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Appunti Critical Thinking modulo B
LEZIONE n.13 (06/04/2022)
FORMARE INSIEMI
Con “insieme” intendiamo ogni riunione in un tutto M di oggetti (che vengono detti “elementi” di M. (Georg Cantor, tr. da “Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre”). Esempio: prendiamo “mio zio Federico” e “il Monte Bianco”; dati questi due oggetti, abbiamo perciò stesso l’insieme
{ Mio zio Federico ,il Monte Bianco } che possiamo pensare come “riunione in un tutto” di quei due oggetti.
Dati degli oggetti qualsivoglia a 1 ,^ ...^ an denotiamo l’insieme che contiene tutti e soli quegli oggetti come: (^) { a 1 ,^ ...^ an }.
Dato un insieme D, scriviamo: per esprimere che l’oggetto a appartiene a D – ovvero che a è un
elemento di D.
E scriviamo: per esprimere che l’oggetto a non appartiene a D – ovvero che a non è un elemento di D.
Quando consideriamo un solo oggetto a^ dobbiamo distinguere fra esso e il suo singoletto {^ a^ }: dato un qualsivoglia
oggetto, il singoletto di quell’oggetto è l’insieme che contiene soltanto quell’oggetto – l’insieme che ha quell’oggetto come solo elemento. Un altro modo di formare insiemi - oltre a quello di elencare i suoi elementi - è quello di riunire tutti gli oggetti che
hanno una data proprietà. Per esempio:{ x :
x
∈ N } denota l’insieme dei numeri naturali pari “l’insieme di tutti gli x
tali che
x
appartiene ai numeri naturali. Più in generale { x : P ( x )} denota l’insieme degli oggetti che hanno la proprietà P.
Quindi 2 ∈ { x^ :^
x
∈ N
} ovvero: 2 è un numero naturale pari (elemento dell’insieme dei naturali pari);
x :
x
∈ N
} ovvero: 5 non è un numero naturale pari (non è un elemento dell’insieme dei naturali pari).
PRINCIPIO DI ESTENSIONALITÀ
Due insiemi D e D sono identici l’uno all’altro (ovvero: sono lo stesso insieme) se e solo se contengono esattamente′ gli stessi elementi. In simboli: “D è uguale a D’ se e solo se per ogni x, x appartiene a D se e solo se x appartiene a D’. Esempio Prendete l’enunciato (vero): “Tutti gli animali con i polmoni hanno i reni, e viceversa”. Definiamo ora l’insieme di quegli animali che hanno la proprietà di avere i polmoni: {x ∈ A ∶ P(x)} e quello degli animali che hanno la proprietà di avere i reni: {x ∈ A ∶ R(x)}. L’enunciato e il Principio di estensionalità insieme implicano che: {x ∈ A ∶ P(x)} = {x ∈ A ∶ R(x)} ovvero: l’insieme degli animali che hanno i polmoni e quello degli animali che hanno i reni sono lo stesso insieme… Anche se le proprietà che abbiamo usato per definirli sono diverse!
ALCUNI PUNTI IMPORTANTI
Negli insiemi le ripetizioni di un oggetto non contano! {2, 2, 3} = {2, 3} {2, 3, 3} = {2, 3} In realtà, {2, 2, 3} e {2, 3, 3} non sono neanche scritture corrette, proprio perché gli insiemi non ammettono ripetizioni di elementi! Negli insiemi non conta l’ordine in cui gli oggetti sono elencati. {Mio zio Federico, il Monte Bianco} = {Il Monte Bianco, mio zio Federico}. L’ordine conta nei cosiddetti insiemi ordinati; per esempio: (1,2,3) e (2,1,3) sono due diversi insiemi ordinati. In una sequenza contano sia l’ordine che le ripetizioni.
COME RAPPRESENTIAMO GLI INSIEMI
Tramite i cosiddetti diagrammi di Eulero-Venn. Per esempio: è una rappresentazione grafica degli insiemi: {1, 2, 5}; {1, 6}; {4, 7}.
Usiamo i diagrammi di Eulero-Venn anche per rappresentare i risultati delle operazioni su insiemi, e relazioni fra di essi. Per esempio, i diagrammi nell’immagine: Nessuno degli insiemi è sottoinsieme di un altro; Ci danno una rappresentazione dell’intersezione di {1, 2, 5} e {1, 6} - cioè {1}; Evidenziano che {4, 7} è disgiunto dagli altri due - ovvero la sua intersezione con entrambi è l’insieme vuoto ∅.
FISSARE UN DOMINIO
Da ora in poi, considereremo soltanto gli insiemi che possiamo definire a partire da un dato dominio D di oggetti {
a 1 , a 2 , a 3 , ... }. Quindi, per ogni insieme D’ definibile in D, se a ∈ D’, allora a ∈ D.
INSIEME TOTALE E INSIEME VUOTO
Dato un dominio D, diciamo che D stesso è l’insieme totale. Denotiamo invece con ∅ l’insieme vuoto, ovvero l’insieme a cui non appartiene niente (di cui niente è un elemento). Ci sono vari modi di definire ∅, dato un dominio D. Uno di essi, classico, è: Ovviamente nessun oggetto è diverso da sé stesso! Quindi la definizione in questione è un modo per dire che ∅ non contiene niente.
OPERAZIONI SU INSIEMI
UNIONE DI INSIEMI
Dato un dominio D di oggetti e due insiemi D’ e D ′′ definibili a partire da esso, l’unione D′ ∪ D ′′ di D e D′ ′′è definita come segue: Ovvero: l’unione di due insiemi è l’insieme che contiene qualsiasi cosa che sia contenuta in almeno uno dei due (la loro unione è tutto quello che c’è o in D’ o in D”). D’ D” D′ ∪ D′′ D’ D” Disgiunzione di due insiemi INTERSEZIONE DI INSIEMI Dato un dominio D di oggetti e due insiemi D e D′ ′′ definibili a partire da esso, l’intersezione D ∩ D′ ′′ di D e D′ ′′è definita come segue: Ovvero: l’intersezione di due insiemi è l’insieme che contiene esattamente tutto quello che è contenuto in entrambi gli insiemi. Esempio: insieme 1,2,3,4,5 e insieme 4,5,6,7 -> l’intersezione è 4,5. D’ D” intersezione non vuota. 1 2 4 6 3 5 7 D’ D” 4 5 7 Intersezione vuota: sono disgiunti (esempio: insieme 1,2,3,4,5 e insieme 7,8,9). 1 2 3 8 9 DIFFERENZA DI DUE INSIEMI Dato un dominio D di oggetti e due insiemi D e D′ ′′definibili a partire da esso, la differenza (o complemento relativo) D′ ∖ D ′′ di D e D′ ′′ è definita come segue: Ovvero: la differenza di due insiemi è l’insieme che contiene esattamente tutto quello che è contenuto nel primo insieme, ma non nel secondo (la differenza di D’ e D” è l’insieme di oggetti che sono in D’ ma non in D”). Esempio: insieme 1,2,3,4,5 e insieme 4,5,6 -> la differenza è 1,2,3.
