPC ) è definito dalla
seguente Backus-Naur Form (BNF):
A := p │ ¬ A │ A ∧ B │ A ∨ B │ A → B
Dove p ∈ P.
NOZIONE DI SOTTOENUNCIATO E ANALISI DEGLI ENUNCIATI
Un enunciato complesso è costruito a partire da enunciati più piccoli. Per esempio: ( p 1 → p 2 ) ∨ ¿
I sottoenunciati di un enunciato A sono gli enunciati da cui è costituito, incluso A stesso, e i sottoenunciati che (eventualmente) costituiscono questi enunciai. I sottoenunciati di:
- P sono p stesso
- ¬ A sono ¬ A e i sottoenunciati di A
- A ∧ B sono A ∧ B , i sottoenunciati di A, i sottoenunciati di B
- A ∨ B sono A ∨ B , i sottoenunciati di A, i sottoenunciati di B
- A → B sono A → B , i sottoenunciati di A, i sottoenunciati di B
Esempio: ( p 1 → p 2 ) ∨ ¿ sottoenunciati
p 1 → p 2 , ( p 1 ∧ p 3 ) → p 4 , p 4 , p 1 , p 2 , p 1 ∧ p 3 , p 4 , p 3.
Sottoenunciato proprio= i sottoenunciati propri di un enunciato A sono gli enunciati da cui è costituito, a eccezione dell’enunciato A stesso, e i sottoenunciati che (eventualmente) costituiscono questi enunciati. Sottoenunciati immediati = i sottoenunciati immediati di un enunciato A sono quei sottoenunciati propri di A che non sono sottoenunciati di sottoenunciati di A. L’analisi degli enunciati in termini di sottoenunciati è fondamentale in moltissimi metodi della logica, fra i quali alcuni che vedremo in questo corso:
- Deduzione naturale (il sistema di deduzione basato sulle regole di introduzione e di eliminazione)
- Valutazione del valore di verità di un enunciato. CONNETTIVO PRINCIPALE In un enunciato del linguaggio proposizionale, il connettivo principale è quello il cui ambito è l’intero enunciato – ovvero, quello che non è dentro l’ambito di ciascun connettivo. In altre parole, il connettivo principale di un enunciato A è quello che, applicandosi ai sottoenunciati immediati di A, ci restituisce l’enunciato A. Tutte le regole di inferenza che abbiamo visto (quelle della deduzione naturale) operano soltanto sui connettivi principali (con l’eccezione dell’eliminazione della doppia negazione). Lo stesso vale per altri tipi di sistemi di deduzione. Non puoi applicare una regola dentro un sottoenunciato.
LEZIONE n.6 (10/03/2022)
SEMANTICA
Ci sono due grandi dimensioni nella logica:
- Sintassi: ci specifica le regola d’inferenza, le regole di costruzione degli enunciati del nostro linguaggio;
- Semantica: prende i simboli del linguaggio e li interpreta. Quando si tratta del linguaggio proposizionale, la semantica si occupa semplicemente di attribuire un valore di verità agli enunciati. In particolare, la semantica della logica proposizionale specifica a quali condizioni un enunciato complesso di un certo tipo (negazione, congiunzione, ecc.) è vero oppure falso. La logica classica ammette solo due valori di verità: vero (v) e falso (f). A ogni enunciato viene attribuito uno e uno solo di questi due valori; quindi in logica classica: ogni enunciato è vero o è falso (Principio di bivalenza); nessun enunciato può essere sia vero che falso (Principio di esclusività).
TAVOLE DI VERITÀ
- Una tavola di verità è composta di colonne e righe;
- La riga più alta contiene l’enunciato di cui vogliamo stabilire/illustrare le condizioni di verità, e i suoi costituenti;