LEZIONE n.14 (07/04/2022)
INSIEME POTENZA
L’insieme potenza ℘(D) di un insieme D qualsivoglia è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di D (siano essi propri o impropri). In simboli:
● Possiamo denotare l’insieme potenza di D anche con 2 D^ ;
● È evidente che D′ ⊆ D ⇔ D′ ∈ ℘(P); ● ℘(D) è, per definizione, un insieme di insiemi. ● Per ogni insieme non vuoto D, ℘(D) ha almeno due elementi: ∅ e D stesso. ● L’insieme potenza ℘(∅) dell’insieme vuoto ∅ ha esattamente un sottoinsieme: se stesso. ● Per ogni insieme D con un solo elemento, ℘(D) ha esattamente due elementi: ∅ e D stesso. ● Per ogni insieme D = {a1, a2} contenente due elementi, ℘(D) ha esattamente quattro elementi: ∅, {a1}, {a2}, {a1, a2}… In simboli: ● D ≠ ∅ ⇒ ∅, D ∈ ℘(D); ● D = ∅ ⇒ ℘(D) = {∅}; ● D = {a1} ⇒ ℘(D) = {∅, {a1}} ● D = {a1, a2} ⇒ ℘(D) = {∅, {a1}, {a2}, {a1, a2}}…
CARDINALITÀ
La nozione di cardinalità ci consente di approntare un modo sistematico per rispondere alla domanda “quante cose ci sono in un dato insieme?” In particolare, la cardinalità di un insieme specifica quanti elementi abbia un insieme. Quanto abbiamo appena detto si applica tanto ad insiemi finiti quanto ad insiemi infiniti; Partiremo dal caso particolare della cardinalità degli insiemi finiti, perché in quel caso posso attribuire un numero naturale come valore della loro cardinalità. Vedremo poi come la nozione di cardinalità si articola concretamente per gli insiemi infiniti… E perché il nostro modo di intendere la cardinalità degli insiemi infiniti è un caso particolare della nozione di cardinalità. Dato un insieme D (finito o infinito che esso sia, vuoto o non vuoto) denotiamo con ∣ D ∣ la cardinalità di D. Altri modi di denotare la cardinalità card(D); #(D); C(D). CARDINALITÀ DI UN INSIEME FINITO La cardinalità di un insieme finito D è il numero degli elementi di D. La cardinalità di un insieme finito è esprimibile tramite un numero naturale. Esempi: La cardinalità dell’insieme dei Paesi europei che confinano con l’Italia è 6 - tale insieme è, infatti, {Austria, Città del Vaticano, Francia, San Marino, Svizzera, Slovenia}. ∣ {a, b, c} ∣ = 3; ∣ {a1,…,an} ∣ = n. Domanda: Qual è, o può essere, la cardinalità di un insieme infinito D? Cioè un insieme con infiniti elementi? La cardinalità risponde alla domanda: “quanti elementi ci sono in questo insieme?”; questo ci dice che non possiamo esprimere la cardinalità di un insieme infinito tramite un numero perché…Quanti elementi ci sono in un insieme infinito? Infiniti. “Infinito” non è un numero! Abbiamo quindi bisogno di una nuova strategia, e questa strategia partirà dalla definizione di equipotenza o “avere la stessa cardinalità”. Vedremo che, per quanto strano possa sembrare, è la nozione di cardinalità a presupporre quella di equipotenza, e non viceversa! Equipotenza: due insiemi D e D hanno la stessa cardinalità (sono equipotenti l’uno con l’altro) se e solo se è possibile′ associare ogni elemento di D a un elemento di D e ogni elemento di D a un elemento di D in modo tale che a′ ′ elementi distinti di uno dei due corrispondano elementi distinti dell’altro. In termini più tecnici due insiemi D e D hanno la stessa cardinalità (sono equipotenti l’uno con l’altro) se e solo se:′ possono essere posti in corrispondenza biunivoca l’uno con l’altro - ovvero se vi è una funzione f ∶ D→D tale che per′ ogni a ∈ D, esiste uno e un solo elemento b ∈ D tale che: f(a) = b.′ FUNZIONI BIIETTIVE
Una funzione tale che per ogni x ∈ X , esiste uno e un solo elemento y ∈Y tale che: f ( x )= y è detta una
funzione biiettiva o biiezione. Questo tipo di funzione mi porta mi porta da un elemento del primo insieme a uno del secondo:
3 computer 3 sedie funzione che mi associa a a d , b a e , c a f ma anche nell’altro senso: d a a , e a b, f a c.
a d Ad ogni elemento distinto del primo insieme ne ho associato uno del secondo (e viceversa) b e c f Diventa chiaro perché tali funzioni garantiscono corrispondenze biunivoche quando consideriamo due proprietà che le biiezioni soddisfano congiuntamente:
- Dati elementi x, x′ ∈ X, se x ≠ x , allora f (x) ≠ f (x ) (suriettività: a elementi distinti del dominio X vengono′ ′ assegnati elementi distinti del codominio Y); La suriettività esclude casi come questo: invece soddisfa che ad elementi distinti del dominio corrispondano elementi distinti del codominio.
- ∀y ∈ Y∃x ∈ X ∶ f (x) = y (iniettività: ogni elemento del codominio Y è valore della funzione f per qualche oggetto del dominio X, ovvero: ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio). L’iniettività esclude casi come questo: perché non ci può essere un punto che non è immagine di nessun elemento. Invece soddisfa che tutti gli elementi del dominio abbiano una loro immagine nel codominio. La nozione di equipotenza ci consente di definire classi di equipotenza. Ogni classe di equipotenza contiene tutti gli insiemi (definiti a partire da un dato dominio) che hanno la stessa cardinalità l’uno con l’altro. Nel caso degli insiemi finiti, possiamo rappresentare ciascuna classe di equipotenza attraverso il numero naturale che specifica il numero di elementi contenuti negli insiemi contenuti nella data classe. Ecco perché possiamo rappresentare la cardinalità di un insieme con un numero n ∈ N. Quello che facciamo, in realtà, è dire: questo insieme è in corrispondenza biunivoca con quegli insiemi che hanno n elementi. Nel caso degli insiemi infiniti, questa rappresentazione non funziona. Quando diciamo che due insiemi infiniti sono equipotenti, diciamo che c’è una corrispondenza biunivoca fra di loro (con l’insieme dei numeri naturali/reali). “Classi”: soddisfano una proprietà> sono disgiunte fra di loro = i loro elementi non sono esattamente gli stessi, la loro intersezione è vuota: c’è la classe che contiene tre elementi, e un’altra quattro. Questo ci dà già un’idea del fatto che la nozione di equipotenza ci consente di definire una nozione di cardinalità più generale di quella ‘intuitiva’ che fa ricorso al numero di elementi di un insieme. Infatti, quest’ultima si applica agli insiemi finiti, ma non a quelli infiniti. La prima, invece, si applica a entrambi. L’ultimo fatto citato è dovuto a sua volta al fatto che la nozione di funzione biiettiva si applica tanto a insiemi finiti quanto a insiemi finiti, mentre la rappresentazione della numerosità in base a un numero va solo per i numeri naturali! Questo ci fa capire perché la nozione specifica di cardinalità di un insieme finito è un caso particolare della nozione di “avere la stessa cardinalità di”. Esattamente come per gli insiemi infiniti, un insieme finito ha la cardinalità di tutti gli insiemi a esso equipotenti. Solo che questa la possiamo rappresentare con un numero, mentre quella degli insiemi infiniti no! FINITO E INFINITO Quel che abbiamo visto non è l’unica cosa che fa la differenza fra insiemi infiniti e insiemi finiti quando si tratta di cardinalità. Se applichiamo la nozione di equipotenza agli insiemi infiniti, alcune proprietà che valgono nel caso degli insiemi finiti saltano; sono proprietà che riteniamo piuttosto intuitive, e il loro fallimento, nel caso degli insiemi infiniti, dà luogo a situazioni che a noi sembrano quasi paradossali! Esempio: per ogni due insiemi finiti D e D’, abbiamo che: ovvero: se un insieme finito D è incluso propriamente in D’, allora essi non hanno la stessa cardinalità (più precisamente: ∣ D ∣ < ∣ D ′ ∣, la cardinalità dell’insieme incluso è minore della cardinalità dell’altro insieme). Questo non vale se abbiamo insiemi infiniti! Per esempio: ● L’insieme dei numeri naturali pari è incluso propriamente in quello dei numeri naturali…Eppure hanno la stessa cardinalità, perché possono essere messi in corrispondenza biunivoca l’uno con l’altro! 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 il primo è sottoinsieme del secondo, ma hanno la stessa cardinalità. 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 ● L’insieme dei numeri che sono quadrati perfetti di numeri naturali è incluso propriamente in quello dei numeri naturali…Eppure hanno la stessa cardinalità, perché possono essere messi in corrispondenza biunivoca l’uno con l’altro!
Inoltre, la teoria ingenua degli insiemi non pone restrizioni sulla formazione di insiemi. In particolare, poiché vi sono proprietà d’insiemi, abbiamo che il principio di comprensione non ristretto ammette che data una proprietà d’insiemi P, ci sia un insieme che contiene tutti e soli gli insiemi Y tali che P(Y):. Simboli a parte: per ogni proprietà che possa essere predicata (anche) di un qualche insieme, abbiamo che vi è un insieme che la estende, cioè un insieme a cui Y appartiene se e solo se P(Y). Si noti che il Paradosso di Russell non è dovuto al fatto che un insieme possa essere elemento di un altro insieme, ma dalla combinazione di questo fatto con il Principio di comprensione non ristretto. Vediamo i passaggi che ci portano alla costruzione del Paradosso di Russell:
- Consideriamo la proprietà, definibile in termini di ∈, di ‘non appartenere a se stesso’, ovvero: X ∉ X.
- Non ci sono restrizioni alla formazione di proprietà e insiemi, e quindi, data la proprietà in questione, per il principio di comprensione non ristretto ∀P∃X∀x(x ∈ X ⇔ P(x)) avremo che:
- ∃Z∀X(X ∈ Z ⇔ X ∉ X). Ovvero, esiste l’insieme degli insiemi che non appartengono a se stessi.
- Si noti che l’esistenza di tale insieme è conseguenza del principio di comprensione non ristretto e del fatto che possiamo formare insiemi in maniera totalmente arbitraria. Bene…così, visto che non vi sono restrizioni sul dominio di partenza su cui definire proprietà e insiemi, abbiamo che la proprietà X ∉ X di ‘non appartenere a se stesso’ è definibile nella teoria ingenua degli insiemi, e da questo e da ∀P∃X∀x(x ∈ X ⇔ P(x)), abbiamo: ∃Z∀X(X ∈ Z ⇔ X ∉ X) - L’insieme Z in questione esiste nella teoria ingenua degli insiemi. Non si scappa, la sua esistenza è una conseguenza dei principi della teoria, e dalla mancanza di vincoli sulla formazione degli insiemi. Ora noi, ovviamente, possiamo prendere questo Z tale che ∀X(X ∈ Z ⇔ X ∉ X) e chiederci se Z appartenga a se stesso oppure no. Ovvero se Z ∈ Z oppure Z ∉ Z. Ce lo possiamo chiedere esattamente come possiamo chiedercelo di ogni oggetto che possa stare ‘sul lato sinistro’ di ∈. Badiamo, a tal proposito, in teoria ingenua degli insiemi, per qualsivoglia oggetto x (sia esso un insieme o meno) e insieme X, abbiamo: x ∈ X o x ∉ X. Non ci sono altre possibilità, perciò: o Z ∈ Z, o Z ∉ Z. Delle due, una deve valere! Allora assumiamo Z ∈ Z; avevamo che, per ogni X: X ∈ Z ⇔ X ∉ X; da questo e Z ∈ Z, segue che... Z ∉ Z -> contraddizione! Proviamo con Z ∉ Z; avevamo che, per ogni X: X ∈ Z ⇔ X ∉ X; da questo e Z ∉ Z, segue che... Z ∈ Z -> contraddizione! Il problema posto dal Paradosso di Russell alla teoria ingenua degli insiemi è il seguente:
- C’è un insieme Z tale che, per ogni X: (X ∈ Z ⇔ X ∉ X). La sua esistenza segue dai principi della teoria ingenua degli insiemi.
- Se assumiamo che Z appartiene a se stesso, incorriamo in una contraddizione.
- Se assumiamo che Z non appartiene a se stesso, incorriamo in una contraddizione.
- Però una delle due deve essere vera! O Z appartiene a se stesso, o non appartiene a se stesso. Questo segue dai principi della teoria ingenua degli insiemi.
- Questo significa che la teoria ingenua degli insiemi non può evitare di concludere una contraddizione! In altre parole, il Paradosso di Russell dimostra che la teoria ingenua degli insiemi è inconsistente. Questo ha portato all’abbandono della teoria ingenua degli insiemi… e alla formulazione di diverse teorie assiomatiche degli insiemi, tutte ugualmente accettate, che di fatto fanno leva su restrizioni al principio di comprensione, in un modo o nell’altro.
ALCUNE VIE DI FUGA
● Teoria Zermelo-Fraenkel (ZF): ammette solo insiemi come oggetti; restringe il principio di comprensione attraverso il cosiddetto assioma di separazione. ● Oggi viene usata ZFC (Zermelo-Fraenkel with Choice), dove l’Assioma di Scelta (Axiom of Choice) dice che: per ogni famiglia non vuota di insiemi non vuoti, esiste una funzione che associa ogni insieme nella famiglia con un suo elemento. ● Teoria Neumann-Bernays-Gödel (NBG): distingue fra classi proprie (che possono avere elementi, ma non esserlo) e insiemi. Ogni proprietà definisce una classe, inclusa la classe degli oggetti che non appartengono a se stessi. Ma quest’ultima classe non può essere un elemento! Il Paradosso di Russell viene così bloccato, perché non posso avere che tale classe appartiene o non appartiene a sé stessa.
● Teoria della New Foundation con Ur-elementi: distingue fra entità di vario livello, ponendo tali livelli in una gerarchia. Se x ∈ X e il livello degli oggetti del tipo di x è n, allora il livello degli oggetti del tipo di X è n + 1. Se tanto il livello di x quanto quello di X sono n, x ∈ X non è una costruzione ammissibile. Il Paradosso di Russell viene quindi bloccato impedendo che “Z appartiene a se stessa” sia un enunciato sensato. Il principio di comprensione vale finché l’oggetto insiemistico che estende la proprietà P è del livello successivo rispetto agli oggetti cui si applica la proprietà P (vale quindi una versione ristretta del principio). Gli Ur-elementi sono gli oggetti al più basso livello definito. ● L’approccio di quest’ultima è comune alla teoria dei tipi elaborata da Bertrand Russell e Alfred Norton Whitehead, che prevede appunto la costruzione di una gerarchia di livelli in cui, se x ∈ X è ben formata, allora il tipo di x ‘precede’ quello di X.
L’ASSIOMA DI SEPARAZIONE IN ZF(C)
Data una qualsivoglia proprietà P, abbiamo che: ovvero: se una proprietà P è definita sull’insieme X, allora esiste l’insieme Y che contiene tutti e soli gli X che sono in Z e soddisfano P. L’assioma di separazione blocca il Paradosso di Russell. Infatti, sia P(X) la proprietà X ∉ X. Per l’assioma di separazione, abbiamo: ∃Y∀X(X ∈ Y ⇔ X ∈ Z e X ∉ X) in corrispondenza a un dato insieme Z. Supponiamo che l’insieme tale che X ∈ Y sia l’insieme D. Abbiamo quindi: ∀X(X ∈ D ⇔ X ∈ Z e X ∉ X) e quindi: D ∈ D ⇔ D ∈ Z e D ∉ D. Se assumiamo D ∈ D, per D ∈ D ⇔ D ∈ Z e D ∉ D abbiamo D ∉ D. Contraddizione! Nota però che, adesso, D ∉ D non è più sufficiente a farci concludere D ∈ D. Infatti, per concludere questo dobbiamo avere il fatto aggiuntivo che D ∈ Z. Se lo assumiamo, otteniamo la contraddizione. Ma questo ci porta soltanto a rifiutare D ∈ Z, per reductio! In altre parole, l’assioma di separazione ha ‘trasformato’ la costruzione che portava al Paradosso di Russell in una dimostrazione che, per ogni insieme Z, almeno uno dei sottoinsiemi di Z non è un elemento di Z.
LEZIONE n.15 (13/04/2022)
IL CASO BRANCUSI
ARGOMENTO DELLA DOGANA
- La prima premessa ci dice che un insieme D di oggetti incluso in un altro insieme di D’ di oggetti -> tutto l’insieme degli oggetti delle sculture sono all’interno dell’insieme degli oggetti che imitano un oggetto naturale.
- La seconda premessa ci dice che un oggetto d non appartiene all’insieme più ampio D’ -> Bird in Space non è nell’insieme più ampio degli oggetti naturali.
- La conclusione ci dice che l’oggetto di d non appartiene nemmeno all’insieme più piccolo D -> Bird in Space perciò non può essere contenuto nell’insieme più ristretto delle sculture. D’ D -d ARGOMENTO DI BRANCUSI
- La prima premessa ci dice che un insieme D di oggetti è incluso in un altro insieme D di oggetti -> tutto′ l’insieme degli oggetti naturali o che rappresentano un’idea astratta sono inclusi nell’insieme degli oggetti che sono sculture.
- La seconda premessa ci dice che un oggetto d appartiene all’insieme più piccolo D -> Bird in Space è contenuto nell’insieme ristretto degli oggetti che rappresentano idee astratte.
- La conclusione ci dice che l’oggetto d appartiene anche all’insieme più ampio D’ -> Bird in Space infatti appartiene anche all’insieme più grande delle sculture. D’ D
In logica usiamo il simbolo ∃ per il quantificatore esistenziale (parola logica) “alcuni/qualche/per qualche/esiste almeno un/c’è almeno un”. Data una forma enunciativa qualsivoglia P(x), diciamo che ∃xP(x) è la chiusura esistenziale di P(x). Esempi di enunciati quantificati esistenzialmente: Un fatto importante: “esiste un x tale che A è definibile come non x per ogni x non-A”
Dato questo e A → B := ¬∀ x ¬ ( A → ¬ B ), abbiamo che: “esiste un x
tale che A e B non si da il caso che x se A allora non-B. Questo vuol dire che possiamo esprimere nessuno e non per tutti semplicemente con ∃, ∀, e la negazione ¬. Esempi di enunciati quantificati esistenzialmente:
VARIABILI LIBERE E VINCOLATE
Dato l’insieme di variabili individuali x1, x2,… a disposizione nel nostro linguaggio, diciamo che: xi è una variabile libera quando non è nell’ambito di un quantificatore (non è chiusa da nessun quantificatore); xi è una variabile vincolata quando si trova nell’ambito di un quantificatore (è chiusa da un quantificatore). Esempi: In P(x): x è una variabile libera. In ∀xP(x): x è una variabile vincolata. In ∀xR(x, y): x è una variabile vincolata, mentre y è una variabile libera.
COSTANTI E VARIABILI INDIVIDUALI
Nel linguaggio predicativo, di solito, non abbiamo soltanto variabili, ma anche costanti. Una variabile x non denota nessun oggetto. Idealmente, è un segnaposto a cui viene assegnato un oggetto come suo valore. P(x) non può essere vera o falsa finché non avviene l’assegnazione. Una costante a denota un oggetto. P(a) è vera o falsa, non appena sia stata specificata la denotazione di a. Dato un dominio di oggetti D e un’interpretazione ι che assegna oggetti come denotazione delle costanti, diciamo che a è una costante individuale se e solo se ι(a) = d per qualche d ∈ D. Non è invece una costante individuale se ι(a) = D per qualche D’′ ∈ 2 ℘. Dato un dominio di oggetti D e una realizzazione ρ che assegna oggetti come valori alle variabili, diciamo che x è una variabile individuale se e solo se ρ(x) = d per qualche d ∈ D. Non è invece una variabile individuale se ι(x) = D per′ qualche D′ ∈ 2 ℘. L’insieme dei termini individuali include l’insieme delle costanti individuali e quello delle variabili individuali. Quando usiamo un termine individuale in un enunciato o forma enunciativa, e non ci interessa specificare se sia una costante o una variabile, usiamo il simbolo t - oppure, simboli dalla lista t1, t2, t3.
REGOLA DI ELIMINAZIONE DI ∀
se ho dimostrato che per ogni x A, allora per eliminazione del quantificatore universale posso concludere t di A, ammesso che t non vada a rimpiazzare una variabile che, nella dimostrazione, era vincolata. t può essere sia una variabile libera che una costante individuale, ma non la metto mai al posto di una variabile vincolata cioè che appare nella chiusura di un quantificatore nella dimostrazione. Se non avessi la restrizione
∀ x ∃ y ( y > x ) “per ogni x esiste un y che è strettamente superiore a x” dove x è chiusa da un quantificatore, avrei:
∃ y ( y > y + 1 ). Cioè metto un qualsiasi termine individuale t, senza preoccuparmi del fatto che questo termine sia già
vincolato nella dimostrazione, perché produciamo cose sballate.
REGOLA DI INTRODUZIONE DI ∀
se ho dimostrato che per un qualsivoglia t, t ha la proprietà A, ne posso concludere per ogni x A di x, a patto che t non è un termine individuale e non una variabile libera nella dimostrazione a meno che non compaia libera in un’assunzione che viene scaricata.
REGOLA DI INTRODUZIONE DI ∃
se ho dimostrato che t di A, allora ho dimostrato che esiste una x tale che A di x.
La restrizione è che t non deve essere vincolata, perché: ∀ y ( y = y )dimostro che ogni y è uguale a sé
stesso. Se non avessi restrizioni potrei concludere che ∃ x ∀ y ( y = x ) esiste una x tale che per ogni y, y è uguale a x,
ma non si può fare perché y appariva vincolata.
REGOLA DI ELIMINAZIONE DI ∃
supponiamo che sotto l’assunzione che A vale ogni qualsivoglia valore t, deriva B, supponendo anche che esiste davvero una x che ha la proprietà A, allora ho dimostrato B. La restrizione è che x non deve comparire libera nel corso della dimostrazione, se non in assunzioni che vengono scaricate.
LEZIONE n.16 (14/04/2022)
IL LINGUAGGIO DELLA LOGICA QUANTIFICATA
Definizione ricorsiva di enunciato (nel linguaggio predicativo):
- Gli enunciati della forma P n (t1,... , tn),... sono enunciati;
- Se A è un enunciato, allora ¬A è un enunciato;
- Se A e B sono enunciati, allora A ∧ B è un enunciato;
- Se A e B sono enunciati, allora A ∨ B è un enunciato;
- Se A e B sono enunciati, allora A → B è un enunciato;
- Se A è un enunciato, allora ∀xA[t/x] è un enunciato;
- Se A è un enunciato, allora ∃xA[t/x] è un enunciato;
- Niente altro è un enunciato. A[t/x] è il risultato della sostituzione di un termine individuale t in A con la variabile x. Ci sono altri tre simboli che noi usiamo come abbreviazioni, esattamente come nel linguaggio proposizionale: P(t) è un dato enunciato semplice scelto arbitrariamente. Di fatto useremo le forme enunciative A(x), P(x), ecc… come se fossero parte del linguaggio che abbiamo appena definito.
SEMANTICA DI LQC
Ora che abbiamo un linguaggio, dobbiamo capire come interpretarlo. L’obiettivo principale è definire un
meccanismo che consenta di dire a quali condizioni sono veri enunciati della forma Pn^ ( a 1 , ... ,an ) , ∀ xA o ∃ xA.
Abbiamo ora anche costanti, predicati, quantificatori e variabili… quindi la semantica non deve più solo dirci a che condizioni un enunciato è vero o falso, deve anche dirci a che individui i termini individuali si riferiscono, e a quali insiemi di cose si riferiscono in qualche senso i predicati. Per fare questo, le valutazioni non sono sufficienti. Abbiamo bisogno di ‘modificarle’, aggiustarle al nuovo linguaggio. Dobbiamo, insomma, passare a strutture diverse. In particolare, abbiamo bisogno di due nuove funzioni: una funzione di interpretazione e una funzione di realizzazione. FUNZIONE DI INTERPRETAZIONE Dato un dominio D di oggetti (=universo del discorso da cui pescare i valori delle variabili e le denotazioni delle costanti individuali) e un linguaggio predicativo come quello che abbiamo definito, una interpretazione ι è una funzione che si applica a tipi diversi di argomenti, ovvero a costanti individuali e predicati. In particolare:
- Per ogni costante a nel linguaggio: ι(a) = d per qualche d ∈ D l’interpretazione di a è un oggetto del dominio del discorso.
2. Per ogni predicato Pn^ nel linguaggio: ι( Pn ) = D per qualche D ∈ 2 D
n
l’interpretazione di Pn^ è una enupla di
oggetti (=insieme di cose che contiene n oggetti).
Se d2 appartiene all’interpretazione del predicato secondo il modello di partenza e se prendiamo ρ d1 appartiene
all’interpretazione del predicato nel modello di partenza allora per ogni x P(x) è vera nel modello di partenza.
Supponiamo che ι (^ P )={^ d^^1 ,^ d^^2 }^ allora siccome per qualsiasi possibile valore attribuito a x quel valore appartiene a
P, secondo la nostra interpretazione, quell’enunciato universale è vero nell’interpretazione del modello di partenza.
VALIDITÀ E SODDISFACIBILITÀ
Verità logica: è vero in tutti i modelli della LQC. Soddisfacibilità: verità relativamente ad almeno un modello della LQC. Falsità logica: non è vero in nessun modello della LQC. Dato un linguaggio predicativo come quello che abbiamo definito, e un enunciato A definibile in esso:
1. A è una verità logica se e solo se I ⊧ A per ogni modello I
2. A è soddisfacibile se e solo se I ⊧ A per almeno un modello I
3. A è una falsità logica se e solo se I ⊧/ A per ogni modello I
Nota bene ● A è una verità logica se e solo se ¬A è una falsità logica. ● A è soddisfacibile e non è una verità logica se e solo se ¬A è soddisfacibile. ● A è una falsità logica se e solo se ¬A è una verità logica. ● Se A è una verità logica, allora diciamo che A è un enunciato valido (della logica quantificata)
CONSEGUENZA LOGICA
Definizione generale di conseguenza logica: Un enunciato B è conseguenza logica dell’insieme Γ = {A1,…,An} (rispetto
alla logica S) di enunciati se e solo se tutti i modelli in cui tutti gli enunciati in Γ sono veri sono modelli in cui B è vero.
Quando non denotiamo l’insieme delle premesse con Γ (o altre lettere greche maiuscole) ma come lista di enunciati,
scriviamo A1,…,An ⊧ B, e non {A1,…,An} ⊧ B. Definizione di conseguenza logica in logica quantificata classica: Un enunciato B è conseguenza logica dell’insieme
Γ = {A1,…,An} (rispetto alla logica quantificata classica) se e solo se tutti i modelli classici in cui tutti gli enunciati in Γ
sono veri sono modelli in cui B è vero. In simboli:
VALIDITÀ DI UN’INFERENZA
Definizione generale di uno schema d’inferenza valido: dati gli enunciati A e B definiti nel linguaggio della data logica S, lo schema d’inferenza A ⊢ B è valido nella logica S se e solo se B è conseguenza logica di A per la logica S (ovvero se e solo se: A ⊧ B). Definizione di uno schema d’inferenza valido in logica quantificata classica: dati gli enunciati A e B del linguaggio predicativo, lo schema d’inferenza A ⊢ B è valido nella logica proposizionale classica se e solo se B è conseguenza logica di A nella logica quantificata classica (ovvero se e solo se: A ⊧ B). [PARTE PRIMA SU QUADERNO SCHEMI REGOLE]
LEZIONE n.17 (21/04/2022) [solo lavagna elettronica]
Scenario: semifinali di Champions. Quattro squadre in semifinale: Villareal, Real Madrid, Liverpool e Manchester City.
D ={ d 1 , d 2 , d 3 , d 4 } quando interpreto enunciati quantificati lo posso fare solo quando ho definito un universo del
discorso, altrimenti non so su cosa variano le variabili. Se non avessi fissato l’universo di quattro squadre non potrei realmente fare affermazioni sulle semifinali di Champions. “Vincere” e “Perdere” sono predicati con cui esprimiamo delle proprietà. Le proprietà definibili in questo dominio del discorso sono due? Possiamo rispondere, ricordandoci che la logica predicativa vede le proprietà come insiemi di oggetti. A ogni predicato con un solo argomento la logica quantificata assegna un insieme di oggetti come sua estensione (la funzione di interpretazione assegna al predicato come sua denotazione un insieme di oggetti che idealmente soddisfano quel predicato > es. predicato “correre” interpretazione associa tutto l’insieme di oggetti che corrono). La domanda è: quanti sottoinsiemi ha il dominio del discorso (insieme potenza di D)? Prendo la cardinalità
dell’insieme: 2 ¿^ D ∨¿=^2
(^4) ¿ = 16; perciò abbiamo 16 proprietà definibili in D.
Quante coppie ordinate ci sono? ¿ D^2 ∨¿ 42 = 16.
Quante relazioni binarie sono definibili in D? 2 ¿^ D
(^2) ∨¿= 216_._ ¿ Linguaggio: costanti individuali c, r, v, l (nomi delle squadre). Predicato: V (=vincere la Champions).
Enunciati quantificati su questo scenario: ∃ xV ( x ) (=esiste almeno una squadra che vince la Champions).
Per interpretare l’enunciato abbiamo bisogno di: dominio (che già abbiamo), un’interpretazione (assegna alle costanti individuali un oggetto), una realizzazione (assegna a ogni variabile un oggetto).
ι ( c )= d 1 ; ι ( r )= d 2 ; ι ( v )= d 3 ; ι ( l )= d 4 ; ι ( V )={ d 4 }
∃ xV ( x ) la sua verità è stabilita da: ¿ per almeno una ρ ' che sia x-alternativa a ρ ⇔ ρ' ( x ) ∈ι ( V ) cioè: c’è una
possibile assegnazione di valore a x tale che la sua interpretazione è vincere la Champions (vale anche per tutte le altre p, che sono tutte x-alternative tra loro).
ρ ( x )= d 1 ; p ' ( x )= d 2 ; ρ' ' ( x )= d 3 ; ρ' ' ' ( x )= d 4 Se almeno una di queste realizzazioni dà quell’oggetto che
nell’interpretazione vince la Champions, allora esiste una x tale che x vince la Champions è vera.
Mentre per: ( ι , ρ, D ) ⊨ ∀ xV ( x ) (=tutte le squadre semifinaliste vincono la Champions) come arriviamo a dire che è
falso? È vero solo se per ogni assegnazione di valore alla x, V(x) è vera. Nell’interpretazione di V avevamo detto che è il singoletto del Liverpool a estendere il predicato “vincere la Champions”, perciò se prendiamo come valore della x il Real Madrid, per l’interpretazione fissata non è nell’insieme degli oggetti che vincono la Champions, quindi non tutti i possibili valori assegnabili alla x sono valori di oggetti che possono vincere la Champions. Così abbiamo mostrato come, grazie al dominio e all’interpretazione che ci siamo fissati, questo enunciato è falso, infatti tutte le squadre
non possono vincere la Champions. In simboli:( ι , ρ, D ) ⊨ ∀ xV ( x ) ⇔ ( ι , ρ ' , D ) ⊨V ( x ) per ogni ρ ' che sia x-
alternativa a ρ ; cioè questa condizione si verifica se e solo se ρ ' ( x ) ∈ ι ( V ) per ogni ρ ' che sia x-alternativa a ρ ,
cioè per ogni assegnazione di valore alle variabili che sia x-alternativa all’assegnazione di partenza, il valore assegnato alla x appartiene all’estensione del predicato vincere la Champions nell’interpretazione fissata.
∃ x ∀ y ( y ≠ x ↔¬ V ( y )) cioè: esiste esattamente un x che vince la Champions, tale che per ogni x, y non vince la
Champions se e solo y è diverso da x (cioè chiunque è diverso da x non vince la Champions). Rimanendo con l’interpretazione di V come l’avevamo fissata (cioè che vince il Liverpool), capiamo se il modello rende vero l’enunciato che esiste una sola squadra che vince la Champions, in simboli:
( ι , ρ, D ) ⊨ ∃ x ∀ y ( y ≠ x ↔ ¬V ( y )). ( ι , ρ, D ) ⊨ ∃ x ∀ y ( y ≠ x ↔ ¬V ( y )) ⇔ ( ι , ρ' , D ) ⊨ ∀ y ( y ≠ x ↔¬V ( y ))
per qualche ρ ' che sia x-alternativo a ρ. Supponiamo se come valore della x ho il v, allora quell’enunciato lì risulta
falso perché devo vedere chi vince la Champions nell’interpretazione fissata (quindi il L). Mentre se assumo che la x sia il L, e a y assegno gli altri tre diversi valori, vedrò che non vince perché il valore che metto al posto della y è diversa dal Liverpool (tenendo conto dell’interpretazione fissata).
∃ xB ( x , l ) cioè: esiste almeno un x che batte il Liverpool. Battere è una relazione binaria:
B
2
( x , y )= una squadra ne batte un ' altra. Nel nostro caso:^ B
2 ={{ d 2 , d 1 } , { d 4 , d 3 } , { d 4 , d 2 } } assumendo che si arriva a d4 che batte d2 per l’interpretazione fissata. Ma è vero che c’è una squadra che batte il Liverpool?
( ι , ρ, D ) ⊨ ∃ xB ( x , l ) ⇔ ( ι , ρ ' , D ) ⊨ B ( x , l ) per almeno una ρ ' che sia x-alternativa a ρ. Ma sappiamo che non ci
sarà mai una valutazione che ci dice che questa relazione è vera perché il Liverpool è sempre dall’altra parte della
coppia, infatti esiste una y che viene battuta dalla x: ( ι , ρ, D ) ⊨ ∃ x ∃ yB ( x , y ) ⇔ ( ι, ρ ' , D ) ⊨∃ yB ( x , y ) per
qualche ρ ' che sia x-alternativa a ρ.
LEZIONE n.18 (27/04/2022) [solo lavagna elettronica]
Data una proprietà P: ∀ xP ( x ) → ∃ xP ( x ) non è una verità logica. Per dimostrarlo ragioniamo in termini di modello,
dobbiamo trovare un contromodello in cui l’antecedente è vero e il conseguente è falso: possiamo prendere qualsiasi modello il cui Dominio sia l’insieme vuoto.
Valutazione dell’antecedente: ( ι ,∅ , ρ ) ⊨ ∀ xP ( x ) ⇔ ( ι ,∅ , ρ ) ⊨ P ( x ) per ogni ρ ’ che sia x-alternativo a ρ. La
domanda è: esiste un’assegnazione di valori alle variabili tale che il valore assegnato a x non è elemento di P? Risposta: non esiste perché non c’è nessun valore che può essere assegnato a x (perché il dominio è l’insieme. Abbiamo trovato un modello in cui l’antecedente è vero.
Questo contromodello quindi non può esistere, perché significherebbe che le interpretazioni di P e di Q sono disgiunte, non avendo elementi in comune, ma purché la parte a sinistra sia vera devono avere almeno un elemento in comune.
UN SISTEMA D’ASSIOMI A LA HILBERT PER LQC
Quando passo dal SDA proposizionale al predicativo, quello che faccio è partire dagli assiomi della proposizionale e aggiungo solo gli assiomi che mi servono per i nuovi pezzi logici di linguaggio, cioè per i quantificatori. A5 > qualsiasi variabile tu metta al posto della x, avrai che soddisfa A. R1 > Modus Ponens. R2 > è analoga all’introduzione del quantificatore universale: hai dimostrato qualcosa per una variabile qualsiasi allora puoi generalizzarlo e farne la chiusura universale.
CORRETTEZZA E COMPLETEZZA
Data una qualsiasi estensione di un SDA à la Hilbert corretto e completo per LPC, la sua estensione con A4, A5 e R2 è corretta e completa. Sono desiderabili perché non vogliamo partire da principi che possono essere falsi.
ND PER LQC
Per le ultime quattro regole vanno considerate le restrizioni specificate nella lezione 15.
CORRETTEZZA E COMPLETEZZA
Data una qualsiasi estensione di un SDA di ND corretto e completo per LPC, la sua estensione con introduzione ed
eliminazione di ∀ e ∃ è corretta e completa.
È desiderabile avere la correttezza perché non vogliamo nella ND avere schemi di inferenza che ci portano da premesse vere a conclusioni false, vogliamo che la conclusione di quegli schemi sia una conseguenza logica delle premesse. È importante la completezza, che ci dice che se qualcosa è conseguenza logica di un’altra allora c’è una derivazione della prima dalla seconda (dalla semantica all’apparato di dimostrazione e regole) oppure ci dice che se un enunciato è una verità logica allora sarà anche un teorema della nostra logica, perché ci permette di procedere nel ragionamento con metodi semantici o sintattici in modo equivalente, raggiungendo gli stessi risultati.
LEZIONE n.20 (04/05/2022)
RAGIONAMENTO NON-DEDUTTIVO
[slide] Non tutti gli argomenti che possiamo proporre o concepire sono argomenti di tipo deduttivo. Per esempio, ci può capitare di formulare argomenti del genere: ● Mia madre ha sempre fatto merluzzo il venerdì sera. Quindi, questo venerdì sera mia madre farà il merluzzo. ● Mia moglie rientra a casa da lavoro, fruga nella borsa e non trova le chiavi della macchina che ha appena lasciato in garage. Quindi, devono esserle cadute fra il garage e la porta di casa. Nessuno dei due argomenti è deduttivamente valido e nessuno di essi verrebbe mai proposto come esempio di ragionamento deduttivo. Eppure, sono forme di ragionamento che usiamo quotidianamente, e sono fondamentali per molte nostre attività Essi non sono deduttivamente validi perchè la premessa non ci permette di dimostrare la conclusione; un argomento deduttivamente valido ci dice che se le premesse sono vere allora la conclusione è vera: qui la conclusione non è per
forza vera, anche se è compatibile con le premesse, ma non è garantita da esse (potrei anche trovarmi la pasta inaspettatamente invece che il merluzzo). I due argomenti esemplificati il primo dei due ci consente di generalizzare da casi dati a casi non (ancora) dati; il secondo ci consente di spiegare un fatto che non sappiamo inizialmente spiegare. Noi dobbiamo trovare una spiegazione a fatti che non possiamo spiegare, e così questi fatti fungeranno da premesse. Ci sono tipi di ragionamento non-deduttivo che non ricadono nei due casi precedenti: Le due premesse sono vere ma ciò non garantisce la verità della conclusione: essa può essere tutto ciò che è detto nelle P, ma può anche essere che Brancusi stia mentendo e Bird in Space non è una scultura. L’argomento di Epstein procede secondo un’assunzione di massima secondo la quale difficilmente un artista di chiara fama spaccia per arte un lavoro che secondo lui non può qualificarsi come tale. Ovvero, è un ragionamento che include (implicitamente) delle assunzioni di default > se un artista di fama dice che il suo lavoro è arte è difficile che stia mentendo. Si noti però che anche l’aggiunta dell’assunzione di default non trasforma il ragionamento di Epstein in un ragionamento deduttivamente valido: il suo compito è farsi che le P giustifichino la conclusione. Perché? Perché il fatto che difficilmente gli artisti famosi mentano sullo status dei suoi lavori non implica che nessun artista famoso menta mai su tale status. Quindi l’assunzione di default è compatibile con il fatto che Brancusi stia mentendo su BIS - ed è, quindi, compatibile con la falsità della conclusione di Epstein. Altro esempio di ragionamento per default: il ragionamento presuppone l’assunzione di default per cui se x è un uccello, allora x vola. Il fatto che l’assunzione sia ‘di default’ è giustificato dal fatto che la stragrande maggioranza degli uccelli vola, ma non tutti gli uccelli volano. Titti, per esempio, potrebbe essere uno struzzo, e questo renderebbe la conclusione falsa. I default forniscono, idealmente, premesse aggiuntive implicite che ci dicono che in tutti i casi “normali” o “standard” le cose stanno in un certo modo. Badate però che i default non ci dicono che in tutti i casi le cose stanno in quel modo, ce lo dicono solo per i casi “standard”. Come lo fanno? Idealmente, ci riferiscono a una serie di situazioni e scenari che possiamo considerare, appunto, “normali” o “standard”. Per esempio, nelle situazioni “standard” un x che è un uccello è un x che vola, e nelle situazioni “standard” un artista famoso è sincero sullo status dei propri lavori. Non è detto che gli enunciati del linguaggio possano esprimere gli scenari standard, e quindi così non fosse è un’assunzione che rimane bloccata nella semantica. Standard e normalità non sono caratteristiche oggettive del mondo, ma stanno nell’occhio di chi guarda. I n particolare, cosa consideriamo ‘normale’ dipende dall’evidenza che abbiamo sull’associazione di due cose logicamente indipendenti (per esempio: essere un uccello e volare, essere un artista famoso ed essere sincero sul proprio lavoro, ecc.). In presenza di evidenze molto diverse si formeranno standard diversi - verrà selezionato un insieme diverso come insieme delle situazioni standard o normali. Di fronte alle varie forme di ragionamento non-deduttivo, è naturale porsi la seguente domanda: ci sono argomenti non deduttivamente validi che sono anche buoni argomenti? In breve, la risposta è: sì, ci sono buoni argomenti che non sono argomenti deduttivamente validi. È però molto più difficile, rispetto agli argomenti deduttivamente validi, stabilire se un esempio specifico di ragionamento non-deduttivo sia un buono argomento o no. Perché a parte la questione della verità delle premesse (che non fa la differenza con il caso deduttivo), a determinare la bontà di un argomento non-deduttivo c’è il grado di evidenza che le premesse devono fornire a sostegno della conclusione. Quale sia il grado di evidenza minimo da rispettare affinché un argomento non-deduttivo sia buono non può essere stabilito a priori. Esempi:
- Primo esempio di argomento non-deduttivo (generalizzazione). ▸ Consideriamo le n > 10.000 volte in cui c’è stato merluzzo a cena il venerdì come evidenza sufficiente per inferire che ci sarà merluzzo a cena il prossimo venerdì. Allora (se le sue premesse sono vere) considereremo l’argomento un buon argomento. ▸ Non la consideriamo evidenza sufficiente. Riterremo cattivo l’argomento.
- Secondo esempio di argomento non-deduttivo (spiegazione).
Un’inferenza è abduttiva se (e solo se): non è deduttivamente valida, e la conclusione fornisce una spiegazione alle premesse. Esempi:
- Il mio collega non trova il proprio smartphone all’uscita dall’aula. Il mio collega aveva lo smartphone sul banco durante la lezione. Quindi, il mio collega ha dimenticato il suo smartphone in aula.
- Mia moglie rientra a casa da lavoro, fruga nella borsa e non trova le chiavi della macchina che ha appena lasciato in garage. Quindi, devono esserle cadute fra il garage e la porta di casa. Contrariamente a quanto gli fa dire Arthur Conan Doyle, l’attività principale di Sherlock Holmes non è il ragionamento deduttivo… ma abduttivo.
RAGIONAMENTO PLAUSIBILE
Al di là delle differenze, in ogni caso, tanto l’induzione quanto l’abduzione mirano a darci conclusioni plausibili (sotto l’assunzione che le premesse siano vere). Possiamo quindi ritenerle forme (molto) diverse di una famiglia di (tipi di) ragionamenti che potremmo chiamare, con una sola etichetta: ragionamento plausibile. La differenza fra ragionamento plausibile e ragionamento deduttivo può essere colta anche ricorrendo alle nozioni epistemiche di conoscenza e credenza. Se abbiamo un ragionamento deduttivamente valido e sappiamo che le sue premesse sono vere, allora possiamo legittimamente dire di sapere che anche la conclusione è vera. Se abbiamo un ragionamento plausibile le cui premesse offrono buon supporto evidenziale alla conclusione, e sappiamo che le sue premesse sono vere, allora possiamo legittimamente credere che anche la conclusione è vera.
FALLIBILITÀ, NON-MONOTONICITÀ- AMPLIATIVITÀ
Tali forme di ragionamento sono:
- Fallibili: anche se le premesse sono vere e offrono un supporto molto forte alla conclusione, può verificarsi che la conclusione sia falsa.
- Non-monotòni: in presenza di nuove informazioni, possiamo trovarci nella posizione di dover abbandonare conclusioni precedentemente tratte. ▸ Al contrario, il ragionamento deduttivo è ovviamente monotòno.
- Ampliativo: l’informazione fornita dalla conclusione non è mai contenuta, neanche implicitamente, nell’informazione fornita dalle premesse. Per neanche implicitamente intendiamo che non posso ricavare l’informazione fornita dalla conclusione da quella fornita dalle premesse attraverso nessuno schema d0inferenza deduttivamente valido. Esemplifichiamo le tre proprietà attraverso esempi di ragionamento induttivo. Vedremo poi come si applicano anche al ragionamento abduttivo. Prendete il seguente argomento: “Tutti gli n > 1.000.000 corvi osservati finora sono neri. Quindi, il corvo n + 1 è (o sarà) nero”. Fallibilità Supponete che la premessa dell’argomento sia vera, e che ci siano esattamente n + 1 corvi. L’evidenza fornita dalle premesse alla conclusione, quindi, è molto solida. Però potremmo essere in uno scenario in cui tutti i corvi da 1 a n sono neri, ma il corvo n + 1 non lo è. E ovviamente in questo caso la conclusione sarebbe falsa. Prendete il seguente argomento: “Tutti gli n = 1.000.000 corvi osservati finora sono neri. Quindi, tutti i corvi esistenti sono neri”. Non-monotonicità Supponete che la premessa dell’argomento sia vera, e che ci siano esattamente n + 5.000 = 1.050.000 corvi esistenti. L’evidenza fornita dalle premesse alla conclusione, quindi, è molto solida. Supponiamo di scoprire però che il corvo n + 1 non è nero. Se aggiungiamo questa nuova informazione alle nostre premesse, non possiamo più inferire ‘Tutti i corvi esistenti sono neri’, e quindi la dobbiamo abbandonare! Prendete il seguente argomento: “Tutti gli n = 1.000.000 corvi osservati finora sono neri. Quindi, tutti i corvi esistenti sono neri”. Ampliatività Prendete l’informazione fornita da ‘Tutti gli n = 1.000.000 corvi osservati finora sono neri’. Essa non contiene, neanche implicitamente, l’informazione fornita da ‘Tutti i corvi esistenti sono neri’.
UN PROBLEMA
Problema Nell’Ospedale Generale di Vienna, nel 1846, molte più donne del Primo Reparto Maternità (PRM) contraggono la febbre puerperale (FP) che nell’adiacente Secondo Reparto Maternità (SRM). Domanda Perché? Cosa spiega questa differenza nei tassi di contagio dei due reparti? Alcune ipotesi proposte da medici dell’ospedale: (H1) La FP è causata da “influenze epidemiche” che periodicamente si verificano in intere regioni. (H2) La FP si contrae in situazioni di sovraffollamento. (H3) La contrazione della FP dipende dall’alimentazione. (H4) La differenza è dovuta al fatto che nel PRM operano studenti privi di esperienza che praticano controlli medici per esercitarsi, mentre nel SRM operano ostetriche di lunga esperienza. Alcune evidenze: (E1) C’è una differenza nei tassi di contagio fra PRM e SRM (questa è appunto l’evidenza che vogliamo spiegare). (E2) PRM e SRM si trovano nella stessa area. (E3) C’è esattamente lo stesso affollamento in PRM e SRM. (E4) PRM e SRM seguono le stesse prescrizioni alimentari. (E5) Gli studenti che operano nella PRM e le ostetriche che operano nella SRM applicano esattamente le stesse procedure di controllo. Le evidenze E1 - E5, insieme, smentiscono H1 - H4. L’ipotesi di Ignasz emmelweis: (H5) Gli studenti che lavorano nel PRM veicolano materiali infettivi che causano FP. Essi passano dal lavoro in sala autopsie al PRM senza previa disinfezione. Le sue evidenze: (E6) Un medico dell’ospedale, una volta feritosi con un bisturi che stava usando in sala autopsia, ha sviluppato gli stessi sintomi osservati nelle febbri puerperali; (E7) Dopo che gli studenti furono obbligati a lavarsi le mani con una soluzione battericida, il tasso di contagio nel PRM arrivò a convergere con quello del SRM. L’ipotesi H5:
- Non viene smentita da E1 - E5;
- È compatibile anche con E6;
- In questo quadro, H5 sembra confermata da E7 (l’evidenza E7 emerge dal tentativo di testare l’ipotesi). Dati questi presupposti, è ragionevole considerare H5 come la miglior spiegazione del fenomeno di partenza (divergenza nei tassi di contagio da FP in PRM e SRM). La storia ha poi mostrato che H5 era l’ipotesi giusta. Ignasz Semmelweis (1818-1865) non ebbe fortuna, perché l’ospedale temendo che quello che aveva scoperto diminuisse la fiducia dei pazienti nel personale medico cercarono di allontanarlo; lui fu l’unico a formulare un buon ragionamento esplicativo.
ABDUZIONE
La deduzione valida preserva la verità dalle premesse alla conclusione. Di rado, però, una spiegazione è puramente deduttiva. Per essere spiegati, infatti, i fenomeni sorprendenti richiedono una forma di inferenza ampliativa. Le inferenze ampliative sono tutte non-deduttive = non preservano la verità dalle premesse alla conclusione. Un’inferenza ampliativa può dare ottime ragioni a sostegno delle loro conclusioni, ma non può garantire che le conclusioni siano vere, se lo sono le premesse. Un tipo d’inferenza ampliativa che è rilevante nel ragionamento esplicativo è l’inferenza abduttiva. Ricordate che questo tipo d’inferenza è: fallibile, non-monotòna, ampliativa. Un’inferenza è abduttiva se (e solo se): non è deduttivamente valida, e la conclusione fornisce una spiegazione alle premesse. Esempi:
- Il mio collega non trova il proprio smartphone all’uscita dall’aula. Il mio collega aveva lo smartphone sul banco durante la lezione. Quindi, il mio collega ha dimenticato il suo smartphone in aula.
- Mia moglie rientra a casa da lavoro, fruga nella borsa e non trova le chiavi della macchina che ha appena lasciato in garage. Quindi, devono esserle cadute fra il garage e la porta di casa. Fallibilità: per quanto ben fondata, la conclusione può essere falsa anche se le premesse sono vere. Pensate, per esempio, se a nostra insaputa qualcuno avesse preso lo smartphone dal banco del collega, in un suo momento di distrazione. Non-monotonicità: possiamo arrivare ad abbandonare la nostra conclusione, se riceviamo nuova informazione (e la aggiungiamo, idealmente, alle premesse precedenti). Supponete, per esempio, che arriviamo a scoprire che lo smartphone è stato rubato. Abbandoneremmo la conclusione che il nostro collega ha dimenticato lo smartphone in aula.
